tema3-calculo-diferencial

Prof. Susana López 1

Universidad Autónoma de Madrid

Tema 3: Cálculo diferencial

1 Cálculo diferencial de funciones de una variable Real

Cuando estudiamos función del tipo y = f (x), nos gustaría saber cómo varía la variabledependiente y cuando varía la variable x. Esto es equivalente a estudiar la inclinación de lagráfica de la función en un punto determinado. Sabemos que cuando tenemos la ecuación deuna recta y = ax+ b, el número a no sólo nos indica la pendiente de la recta, es decir, el gradode inclinación de la misma, sino que también nos indica cuánto varía la variable y cuando varíala variable x una unidad. Cuanto mayor sea a mayor será la variación de la variable y y cuantomenor sea a más insensible será la variable y ante cambio en la variable x.Pero, ¿cómo medir la inclinación de la gráfica de una función cualquiera en un punto de-

terminado? Una respuesta a esta pregunta es definir la inclinación de una curva en un puntocomo la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.

1 2 3 4 5

-50

-25

25

50

75

100

125

Recta tangente en x = 3

¿Cómo calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto x0? Como se puedeobservar en el dibujo la recta tangente no es más que el límite de rectas secantes que pasan porel punto (x0, f (x0)) .

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 1 2 3x

Recta tangente como límite de rectas secantes


Consideremos el siguiente gráfico:

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 1 2 3x

Recta tangente como límite de rectas secantes

Vamos a calcular cual es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (x0, f (x0)) .Para ello consideramos la recta secante que pasa por los puntos (x0, f (x0)) y (x0 + h, f (x0 + h)) .La pendiente de la recta secante no es más que:

f (x0 + h)− f (x0)

x0 + h− x0=

f (x0 + h)− f (x0)

h

La pendiente de la recta tangente será el límite del cociente anterior cuando h se hace cadavez más pequeño, y si ese límite existe lo definiremos como derivada de f en el punto x0 y lodenotaremos por f 0 (x0) , también diremos que f es diferenciable en x0,

f 0 (x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

Si f es diferenciable en todos los puntos de su dominio diremos entonces que la función esdiferenciable.La recta tangente que pasa por el punto (x0, f (x0)) tiene por ecuación:

y = f (x0) + f 0 (x0) (x− x0)


1.1 Tasas de variación y su significado económico

Supongamos que los rendimientos de dos activos X e Y están relacionados por la siguientefunción y = f (x), es decir, cuando el activo X ofrece un rendimiento de a unidades el activoY ofrece un rendimiento de f (a) unidades. Si el rendimiento del activo X se incrementa enh unidades el incremento o decremento en el rendimiento del activo Y será f (a+ h). Lavariación del rendimiento del activo Y con relación a la variación del rendimiento del activo Xse denomina tasa de variación media de f en el intervalo [a, a+ h] y es igual a:

f (a+ h)− f (a)

h= tasa de variación media

Si hacemos que el incremento de variación, h, sea cada vez menor de tal modo que llegue aser cero lo que obtendremos será la tasa de variación instantánea:

f 0 (a) = limh→0

f (a+ h)− f (a)

h= tasa de variación instantánea

1.2 Reglas de derivación

Si f y g son dos funciones diferenciables entonces también lo será F (x) = f (x) + g (x) yG (x) = f (x)− g (x) :

F 0 (x) = f 0 (x) + g0 (x)

G0 (x) = f 0 (x)− g0 (x)

Si f y g son dos funciones diferenciables y g (x) 6= 0 para todo x ∈ Dom (g) entoncesH (x) = f (x) · g (x) y P (x) = f(x)

g(x)también son diferenciables:

H 0 (x) = f 0 (x) · g (x) + f (x) · g0 (x)

P 0 (x) =f 0 (x) · g (x)− f (x) · g0 (x)

[g (x)]2

Regla de la cadena Si f y g son dos funciones diferenciables entonces también lo seráF (x) = (f ◦ g) (x) :

F 0 (x) = f 0 (g (x)) · g0 (x)


Reglas de derivación Damos a continuación una lista de reglas de derivación.

Ejemplosf (x) = a constante f 0 (x) = 0 f (x) = 3 f 0 (x) = 0f (x) = xn f 0 (x) = nxn−1 f (x) = x4 f 0 (x) = 4x3

f (x) = sinx f 0 (x) = cosxf (x) = cosx f 0 (x) = − sinxf (x) = tanx f 0 (x) = 1 + tan2 x = 1

cos2 x

f (x) = lnx f 0 (x) = 1x

f (x) = ex f 0 (x) = ex

f (x) = ag (x) f 0 (x) = ag0 (x) f (x) = 3 cosx f 0 (x) = −3 sinxf (x) = gn (x) f 0 (x) = ngn−1 (x) g0 (x) f (x) = (2x− 3)3 f 0 (x) = 3 (2x− 3)2 2f (x) = ln g (x) f 0 (x) = g0(x)

g(x)f (x) = ln (x3 − 3x+ 2) f 0 (x) = 3x2−3

(x3−3x+2)f (x) = eg(x) f 0 (x) = g0 (x) eg(x) f (x) = esinx f 0 (x) = cosxesinx

1.2.1 Derivación logarítmica

Supongamos que g (x) y h (x) son diferenciables, entonces también lo son f (x) = ag(x) yf (x) = h (x)g(x) . ¿ Cómo calculamos las derivadas de estas funciones?Por ejemplo, consideremos f (x) = ag(x), si tomamos logaritmos en ambos lados de la

igualdad obtenemos:ln f (x) = ln ag(x) = g (x) ln a

derivando en ambos lados de la igualdad:

f 0 (x)

f (x)= g0 (x) ln a

despejando f 0 (x) :f 0 (x) = f (x) g0 (x) ln a = ag(x)g0 (x) ln a

Ejemplo 1

f (x) = 3x2

=⇒ f 0 (x) = 2x3x2ln 3

Si consideramos a continuación f (x) = h (x)g(x) , de nuevo tomando logaritmos en amboslados tenemos:

ln f (x) = lnh (x)g(x) = g (x) lnh (x)

derivando en ambos lados de la igualdad:

f 0 (x)

f (x)= g0 (x) lnh (x) + g (x)

h0 (x)

h (x)

despejando f 0 (x) :

f 0 (x) = h (x)g(x)∙g0 (x) lnh (x) + g (x)

h0 (x)

h (x)

