tema4-aplicaciones-lineales

Prof. Susana López 41

4 Aplicaciones Lineales

4.1 Definición de aplicación lineal

Definición 23 Sean V y W dos espacios vectoriales; una aplicación lineal f de V a W es unaaplicación f : V →W tal que:

1. f(u+ v) = f(u) + f(v) para todo u v ∈ V

2. f(au) = af(u) para todo a ∈ R y para todo u ∈ V .

Las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales también son denominadas homomorfis-mos.

Proposición 8 Si f es una aplicación lineal, es equivalente a decir que para todo a y b ∈ R ypara todo u y v ∈ V se tiene que:

f(au+ bv) = af(u) + bf(v).

4.2 Matriz asociada a una aplicación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo de los números reales, R. Sea f : V →Wuna aplicación lineal, BV = {v1, v2, ..., vn) una base de V y BW = {w1, w2, ..., wm) una base deW . El elemento f(u1) es un vector de W y por tanto puede escribirse como una combinaciónlineal de elementos de la base BW :

f(u1) = a11w1 + a21w2 + ...+ am1wm

Análogamente:f(ui) = a1iw1 + a2iw2 + ...+ amiwm

para i = 1, 2, ..., n.De este modo podemos construir la siguiente matriz:

MBWBV

=

⎛⎜⎜⎜⎝a11 a12 ... a1ma21 a22 ... a2m...

......

an1 an2 ... anm

⎞⎟⎟⎟⎠La matriz MBW

BVes la matriz de la aplicación f con respecto a las bases BV y BW .

Si tenemos ahora cualquier otro vector x ∈ V , x = (x1, x2, ..., xn)BV, a través de la aplicación

lineal f se tiene que f(x) = y, donde y ∈ W luego y = (y1, y2, ..., ym). En forma matricialobtenemos la siguiente expresión:⎛⎜⎜⎜⎝

y1y2...ym

⎞⎟⎟⎟⎠ =MBWBV

·

⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠


Ejemplo:Consideremos la aplicación lineal f : R3 → R2, cuyas ecuaciones respecto de las bases

canónicas de R3 y R2 respectivamente viene dadas por:f (x, y, z) = (2x− y + z, 3x− z)

Calculamos la matriz asociada a la aplicación lineal respecto de las bases R3 y R2. Para ellocalculamos las imágenes de los vectores de la base canónica de R3 :

f (1, 0, 0) = (2, 3)

f (0, 1, 0) = (−1, 0)f (0, 0, 1) = (1,−1)

de manera que la matriz asociada a la bases canónicas de R3 y R2 viene dada por:

MR2R3 =

µ2 −1 13 0 −1

¶Queremos calcular la imagen del vector v = (3, 3, 1) cuyas coordenadas están dadas respectode la base canónica utilizando la matriz asociada a la aplicación lineal

f (3, 3, 1) =

µ2 −1 13 0 −1

¶⎛⎝ 331

⎞⎠ =

µ48

¶

4.3 Propiedades de las aplicaciones lineales

Aplicación lineal suma Dadas dos aplicaciones lineales f : V →W y g : V →W definimoslas aplicación lineal suma f + g : V →W como:

(f + g) (v) = f (v) + g (v)

Si A y B son las matrices asociadas a la aplicaciones lineales f y g respectivamente respectode las bases BV de V y BW de W, entonces la matriz asociada a la aplicación suma f + g vienedada por la matriz A y B.

Producto de una aplicación lineal por un escalar Dada la aplicación lineal f : V →Wdefinimos el producto de un escalar λ ∈ R por la aplicación lineal λf : V →W como:

(λf) (v) = λf (v)

Si A es la matriz asociada a la aplicación lineal f : V →W, la matriz λA es la matriz asociadaa λf : V →W.

