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Tema 4. FA (Prof. RAMOS) 1

Procesos de Difusión

Física Ambiental. Tema 4.


Tema 4.- " Procesos de Difusión"

• Conducción del calor: ley de Fourrier, conductividadtérmica.

• Convección del calor: Ley de enfriamiento de Newton.• Radiación térmica: cuerpo negro (leyes de Kirchhoff , Wein

y Stefan-Boltzmann).• Difusión molecular: Ley de Fick.• Teorema de continuidad.- Ecuación unidimensional de la

Difusión: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.• Condiciones de contorno.• Aplicación a la transmisión unidimensional del calor en

régimen estacionario: Resistencia térmica.

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Procesos de DifusiónEstructura de los procesos de difusión.

Ley de Fick

Difusión Molecular

Procesos de Difusión

Conductividad Térmica

Ley de Fourrier

Ley de Stefan Ley de Kirchoff

Ley de Wien

Leyes de la Radiación

Ley de Newton

Coeficiente de película

Convección

Mecanismos de transmisión del calor


Mecanismos de transmisión del calor.

CONDUCCIÓN:

Transporte de energía, en forma de calor, por vibración molecular. No haytransporte de materia.

CONVECCIÓN:

Transporte de energía, asociado al movimiento relativo de partes del sistema ensu interior.

RADIACIÓN:

Transporte de energía, por medio del mecanismo de absorción/emisión de ondaselectromagnéticas.

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Experimento FA4 Tema 4. FA (Prof. RAMOS) 5

Conducción del calor: ley de Fourrier,conductividad térmica.

∆∆

∆∆

ΦQt

Tx

Qdt

AdTdx

∝ ⇒ = ∝δ

Ley de Fourrier:

dxdTKA−=Φ

xtxTKAtxx ∂

∂−=Φ

),(),(

1-Dimensión:K- Conductividad térmica.(W/mK).φ-Flujo de energía (W).A- área (m2).dT/dx- gradiente de temperatura (K/m).


Conducción del calor: conductividad térmica.

MATERIAL K(W/mK)Aire (27ºC) 0.026Agua (27ºC) 0.609Hielo 0.592Aluminio 237Cobre 401Oro 318Hierro 80.4Roble 0.15Vidrio 0.7 a 0.9Hormigón 0.19 a 1.3

4


Convección del calor.

El coeficiente de transmisión superficial del calor o coeficiente de película,representa la cantidad de calor intercambiado, por unidad de superficie, entre elmaterial y el fluido ambiente que lo rodea cuando el gradiente de temperaturases de 1º.

)( ∞−=∆=Φ TThTh s

)( ∞−Φ

=TT

hs

[ ] 2mW=Φ

[ ] KmWh 2=

Experimento FA5 Tema 4. FA (Prof. RAMOS) 8

Convección del calor:Ley de enfriamientode Newton.

)( ∞−=∆=Φ TThTh s

TdthSQ ∆=δ

0≅Wδ Dilatación térmicadespreciable.

⇓

⇓

sPdTmcdUTdthSQ −==∆=δ⇓

)( ∞−−= TTmchS

dtdT

SP

S

5


Convección del calor:Ley de enfriamientode Newton.

dtmchS

TTdT

P

T

TS

S ∫∫ −=− ∞

τ

00 )(

⇓t

mchs

sPeTTTT

−

∞∞ −=− )()( 0

Cuando la pérdida de calor de la superficie es proporcional a ladiferencia de temperatura entre ella y el ambiente, éste contemperatura constante. La temperatura del la superficie decreceexponencialmente con el tiempo.


Radiación térmica.

Los dos sistemas tienden al equilibrio térmico, segundo principio de latermodinámica, aunque no haya contacto físico entre ellos. El intercambio deenergía se realiza mediante absorción/emisión de ondas electromagnéticas.

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Radiación térmica: cuerpo negro (ley de Stefan-Boltzmann).

La radiación contenida en un espacio isotermo como el de la figura se puedeconsiderar como de Cuerpo Negro.

Ley de Stefan-Boltzmann:

Cualquier cuerpo a una temperatura,T, en equilibrio térmico, emite unacantidad de radiación que, por unidadde tiempo, viene determinado por:

4ATεσ=ΦΦ- Potencia de radiación emitida (W).

ε- Emisividad de la superficie.

A- Área del emisor (m2)

T- Temperatura de equilibrio del emisor (K).

σ- Constante de Stefan-Boltzmann= 5.6703 10-8 (W/m2K4).

Si el cuerpo es perfectamentenegro ε=1, en caso de cuerposgrises 0< ε<1.