¸


Ejemplo 2

Si consideramos la función f (x) = (3 sinx+ x2)x2 aplicando la fórmula anterior tenemos

que la derivada de la función es

f 0 (x) =¡3 cosx+ x2

¢x2 ∙2x ln

¡3 cosx+ x2

¢+ x2

3 cosx+ 2x

3 sinx+ x2

¸


Ejercicios:

1. Derivar las funciones siguientes:

f (x) = x3 + 2x− 3 f (x) = ln (ex + 1) f (x) = ln (lnx)

f (x) =√x2 − 3 f (x) = 2x−3

x−1 f (x) = ln¡√

x2 + 1¢

f (x) = esinx3

f (x) = ex3lnx2 f (x) = x ln (x+ 1)

f (x) = ln (cosx sinx) f (x) = 3(2x−2)2

f (x) = elnx2

f (x) = cos2 x f (x) = cos (x3 − 2x+ 2)3 f (x) = (cos 3x)2

f (x) = ln (x3 − 4x2 + 5)2 f (x) =3√x2 f (x) = (2x− 3)x2−1

2. Hallar la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de las siguientes curvasen los puntos que se indican:

(a) f (x) = 3x+ 2 en (0, 2)

(b) f (x) = x2 − 1 en (1, 0)(c) f (x) = x3 − 2x en (1, 1)(d) f (x) = 3

x+ 2 en (3, 3)

(e) f (x) = sin (3x+ 2) en¡−23, 0¢

(f) f (x) = ln (3x2 − 2) en (1, 0)(g) f (x) = x4 − cosx en (0,−1)

3. El número de personas que ven cierta serie de televisión que lleva varios años en antenase aproxima a la función:

N (x) = (60 + 2x)2/3 1 ≤ x ≤ 26

donde N (x) (medido en millones) denota el número de espectadores semanales de la serieen la semana x. Hallar la razón de incremento de la audiencia semanal al final de lasegunda semana y al final de la semana 12. ¿Cuántos espectadores había en la semana 2y 24?

4. Un controlador aéreo detecta dos aviones que vuelan en trayectorias perpendiculares y ala misma altura. Uno de ellos dista 150 km de la torre de control y se mueve a 450 km/h.El otro está a 200 km y se desplaza a 600 km/k.

(a) ¿A qué ritmo decrece la distancia entre los dos aviones?

(b) ¿De cuánto tiempo dispone el controlador para ordenar a uno de ellos que cambiesu ruta?


2 Optimización en una variable

2.1 Función creciente y decreciente

Diremos que una función f es creciente cuando para todo x, y ∈ Dom (f) con x ≤ y se verificaque f (x) ≤ f (y) . Diremos que es estrictamente creciente si f (x) < f (y) .

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

1 2 3 4 5x

f (x) = lnx

Cuando una función es creciente tenemos entonces que para todo h > 0, f (x+ h) ≥ f (x) ,por tanto, f (x+ h)− f (x) ≥ 0, de manera que el límite siguiente es positivo

f 0 (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)

h≥ 0

De este modo vemos que buscar las zonas de crecimiento de una función se reduce a buscar lasregiones del dominio de la función f donde su derivada es positiva.

Diremos que una función f es decreciente cuando para todo x, y ∈ Dom (f) con x ≤ y severifica que f (x) ≥ f (y) . Diremos que es estrictamente decreciente si f (x) > f (y) .

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 -0.5 0 0.5 1x

y = e−x


Cuando una función es decreciente tenemos entonces que para todo h > 0, f (x+ h) ≤ f (x) ,por tanto, f (x+ h)− f (x) ≤ 0, de manera que el límite siguiente es negativo

f 0 (x) = limh→0

f (x+ h)− f (x)

h≤ 0

De este modo vemos que buscar las zonas de crecimiento de una función se reduce a buscar lasregiones del dominio de la función f donde su derivada es negativa.

2.2 Máximos, mínimos

Diremos que a ∈ Dom (f) es un máximo de la función f si f (a) ≥ f (x) para todo x ∈ Dom (f).En el caso de un punto máximo la función pasa de ser creciente a decreciente, por tanto la

función derivada de la función f 0 (x) para de ser positiva a negativa, de manera que en el puntomáximo la derivada necesariamente tiene que ser cero.Diremos que b ∈ Dom (f) es un máximo de la función f si f (b) ≤ f (x) para todo x ∈

Dom (f).En el caso de un punto mínimo la función pasa de ser decreciente a creciente, por tanto la

función derivada de la función f 0 (x) para de ser negativa a positiva, de manera que en el puntomínimo la derivada necesariamente tiene que ser cero.

