7. Polarizacion

1. Modelo microscopico dipolar: Dipolos inducidos.Polarizabilidad molecular. Dipolos permanentes. Sustan-cias polares y apolares.

2. Vector polarizacion: Denicion. Potencial y campoproducido por un cuerpo polarizado. Cargas de polariza-cion. Interpretacion fsica.

3. Vector desplazamiento: Ley de Gauss para mediosdielectricos. Denicion de vector desplazamiento. Disconti-nuidades sobre supercies cargadas.

4. Leyes constitutivas: Homogeneidad, isotropa y linea-

lidad en materiales dielectricos. Otros materiales. Suscep-tibilidad, permitividad y constante dielectrica.

5. Problemas de potencial en presencia dedielectricos: Formulacion general de la electrostatica. Me-dios lineales.

6. Energa y fuerzas en presencia de dielectricos:Trabajo elemental de carga de un sistema. Condiciones pa-ra la denicion de una energa electrica. Energa en medioslineales y ferroelectricos. Interpretacion termodinamica.Fuerzas a partir del principio de trabajos virtuales.

7.1 Modelo microscopico dipolar

En el tema 5 hemos establecido la distincion entre cargaslibres y ligadas, segun el criterio de su posibilidad de movi-miento dentro del material. Si la carga se encuentra asocia-da inequvocamente a un conjunto (molecula, atomo o ion),es decir, que no se separa de el ilimitadamente, decimos quese trata de una carga ligada. Un campo externo actuatambien sobre este tipo de carga, deformando u orientan-do la estructura neutra a la que pertenece. Como ejemploconsideremos un atomo de hidrogeno. En ausencia de fuer-zas electricas externas el atomo puede imaginarse como unacarga positiva casi puntual en el nucleo (el proton) y unanube de carga negativa con simetra esferica rodeandolo (elelectron en su estado cuantico fundamental). Esta con-guracion produce un campo electrico nulo en su exterior.Cuando un campo electrico externo actua sobre el atomo, elproton sufre una fuerza en la direccion y sentido del campo,mientras que la nube electronica sufre una fuerza opuesta.El resultado es una perdida de simetra esferica en la dis-tribucion, de manera que el propio campo producido por elatomo deja de ser nulo fuera de el.

En consecuencia, los materiales aislantes responden a uncampo externo modicando en mayor o menor medida suestructura y produciendo a su vez campos que debemos su-mar al externo. El concepto de dipolo electrico, visto enel tema 3, es la base que nos permitira describir el compor-tamiento de estos materiales.

En el ejemplo visto del atomo de hidrogeno podemos lle-gar a la conclusion de que el campo electrico externo inducela formacion de un dipolo. En efecto, en ausencia de campoexterno la distribucion de carga tiene un momento dipolarnulo debido a la simetra esferica, mientras que con campoaplicado aparece un momento dipolar, tanto mayor cuantomayor sea la deformacion producida en el sistema. El efecto

se puede describir diciendo que el centro de cargas positivas(analogo al concepto de centro de masas) y el de cargas ne-gativas no coinciden. Por otra parte, una vez eliminado elcampo externo, el atomo vuelve a su estado original (pues-to que las fuerzas puestas en juego son conservativas) y eldipolo desaparece. A este efecto, presente en todas las sus-tancias, se le denomina polarizacion inducida. Tambiense induce polarizacion, es decir, separacion entre los centrosde carga positiva y negativa, al aplicar campos electricosa moleculas formadas por iones de distinto signo. Por elloes usual distinguir dentro de los fenomenos de polarizacioninducida entre la polarizacion electronica y la polari-zacion ionica, segun se trate del primer mecanismo o delsegundo.

El momento dipolar inducido es proporcional al campoaplicado:

p = E,

siendo la polarizabilidad. Si la estructura molecular notiene simetra esferica tiene caracter tensorial. Si el cam-po aplicado es muy intenso la relacion deja de ser lineal, eincluso se puede llegar a la ionizacion de la molecula.

Ejemplo:La distribucion de carga asociada a la nube electronica del atomo dehidrogeno en su estado fundamental tiene simetra esferica y vienedada por la densidad

(r) =qe

a30e2r/a0 ,

siendo qe = 1.9 1019 C la carga del electron y a0 = 5.3 1011 m elllamado radio de Bohr, parametro que da una idea de la distancia alnucleo hasta donde la distribucion de carga (que en teora se extiendehasta el innito) tiene un valor apreciable. Supongamos que somete-mos el atomo a un campo electrico uniforme de intensidad E0, y quese produce un desplazamiento d del nucleo respecto del centro de lanube electronica sin que esta se deforme. Que polarizabilidad poseeel atomo?

Suponemos que el desplazamiento del nucleo es pequeno, d

por los primeros terminos del desarrollo en serie de Taylor,

(r) qea30

(1 2r

a0+ . . .