Radiación térmica: cuerpo negro (ley deKirchhoff).

Ley de Kirchhoff:

En equilibrio térmico la energía emitida por un cuerpo es igual que la absorbidapor el mismo. Por lo tanto, el cuerpo negro será el que más energía emita a unatemperatura dada y también el que mayor cantidad de energía absorba a esatemperatura (cuerpo negro), coef. de absorción, α= coef. de emisión, ε

42TIe σ=

4211 TIeIa σεε ==

411' TeI σε=

)(' 42

411 TTeIIaI Neta −=−= σε

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Problema 1. Hoja FA4a Tema 4. FA (Prof. RAMOS) 13

Radiación térmica: cuerpo negro (ley de Wein).

Hasta ahora hemos estudiado la cantidad total de energía que emite un cuerpo,pero, ¿en qué longitudes de onda se realiza la emisión?

Ley de Wien: La distribución espectral de emisión es continua y cuanto mayor esla temperatura de un cuerpo menor es la longitud de onda del máximo de dichadistribución, que sigue la relación:

)()(898.2

KTmmK

Maximo =λ


Radiación térmica: aproximación de Newton.

La radiación neta de energía intercambiada por un cuerpo con su entorno:

)( 44ambNeta TTI −= σε

Si no hay gran diferencia entre la temperatura del cuerpo T2 yla del ambiente que le rodea, se puede realizar la siguienteaproximación:

)()( 44ambamb TTTT −∝−

)( ambTTI −∝ Ley de Newton.

ambTT ≈

Por lo tanto la ley de Newton contiene, es estos casos, además del efecto de laconvección, el de la radiación en el coeficiente de película, h.

21 TT ≈

8


Difusión molecular: Ley de Fick.La difusión molecular aparece al existir una distribución espacial deconcentración de materia. La difusión de materia tiene el sentido en el que laconcentración disminuye. La difusión molecular es un fenómeno irreversible.

Balance de entropía:Considerando a los dossistemas como gases ideales yel proceso isotermo.

Estado inicial:

Estado final:

VRnnSS i ln)()( 2121 +=+

VRnnSS f 2ln)()( 2121 +=+

if SSSS )()( 2121 +>+ ⇒ 0. >∆ univS


Difusión molecular: Ley de Fick.El flujo de partículas tiene direcciónopuesta al gradiente de partículas y esproporcional a él.

El coeficiente de proporcionalidaddepende del tipo de sustancia y sedenomina coeficiente de difusiónmolecular.

dxdnD−=Φ

Ley de Fick:

D- coef. de difusión molecular (m2/s).

dn/dx- Gradiente de concentración (1/m4).

Φ- Flujo de partículas, que por unidad de tiempo atraviesanuna superficie unidad (1/m2s).

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Difusión molecular: interpretaciónestadística.

La temperatura del sistemapermanece constante, por tanto lasvelocidades moleculares mediasson iguales en ambos sub-sistemas.

Pero el número de colisiones es mayor en, A, debido a que elnº de partículas es mayor que en, B. Por ello, aparece un flujoefectivo de partículas de A hacia B.


Difusión molecular: ejemplos.

Inicialmente fuera deldepósito la concentración esnula, a partir de la aberturade la llave de paso comienzaa formarse un gradiente deconcentraciones en el tubo.Al cabo de cierto tiempo sicontinúa siendo constante laconcentración en elrecipiente, n0, se alcanza elrégimen permanente oestacionario (independientedel tiempo).∞→Φ−= tx

Dnxn ;)( 0

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Difusión molecular: ejemplos.Durante el régimen estacionario, el flujo de partículas es

constante en todo el tubo, el número de partículas queentran por un extremo es igual al número de ellas que

salen por el otro extremo, no hay acumulación. Ladistribución de concentraciones permanece constante.

ctedxdnD =−=Φ

⇓

∞→Φ−= txD

nxn ;)( 0


Difusión molecular: ejemplos.En el caso de un sistemaidéntico al anterior, pero conel extremo cerrado. Ladistribución deconcentraciones, tantodurante el régimentransitorio comoestacionario, es diferente.

∞→= tnxn ;)( 0

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Problema 2. Hoja FA4a Tema 4. FA (Prof. RAMOS) 21

Difusión molecular: ejemplos.

Sistema experimental para determinar elcoeficiente de difusión molecular.

Las concentraciones tanto en la base deltubo, n0, presión de vapor del líquido, comoen el extremo libre, n1, son constantes. Enrégimen estacionario tendremos:

−

Φ=⇒Φ

−=10

01 nnLDL

Dnn

El flujo de partículas se conoce como función de la presión de vapordel líquido en función de su temperatura constante durante el proceso.