-1

-0.5

0

0.5

1

-4 -2 2 4x

y = sinx

Teorema 1 Sea f una función diferenciable en x0 ∈ Dom (f), si x es un máximo o mínimo dela función entonces

f 0 (x0) = 0

Sigamos razonando. En el caso de que la función sea dos veces diferenciable en un puntomáximo, la pendiente de la función cerca de dicho punto pasa de ser creciente a decreciente,es decir, la pendiente de la función es decreciente en un entorno del punto x0. Como ya hemosmencionado anteriormente, al ser la función f 0 (x) es decreciente en un entorno de x0, se tendráentonces que f 0 (x0) ≤ 0.De modo similar si en x0 existe un mínimo de la función entonces f 0 (x0) ≥ 0.


y = cosx

-1

-0.5

0

0.5

1

-4 -2 2 4x

f (x) = sinx y f 0 (x) = cosx

2.2.1 Cálculo de máximos y mínimos de una función

A continuación resumimos los pasos que hay que realizar para calcular los máximos y mínimosde una función.Dada una función f (x)

1. Resolvemos f 0 (x) = 0, las raíces de esta ecuación serán los candidatos a máximo o mínimo.

2. Sea x0 ∈ Dom (f) tal que f 0 (x0) = 0. Calculamos f 00 (x)

(a) Si f 00 (x0) < 0 entonces en x0 existe un máximo de la función

(b) Si f 00 (x0) > 0 entonces en x0 existe un mínimo de la función

(c) Si f 00 (x0) = 0 entonces calculamos f 000 (x) y⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

si f 000 (x0) 6= 0 en x0 existe un punto de inflexiónsi f 000 (x0) = 0 entonces⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

si f (4) (x0) < 0 entonces en x0 existe un máximo de la funciónsi f (4) (x0) > 0 entonces en x0 existe un mínimo de la funciónsi f (4) (x0) = 0 entonces calculamos f (5) (x) y⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩si f (5) (x0) 6= 0 en x0 existe un punto de inflexiónsi f (5) (x0) = 0 en x0 calculamos f (6) (x) y⎧⎨⎩ si f (6) (x0) < 0 entonces en x0 existe un máximo de la funciónsi f (6) (x0) > 0 entonces en x0 existe un mínimo de la funciónsi f (6) (x0) = 0...


2.3 Concavidad y convexidad

Diremos que una función es convexa en un entorno I = [a, b] ⊂ Dom (f) si la recta que unelos puntos f (a) y f (b) se encuentra por encima de la curva.Si nos damos cuenta la pendiente de la función en el intervalo I crece a medida que nos

desplazamos a la derecha del intervalo, eso quiere decir que la función f 0 (x) que mide lapendiente de la función f (x) es creciente, y por tanto f 00 (x) ≥ 0.

-5

0

5

10

15

20

25

-1 1 2 3 4 5x

f (x) = x2 + 4 intervalo I = [1, 4]

Por tanto, buscar las zonas donde la función sea convexa es equivalente a buscar los intervalosdonde f 00 (x) ≥ 0.De modo equivalente, diremos que una función es cóncava en un entorno I = [a, b] ⊂

Dom (f) si la recta que une los puntos f (a) y f (b) se encuentra por debajo de la curva.

-4

-2

0

2

4

-3 -2 -1 1 2 3x

f (x) = −x2 + 4 intervalo I = [−2, 1]

De nuevo nos damos cuenta que la pendiente de la función en el intervalo I decrece a medidaque nos desplazamos a la derecha del intervalo, eso quiere decir que la función f 0 (x) que midela pendiente de la función f (x) es decreciente, y por tanto f 00 (x) ≤ 0.Por tanto, buscar las zonas donde la función sea cóncava es equivalente a buscar los intervalos

donde f 00 (x) ≤ 0.Los puntos donde la función cambia de cóncava a convexa o viceversa se denominan puntos

de inflexión.


-20

-10

0

10

20

-4 -2 2 4x

f (x) = x3 + 3 punto de inflexión x = 0

Por tanto un punto de inflexión x0 ∈ Dom (f) es un punto donde la función no es concavani convexa, es decir, la segunda derivada de la función no es positiva ni negativa, por tanto seránula

f 00 (x0) = 0.

De manera que al buscar los puntos de inflexión buscaremos aquellos puntos que anulan lasegunda derivada. Si la primera o tercera derivada de la función en estos puntos no se anulaentonces tendremos un punto de inflexión.

f 0 (x0) 6= 0 y f 00 (x0) = 0 =⇒ x0 es un punto de inflexión

f 0 (x0) = 0, f 00 (x0) = 0 y f000(x0) 6= 0 =⇒ x0 es un punto de inflexión


Ejercicios:

1. La filial en México de la compañía Thermo-Master fabrica un termómetro para interioresy exteriores. La gerencia estima que la ganancia que puede lograr la compañía por lafabricación y ventqa de x unidades de termómetros por semana es

P (x) = −0.01x2 + 8x− 5000Euros. Encontrar los intervalos donde la función de ganancia es creciente y los intervalosdonde es decreciente.

2. El coste medio, en Euros, de la producción de x discos de larga duración en la compañíade discos Lincoln está dado por

C̄ (x) = −0.0001x+ 2 + 2000x

0 < x < 6000

Mostar que C̄ (x) siempre es decreciente en el intervalo (0, 6000) .

3. Las ganancias mensuales estimadas que pueden alcanzar la compañía Cannon por lafabricación y venta de x unidades de su cámara modelo M1 es:

P (x) = −0.04x2 + 240x− 10000Euros ¿Cuántas cámaras debe producir Cannon cada mes para maximizar sus ganancias?

