tema6 flexion deformaciones

8/9/2019 Tema6 Flexion Deformaciones

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Tema 6: Flexin: Deformaciones

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Tema 6: FLEXIN: DEFORMACIONES

x

y

+


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6.1.- INTRODUCCIN

Las deformaciones hay que limitarlas al igual que las tensiones, bien por razones deseguridad, de mantenimiento o simplemente de esttica.

As, en numerosos casos, los elementos estructurales se dimensionarn aparte de aResistencia, limitando sus tensiones mximas, (tal y como hemos visto en el temaanterior), a RIGIDEZ, haciendo que las deformaciones mximas no sobrepases unosdeterminados valores admisibles.En diferentes normativas se fijan los valores admisibles de las deformaciones paradiferentes elementos estructurales.Con el estudio de las deformaciones de una viga a Flexin, calcularemos los GIROS (z, y ) que sufren las secciones transversales alrededor del eje neutro y las FLECHAS oDESPLAZAMIENTOS(y, z) de sus centros de gravedad.

Flexin en plano xy Flexin en plano xz

Los mtodos que desarrollaremos para el clculo de las deformaciones son lossiguientes:

Mtodo de la Ecuacin Diferencial de la Lnea Elstica Mtodo de la Ecuacin Universal de la Lnea Elstica Mtodo de los Teoremas de Mohr Mtodo energtico del Teorema de Castigliano Mtodo energtico de los Trabajos Virtuales

Observacin: Los dos mtodos energticos los estudiaremos ms adelante, en el tema9, dado que son mtodos de clculo ms generales y tienen su aplicacin en el estudio

de las deformaciones, no slo a Flexin, sino tambin en los casos de Traccin,Compresin, Torsin, etc.

y

y

z

x

z

z

z

yx

y

Fig.6.1


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Seccin 6.2: Mtodo de la Ecuacin Diferencial de la Elstica

3

6.2.-MTODO DE LA ECUACIN DIFERENCIAL DE LA ELSTICA

Consideremos la viga de la figura sometida a Flexin Simple (Ry, Mz)

Segn vimos en la seccin 5.3.3. se denomina lnea elstica: al eje x de la viga (el quepasa por los centros de gravedad de todas las secciones transversales), una vez

deformado.Tratemos ahora de calcular su ecuacin: y = y(x)

Vimos tambin en dicha seccin, que para el caso de Flexin Pura (slo momentosflectores), el radio de curvatura de la lnea elstica vena dado por la ecuacin (5.20):

1

.z

z

M

r E I=

pues bien, para el caso de la Flexin Simple (momentos flectores y fuerzas cortantes),podremos utilizar la misma frmula del radio de curvatura, pues la influencia queejercen las fuerzas cortantes es pequea y la podremos despreciar en la mayora de los

casos.

Por otra parte sabemos por Matemticas que el radio de curvatura de una curva se puedeobtener de la expresin:

2

2

3/ 22

1(6.1)

1

d y

dx

r dy

dx

=

+

igualando las expresiones del radio de curvatura:

2/32

2

2

1

+

dx

dy

dx

yd

= (6.2).

z

z

M

E I

expresin obtenida que representa la ecuacin diferencial de la lnea elstica

La integracin de esta ecuacin diferencial, no lineal, presenta grandes dificultades ydado que en la mayora de los casos las deformaciones que se van a presentar, sonpequeas, podremos hacer las siguientes simplificaciones:

y = y(x)Lnea elstica

xy

x

Fig.6.2


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(para pequeas deformaciones) Giros de las seccionesz z

dytag

dx =

si las deformaciones son pequeas: z es pequeo tag z es pequeo dy/dx es

pequeo 11

2

+ dx

dy

y haciendo esta aproximacin en la ecuacin (6.2) quedar:2

2(6.3) o bien: (6.4)

. . . z z z z

z z z

M M d M d y d dy

dx E I dx dx E I dx E I

= = =

Observacin: con el sistema de ejes coordenados adoptado en el tema 5.2 para las vigasa flexin, resultar que:

00

00

2

2

2

2

>0

2 1 2 1

2

2

0 y adems segn se ve en la fig.6.4 : 0

con lo cual se cumplir : 0 o lo que es lo mismo : 0

si x x dx d

d d y

dx dx

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