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Centro de Altos Estudios Universitarios de la OEI

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Curso Iberoamericano de formacin permanente de profesores de matemtica

Tema: Materiales y Recursos en la Enseanza y Aprendizaje

de las Matemticas

Experto: Dr. Jose Luis Lupiez Gmez

Profesor del Departamento de Didctica de las

Matemticas de la Universidad de Granada, Espaa

[email protected]

www.lupi.tk

http://fqm193.ugr.es


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La investigacin y la innovacin en Educacin Matemtica han venido constatando la

importancia de que los escolares sean parte activa en su propio proceso de aprendizaje y de que

esa participacin se sustente en las experiencias que stos puedan llevar a cabo en el aula. Las

actuales directrices curriculares internacionales basadas en competencias, enfatizan este papel

activo y preponderante de los escolares. La consideracin de materiales y recursos en la

enseanza de las matemticas potencia esta visin, pues mediante la manipulacin, la

exploracin de conjeturas o el cuestionamiento de alternativas y soluciones que stos pueden

promover, no cabe duda que los escolares pueden vivir experiencias significativas para su

aprendizaje.

Pero an partiendo de estas premisas, es necesario reflexionar sobre algunas cuestiones

fundamentales de cara a obtener el mximo beneficio del uso de materiales y recursos en el aula

de matemticas. En primer lugar, es importante analizar cules de esos materiales y recursos

tienen cabida en el aula, sobre todo por la gran cantidad y variedad que existe de ellos. En

segundo lugar, tambin es bsico determinar el papel que esos materiales y recursos pueden

jugar en la enseanza, en trminos del tipo de acercamiento a las matemticas que promueven.

En tercer lugar, es tambin necesario analizar si para todos los bloques de contenido del

currculo de matemticas existen materiales y recursos que el profesor puede incorporar o si

determinados temas los favorecen ms. En cuarto lugar, nos preguntamos cmo integrar el uso

de materiales y recursos en el aula de matemticas y, finalmente, con qu criterios se pueden

disear tareas matemticas que los incorporen.

Actividad 1. Puedes elaborar una respuesta a alguna de esas cuestiones basndote en tu propia

experiencia docente?

Qu materiales y recursos tienen cabida en el aula de matemticas?

Lo primero que es posible plantear es si ambos trminos son sinnimos y, aunque obviamente

pueden emplearse indistintamente, tambin podemos distinguirlos atendiendo a la finalidad con

la que son creados. Entenderemos por recurso cualquier medio que, aunque no se haya diseado

especficamente para el aprendizaje de alguna nocin matemtica, el profesor puede

incorporarlos a sus actividades de enseanza. Por otro lado, nos referiremos a materiales para

describir medios que, inicialmente, se disean y crean con una intencionalidad educativa, an

cuando ese no sea su nico campo de aplicacin.

As, por ejemplo, los instrumentos de medida, las monedas y los billetes, las noticias que

aparecen en la prensa o el cine y la fotografa, constituyen ejemplos de recursos con los que el

profesor puede proponer algn tipo de actividad a los escolares o bien emplearlos para presentar

o profundizar en alguna nocin. Los bloques multibase, las regletas del Cuisenaire, los bloques

lgicos, algunas pginas de Internet o determinadas calculadoras, constituyen ejemplos de

materiales que le permiten al profesor afrontar actividades con temas especficos de las

matemticas escolares.

En estos ejemplos iniciales podemos tambin identificar dos tipos: aquellos de tipo

manipulativo, con presencia fsica susceptibles de ser manejados con las manos (monedas,

bloques multibase, regletas,) y aquellos otros de tipo tecnolgico, en los que es necesario un

soporte aadido (cine, televisin, Internet,).


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Pero ms all de diferenciarlos desde el punto de vista de su significado o del modo en el que se

estructuran, lo importante es analizar en qu medida estos materiales y recursos pueden jugar un

importante papel en la enseanza y el aprendizaje de las matemticas.