Composición de aplicaciones lineales Dadas dos aplicaciones f : V → W y g : W → Xse define la aplicación f compuesto con g, (g ◦ f) : V → X como:

(g ◦ f) (v) = g (f (v))

Si A y B son las matrices asociadas a la aplicaciones lineales f y g respectivamente respectode las bases BV de V , BW de W y BX de X entonces la matriz asociada a la aplicacióncomposición viene dada por BA:

(g ◦ f) (v) = g (f (v)) = g (Av) = BAv


Aplicación inversa Dada la aplicación lineal f : V → V diremos que f posee una aplicacióninversa si existe una aplicación lineal f−1 : V → V tal que¡

f−1 ◦ f¢(v) = v¡

f ◦ f−1¢(v) = v

Una aplicación lineal tendrá una aplicación inversa si la matriz A asociada a f : V → V esinvertible, en ese caso la matriz asociada a f−1 : V → V será A−1.

4.4 Núcleo e imagen de una aplicación lineal

Definición 24 Diremos que una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W esinyectiva si para todo x e y ∈ V con x 6= y se tiene que f(x) 6= f(y). Cuando f es inyectivala aplicación lineal también se denomina MONOMORFISMO.

Definición 25 Diremos que una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W essobreyectiva o suprayectiva si para todo w ∈ W existe un elemento v ∈ V con f(v) = w.Cuando f es sobreyectiva la aplicación lineal también se denomina EPIMORFISMO.

Definición 26 Diremos que una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W esBIYECTIVA si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Cuando f es biyectiva la aplicación linealtambién se denomina ISOMORFISMO.

En el caso particular de que los espacios vectoriales de origen y llegada sean iguales, V =Wla aplicación lineal también se denomina ENDOMORFISMO, y si además el endomorfismoes biyectivo entonces se denomina AUTOMORFISMO.

Otro caso particular de aplicación lineal es el caso donde W = R, el cuerpo de los númerosreales, en ese caso la aplicación lineal se denomina FORMA LINEAL.

Definición 27 Dada una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W , f : V →W ,definimos el núcleo o kernel de la aplicación lineal como el conjunto de todos aquellos v ∈ Vtales que f(v) = 0. Es decir:

N(f) = Ker(f) = {v ∈ V |f(v) = 0}.

Observar que el Ker(f) nunca es vacío ya que 0 ∈ Ker(f).

Proposición 9 Si f : V → W es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales V y W ,entonces Ker(f) es un subespacio vectorial de V .

Proposición 10 Una aplicación lineal es inyectiva si y sólo si Ker(f) = {0}.

Definición 28 Dada una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W , f : V →W ,definimos el subconjunto imagen de la aplicación lineal como el conjunto de todos aquellosw ∈W para los cuales existe un vector v ∈ V tal que f(v) = w. Es decir:

img(f) = {w ∈W | existe v ∈ V |f(v) = w}.


Proposición 11 Si f : V →W es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales V y W ,entonces img(f) es un subespacio vectorial de W .

Proposición 12 Una aplicación lineal es sobreyectiva si y sólo si img(f) =W.

Teorema 3 Dada una aplicación lineal f entre los espacios vectoriales V y W , f : V → W ,si V es de dimensión finita entonces:

dim(ker(f)) + dim(img(f)) = dim(V )

Definición 29 Definimos el rango, rang(f) de una aplicación lineal f como el rango de lamatriz asociada la aplicación lineal.

Del teorema anterior obtenemos el siguiente resultado:

a. f es inyectiva si y sólo si rang(f) = dim(V ).

b. f es sobreyectiva si y sólo si rang(f) = dim(W ).

c. dim (img (f)) = rang (f)

Diremos que dos espacios vectoriales cualesquiera son isomorfos si podemos encontrar unisomorfismo entre ellos. Para que esto ocurra entre espacios vectoriales de dimensión finita ladimensión de ambos debe ser la misma.

Teorema 4 Dado cualquier número natural cualquiera n todos los espacios vectoriales de di-mensión n sobre un mismo cuerpo son isomorfos.

4.5 Cambio de base para aplicaciones lineales

Supongamos que tenemos dos bases de un espacio vectorial V

BC = {e1, e2, ..., en} base canónicaB1 = {u1, u2, ..., un}

Dado cualquier vector w ∈ V lo podemos expresar como una combinación lineal de cadauna de las bases:

x1e1 + x2e2 + ...+ xnen = w = x01u1 + x02u2 + ...+ x0nun (1)

donde (x1, x2, ..., xn) son las coordenadas dew en la baseBC y (x01, x02, ..., x

0n) son las coordenadas

de w en la base B1.