4. La década de los 80 vio una tendencia hacia detenciones de corte antiguo, opuestas a laspolíticas penales más liberales y las correcciones con base en la comunidad, populares enla década de los 60 y principios de los 70. Como resultado, las prisiones se sobrepoblarony se amplió la brecha entre el número de reclusos y la capacidad de las prisiones. Con baseen las cifras del Departamento de Justicia de Estados Unidos, el número de prisioneros(en miles) en las cárceles federales y estatales es aproximado mediante la función

N (t) = 3.5t2 + 26.7t+ 436.2 0 ≤ t ≤ 10donde t se mide en años y t = 0 corresponde a 1984. El número de reclusos para los quefueron diseñadas las cárceles está dado por

C (t) = 24.3t+ 365 0 ≤ t ≤ 10donde C (t) se mide en miles y t tienen el mismo significado anterior. Mostrar que ladiferencia entre el número de prisioneros y la capacidad carcelaria se ha reducido a cadainstante t.

5. Las ventas totales S, en miles de Euros, de la corporación de instrumentos de precisiónCannon se relaciona con la cantidad de dinero x que Cannon gasta en la publicidad desus pruductos mediante la función

S (x) = −0.002x3 + 0.6x2 + x+ 500 0 ≤ x ≤ 200donde x se mide en miles de Euros. Determinar el punto de inflexión de la función S yanalizar su significado.


6. Como resultado del mayor coste de la energía, la tasa de crecimiento de las gananciasde la compañía Venice, con cuatro años de antigüedad, ha comenzado a declinar. Lagerencia de Venice, después de consultar a expertos en energía, decide implantar ciertasmedidas de conservación de la energía para reducir la cuenta de la misma. El directorgeneral indica que, de acuerdo con sus cálculos, la tasa de crecimiento de las ganancias deVenice deberá incrementarse de nuevo dentro de cuatro años. Si las ganancias de Venice(en cientos de Euros) dentro de x años están dadas por la función

P (x) = x3 − 9x2 + 40x+ 50 0 ≤ x ≤ 8

determinar si la predicción del director general es precisa.

7. Un estudio de eficiencia realizado para la compañía de aparatos eléctricos Elektra mostróque el número de walkie-talkies Space Commander ensamblados por el trabajador prome-dio t horas después de iniciar su jornada de trabajo a las 8 a.m. está dado por

N (t) = −t3 + 6t2 + 15t 0 ≤ t ≤ 4

¿En qué momento del turno matutino trabaja el obrero con su máxima eficacia?

8. Una caja de base cuadrada y parte superior abierta debe contener un volumen de 32000cm3. Encontrar las dimensiones de la caja que minimice la cantidad de material usado.

9. Determinar el nivel de producción que maximiza el beneficio de una compañía que poseecomo función de costes y función precio por unidades demandadas:

C (x) = 84 + 1.26x− 0.01x2 + 0.00007x3 y p (x) = 3.5− 0.01x

10. Por experiencia, el gerente de un complejo de apartamentos de 100 unidades sabe que seocuparán todas si la renta es de 400 Euros al mes. Una investigación del mercado sugiereque, en promedio, quedará una unidad adicional vacía por cada incremento de 5 Eurosen la renta. ¿Cuánto debe cargar el gerente por renta para maximizar el ingreso?

11. Se ha estimado que la producción total de petróleo de cierto pozo petrolero etá dada por

T (t) = −1000 (t+ 10) e−0.1t + 10000

miles de barriles t días después de iniciar su producción. ¿En qué año el pozo estaráproduciendo a su máxima capacidad?

12. El valor presente de una propiedad adquirida por un inversor está dado por la función

P (t) = 80000e√t2−0.09t 0 ≤ t ≤ 8

donde P (t) se mide en Euros y t es el tiempo en años desde el presente. Determinar eltiempo óptimo para que el inversor venda la propiedad. ¿Cuál es el valor presente óptimode la propiedad?


3 Teorema del Valor Medio

Supongamos que queremos evaluar el siguiente límite

limx→0

ex − 1x

no podemos usar directamente los límites para trabajar con este ejemplo ya que el límite deldenominador es cero. Para calcular este límite es útil un teorema conocimo como la Regla deL’Hôpital que establece que, bajo ciertas condiciones, el límite del cociente de dos funcionesf(x)g(x)

coincide con el límite del cociente de sus derivadas:

f 0 (x)

g0 (x)

Su demostració utiliza el resultado conocido como Teorema general del valor interme-dio.

Teorema 2 (Teorema de Rolle) Si f es continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b), y f(a) =f (b) entonces existe un número c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema 3 (Teorema del valor medio) Si f es continua sobre [a, b] y derivable sobre (a, b),y f(a) 6= f (b) entonces existe un número c ∈ (a, b) tal que

f 0 (c) =f (b)− f (a)

b− a

Teorema 4 (Teorema general del valor medio) Si f y g son diferenciables en un intervaloabierto (a, b) y continuas en [a, b] y además g0 (x) 6= 0 para todo x ∈ (a, b) , existe algún puntoc ∈ (a, b) tal que

f 0 (c)

g0 (c)=

f (b)− f (a)

g (b)− g (a)

Teorema 5 (Regla de Lôpital) Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a, b)que contiene al punto x=c, excepto posiblemente en el punto c. Supongamos que g0 (x) 6= 0 paratodo x∈ (a, b) , excepto posiblemente en el punto c. Si el límite de f(x)

g(x)cuando x tiende a c

produce una forma indeterminada 0/0, entonces

limx→c

f (x)

g (x)= lim

x→c

f 0 (x)

g0 (x)

supuesto que el límite de la derecha existe o es infinito. Este resultado es válido también si ellímite de f(x)

g(x)produce cualquiera de las formas indeterminadas ±∞/±∞.