).

El campo se calcula usando la ley de Gauss en forma integral, tal ycomo se vio en el tema 3, y si nos quedamos con el primer termino enel desarrollo anterior resulta

E(r) =(0)r

30=

qer

30a30.

Este campo produce una fuerza de restitucion sobre el nucleo F =qeE = kr analoga a la de un resorte de constante k = q2e/(30a30).Se alcanza una posicion de equilibrio cuando el desplazamiento es talque E(req) = E0, lo cual da req = 30E0a30/qe. El momento dipolar

es p = qereq, dirigido segun el campo aplicado E0. La polarizabilidadse resulta entonces = 30a30.

El campo necesario para que se pierda la proporcionalidad entre py E0 es aquel que produce un desplazamiento del orden de a0, puestoque entonces el desarrollo en serie de Taylor no aproxima bien la fun-cion; esta condicion se escribe req = 30E0a30/qe a0. Sustituyendovalores, el campo se estima en E0 3 1010 V/m. En ese orden seproduce ya la ionizacion del atomo.

Ejemplo:Las fuerzas de Van der Waals son responsables de la debil cohesionde muchas sustancias. Tienen su origen en una interaccion de tipo di-polar entre moleculas apolares. Si una molecula sufre una uctuaciontemporal en su distribucion de carga, adquirira un momento dipolarp1 no nulo durante un cierto instante, que a su vez produce un campodipolar inversamente proporcional al cubo de la distancia al dipolo,E1 1/r3 (omitimos la dependencia angular obtenida en el tema 3,que no nos interesa para nuestro argumento). Si existe otra moleculacerca de la primera, el campo E1 inducira una polarizacion con mo-mento p2 = E1 p1/r3. La interaccion entre ambos dipolos vienedescrita por una energa proporcional al producto de los momentosdipolares, dividido por el cubo de la distancia entre ambos (tampo-co usamos la dependencia angular, hallada en otro ejemplo del tema3). Por tanto podemos escribir Uinterac p21/r6. Se trata de unaenerga de interaccion atractiva, que promediada sobre uctuacionesaleatorias no desaparece, puesto que depende del cuadrado de p1.La ley de tipo 1/r6 indica que se trata de una interaccion de cortoalcance.

El efecto conjunto de las moleculas polarizadas da lugara un campo macroscopico observable, que calcularemos enel proximo apartado.

Existe otro mecanismo por el cual una sustancia sometidaa campos externos puede dar lugar a campos observables.Para ello debemos distinguir entre moleculas polares yapolares, segun si su estructura en ausencia de campo apli-cado tiene asociada un momento dipolar o no. La moleculade agua tiene una estructura en forma de angulo y poseeun momento dipolar no nulo. Una sustancia polar tiene engeneral sus moleculas orientadas de manera arbitraria, porlo que el momento dipolar medio en cualquier punto es ce-ro. Esta situacion desordenada cambia cuando se aplica uncampo externo, puesto que, segun vimos en el tema 3, losdipolos permanentes tienden a orientarse segun la direcciondel campo (recordemos que el momento de la fuerza electricaes p E). Esta tendencia compite con la agitacion termica,que mediante el mecanismo de choques entre moleculas tien-de a desordenar su orientacion. El resultado es un equilibriodinamico con un mayor numero de moleculas con sus dipo-los orientados de tal forma que el promedio es no nulo y vaen la direccion del campo. La justicacion de ello se puede

hacer mediante un calculo estadstico sencillo, pero no lollevaremos a cabo.

Los dos mecanismos de polarizacion vistos anteriormentepueden coexistir en la polarizacion de una sustancia polar,pero como es mas facil rotar una molecula que deformarla,el mecanismo de orientacion suele ser el dominante.

En lo que sigue supondremos que la distribucion de dipo-los producidos en un material nos es dada y nos preocupa-remos de encontrar los campos que a su vez produce estadistribucion.

7.2 Vector polarizacion

Se dene el vector polarizacion P , como la densidad demomento dipolar por unidad de volumen. Si en un materialconsideramos un elemento de volumen centrado en r,en el que existen N moleculas con momentos dipolares pi setendra

P (r) = lim0

1

Ni=1

pi.

Esta expresion nos permite, como es habitual, pasar a untratamiento de la materia como un continuo y olvidarnosde los detalles microscopicos. La polarizacion se mide en elSistema Internacional en C/m2.

Ejemplo:

Una muestra de diamante tiene una densidad masica de 4 g/cm3.Situada en un campo electrico se polariza uniformemente siendo elmomento dipolar por unidad de volumen de 106 C/m2. Calculese elmomento dipolar medio de cada atomo.