Actividad 2. Haz una lista con los materiales y recursos que conozcas para la enseanza de las

matemticas. Seala cules son materiales y cules recursos.

Actividad 3. Busca en Internet y describe tres materiales o recursos (tecnolgicos o

manipulativos), sealando si es posible emplearlos en clase de matemticas. Cmo lo haras?

Qu papel pueden jugar los materiales y recursos en la enseanza?

Adems de que el uso de materiales y recursos en el aula por lo general despierta el inters y la

motivacin de los escolares, es fundamental que el profesor analice con detalle el modo en el

que se emplearn y la funcin que pueden desempear para fomentar el aprendizaje. Del mismo

modo que es frecuente que en el aula se introduzcan tareas de papel y lpiz para presentar un

nuevo concepto o para practicar determinado procedimiento, las tareas que incluyen el uso de

algn material o recurso tambin pueden abordar esas dos finalidades.

Tomemos como ejemplo el tema de las fracciones. Los materiales conceptuales permiten

expresar fracciones y comparar, relacionar y realizar operaciones con fracciones de manera

manipulativa, ya que en ellos se representan las fracciones. Algunos ejemplos de este tipo de

materiales son el libro de fracciones, el diagrama de Freudenthal o las transparencias de

cuadrados. Los materiales de ejercitacin permiten, por lo general, crear condiciones ldicas

para motivar a los alumnos a trabajar con fracciones, aunque los clculos que comportan tienen

que realizarlos con otros medios. Ejemplos de estos materiales son el domin (o trimin, con

reglas idnticas al domin pero cada ficha incluye tres nmeros) y la baraja de fracciones.

Libro de fracciones Trimin de fracciones

Actividad 4. Busca en Internet informacin sobre el libro de fracciones. Justifica porqu este

material puede considerarse conceptual y el trimin de fracciones es ms indicado para

ejercitarse.

Qu relacin tienen los materiales y recursos con los contenidos de las matemticas

escolares?

Ya hemos visto varias maneras de clasificar los materiales y los recursos de acuerdo a su

finalidad, a su estructura y tambin segn el tipo de actuacin que pueden promover en los

escolares. Otro criterio posible de clasificacin atiende al contenido matemtico (si es que lo

hay) en el que se centra el material o recurso. Hemos visto anteriormente ejemplos de materiales

relacionados con el tema de fracciones, pero tambin es posible encontrar materiales o recursos

que pueden emplearse para trabajar en diferentes temas de matemticas.


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Una clasificacin inicial de las matemticas, segn los contenidos, permite distinguir cuatro

grandes bloques: nmeros, geometra, lgebra y funciones y estadstica y probabilidad. Cuando

el profesor se dispone a ensear algunos de esos contenidos matemticos, puede considerar qu

materiales o recursos tiene a su disposicin.

En el caso de los nmeros y la aritmtica, existen materiales diseados para fomentar el

aprendizaje de los primeros conceptos numricos, como las regletas de Cuisenaire o los bloques

multibase. Estos materiales se centran en la construccin del sistema decimal de numeracin y

en la exploracin de algunas de sus propiedades y relaciones. Un recurso como el baco,

permite tambin profundizar en los fundamentos y los algoritmos de las operaciones aritmticas

bsicas. Por otro lado, una calculadora sencilla puede emplearse para fomentar la capacidad de

clculo mental y estimacin de los escolares y ya hemos introducido ejemplos de materiales

para el trabajo con fracciones.

La geometra escolar implica, entre otros aspectos, la identificacin e interpretacin de formas y

figuras en el plano y el espacio, desarrollar y aplicar criterios para clasificarlas, el manejo de

instrumentos de medida o las capacidades de representar y visualizar. Algunos materiales se

centran en varios de esos aspectos, como el geoplano, una trama pautada sobre la que se pueden

construir todo tipo de polgonos para posteriormente estudiarlos y clasificarlos. Los pentomins,

los puzles o los slidos troquelados, entre otros, permiten afrontar actividades de construccin

de figuras y la exploracin y justificacin de conjeturas. Algunos materiales tecnolgicos como

Geogebra, anan la mayor parte de estas actuaciones.