Sabemos además que:

u1 = u11e1 + u21e2 + ...+ un1en

u2 = u12e1 + u22e2 + ...+ un2en...

un = u1ne1 + u2ne2 + ...+ unnen


Esto último se puede expresar en forma matricial como:

¡u1 u2 ... un

¢=¡e1 e2 ... en

¢⎛⎜⎜⎜⎝

u11 u12 ... u1nu21 u22 ... u2n...

...un1 un2 ... unn

⎞⎟⎟⎟⎠ (2)

donde

U =

⎛⎜⎜⎜⎝u11 u12 ... u1nu21 u22 ... u2n...

...un1 un2 ... unn

⎞⎟⎟⎟⎠(1) puede escribirse matricialmente como:

¡e1 e2 ... en

¢⎛⎜⎜⎜⎝

x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ = w =¡u1 u2 ... un

¢⎛⎜⎜⎜⎝

x01x02...x0n

⎞⎟⎟⎟⎠pero a través de (2) tenemos que

¡e1 e2 ... en

¢⎛⎜⎜⎜⎝

x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ =¡e1 e2 ... en

¢⎛⎜⎜⎜⎝

u11 u12 ... u1nu21 u22 ... u2n...

...un1 un2 ... unn

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝

x01x02...x0n

⎞⎟⎟⎟⎠luego tenemos entonces que⎛⎜⎜⎜⎝

x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝u11 u12 ... u1nu21 u22 ... u2n...

...un1 un2 ... unn

⎞⎟⎟⎟⎠⎛⎜⎜⎜⎝

x01x02...x0n

⎞⎟⎟⎟⎠ (3)

es decir, U es la matriz que nos permite pasar coordenadas de la base B1 a coordenadas de labase canónica BC.

U = CBCB1

A través de (3) también vemos que U−1 = CB1BCnos permite pasar coordenadas de la base

canónica BC a coordenadas de la base B1.Supongamos ahora que tenemos dos bases ninguna de las cuales es la canónica.

B1 = {u1, u2, ..., un}B2 = {v1, v2, ..., vn}

al igual que antes tenemos ahora que la matriz V = CBCB2nos permiten pasar de B2 a la canónica

BC y V −1 = CB2BCnos permite pasar de la canónica a la base B2.


Supongamos que las coordenadas de un vector w en la base B1 son (x1, x2, ..., xn) y queremossaber cuáles son sus coordenadas en la base B2, (x

01, x

02, ..., x

0n). Por lo visto anteriormente

tenemos que para pasar de la base B1 a la canónica hay que multiplicar por U , de este modotenemos que

U

⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠son las coordenadas de w en la base canónica. Ahora para pasar de la canónica a B2 tenemosque multiplicar por (V −1), de este modo tenemos que

¡V −1

¢U

⎛⎜⎜⎜⎝x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎜⎝x01x02...x0n

⎞⎟⎟⎟⎠Acabamos de probar de este modo que la matriz que permite pasar de coordenadas de B1

a coordenadas de B2 es , V −1U = CB2BC

CBCB1.

Si queremos pasar deB2 aB1 es simplemente multiplicar por la inversa (V −1U)−1= U−1V =

CB1BC

CBCB2: ⎛⎜⎜⎜⎝

x1x2...xn

⎞⎟⎟⎟⎠ =¡U−1

¢V

⎛⎜⎜⎜⎝x01x02...x0n

⎞⎟⎟⎟⎠Veamos a continuación como realizar un cambio de base cuando trabajamos con aplicaciones

lineales.Sea f una aplicación lineal que va del espacio vectorial V al espacio vectorial W . Sea BV 1

una base de V , BW1 una base de W y MBW1BV 1

la matriz asociada a la aplicación lineal respectode las bases BV 1 y BW1.

Consideremos a continuación otras dos bases de ambos espacios vectoriales, BV 2 base de Vy BW2 base de W . En este caso la matriz asociada a la aplicación lineal seráM

BW2BV 2

. Queremossaber la relación que existe entre ambas matrices.