Si en un volumen se encierran N dipolos podemos escribir, por

la propia denicion de momento dipolar medio,N

i=1pi = Np y la

polarizacion, o momento dipolar por unidad de volumen, sera

P =Np

=NAmpM

=NApM

,

donde NA es el numero de Avogadro, es la densidad masica del dia-mante y M = 12 g la masa de un mol de carbono. Hemos usado queN/NA = m/M . Despejando p y sustituyendo los valores numericossu modulo resulta ser p = 5 1036 C m.

Dado que el potencial que crea un dipolo situado en elorigen es (ver tema 3)

V (r) =p r

40r3,

el potencial que crea en un punto r una distribucion P (r1)denida en cada punto r1 del cuerpo polarizado, situado enuna region del espacio , se obtendra sumando los potencia-les creados por cada elemento de volumen en que descom-ponemos :

V (r) =1

40

P (r1) (r r1)|r r1|3 d1.

87

Esta expresion es valida en principio para puntos exterioresa la distribucion de dipolos, puesto que en las cercanasde uno de ellos el potencial dipolar usado no es valido.De hecho, dentro del material el campo es extraordina-riamente complicado, si tenemos en cuenta que su valorvara mucho espacial y temporalmente debido a los deta-lles microscopicos de distribucion de la carga. Sin embargoes posible dar argumentos sencillos para demostrar que laformula anterior es valida tambien en el interior del material(vease D.J. Griths, Introduction to Electrodynamics, Pren-tice Hall), entendiendo por campo en el interior un valor quees promedio espacio-temporal del campo microscopico en di-cho punto.

El potencial encontrado puede expresarse de otro modomanipulando el integrando. En particular tenemos en cuen-ta que

r r1|r r1|3 =

1(

1|r r1|

),

y que por tanto, usando el desarrollo de la divergencia deuna funcion escalar por una vectorial,

P (r1) (r r1)|r r1|3 =

1 (

P (r1)|r r1|

)

1 P (r1)|r r1| .

El integrando original da lugar a dos terminos, donde unode ellos es una divergencia, que integrada en el volumen se puede transformar en una integral de supercie denidaen la frontera S :

V (r) =1

40

S

P (r1) dS|r r1|

140

1 P (r1)|r r1| d1.

Comparando esta expresion con la que proporciona el po-tencial de una distribucion volumetrica de carga mas otrasupercial podemos interpretar que la polarizacion del ma-terial da lugar a una distribucion volumetrica de carga en y una supercial en S , denidas por las expresiones

(P ) = P , (P )S = P n,

donde n es el vector normal saliente denido en cada puntode la supercie del cuerpo polarizado. Dada la distribu-cion de momentos dipolares denida mediante una densi-dad volumetrica P , podemos sustituirla por distribucionesde cargas de polarizacion en volumen, (P ), y supercie,(P )S .

Aun cuando las cargas de polarizacion han aparecido envirtud de una manipulacion matematica, hay que advertirque se trata de cargas reales. Esto lo podemos ver con dosejemplos sencillos:

1. Una placa de cierto espesor de material polarizado uni-formemente en la direccion perpendicular a sus caras puedeentenderse como una distribucion de dipolos de igual valororientados segun esa direccion. Si cada dipolo se entiendecomo dos cargas opuestas, las capas de dipolos adyacen-tes a cada supercie del material producen distribucionesde carga supercial, positiva a la derecha y negativa a la

izquierda (ver gura) cuyo valor podemos estimar a partirde un calculo sencillo: el momento dipolar de una porcionde tubo de campo de P es PSd, que puede ser entendidocomo un solo dipolo de valor qd; por tanto q = PS y ladensidad supercial resulta (P )S = P . En cambio las car-gas en el interior del material se cancelan, usando las cargaspositivas y negativas de dipolos de capas contiguas. Estoesta de acuerdo con la aplicacion de las formulas propues-tas, puesto que si P es uniforme su divergencia es nula y enefecto se predice (P ) = 0, mientras que en la supercie laformula P n conduce a distribuciones superciales de signocorrecto y valor absoluto P .

-+ -+ -+ -+-+

P0

-+ -+ -+-+ -+ -+ -+-+ -+ -+ -+

densidadsuperficialnegativa

densidadsuperficialpositiva

densidad neutraen volumen

2. Si ahora, considerando la misma geometra, la polariza-cion crece desde una supercie a la otra, el momento dipolaren cada capa crece con la distancia a la supercie de la iz-quierda y no hay compensacion completa entre las cargaspositivas de una capa y las negativas de la siguiente.

En los dos ejemplos que acabamos de comentar se ha op-tado por una de las muchas formas en que podemos agruparlas cargas ligadas; ello debe entenderse por tanto como ar-gumento plausible (y no demostracion) que da sentido fsicoa las distribuciones de carga macroscopicas que sustituyena la distribucion de dipolos.