El lgebra se puede considerar como una generalizacin de la aritmtica y, este caso, la Tabla-

100 suministra un ambiente de exploracin interesante. Pero el lgebra tambin implica

procedimientos de resolucin de problemas, el estudio de relaciones entre cantidades, el

reconocimiento de estructuras y el conocimiento y el manejo del lenguaje simblico. En el caso

de estos contenidos y de las funciones, aunque existen materiales especficos para la

ejercitacin, como barajas, domins y juegos de tablero, los materiales y recursos tecnolgicos,

como ordenadores y calculadoras, permiten el razonamiento y el estudio de relaciones y

propiedades algebraicas, y el empleo de diversas representaciones en el anlisis detallado de

familias de funciones.

El cuarto bloque, centrado en estadstica y probabilidad, tiene que ver, entre otros aspectos, con

la organizacin, el anlisis y la interpretacin de informacin y con el estudio y la reflexin

sobre fenmenos y problemas relacionados con la incertidumbre. De nuevo existen recursos

tecnolgicos muy potentes a disposicin del profesor, como las hojas de clculo, que permiten

organizar, explorar y representar fcilmente grandes cantidades de datos. En lo referente al azar,

unos sencillos dados, una baraja de cartas o los juegos de azar, permiten al profesor estudiar

plantear problemas aleatorios y afrontar el clculo de probabilidades.

Finalmente, tambin existen materiales y recursos verstiles, que no se reducen al trabajo en un

contenido especfico, sino que se prestan a la enseanza de ms contenidos y mayor cantidad de

aprendizajes. Un ejemplo de este tipo de recursos son el papel doblado y el tangram. Con

simples hojas de papel y llevando a cabo determinados dobleces y pliegues, se obtienes

resultados similares a algunas construcciones con regla y comps, como trazar rectas, obtener

determinadas intersecciones, trasladar distancias, etc. Pero tambin es posible resolver

problemas y construir polgonos, poliedros e incluso fractales. El tangram, que originalmente es

un puzle de entretenimiento formado por siete polgonos, permite trabajar magnitudes

comparando y distinguiendo permetro y superficie, encontrar relaciones fraccionarias o con


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nmeros radicales, plantear problemas de equivalencia y semejanza o afrontar problemas de

optimizacin, entre otros aspectos.

Polgonos para teselaciones Tabla-100 Tangram

Esta amplia variedad de materiales y recursos, ofrece un gran nmero de posibilidades de

actuacin de los escolares, pero es necesario reflexionar acerca del modo en el que toman

partido en la enseanza de las matemticas.

Actividad 5. Localiza un material o recurso, distinto a los presentados hasta ahora, que se pueda

emplear para cada uno de los bloques de contenido que hemos delimitado. Valora el inters de

cada uno.

Cmo se integran los materiales y recursos en la enseanza de las matemticas?

Al introducir en el aula algn material o recurso que se sale de la tnica habitual, es normal que

se generen alteraciones en el comportamiento y en la atencin de los escolares. Cuando el

empleo de esos materiales y recursos se convierte en algo ms frecuente, es factible que los

escolares perciban que forman parte de la enseanza y que son importantes para su aprendizaje

y para el trabajo en el aula. Pero al mismo tiempo, es innegable que esta prctica modifica de

manera evidente varios aspectos de la enseanza que es importante destacar:

El aula puede adquirir un modelo de laboratorio, en el que los escolares actan para dar respuesta a cuestiones y situaciones problemticas, pueden moverse, manipular, etc. En

cierta manera, se incrementa su participacin.

Pueden surgir limitaciones segn las caractersticas del material o el contexto del aula.

Manipular el material tiene una intencin didctica que es provocar el aprendizaje matemtico. Para ello el material tiene que ir acompaado de unas actividades bien diseadas que los escolares tienen que llevar a cabo.