EJERCICIOS:

1. Calcular los límites siguientes:

a.limx→0

1−cosxx2

h. limx→∞

xln(1+2ex)

b.limx→0

cosmx−cosnxx2

i. limx→∞

x3e−xx2

c.limx→0

2x−sin−1 x2x+x tan−1 x j. lim

x→∞

¡x−√x2 − 1

¢d.lim

x→0e−x lnx k. lim

x→∞

¡1x− 1

ex−1¢

e.limx→0

1−cosxx2

l. limx→∞

xe1x − x

f.limx→0

sinxx3

m. limx→∞

(lnx)3

x2

g. limx→0

x+tanxsinx

n. limx→∞

ln(lnx)x

2. La fórmula para el capital producido por una inversión inicial P a una tasa r de interéwscompuesto n veces al año, tras t años, es

A = P³1 +

r

n

´ntProbar que la fórmula límite cuando n tiende a infinito es

A = Pert

3. Aplicar el teorema general del valor medio a las funciones f y g en el intervalo indicado.Encontrar los valores c en el intervalo (a, b) tales que:

f 0 (c) =f (b)− f (a)

b− a

(a) f (x) = x3, g (x) = x2 + 1, [0, 1]

(b) f (x) = sinx, g (x) = cosx,£0, π

2

¤4. Sean f y g continuas en [a, b] y derivables en (a, b). También f (a) = g (a) y f 0 (x) < g0 (x)cuando a < x < b. Demustre que f (b) < g (b). Sugerencia: aplicar el teorema del valormedio a la función h = f − g.

5. A las 2:00 p.m. el velocímitro del automóvil indica 30 millas/h. a las 2:10 p.m. indica50 millas/h. Demostrar que en algún momento entre las 2:00 y 2:10 la aceleración es 120millas/h, exactamente.

6. Dos corredores arracan al mismo tiempo en una competición y terminan empatados.Demuestre que en cierto momento de la carrera tuvieron la misma velocidad. Sugerencia,estudiar la función h = f − g donde f y g son las funciones posición de cada uno de loscorredores.


4 Cálculo diferencial de funciones reales de varias vari-ables

Supongamos a continuación la función f : R2 → R es una función de dos variables, y supong-amos que queremos saber cómo varía la función f (x, y) cuando varía la primera variable yla segunda permanece constante, de ese modo podríamos considerar la función de una solavariable

g1 (x) = f (x, y0)

sabemos por el cálculo en una variable que la tasa de cambio de la función g (x) en el puntox = x0

g01 (x0) = limh→0

g1 (x0 + h)− g1 (x0)

h= lim

h→0

f (x0 + h, y)− f (x0, y0)

h

si este límite existe, diremos que existe la derivada parcial de f (x, y) con respecto a la variablex en el punto (x0, y0).Del mismo modo podríamos calcular la tasa de variación de la función f (x, y) cuando varía

la segunda variable y la primera permanece contante, en ese caso tendríamos en cuenta lafunción

g2 (y) = f (x0, y)

y su función derivada:

g02 (y0) = limh→0

g2 (y0 + h)− g2 (y0)

h= lim

h→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h

si el límite existe lo denominaremos derivada parcial de f (x, y) con respecto a la variable y enel punto (x0, y0).

Definición 1 Sea f : D ⊂ R2 → R es una función de dos variables, definimos las funcionesderivadas parciales ∂f(x,y)

∂xy ∂f(x,y)

∂ycon respecto a la primera y segunda variable respectivamente

como

fx (x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂x= lim

h→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h

fy (x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂y= lim

h→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h

podemos de este modo formar el vector³∂f(x0,y0)

∂x, ∂f(x0,y0)

∂y

´que denominaremos vector gradi-

ente de f

∇f (x0, y0) =µ∂f (x0, y0)

∂x,∂f (x0, y0)

∂y

¶Las derivadas parciales también se definen para funciones de tres o más variables, de manera

que podemos generalizar el resultado anterior para funciones f : D ⊂ Rn → R y de este modotenemos que el gradiente de la función será:

∇f (x01, ..., x0n) =µ∂f (x01, ..., x0n)

∂x1, ...,

∂f (x01, ..., x0n)

∂xn

¶


Ejemplo:Si queremos calcular el vector gradiente de la función f (x, y, z) = exyz en el punto (1, 1, 0),

calculamos primero las derivadas parciales de la función:

∂f

∂x= yzexyz,

∂f

∂y= xzexyz,

∂f

∂z= xyexyz

de este modo obtenmos que el vector gradiente es de la forma

∇f (x, y, z) = (yzexyz, xzexyz, xyexyz)

por último, evaluamos el vector gradiente en el punto que nos indican.

∇f (1, 1, 0) = (0, 0, 1)

El gradiente de una función es muy importante ya que nos indica la dirección de máximocrecimiento de la función. Además el vector gradiente en un punto es perpendicular a la curvade nivel de la función que pasa por ese punto.

Ejemplo:Consideramos la función f (x, y) = x2 + y2, el vector gradiente es ∇f (x, y) = (2x, 2y) y

las curvas de nivel son de la forma x2 + y2 = c donde c ≥ 0, es decir, las curvas de nivel soncircunferencias concentricas de centro (0, 0) y radio

√c. Como se puede observar en el gráfico

el vector gradiente de la función en un punto es perpendicular a la curva de nivel a la quepertenece ese punto.


4.1 Plano tangente

Cuando tratamos con funciones de una variable podemos calcular la ecuación de la recta tan-gente a un punto perteneciente a la gráfica de la función, su equivalente cuando tratamos confunciones de dos variables es el plano tangente en un punto de la superficie que como sabemos,representa la gráfica una la función f (x, y).