La carga total de un cuerpo aislante polarizado debe sernula (salvo que se deposite carga libre por algun metodo).Esto implica que la suma de cargas en supercie y en volu-men dara cero. En efecto,

q(P )total =

(P )d +S

(P )S dS =

=

Pd +S

P ndS = 0,

sin mas que aplicar el teorema de la divergencia.

7.3 Vector desplazamiento

Si escribimos la ley de Gauss distinguiendo los tipos de den-sidades de carga que conocemos resulta

E = 10((f) + (P )),

donde (f) es la densidad de carga libre y (P ) la de polari-zacion. Usando la denicion de esta ultima queda

E = 10

((f) P

).

88

Multiplicando todo por 0 y pasando el termino de diver-gencia del segundo al primer miembro podemos escribir

(0 E + P ) = (f).

Si denimos un nuevo campo vectorial, D segun la formula

D = 0 E + P

la ley de Gauss se reescribe sencillamente

D = (f).

Al vector D se le denomina desplazamiento electrico,o simplemente vector desplazamiento. No se trata de unamagnitud medible directamente, sino mas bien un campoauxiliar que facilita la formulacion del problema electricoen presencia de medios polarizables.

El nuevo aspecto de la ley de Gauss no debe llevar a laconclusion de que la polarizacion no interviene en las fuentesdel campo electrico. Para ello no hay mas que considerarun problema electrostatico, para el cual E es irrotacional.En este caso se tiene

E = 10 (P D) D = P = 0,

es decir, D posee fuentes vectoriales relacionadas con la po-larizacion.

Sin embargo en algunas situaciones en que el rotacionalde P es nulo, y en particular en muchas situaciones de altasimetra, D se obtiene inmediatamente a partir de la nuevaley de Gauss en forma integral:

SG

D dS =

(f)d = q(f).

donde q(f) es la carga libre encerrada por la supercie gaus-siana SG.

Esta ley integral permite discutir el comportamiento deD al pasar a traves de una distribucion supercial de car-ga. Siguiendo un procedimiento totalmente analogo al quenos permitio deducir la condicion n [ E] = S/0 (veaseel tema 2), encontramos una condicion de salto para lacomponente normal del vector desplazamiento, que ahora serelaciona solo con la densidad supercial de carga libre:

n [ D] = (f)S

Tambien se llega a esta condicion a partir de la del salto enE simplemente usando la formula de denicion D = 0 E+ P ,que S =

(f)S +

(P )S y que

(P )S = P n, aunque hay que

tener la precaucion de considerar la carga supercial de po-larizacion a un lado y a otro de la distribucion de cargalibre. Esto se deja como ejercicio.

7.4 Leyes constitutivas

Al discutir los mecanismos de polarizacion de moleculas dematerial dielectrico hemos visto que la polarizacion del ma-terial debe relacionarse con la existencia de un campo ex-terno que, o bien induce la formacion de dipolos, o bienproduce la orientacion preferente de dipolos ya existentesen la direccion de dicho campo. A una ley fenomenologicaque determine la relacion entre P y E se la denomina larelacion constitutiva del material. Esta relacion puedeser muy complicada para ciertos tipos de material, pero enmuchos casos la relacion es de simple proporcionalidad. Siel material es homogeneo, isotropo y lineal los valoresde ambos campos es

P = 0e E

donde al escalar e se le denomina susceptibilidadelectrica, propia de cada material. Comentamos a con-tinuacion el origen de los tres adjetivos usados:

* El material es homogeneo cuando la susceptibilidadno depende de la posicion. Esto ocurre cuando las ca-ractersticas microscopicas y termodinamicas (tempe-ratura, composicion, etc.) son las mismas en cualquierpunto del material. En denitiva, la homogeneidad ensentido termodinamico conduce a la homogeneidad ensentido electrico.

* Es isotropo cuando P y E son colineales, sea cualsea la orientacion del ultimo. Un uido normal siem-pre se comporta de manera isotropa, puesto que susmoleculas tienen libertad para orientarse. En cambioen solidos con estructura cristalina a veces es posibleencontrar comportamientos anisotropos. En tales ca-sos la susceptibilidad tiene caracter tensorial, de ma-nera que su aplicacion al vector E produce otro vectorque no va en general en la misma direccion.

* Es lineal cuando la susceptibilidad se puede definiry es independiente del campo electrico. En general,como ya hemos comentado, la linealidad es cierta pa-ra campos moderados. Existen sustancias, sin em-bargo, que incluso para campos pequenos no admitenuna relacion lineal, y ni siquiera se puede estableceruna ley matematica para su comportamiento, puestoque el valor de P en cada punto depende de la his-toria del material, es decir, de los sucesivos valoresque ha adquirido previamente el campo electrico enese punto. Estos son los materiales ferroelectricos.No vamos a extendernos en su descripcion porqueen el proximo captulo tendremos ocasion de analizarlos materiales ferromagneticos, que presentan carac-tersticas analogas y de mayor importancia practica.

