tema4 ud2
TRANSCRIPT
Probabilidades y Estadística I
TEMA 4
Probabilidad condicionada
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada 2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto 3. Independencia de sucesos 4. Teorema de la Probabilidad Total 5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada 2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto 3. Independencia de sucesos 4. Teorema de la Probabilidad Total 5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I
1. Introducción (1/5)
A
Ω
( ) AP A #=#Ω
REGLA DE LAPLACE
A
Ω B
( ) A BP A BB
# ∩=
#A
B
Probabilidades y Estadística I
1. Introducción (2/5)
A
Ω B
A
B
( )# ( )( )#
A B P A B P A BB P B
# ∩ ∩Ω = =#
Ω( ) A BP A B
B# ∩
=#
Probabilidades y Estadística I
1. Introducción (3/5)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P A B P A P B A∩ = × = ×
∩ ×
∪ +
Probabilidades y Estadística I
1. Introducción (4/5)
∩ ×
∪ +
Sucesos incompatibles o disjuntos
( ) ( ) ( )P A B P B P A∩ = ×
?
Probabilidades y Estadística I
1. Introducción (5/5)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P A B P A P B A∩ = × = ×
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada 2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto 3. Independencia de sucesos 4. Teorema de la Probabilidad Total 5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I
2. Teorema de la prob. compuesta (1/4)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P B P A B P A P B A∩ = × = ×
?
Probabilidades y Estadística I
2. Teorema de la prob. compuesta (2/4)
Probabilidades y Estadística I
2. Teorema de la prob. compuesta (3/4)
Una urna contiene r bolas rojas y b azules. Se extrae una bola al azar y se observa el color. Se devuelve la bola a la urna, introduciéndose también k bolas adicionales del mismo color. Se extrae aleatoriamente una segunda bola, se observa el color y se devuelve a la urna junto con k bolas adicionales del mismo color. Cada vez que se extrae una bola se repite el proceso. Si se extraen 4 bolas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres primeras sean rojas y la cuarta azul?
EJEMPLO
r
b
R1 ≡ “La primera bola es roja” R2 ≡ “La segunda bola es roja” R3 ≡ “La tercera bola es roja” A4 ≡ “La cuarta bola es azul”
SOLUCIÓN
Probabilidades y Estadística I
2. Teorema de la prob. compuesta (4/4)
1P(R ) r b
Probabilidad a calcular Configuración de la urna Resultado por Laplace
1rP(R )
b r=
+
2 1P(R | R ) r+k b
2 1r kP(R | R )
b (r k)+
=+ +
3 1 2P(R | R R )∩ r+2k b
3 1 2r 2kP(R | R R )
b (r 2k)+
∩ =+ +
4 1 2 3P(A | R R R )∩ ∩ r+3k b
4 1 2 3bP(A | R R R )
b (r 3k)∩ ∩ =
+ +
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada 2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto 3. Independencia de sucesos 4. Teorema de la Probabilidad Total 5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I
3. Independencia de sucesos (1/3)
X| Y=y’j ≡ X ∀ j
INDEPENDENCIA
Y| X=x’i ≡ Y ∀ i
ij i jf f f i j• •= × ∀ ≠
Estadística Descriptiva
Probabilidades y Estadística I
3. Independencia de sucesos (2/3)
1P(R ) r b
Probabilidad a calcular Configuración de la urna Resultado por Laplace
1rP(R )
b r=
+
2 1P(R | R ) r b
2rP(R )
b r=
+
3 1 2P(R | R R )∩ r b
3rP(R )
b r=
+
4 1 2 3P(A | R R R )∩ ∩ r b
4bP(A )
b r=
+
Probabilidades y Estadística I
∩ ×
∪ +SUCESOS INCOMPATIBLES
( ) ( ) ( )P A B P B P A∩ = ×
3. Independencia de sucesos (3/3)
SUCESOS INDEPENDIENTES
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada 2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto 3. Independencia de sucesos 4. Teorema de la Probabilidad Total 5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I
4. Teorema de la probabilidad total (1/2)
1 1
k ki
j ij j ii i
f f f f• •= =
= = ×∑ ∑ Estadística Descriptiva
Probabilidades y Estadística I
4. Teorema de la probabilidad total (2/2)
Dos cajas contienen chips grandes y chips pequeños. La primera contiene 60 grandes y 40 pequeños. Mientras que la segunda contiene 20 grandes y 10 pequeños. Se selecciona una caja al azar y se extrae un chips, ¿cuál es la proba- bilidad de que sea un chip grande?
EJEMPLO
Probabilidades y Estadística I
Esquema inicial
1. Introducción a la probabilidad condicionada 2. Teorema de la probabilidad compuesta o producto 3. Independencia de sucesos 4. Teorema de la Probabilidad Total 5. Teorema de Bayes
Probabilidades y Estadística I
5. Teorema de Bayes (1/4)
( ) ( )i iP B P A B
Probabilidad del escenario i
Verosimilitud de A en el escenario i
( )iP B A
Probabilidad del escenario i después de observar A
Probabilidades y Estadística I
5. Teorema de Bayes (2/4)
Supóngase que el 30% de los ordenadores fabricados por una planta son defectuosos. Si un ordenador es defectuoso, la probabilidad de que un controlador lo detecte y lo saque de la cadena de producción es 0.9. Si no es defectuoso, la probabilidad de que lo saque es 0.2.
EJEMPLO
ESCENARIO
Def
ectu
osos
Sacado de la cadena
No Defectuosos
Sacado de la cadena
Probabilidades y Estadística I
5. Teorema de Bayes (3/4)
Si un ordenador se saca de la cadena, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
PREGUNTA 1
Sacado de la cadena D
efec
tuos
os No defectuosos
=
×
× + ×
Probabilidades y Estadística I
5. Teorema de Bayes (4/4)
Si uno compra un ordenador que no ha sido sacado de la cadena, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
PREGUNTA 2
Sin sacar de la cadena D
efec
tuos
os No defectuosos
=
×
× + ×