Definición 2 Definimos el plano tangente a la gráfica de la función f : D ⊂ R2 → R en elpunto (x0, y0) como:

z = f (x0, y0) +∂f (x0, y0)

∂x(x− x0) +

∂f (x0, y0)

∂y(y − y0)

Ejemplo:Vamos a calcular el plano tangente al paraboloide elíptico f (x, y) = 2x2 + y2 en el punto

(1, 1, 3) .

∂f (x, y)

∂x= 2x,

∂f (x, y)

∂y= 2y

∂f (1, 1)

∂x= 4,

∂f (1, 1)

∂y= 2

Entonces la ecuación del plano tangente en el punto (1, 1, 3) viene dada por:

z = 3 + 4 (x− 1) + 2 (y − 1)z = 4x+ 2y − 3

52.50-2.5-5 52.50-2.5-5

75

50

25

0

-25

x

y

z

El plano tangente, cuando existe, es una buena aproximación lineal de la función en unpunto.

Ejemplo:La función g (x, y) = 4x+2y−3 se aproxima a la función f (x, y) = 2x2+y2 cerca del punto

(1, 1) .f (1.1, 1.1) = 3. 63 f (1, 0.9) = 10. 2 f (1.001, 0.9) = 28. 703g (1.1, 1.1) = 3. 6 g (1, 0.9) = 10. 08 g (1.001, 0.9) = 28. 264


4.2 Condiciones de diferenciabilidad y Matriz Jacobiana

En cálculo de una variable se muestra que si f es diferenciable entonces es continua. Estotambién es cierto para las funciones diferenciables de varias variables. Mientras que el recíprocosigue siendo falso.Cuando consideramos una función real de variable real, decir que la función es derivable en

un punto x0 es equivalente a decir que la recta tangente que pasa por el punto (x0, f (x0)) esuna buena aproximación a la gráfica de f (x) cuando x está próxima a x0.

limx→x0

|f (x)− f (x0)− f 0 (x0) (x− x0)||x− x0|

= 0

Lo mismo ocurre cuando tratamos con funciones de dos variables f : D ⊂ R2 → R. Decirque una función es diferenciable en (x0, y0) será equivalente a decir que el plano tangente a lafunción en (x0, y0) es una buena aproximación a la gráfica de la función cuando (x, y) estánpróximos a (x0, y0) .

Definición 3 Sea f : D ⊂ R2 → R, diremos que una función es diferenciable en el punto(x0, y0) ∈ D si existen las derivadas parciales ∂f

∂xy ∂f

∂yen (x0, y0) y si¯̄̄

f (x, y)− f (x0, y0) +∂f(x0,y0)

∂x(x− x0) +

∂f(x0,y0)∂y

(y − y0)¯̄̄

k(x, y)− (x0, y0)k→ 0

cuando (x, y)→ (x0, y0) .

Aplicar está definición para ver si una función es diferenciable en un punto puede ser enalgunos casos costosa. Pero tenemos el siguiente resultado que nos dan una condición suficientepero no necesaria para que la función sea diferenciable.

Teorema 6 Sea f : D ⊂ R2 → R. Supongamos que existen las derivadas parciales de f, y soncontinuas en un entorno del punto (x0, y0) . Entonces f es diferenciable en el punto (x0, y0) .

Para el caso general de funciones vectoriales f : Rn → Rm la diferencial de la función fviene representada por una matriz m× n también denominada matriz Jacobiana.

f (x1, x2, . . . , xn) = (f1 (x1, x2, . . . , xn) , f2 (x1, x2, . . . , xn) , . . . , fm (x1, x2, . . . , xn))

Jf (x0) = Df (x0) =

⎛⎜⎝∂f1∂x1(x0) · · · ∂f1

∂xn(x0)

......

∂fm∂x1

(x0) · · · ∂fm∂xn

(x0)

⎞⎟⎠Ejemplo:Si consideramos la función f (x, y) = (x2 − y2, exy, 2x+ y) su matriz Jacobiana viene dada

por:

Jf (x, y) =

⎛⎝ 2x −2yyexy xexy

2 1

⎞⎠


4.3 Derivada direccional

La derivada parcial ∂f∂xmide la sensibiliad o razón de cambio de la función cuando nos movemos

en la dirección del eje x, mientras que ∂f∂xmide la sensibiliad de la función cuando nos movemos

en la dirección del eje y. Si nos encontramos en un punto cualquiera de la gráfica de unafunción de dos variables, nos podemos preguntar cual es la sensibilidad de la función cuandonos movemos a través de la gráfica de la función en cualquier dirección

Definición 4 Sea f : D ⊂ R2 → R, la derivada direccional de f en el punto (x0, y0) en ladirección del vector unitario v = (v1, v2) viene dada por:

Dfv (x0, y0) = limh→0

f (x0 + hv1, y0 + hv2)− f (x0, y0)

h

o de manera más sencilla:

Dfv (x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂x· v1 +

∂f (x0, y0)

∂y· v2

Dfv (x0, y0) = ∇f (x0, y0) · v

Que el vector v = (v1, v2) sea unitario quiere decir que es un vector de norma o módulounitario:

kvk =qv21 + v22 = 1

Este resultado se puede generalizar para cualquier función f : D ⊂ Rn → REjemplo:Sea f (x, y, z) = x2e−xyz y queremos calcular la razón de cambio de f en la dirección

v =³1√3, 1√

3, 1√

3

´en el punto (1, 0, 0) .

Dfv (x, y, z) =¡2xe−xyz − x2yze−xyz,−x3ze−xyz,−x3ye−xyz

¢·µ1√3,1√3,1√3

¶que en el punto (1, 0, 0) se convierte en:

Dfv (1, 0, 0) = (2, 0, 0) ·µ1√3,1√3,1√3

¶=

2√3

Observar que como casos particulares tenemos que ∂f(x0,y0)∂x

es la derivada direccional de lafunción f (x, y) en el punto (x0, y0) en la dirección v = (1, 0) y ∂f(x0,y0)

∂yla derivada direccional

de la función en la dirección w = (0, 1) .