Para completar esta clasicacion debemos mencionar loselectretes, o cuerpos que presentan una polarizacion per-manente en ausencia de un campo externo aplicado. Exis-ten otros materiales con propiedades aun mas complejas,cuya polarizacion depende tambien del valor del campo

89

magnetico existente. Actualmente se siguen descubriendomateriales con nuevas e interesantes propiedades desde elpunto de vista electromagnetico (materiales opticamente ac-tivos, cristales nematicos, etc.), lo cual hace que sea esta unarea en continuo desarrollo.

En un material lineal existe tambien proporcionalidad en-tre D y E. En efecto,

D = 0 E + P = 0(1 + e) E = E,

donde = 0(1 + e) se denomina la permitividad delmaterial. Otra cantidad que suele usarse es la permitivi-dad relativa al vaco, r = /0 = 1 + e, tambien llamadaconstante dielectrica del material.

A continuacion se incluye una tabla con valores de permi-tividades relativas de algunas sustancias:

Material /0Aire 1.0Vidrio 4-10Cuarzo 4.3Polietileno 2.3Papel 2-4Madera 2.5-8.0Porcelana 5.7Caucho 2.3-4.0Alcohol etlico 28.4Cloruro de sodio 6.1Agua destilada 80Agua de mar 72

En un medio lineal con permitividad , conocido uno dellos tres vectores, E, D o P , conocemos los demas sin masque combinar convenientemente las relaciones anteriores.Por ejemplo, P = ( 0) E.

7.5 Problemas de potencial en presencia dedielectricos

Si las condiciones de un problema son estaticas, el campoelectrico es irrotacional y podemos hacer uso del potencialelectrostatico, tal y como se ha hecho anteriormente (temas3 y 5). Tpicamente se tiene un sistema en el que existenregiones conductoras y regiones dielectricas (ver gura).

1E=0 E

E=0

2

El problema electrostatico con toda generalidad se planteaen la forma

E = V ; D = 0 E + P ; D = (f),

pero si los medios son lineales, P = 0e E, y se reduce a

(V ) = (f).

En muchas ocasiones los medios dielectricos son n piezassin carga libre y caracterizadas por una permitividad ho-mogenea, i. En tales casos debemos plantear un problemapara cada region,

2Vi = 0 en i, i = 1, 2, . . . , n

y conectar los distintos problemas a traves de las condicionesde contorno en las supercies de separacion entre regiones,que son de dos tipos:

1. Continuidad del potencial: si Sij es la super-cie que separa la region i de la j, exigimos queVi(r) = Vj(r) en r Sij .

2. Salto en Dn: si en Sij existe una distribucion super-cial de carga libre S,ij (normalmente nula) y nij esel vector normal que va del medio i al j, se cumpliranij (iVi j Vj) = S,ij.

En la supercie de los conductores eventualmente presentesconocemos el potencial, que es constante en toda la pieza,o bien su carga libre total. Con esto queda determinado elproblema de contorno.

En situaciones en que la simetra del sistema es suciente-mente alta, es posible resolver el problema aplicando la leyde Gauss en forma integral, una vez que la dependencia delos campos con las coordenadas se ha reducido y tambiensu orientacion espacial.

Ejemplo:Una esfera conductora de radio R1 con carga libre q esta rodeada deuna capa dielectrica de radio exterior R2 y permitividad . Hallese elcampo electrico y las distribuciones de carga en todo el espacio.

La simetra del problema nos permite decir que el campo electricosolo va a depender de la distancia al centro del sistema y va a serradial, puesto que la carga libre se distribuira uniformemente y la car-ga de polarizacion que surja en el dielectrico no puede distinguir unadireccion privilegiada en el espacio. Por tanto E = E(r)ur y aplicamos

S

D dS = q(f)(),

donde S es una supercie gaussiana esferica de radio r que iremoseligiendo convenientemente, y q(f)() es la carga encerrada en el vo-

lumen delimitado por la supercie gaussiana. D es tambien radialy dependiente solo de r. El ujo resulta simplemente 4r2D(r) y lacarga encerrada es q si r > R1. En resumen,

D =q

4r2ur.

El campo electrico es Ei = D/i, donde distinguimos si estamos en lacapa dielectrica o en el vaco. Por tanto

E =

q

4r2ur si R1 < r < R2,

q

40r2ur si r > R2.

90

El salto en el valor de E en r = R2 indica que en dicha superciese acumula carga de polarizacion. Su valor viene dado por la relacion

(P )S =

P n = ( 0)E(R2 ), siendo E(R2 ) el campo electrico eva-luado en el dielectrico y n la normal saliente del cuerpo dielectrico, esdecir, ur. Esto conduce a

(P )S =

( 0)q4R22

.

Tambien hay carga supercial de polarizacion en r = R1, contigua ala carga libre que existe sobre el conductor. Ahora es n = ur y setiene

(P )S

= ( 0)q4R21

.