Sea CBV 1BV 2

matriz de cambio de base de BV 2 a BV 1 y CBW1BW2

la matriz de cambio de base deBW2 a BW1, de manera que la relación entre las matrices asociadas a la aplicación lineal segúnla base considerada es la siguiente:

MBW2BV 2

= (CBW1BW2

)−1 ·MBW1BV 1

· CBV 1BV 2

(relacionar matrices con aplicaciones lineales)


4.6 EJERCICIOS:

1. Estudiar cuáles de las siguientes aplicaciones son lineales entre los espacios vectorialesdados:

(a) f(x, y, z) = (x+ y, z) sol. si

(b) f(x, y) = (x+ y, 0) sol. si

(c) f(x, y) = (x, y + 2) sol. no

(d) f :M2×2(R)→M2×1(R) f(A) = AB donde B =µ

1−1

¶sol. si

(e) f :M2×2(R)→M2×2(R), f(A) = A+B donde B ∈M2×2 es fija. sol. no

(f) f :M2×2(R)→M2×2(R), f(A) = AB −BA donde B ∈M2×2 es fija. sol. si

(g) f : Pn(x)→ Pn(x), f(p(x)) = p(x+ 1). sol. si

(h) f : Pn(x)→ Pn(x), f(p(x)) = p(x) + 1. sol. no

2. Sea f : V → W una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W . Demostrarlas siguientes proposiciones:

(a) La imagen del elemento neutro de V mediante f es el elemento neutro de W , esdecir, f(0V ) = 0W .

(b) La imagen mediante F del opuesto de un elemento v ∈ V es el opuesto de f(v), esdecir, f(−v) = −f(v).

(c) La imagen mediante f de cualquier subespacio de V es un subespacio vectorial deW .

(d) La imagen mediante una aplicación lineal de un subespacio vectorial de dimensiónk es un subespacio vectorial de dimensión no superior a k.

(e) Sea B = e1, e2, ..., en una base del espacio vectorial V y sean w1, w2,...,wn, n vec-tores cualesquiera del espacio vectorial W . En estas condiciones, existe una únicaaplicación lineal f de V a W tal que:

f(ej) = wj, j = 1, 2, ..., n

3. Comprobar si son aplicaciones lineales las siguientes funciones y en caso afirmativo cal-cular el núcleo y la imagen:

(a) f : R2 → R, dada por f(x, y) = 2x− 5y(b) f : R2 → R3, dada por f(x, y) = (y, x, x+ y)

(c) f : R4 → R3, dada por f(x, y, z, t) = (x− y + z, t,−x+ y − z + t)

(d) f : R→ R4, dada por f(x) = (x, 1, 2x,−x)

4. Sea f : R3 → R3 dada por f(x, y, z) = (x + y, z, x + z). Encontrar la matriz de f conrespecto a la base canónica. Hallar la imagen mediante f de los siguientes subespaciosvectoriales de R3.


(a) V1 = {(x, y, z) ∈ R3|x+ y + z = 0}(b) V2 = {(x, y, 0)|x, y ∈ R}(c) V3 = {(x, y, z) = t(1,−1, 1)|t ∈ R}

En cada caso indicar la dimensión del subespacio y la dimensión de su imagen mediantef .

5. Sea la aplicación lineal f : R3 → R2 definida como f(x, y, z) = (x− y, x+ z).

(a) Probar que f es una aplicación lineal.

(b) Determinar las ecuaciones paramétricas y cartesianas del núcleo y de la imagen.

(c) Encontrar una base del núcleo y otra de la imagen.

(d) Comprobar que se verifica el teorema de la dimensión núcleo-imagen.

(e) Clasificar f .

6. Sea f : R3 → R3 la aplicación lineal definida por:

f(e1) = 3e1 − 2e2 + e3, f(e2) = e1 + e2, f(e3) = 2e1 − 3e2 + e3

Calcular:

(a) Matriz de la aplicación lineal.

(b) Ecuaciones de f .

(c) Ecuaciones paramétricas y cartesianas del núcleo y de la imagen.