EJERCICIOS:

1. Evaluar las primeras derivadas parciales de la función en el punto dado:

(a) f (x, y) = x2y + xy2; (1, 2)

(b) f (x, y) = x2 + xy + y2 + 2x− y; (−1, 2)(c) f (x, y) = x

√y + y2, (2, 1)

(d) f (x, y) =px2 + y2; (3, 4)

(e) f (x, y) = xy; (1, 2)

(f) f (x, y) = x+yx−y ; (1,−2)

(g) f (x, y) = exy; (1, 1)

(h) f (x, y) = ex ln y; (0, e)

(i) f (x, y, z) = x2yz3; (1, 0, 2)

(j) f (x, y, z) = x2y2 + z2; (1, 1, 2)

2. Sea la funciónf (x, y) =

xy

x2 + y2

definida en el dominio D = R28 {(0, 0)}. ¿Se puede definir f a todo R2 de maneracontinua? Calcular, si existe, el gradiente de f .

3. Calcular∇f y decir si existeDuf (0, 0) para cualquier vector unitario u para las siguientesfunciones:

(a) f (x, y) = ex+y

(b) f (x, y) =

⎧⎨⎩xy2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

4. Calcula la matriz Jacobiana de las siguientes funciones:

a. f (x, y) = (xy, ln (xy) , 2x) b. f (x) = (xex, cos (cos (x)))c. f (x, y, z) = x2 ln z + y

√x− xyz d. f (x, y, z) = (xyz, xy, x)

5. Sea h(x, y) = 2e−x2+ e−3y

2la altura de una montaña en la posición (x, y) ∈ R2. Si en la

posición (1, 0) hay un manantial, ¿en qué dirección comienza a correr el agua?

6. Determinar las matrices jacobianas asociadas a las siguientes funciones:

(a) f(x, y, z) = (x2 − yz, x+ z − e2y)(b) g(x, y) = (xy, 3x, 3x− y3)


(c) h(x, y, z) = (z2 − x, xyz, 8z)

7. Sea h (x, y) = 2e−x2+ e−3y

2la altura de una montaña en la posición (x, y) ∈ R2. ¿En qué

dirección desde (1, 0) se debería comenzar a caminar para escalar lo más rápido posible?

8. Calcular el vector gradiente de las siguientes funciones:

(a) f(x, y) = x cosx sin y

(b) f(x, y, z) = exyz

(c) f(x, y) = (x2 + y2) log(x2 + y2)

9. Calcular el gradiente de la siguientes funciones en el punto indicado:

(a) f(x, y) = (a2 − x2 − y2)1/2 en P = (a/2, a/2)

(b) f(x, y) = log(1 + xy)1/2 en P = (0, 0)

(c) f(x, y) = ey cos(3x+ y) en P = (2π/3, 0)

10. La productividad de cierto país de Europa Occidental está dada por la función

f (x, y) = 40x4/5y1/5

donde se utiliza x unidades de mano de obra e y unidades de capital.

(a) ¿Cuál es la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginaldel capital cuando los gastos respectivos en mano de obra y capital son 32 y 243unidades?

(b) ¿El gobierno debería alentar la inversión en capital en vez del gasto en mano de obraen ese momento para incrementar la productividad del país?

11. En cierta fábrica la producción diaria es Q(K,L) = 30K0.3L0.7 unidades, donde K denotala inversión de capital medida en miles de Euros y L el tamaña de la fuerza laboral mediaen horas-trabajador. Supongamos que la inversión actual de capital es de 900000 Eurosy que se utilizan 1000 horas-trabajador cada día.

(a) Utilizar el análisis marginal para estimar el efecto de una inversión de capital adic-cional de 1.000 Euros en la producción diaria si no cambia en tamaño de la fuerzalaboral.

(b) Hallar la productividad marginal de capital QK y la productividad marginal de lamano de obra QL cuando el gasto de capital es 630000 Euros y el nivel de trabajoes 830 horas-trabajador.

(c) ¿Debería el fabricante considerar la adición de una unidad de capital o de una unidadde mano de obra para aumentar la producción más rápidamente?


12. Calcular la derivada direccional de f en la dirección del vector u en el punto p̃. Calculartambién las derivadas direccionales máximas y mínimas de f indicando la dirección en laque se producen:

(a) f (x, y) = ex+y2, u =

³√22,√22

´, p̃ = (0, 0)

(b) f (x, y) = sen (x2 − y2) cos (x+ y) , u = (1,−1) , p̃ = (0, 0)

(c) f (x, y) =cos (x− y)

(x+ 1), u = (2, 0) , p̃ = (0, 2π)

(d) f (x, y, z) = xez + y cos (x+ z) , u = (1, 0, 1) , p̃ = (π, 1, 0)

(e) f (x, y, z) =p(x2 + 2) ezy, u = (1, 2, 2) , p̃ = (0, 1, 1)

13. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones en los puntos y vectoresque se indican:

(a) f (x, y) = x+ 2xy − 3x2 en (1, 2) en la dirección del vector v = (3, 2).(b) f (x, y, z) = ex + xyz en el punto (1,1,0) y en la dirección del vector v = (0, 1, 1).

(c) f (x, y, z) = 3x+2y+4zx en el punto (1, 0, 2) y en la dirección del vector v = (1, 0, 1).