En este caso no hay carga en volumen, puesto que (P ) = P = D(0 )/ = 0. Esto ocurre obviamente siempre que el mediodielectrico no acumule carga libre y sea homogeneo.

Ejemplo:Un condensador plano con armaduras de area S0 y separacion d serellena parcialmente de un material dielectrico de permitividad .Obtengase la nueva capacidad en los dos casos siguientes: (a) pla-ca dielectrica de espesor e colocada paralelamente a las armaduras;(b) placa dielectrica de espesor d parcialmente introducida, siendo Sla supercie introducida.

z

x

y

d

V=0 V=V0

0

eI II

z

x

y

d

V=0 V=V0

0

I

II

S1

SS

(b)(a)

SG

(a) Supongamos para empezar que el dielectrico se introduce en con-tacto con una de las armaduras. Existen dos regiones con distintapermitividad dentro del condensador, que en la gura aparecen comoI y II. Si no tenemos en cuenta los efectos de borde, la homogenei-dad del material y la geometra nos garantizan que, sea cual sea ladistribucion de cargas libres y ligadas, estas no dependeran de x ni dey. El campo electrico sera entonces perpendicular a las armaduras,es decir E = E(z)uz, y por tanto D = D(z)uz . Si aplicamos la leyde Gauss para dielectricos, en forma integral, tomando una superciegaussiana en forma de paraleleppedo recto que encierre la carga librede la armadura positiva y llegue a un valor de z arbitrario (ver gura),podemos escribir

SG

D dS = D(z)S; q(f) = (f)S

S,

luego D(z) = (f)S

, que es constante para cualquier z. Esto ocurreincluso cuando pasamos del medio dielectrico al vaco. Sin embar-go el campo electrico s sufre un salto, puesto que EI = D/ peroEII = D/0. Si la diferencia de potencial entre armaduras es V0, lacirculacion del campo hallado nos suministra la relacion entre cargalibre y potencial:

V0 = EIe+EII(d e) = q(f)

S

(e

+d e0

).

La capacidad resulta C =q(f)

V0=

S

e/ (d e)/0.

Si e = d la formula se reduce a la de un condensador plano salvo por lasustitucion de la permitividad del vaco por la del material que rellenael condensador.

Puede comprobarse que la capacidad encontrada equivale a la aso-ciacion en serie de dos condensadores de igual area y separaciones ey d e, uno relleno de dielectrico y otro vaco. Tambien es intere-sante observar que la localizacion de la placa dielectrica dentro delcondensador no altera el resultado.

Las cargas de polarizacion se limitan a dos distribuciones super-ciales opuestas en las caras de la placa dielectrica, de valor (P ) =(f)( 0)/0.

(b) Si ahora la placa dielectrica tiene el grosor del condensador, d, yse introduce parcialmente hasta un area S1 se pierde la simetra delproblema. Las distribuciones de carga libre y ligada no son necesa-riamente uniformes segun las coordenadas x e y. No obstante vamosa ensayar una solucion sencilla que consiste en un campo electricouniforme E = uzV0/d en todo el condensador. Esta propuesta vienemotivada por dos consideraciones: (i) si cada medio fuera ilimitado elcampo cumplira todas las condiciones exigidas (satisface la ecuacionde Laplace, las armaduras son equipotenciales y la circulacion del cam-po entre ambas nos da la diferencia de potencial establecida); (ii) en lafrontera entre ambos medios se cumplen todas las condiciones exigidas.En efecto, la continuidad de la componente tangencial de E se cum-ple por ser el campo propuesto tangencial e igual en ambos medios,mientras que, al no haber carga libre en la frontera, la continuidad dela componente normal del vector D se garantiza al ser proporcional alcampo electrico y no tener este componente en esa direccion.

Es interesante analizar como se distribuyen las cargas libres y li-gadas. Aplicando la condicion de salto en el vector desplazamiento,

n [D]=

(f)S , a cualquiera de las armaduras obtenemos

(f)S = D,

pero DI = E y DII = 0E, por lo que en la supercie adyacente acada medio la densidad de carga libre es constante, pero con valor dis-tinto. En cambio la condicion de salto para el campo electrico incluyetoda la carga (libre y de polarizacion); como el campo es uniforme, lacarga supercial total en cada armadura es tambien uniforme. Esto esposible porque la carga de polarizacion tambien cambia de un medioal otro y se ajusta para hacer uniforme la distribucion total. Puede

comprobarse esto mediante el calculo directo (P )S =

P n. Una ultimaobservacion al respecto: la carga total es suma de dos distribucionessuperciales contiguas, una libre, en la armadura, y otra ligada, en lafrontera del dielectrico.

