TEMA II: ANÁLISISAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Significado geométrico de la recta tangente en un punto

Ejemplos1. Dada la función f(x)=x2 hallar la ecuación de la recta tangente en el punto x=1.

2. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curve f(x) = x2 -3x+4 paralela a la recta 3x-y=2.

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Análisis de una función:

Monotonía (Crecimiento y Decrecimiento)

Asíntotas

2

Extremos Relativos (Máximos y Mínimos)

Concavidad y Convexidad

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Concavidad: Una función f(x) es cóncava en un intervalo si el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de su gráfica queda por debajo de la gráfica o cuando las tangentes a la curva en los puntos de dicho intervalo quedan por encima de la curva.

Convexidad: Una función f(x) es convexa en un intervalo si el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de su gráfica queda por encima de la gráfica o cuando las tangentes a la curva en los puntos de dicho intervalo quedan por encima de la curva.

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Punto de Inflexión: Si f’(x0) = 0 y f(x) cambia su curvatura (de cóncava a convexa o al contrario) en el punto x0 entonces la función f(x) tiene un punto de inflexión en x0.

EJEMPLO

Monotonía y Extremos:

Curvatura y Puntos de Inflexión:

Asíntotas:Vertical:

Oblicua: No existe Asíntota Oblicua.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Estudia los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones:

a) f(x)=x3-3x2-9x+1b) f(x) = x3/ (x2-4)c) f(x) = ex (x2-3x+1)

2. Analiza por qué la gráfica de la función f(x)=3x-sen x no puede tener extremos relativos.3. Halla los máximos y mínimos de las siguientes funciones:

a) f(x)=sen x + cos x en el intervalo [0;2π]b) f(x) = x ln xc) f(x) = x/ ex

4. Halla los puntos de inflexión de la función f(x)=ln(x2+1) y estudia su curvatura. 5. Dada f(x)=1-(2-x)5 , comprueba que f’(2)=0, f’’(2)=0 y f’’’(2)=0. ¿Tiene la función f máximo,

mínimo o punto de inflexión en x=2?6. Halla los coeficientes a, b, c, d de la función f(x)=ax3+bx2+cx+d sabiendo que la ecuación de

la tangente a la curva en el punto de inflexión (1;0) es y=-3x+3, y que la función f tiene un extremo relativo en x=0.

7. El propietario de un inmueble tiene alquilados cuarenta pisos a 300 euros al mes cada uno. Por cada 10 euros de aumento en el precio del alquiler pierde un inquilino, que se traslada a

otro piso más económico. ¿Cuál es el precio del alquiler que más beneficios proporciona al propietario?

8. En un jardín con forma de semicírculo de radio 10 m se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máxima.

9. Un nadador, A, se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta. Desea ir a B, en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nadao para llegar a B en el menor tiempo posible.

10.Estudia las funciones polinómicas y racionales que aparecen a continuación. Calcula en cada una de ellas: Dominio, Asíntotas, Puntos de cortes con los ejes, Crecimiento y decrecimiento, Máximos y mínimos y Puntos de inflexión.