14. Hallar la derivada direccional en el punto y vector indicado en cada apartado de lassiguientes funciones, dibujar la curva de nivel que incluye al punto P, y el vector gradientecorrespondiente:

(a) f (x, y) = xy, P = (2; 3), v = (1; 1)

(b) f (x, y) = xy, P = (1; 1), v un vector paralelo al eje 0X.

15. Estudiar la diferenciabilidad de las siguientes funciones:

(a) f (x, y) = ex2y

(b) f (x, y) = x−yx2+y2

16. Sea

f (x, y) =

(xy√x2+y2

si (x, y) 6= (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

Probar que f (x, y) es una función continua y que existen las derivadas parciales en (0, 0) .¿Es f diferenciable en (0, 0)?

17. ¿Existe la derivada direccional de f en la dirección de cualquier vector u en el punto(0, 0)?

(a) f (x, y) =

⎧⎨⎩xy2

x2 + y4si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)


(b) f (x, y) =

( xy

x4 + y4si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

18. ¿Son diferenciables las siguientes funciones? Razone la respuesta.

(a) f (x, y) = x7 + x4y3 + xy3 + 6xy − 4x− y

(b) f (x, y) = ex+y2sen (x2 − y2)

(c) f (x, y, z) =(x2 + y2)

32

z2 + 1

(d) f (x, y) =

½2 si x 6= y0 si x = y

19. La altura h (x, y) = 1000−0.01x2−0.05y5 de una montaña con respecto al nivel del mar,viene dada por la expresión donde x representa la direccion Este e y la direccion Norte.Un montañero esta en el punto de la montana de coordenadas (x, y) = (200, 100).

(a) Analizar si el montañero asciende o desciende cuando camina en las direccionesNorte, Noreste y Sur respectivamente.

(b) Hallar las direcciones de ascenso y descenso más rápido.

(c) Hallar la dirección para la cual no cambia de altura.

20. Sea la función f : U → R con U ⊂ R2. Razone la veracidad o falsedad de las siguientesafirmaciones:

(a) Si f es continua en U , entonces f es diferenciable en U .

(b) Si f es continua en U , entonces existe ∇f en U .

(c) Si existe ∇f en U , entonces f es diferenciable en U .

(d) Si existe ∇f en U , entonces f es continua en U .

(e) Si f es diferenciable en U , entonces f es continua en U .

(f) Si f es diferenciable en U , entonces existe ∇f en U .

(g) Si f es diferenciable en U , entonces las derivadas parciales primeras de f son con-tinuas en U .

(h) Si existe las derivadas parciales primeras de f y son continuas en U , entonces f esdiferenciable en U .

(i) Si existe las derivadas parciales primeras de f y son continuas en U , entonces f escontinua en U .

21. Calcular el plano tangente a la superficie determinada por la gráfica de las siguientesfunciones en los puntos que se indican.


(a) f (x, y) = x2 − y2 en el punto (2, 1, 3).

(b) f (x, y) = ex−y en el punto (1, 1, 1)Sea la función f : U → R con U ⊂ R2 y el vectorv = (v1, v2) ∈ R2. Estudie la veracidad o falsedad de las siguientes fórmulas:

(c) Dvf (x, y) = limt→0

f (x+ tv1, y + tv2)− f (x, y)

t

(d) Dvf (x, y) = lim(x,y)→(0,0)

f (x+ tv1, y + tv2)− f (x, y)

t

(e) Dvf (x, y) = ∇f (x, y) · v

(f) Dvf (x, y) = ∇f (x, y) ·v

kvk(g) Dvf (x, y) = ∇f (v1, v2) · (x, y)

(h) Dvf (x, y) = ∇f (v1, v2) ·(x, y)

k(x, y)k

22. Las funciones de utilidad de tres consumidores son

U (x, y) = xy, V (x, y) = (xy)2 + 2 W (x, y) = lnx+ ln y

(a) Calcular e interpretar el significado de las utilidades marginales. Si los tres individuosconsumen la misma cesta C = (1, 2) , ¿a cuál de los tres le reporta mayor utilidadun aumento infinitesimal en el consmo del bien y?

(b) Calcular las tasas de cambio de la utilidad marginal de un bien con respecto aun aumento infinitesimal en el consumo del otro bien. Verificar que, para los tresconsumidores, el cabio en la utilidad marginal de un bien debido a un aumentoinfinitesimal en el otro bien es el mismo, sin importar qué bien se elige primero.

23. Considere la función de prodcción Cobb-Douglas q = f (L,K) = LaK1−a, donde 0 < a <1, L es el factor trabajo y K es el factor capital.

(a) Encuentre las productividades marginales del trabajo y del capital, PML y PMK .

(b) Analice si estas productividades marginales son crecientos o decrecientes en L y/oen K. Verifique que

dPML

dK=

dPMK

dL

(c) Calcule las productividades medias del trabajo y del capital, PmL = q/L y PmK =q/K. Analice si estas productividades medias son crecientes o decrecientes en L y/oen K. ¿Se cumple ahora que

dPmL

dK=

dPmK

dL?


24. La elasticidad de una función y = f (x) respecto de x se define como

εyx ≡ εx (f) =x

y

dy

dx= lim

∆x→0

x

y

∆y

∆x= x

f 0 (x)

f (x)

Encuentre una fórmula para la elasticidad del producto de funciones εx (fq) y para laelasticidad de la inversa εx (1/f) . Use ambas para calcular la elasticidad del cociente dedos funciones εx (f/q) .

25. La cantidad demandada del bien Y por un consumidor viene dada por

y =4mpx

py (4px + py),

donde m es la renta del individuo, py es le precio de cada unidad del bien Y y px es elprecio de otro bien de consumo X. Calcule la elacticidad d ela demanda respecto delprecio py y compruebe que la demanda es elástica en py.

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