Teorema de continuidad. Ecuación unidimensionalde la Difusión: coordenadas cartesianas.

El flujo de calor que entra por una de lascaras es diferente al que sale por la otra. Ladiferencia de energía contribuirá positiva onegativamente al balance de la energíainterna del sistema.

[ ]tu

ernoxdxx ∂∂

−=Φ+Φ−Φ + int

0int =Φ erno

xTKx ∂∂

−=Φ

TdmcU p∂=∂[ ]

tT

dxdmc

xTK

dx pxdxx

∂∂

−=

∂∂

−=Φ−Φ +

2

2

pcK

tT

xT

ραα =∂∂

=∂∂ ;2

2

Ley de Fourrier

Primera ley de laTermodinámica

Ec. de Difusión del Calor:

x∂∂φ↓ ↓

ρ

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Teorema de continuidad. Ecuación unidimensionalde la Difusión: coordenadas cilíndricas.

Consideramos el caso más sencillo en esta geometría, se trata de un tubocilíndrico muy largo, por lo tanto la única variable que debemos tener en cuentaes la distancia a la generatriz, r.

Ec. de Difusión del Calor:

tT

rT

rrT

∂∂

=

∂∂

+∂∂ 1

2

2

α

En este caso, los contornos son superficiescilíndricas concéntricas. Sobre ellas seimpondrán las condiciones de temperaturao flujo que determine el problema.


Condiciones de Contorno.

Los mecanismos deintercambio de calor deun sistema dependen dela geometría del mismo,de sus propiedadesfísicas, de lascondiciones iniciales y delas condiciones decontorno.

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Aplicación a la transmisión del calor en unmuro homogéneo en régimen estacionario.

tT

xT

∂∂

=∂∂ α2

2En régimen estacionario. 02

2

=dx

Td

BAxxT +=)(

Integrando encontramos la solución lineal, con dosconstantes que dependen de las condiciones decontorno del problema.

Probema 3 y 4. Hoja FA4a Tema 4. FA (Prof. RAMOS) 26


Condiciones de contorno de primeraclase, temperatura constante en ambascaras.

112 )()( TLxTTxT +−=

12

1

)()0(0

TALTLxTLxBTxTx

+===⇒====⇒=

LTTkAx )()( 12 −−=Φ

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Problema 1 y 2. Hojas FA4b Tema 4. FA (Prof. RAMOS) 27


BALTLxTLx

KABThdxdTKxTThx aa

+===⇒=

−=−⇒−==−⇒=

2)(

)())0((0

Las condiciones de contorno en este caso son mixtas de primera clase, temperatura constante, T2 ytercera clase, intercambio de calor siguiendo la ley de Newton con coeficiente de película, h.

+

−+=

+

−=

hKL

TTTB

hKL

TTA

a

a

22

2

22 1

1)( T

Lx

hLK

TTxT a +

−

+−

=

+−

=−=ΦhK

LTTA

dxdTKAx a

1)()( 2

Problema 3 y 4 . Hoja FA4b Tema 4. FA (Prof. RAMOS) 28

Aplicación: muro heterogéneo. Resistenciatérmica.

+++

−=Φ

22

2

1

1

1

21

11)()(

hKL

KL

h

TTAx

Al denominador del flujo de calor se le denominaresistencia térmica. Como analogía con la ley de Ohmde la corriente eléctrica.

En aquélla aparece la diferencia de potencial, aquí ladiferencia de las temperaturas, allí la intensidad aquí elflujo de calor, allí la resistencia eléctrica aquí latérmica.

RVI =

[ ]W

KmRhKL

KL

hR2

22

2

1

1

1;11 =+++=

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Aplicación: Cilindro con condiciones detemperatura constante en las fronteras.

En régimen estacionario la ecuación´de transmisión del calor sólo tienetérminos espaciales, por lo tanto en coordenadas cilíndricas:

012

2

=

∂∂

+∂∂

rT

rrT

Para resolver esta ecuación diferencialrealizamos el siguiente cambio devariable:

rTu∂∂

=

↓BrArTu

rdrdu

+=⇒=+ ln)(01 Condiciones de contorno:

BrATTrTrrBrATTrTrr+=⇒=⇒=+=⇒=⇒=

22222

11111

ln)(ln)(

1

2

2211

ln

ln)()(

rrrr

TTTrT −−=

−

=−=

1

2

21

ln

)(2

rr

TTkLdrdTkQ π

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