La capacidad se calcula dividiendo la carga libre acumulada en laarmadura positiva por la diferencia de potencial entre ambas. La cargalibre es

q(f) = (f)SI

S1 + (f)SII

(S S1) = DIS1 +DII(S S1)

= ES1 + 0E(S S1) = V0d

[S1 + 0(S S1)] .

La capacidad resulta

C =1

d[S1 + 0(S S1)] .

Se observa que el resultado coincide con la asociacion de dos condensa-dores en paralelo, uno de area S1 y separacion d relleno de dielectricoy otro de area S S1, igual separacion y vaco.

7.6 Energa en presencia de dielectricos

En el tema 2 se asigno a la cantidad uE = 0E2/2 el caracterde densidad volumetrica de energa electrica asociada a unsistema que produce un campo E(r) en el espacio. En eltema 3, referido a sistemas estaticos, se vio que la energaelectrica total del sistema UE =

uEd , donde la integral

se extiende a todo el espacio, se puede interpretar como eltrabajo necesario para traer las cargas desde el innito, par-tiendo del reposo, hasta su posicion nal. Esta energa es en

91

principio totalmente recuperable (el sistema la puede ceder)si no estamos en presencia de medios materiales.

Cuando estamos en presencia de medios polarizables nosencontramos con la dicultad de que en un proceso de car-ga del sistema, trayendo carga desde el innito, entran enjuego fuerzas de muy diverso tipo, pudiendo existir transfor-macion de parte del trabajo realizado por nosotros en calor(fenomenos disipativos). Por ello, aun cuando la energadenida en temas anteriores tiene un signicado claro, noresulta en general util, puesto que ni coincide con el trabajoque nosotros realizamos para cargar el sistema, ni tenemosgaranta de que en un proceso vayamos a obtenerla en formade trabajo realizado por el sistema.

Para discutir en que condiciones es posible denir unaenerga electrostatica en presencia de materiales polariza-bles vamos a calcular cual es el trabajo elemental W quedebemos realizar para incrementar la distribucion de cargalibre, (f)(r) del sistema. Es importante recalcar que nosinteresa una variacion de carga libre (f)(r) porque en lapractica es el tipo de carga que podemos manejar (en cambiono podemos actuar directamente sobre la carga de polariza-cion). Usando la interpretacion del potencial electrostaticoV (r) como trabajo necesario para traer la unidad de cargadesde el innito hasta la posicion r, podemos escribir

W =esp

(f)(r)V (r)d.

La variacion de densidad de carga libre se puede expresar enfuncion de la variacion del vector desplazamiento a partirde la ley de Gauss:

(f) = ( D) = D,

con lo que el trabajo elemental queda

W =esp

V Dd =esp

(V D)d esp

V Dd,

donde hemos usado el desarrollo de la divergencia de uncampo escalar por uno vectorial. La primera de las dosintegrales resultantes puede transformarse en una de super-cie aplicando el teorema de la divergencia. Dado que elvolumen de integracion es todo el espacio, consideramos laintegral extendida a una esfera de radio R que luego hace-mos tender a innito. Siguiendo un argumento ya usado enotras ocasiones, si las distribuciones de carga decaen su-cientemente rapido con la distancia a un punto, podemosadmitir que la integral de supercie es nula una vez tomadoel lmite R. La otra integral se puede escribir

W =esp

E Dd.

El trabajo total necesario para cargar un sistema es la sumade trabajos elementales, partiendo de una situacion originalsin carga libre (que habitualmente corresponde a campos Ey D nulos en todo el espacio) hasta una situacion nal enla que estos campos poseen valores conocidos E(r) y D(r).

Podemos expresar esta suma como una integral de evolucionde los campos en cada punto del espacio:

W =esp

d

[ [E(r), D(r)][0,0],

E D],

donde indica que para cada punto espacial la evolucion delos campos viene representada por un camino en el espaciode las componentes de D.

Dx

Dy

Dz

D(r)(r)

El criterio fundamental que nos permite establecer si untrabajo realizado por nosotros para formar un sistema pue-de considerarse almacenado en el en forma de energa es quedicho trabajo sea funcion exclusivamente de los estados ini-cial y nal del sistema (la energa es una funcion de estado).Segun esto, debemos exigir que la integral de lnea anterior,calculada en cada punto del espacio, sea independiente delproceso de carga (r).

Un ejemplo importante de sistemas que admiten la de-nicion de una energa electrostatica es el de los mediosdielectricos lineales. Para estos medios en cada punto setiene, si ademas son isotropos,

E D = E ( E) = 12(E2) =

12( D E),

y por tanto la densidad de energa almacenada en cada pun-to es la integral de una diferencial exacta, y nalmente seescribe la energa total como

UE =12

esp

E Dd.