7. Dadas las aplicaciones f : R2 → R2 y g : R2 → R2, definidas por f(x, y) = (x + y, x) yg(x, y) = (2x, 3x− y), calcular las expresiones algebráicas y matriciales de g ◦ f , f ◦ g yf + g.

8. Seaµ1 0 −12 −3 −1

¶la matriz de una aplicación lineal de R3 en R2. Calcular:

(a) Expresión algebráica de f .

(b) f(−1, 2, 3).(c) Estudiar si existe algún vector (x, y, z) cuya imagen sea el vector (1,−1).(d) Ecuaciones paramétricas y cartesianas del núcleo y de la imagen

(e) Comprobar que se verifica el teorema núcleo-imagen.

(f) Clasificar f .

(g) Calcular la matriz de f respecto de las bases:

B = {(1, 0, 1), (0, 0,−1), (2, 1, 1)}de R3

B0 = {(1, 0), (1, 1)}de R2


9. Dada la aplicación lineal f : R3 → R3 cuya matriz respecto de la base canónica de R3 es⎛⎝ 2 1 1α 2 26 3 β

⎞⎠. Clasificar f según los distintos valores de α y β.10. Demostrar que si S = {x1, x2, ..., xn} son linealmente independientes, entonces {f(x1),

f(x2), ..., f(xn)} son linealmente independientes si y sólo si f es inyectiva.

11. Describir el núcleo y la imagen de las siguientes aplicaciones lineales, indicando si soninyectivas, sobreyectivas o biyectivas:

(a) MB :M2×2 →M2×2 donde MB(A) = AB con B =

µ1−1

¶.

(b) La aplicación derivación de Pn(x) en Pn−1(x).

12. Sea f : R3 → R3 la aplicación lineal definida por

f(u1, u2, u3) = (u1 − u2 + 2u3, u1 + 3u2)

y las bases B1 = {(1, 0,−1), (2, 1, 0), (0, 1, 1)} y B2 = {(−2, 1), (1,−1)} de R3 y R2respectivamente. Calcular:

(a) Matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R3 y R2.(b) Matriz asociada a f respecto de la base B1 de R3 y la canónica de R2.(c) Matriz asociada a f respecto de la base canónica de R3 y la base B2 de R2.(d) Matriz asociada a f respecto de la base B1 de R3 y la base B2 de R2.

13. Sea f : R3 → R3 la aplicación lineal definida por

f(u1, u2, u3) = (u1 − u2 + u3, 4u2 − u3, u1 + u2 + 5u3)

B = {(1, 2, 1), (3, 1, 0), (−1, 3, 1)} base de R3 y el vector v ∈ R3 de coordenadas (-1,1,1)en la base B. Calcular:

(a) Las coordenadas del vector f(v).

(b) Las coordenadas de f(v) respecto de la base B.

14. Sea f : R2 → R4 la aplicación lineal tal que

f(3,−5) = (1, 1, 1, 1)

f(−1, 2) = (2, 1, 0,−2)Calcular:

(a) Hallar la expresión de la aplicación f , es decir, dado un vector v ∈ R2 determinarf(v).


(b) Hallar la matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R2 y R4.(c) Determinar el subespacio imagen de la aplicación lineal f y su dimensión.

15. Sea la aplicación f definida por:

f(u1) = f(1, 0, 0) = (1, 2)f(u2) = f(1, 1, 0) = (1, 1)f(u3) = f(1, 1, 1) = (0, 2)

Donde se considera la siguiente base de R3, BR3 = {u1, u2, u3}. Hallar:

(a) Matriz asociada a f respecto de las bases BR3 y la canónica de R2.(b) Matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R3 y R2.

16. Se define una aplicación f por:

f(e1) = f(1, 0) = (1, 2, 0,−1)f(e2) = f(0, 1) = (0, 1,−1, 0)

Sabiendo que las coordenadas de f(e1) y f(e2) están referidas a la base BR4 = {v1 =(1, 0, 0, 0), v2 = (1, 1, 0, 0), v3 = (1, 1, 1, 0), v4 = (1, 1, 1, 1)}. Calcular:

(a) Matriz asociada a f referida a la base canónica de R2 y BR4.(b) Matriz asociada a f referida a las bases canónicas de R2 y R4.(c) f(1,−2) en las canónicas de R2 y R4.