Cuando trabajan con los materiales para realizar las actividades los escolares tienen libertad de actuacin. Slo deben corregirse aquellas conductas que pueden deteriorar el

material o molestar o distraer a los compaeros. Por tanto, no se evitan los errores o caminos infructuosos que emprendan.

Como la actuacin se presta a interpretaciones individuales el trabajo se debe complementar con una puesta en comn de los resultados obtenidos, promoviendo as

que los escolares justifiquen, validen y formulen las apreciaciones que se han realizado.

El laboratorio de matemticas tiene que ser similar a otros laboratorios, es decir, en l se

plantean y resuelven situaciones interesantes, empleando medios adecuados y permitiendo la

creatividad. En el laboratorio el conocimiento formal se utiliza cuando se necesita, pues lo ms

importante es el problema que se quiere resolver. Al utilizarlo el escolar se familiariza con l, lo

interpreta, le da sentido y de ah surge aprendizaje: en un laboratorio se ensea y aprende,

siendo este aprendizaje una consecuencia de la experiencia. Decimos que se promueve un

aprendizaje indirecto, opuesto al modelo tradicional directo, en el que se presenta el contenido


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antes de resolver las situaciones para las que se ha creado. El aprendizaje directo se asocia con

la memorizacin de definiciones y procedimientos. En el indirecto se aprende experimentando,

aunque despus haya que memorizar de manera sistemtica para recordar el procedimiento.

Aquellas tareas propuestas con materiales y recursos, en las que la participacin y la autonoma

de los escolares es preponderante, estn menos reguladas que cuando tiene protagonismo el

profesor. Se puede interpretar que muchas de estas tareas son de investigacin y opinin, por lo

que tenemos que establecer algn tipo de control que ayude a compartir lo aprendido, dndole

los lmites que establezcan su formulacin, justificacin y fundamentacin. Por ello deben

completarse mediante la realizacin de puestas en comn para obligar a expresar lo aprendido y

darle forma que permita su retencin y recuperacin, cuando sea necesario.

En definitiva, el diseo de las tareas que involucran materiales y recursos requiere de una

cuidada planificacin por parte del profesor.

Actividad 6. Identifica algunas dificultades o inconvenientes que tenga el empleo de materiales

o recursos en el aula de matemticas. Existe alguna solucin posible?

Cmo se puede disear una tarea que incluya el uso de algn material o recurso?

Los diferentes materiales y recursos que puede usar el profesor en su labor docente han de jugar

un papel muy concreto en ese proceso, pues tendrn verdadero xito cuando el profesor disee y

lleve a la prctica tareas en las que stos contribuyan a que los escolares avancen en su

comprensin y uso de las matemticas, a que se hagan cada vez ms competentes en

matemticas. Para ello, los materiales y recursos se integran en las propuestas de tareas, de

acuerdo a una serie de condicionantes, entre los que se encuentran:

La seleccin de los conceptos y procedimientos matemticos.

El modo en el que stos se representan.

Las situaciones y contextos en los que esas nociones matemticas tienen presencia.

Las expectativas de aprendizaje que tiene el profesor para su escolares sobre el tema que se est desarrollando en clase.

El tipo de actuacin que se va a promover entre los escolares, su grado de autonoma y el papel del profesor durante el desarrollo de las tareas.

En resumen, ms all del atractivo que en s mismo pueda tener un material o recurso e

independientemente de las potencialidades que pudiera tener su uso en el aula de matemticas,

es fundamental que en el diseo o la seleccin de tareas que lo incorporen, el profesor considere

tanto la matemtica que ser objeto de enseanza, el aprendizaje que persigue en sus escolares,

as como las actuaciones que como docente lleve a cabo.

Actividad 7. Cules de los condicionantes anteriores se puede ver ms influenciado por el

empleo de algunos materiales y recursos?

Actividad 8. Con motivo de todo lo expuesto hasta ahora y de la realizacin de las actividades

previas, puedes elaborar un reflexin en trminos de las fortalezas y debilidades del uso de

materiales y recursos en el aula de matemticas?

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