Puede demostrarse que si el medio es lineal pero anisotropo,la formula anterior sigue siendo valida, pero hay que admi-tir que el tensor permitividad es simetrico. Digamos que laexistencia de una formula para la energa en estos mediosproviene de la certeza de que para ellos todas las fuerzas in-volucradas a nivel microscopico son conservativas, y una vezadmitida su existencia, surge como consecuencia la simetradel tensor permitividad.

Un ejemplo opuesto, con el que ponemos de maniestoque no siempre es posible denir la energa de un sistema,es el de los medios ferroelectricos. Recordemos que paraestos materiales no existe en general una relacion unvocaentre los vectores E y D, sino que su valor depende de lahistoria del material. En tal caso es evidente que la integralde lnea en el espacio {Dx, Dy, Dz} dependera del procesode carga, y no solo del estado nal.

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Nota avanzada:

La energa obtenida para medios lineales tiene un significado ter-

modinamico distinto que el visto para distribuciones en el vaco. En

efecto, aunque el proceso de carga debera poder ser arbitrario, el hecho

de que la permitividad del material sea una funcion de la temperatura

del sistema (y tambien de la presion, aunque en menor grado), obliga a

que el proceso concreto que dene la energa electrostatica del sistema

sea isotermo, con lo que garantizamos que la permitividad va a ser

una constante en cada punto. Si el proceso no es isotermo, no hay

garanta de que el resultado sea el mismo. Por otra parte, siguiendo

con los requisitos termodinamicos, para que los campos macroscopicos

esten bien denidos es necesario que el sistema este siempre en equili-

brio, y por tanto el proceso de carga debe ser reversible. Una funcion

de estado que tiene signicado de trabajo reversible en presencia de

un foco termico es la energa libre, o funcion de Helmholtz F ,

que es el potencial termodinamico que debemos asociar a la energa

electrostatica.

Una vez discutida la denicion de energa asociada a unsistema podemos aplicar directamente el formalismo que nosda la fuerza (generalizada) a partir de la aplicacion del prin-cipio de los trabajos virtuales. En procesos a carga libreconstante y a potencial constante se tiene respectivamente

Fx = UE/x|q, Fx = UE/x|V .

Ejemplo:En el condensador plano parcialmente relleno de una pieza dielectricade igual espesor que la distancia entre armaduras, ya analizado en elejemplo anterior, calculese la fuerza que actua sobre la pieza.

z

xy

d

V=0

V=V0

0

profundidad, b

a

Llamemos x a la distancia desde el borde del condensador por dondeentra el dielectrico hasta el extremo de la pieza. Supongamos que en ladireccion x el condensador tiene longitud a y longitud b en la direcciony. El area de la armadura en contacto con el dielectrico sera entoncesS1(x) = bx. Si se produce un desplazamiento virtual x en la posicionde la pieza la energa del sistema variara una cantidad UE . La fuerzaelectrica ejercida sobre la pieza, en un proceso a potencial constantees Fx = UE/x|V .La energa del sistema es UE = C(x)V

20 /2. La capacidad se calculo

en el ejemplo mencionado y, teniendo en cuenta que las dimensionesde las armaduras, C(x) = bx/d+ 0b(a x)/d. Sustituyendo todo enla formula que da la fuerza y efectuando la derivada resulta

Fx =( 0)bV 20

2d,

por lo que el dielectrico tiene tendencia a rellenar el condensador.

Para hacernos una idea de la magnitud de la fuerza sobre eldielectrico podemos considerar el caso de un condensador plano co-locado verticalmente y ligeramente sumergido en un lquido aislante.El lquido tiende a subir su nivel hasta una altura h tal que la fuerzaelectrica compense a la fuerza gravitatoria, Fg = mg = mdbhg =( 0)bV 20 /(2d). Si el lquido tiene la densidad del agua, una cons-tante dielectrica r = 3 y el condensador tiene 1 mm de separacionentre placas, la diferencia de potencial para que el lquido suba 1 cmes V0 3.33 kV.Algunos aspectos de este problema merecen ser comentados:

(1) La tendencia de un material dielectrico a migrar a regiones don-de el campo es mas intenso es bastante general. Una aplicacion es elcontrol de masas lquidas en ausencia de gravedad, como es el caso delcombustible de una nave espacial.(2) El calculo realizado no ha tenido en cuenta los efectos de borde. Sinembargo pueden darse argumentos para justicar que el resultado es elmismo si estos se incluyen, puesto que lo que cuenta es la variacion dela capacidad ante un pequeno desplazamiento del extremo de la piezay las regiones donde el campo es no uniforme quedan invariantes.(3) Si hubieramos intentado calcular la fuerza directamente a partirde las distribuciones de carga y campo el problema hubiera sido for-midable. Hay que observar que no hay carga de polarizacion en elextremo de la pieza y por tanto la fuerza tiene su origen en la zona delborde del condensador, donde los campos son muy complicados. Nodeja de resultar paradojico que para el metodo energetico usado estazona carezca de importancia.

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