17. Seaµ1 0 −12 −3 −1

¶la matriz de una aplicación lineal de R3 en R2. Calcular:

(a) Expresión algebráica de f .

(b) f(−1, 2, 3).(c) Estudiar si existe algún vector (x, y, z) cuya imagen sea el vector (1,−1).(d) Ecuaciones paramétricas y cartesianas del núcleo y de la imagen.

(e) Clasificar f .

(f) Calcular la matriz de f respecto de las bases:

B = {(1, 0, 1), (0, 0,−1), (2, 1, 1)}

B0 = {(1, 0), (1, 1)}

18. Dada la aplicación lineal f : R3 → R3 dada por sus ecuaciones:

f(x, y, z) = (z − y, 2x− 2z, y − x)

Calcular:


(a) Matriz asociada respecto de las base canónica de R3.(b) Transformado del vector (1,0,-2).

(c) Calcular el núcleo y la imagen de f .

19. Sean las aplicaciones f : R4 → R2, f(x, y, z, t) = (x + y, z + t) y g : R2 → R3, g(x, y) =(2x, 2y, x + y). Calcular si es posible las matrices asociadas a las aplicaciones (f ◦ g) y(g ◦ f) referidas a las bases canónicas.

20. Sea la aplicación f definida por:

f(u1) = f(1, 0, 0) = (1, 2)f(u2) = f(1, 1, 0) = (1, 1)f(u3) = f(1, 1, 1) = (0, 2)

Donde se considera la siguiente base de R3, BR3 = {u1, u2, u3}. Hallar:

(a) Matriz asociada a f respecto de las bases BR3 y la canónica de R3.(b) Matriz asociada a f respecto de las bases canónicas de R3 y R2.

21. Se define una aplicación f por:

f(e1) = f(1, 0) = (1, 2, 0,−1)f(e2) = f(0, 1) = (0, 1,−1, 0)

Sabiendo que las coordenadas de f(e1) y f(e2) están referidas a la base BR4 = {v1 =(1, 0, 0, 0), v2 = (1, 1, 0, 0), v3 = (1, 1, 1, 0), v4 = (1, 1, 1, 1)}. Calcular:

(a) Matriz asociada a f referida a la base canónica de R2 y BR4.(b) Matriz asociada a f referida a las bases canónicas de R2 y R4.(c) Matriz asociada a f referida a la base BR2 = {w1 = (1, 1), w2 = (2, 1)} de R2 y BR4.(d) Matriz asociada a f referida a la base BR2 y a la canónica de R4.(e) f(1,−2) en BR2 y la canónica de R4.(f) f(1,−2) en BR2 y BR4 .

22. Clasificar el endomorfismo f(x, y, z) = (2x, 4x− y, 2x+3y− z). Encontrar las ecuacionesalgebráicas de f−1, f2 y f−2 en los casos que sea posible.

23. La empresa IMAGE DEVELOPMENT COMPANY, I.D.C., fabrica en su planta deZaragoza tres tipos de televisores: de 14, 21 y 25 pulgadas. Los almacenes principalesse encuentran en Madrid, Barcelona, Vigo y Sevilla. Las ventas durante el año 1996 dealmacén de Madrid se cifraron en 400, 100 y 500 televisores de 14, 21 y 25 pulgadasrespectivamente; las del almacén de Barcelona en 300, 150 y 400; las del almacén de Vigoen 100, 100 y 200 y las del almacén de Sevilla en 200, 150 y 300. Los precios de ventade los televisores en 1996 fueron de 25.000 ptas. para los de 14 pulgadas, de 50.000 ptas.para los de 20 pulgadas y 80.000 ptas. para los de 25 pulgadas. Se pide:


(a) Expresar las ventas de la empresa mediante una matriz A de orden 4× 3.(b) Expresar mediante un vector x columna el precio de cada tipo de televisor.

(c) Interpreta el significado de Ax.

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