tema3 calculo integral

Prof. Susana López 1

U�� A�� M��

Tema 3: Cálculo Integral

1 Cálculo de Primitivas

1.1 Conceptos preliminares

Definición 1 (Función primitiva o antiderivada) Diremos que la función F(x) es una fun-ción primitiva o antiderivada de f (x) si

F ′ (x) = f (x)

para todo punto x ∈ Dom (f) .

Definición 2 (Integral Indefinida) Dada la función f, se llama integral indefinida de f alconjunto de todas las funciones primitivas de f

�f (x) dx = F (x) +K

donde C es una constante arbitraria, siendo F una primitiva cualquiera de f.

1.2 Integrales inmediatas y métodos de integración

Existen ciertas integrales que son inmediatas y nos servirán para cálculos posteriores.

•�kdx = kx+K

•�xndx = 1

n+1xn+1 +K para todo n �= −1

•�1xdx = ln x+K

•�exdx = ex +K

•�axdx = 1

ln aax +K

•�sin xdx = − cosx+K

•�cosxdx = sin x+K

•�tanxdx = − ln (cosx) +K

•�

1cos2 x

dx =�(1 + tan2 x) dx =

�sec2 xdx = tanx+K


•�

1sin2 x

dx =�(1 + cot2 x) dx =

�csc2 xdx = − cot x+K

•�

1√1−x2dx = arcsin x+K

•�

11+x2

dx = arctan x+K

•�

1√1+x2

dx = ln��x+

√1 + x2

��+K

Propiedades:

1. Si f es derivable �f ′ (x) dx = f (x)

2. Si f es integrabled

dx

�f (x) dx = f (x)

3. Para toda f y g integrables.�f (x)± g (x) dx =

�f (x) dx±

�g (x) dx

4. Para todo escalar a ∈ R y toda función integrable�af (x) dx = a

�f (x) dx

Cuando una función no es inmeditamente integrable existen distintos métodos de integraciónque nos podrán ayudar a la hora de calcular su integral.

1.2.1 Cambio de variable:

Sea ϕ una función con derivada ϕ′ continua, y sea f una función continua. Entonces, haciendot = ϕ (x) tenemos entonces que dt = ϕ′ (x) dx

�f (ϕ (x))ϕ′ (x) dx =

�f (t) dt

I =

�e2x−5dx

tomamos t = 2x− 5 de manera que dt = 2dx luego dx = 12dt sutituyendo tenemos

I =

�e2x−5dx =

�et1

2dt =

1

2

�etdt =

1

2et +K


I =

�x3 cosx4dx

tomamos t = x4 de manera que dt = 4x3dx, sustituyendo obtenemos

I =

�x3 cosx4dx =

�1

4cos tdt =

1

4sin t+K

A través del método de cambio de variable tenemos que las siguientes integrales se conviertenen inmediatas:

•�[f (x)]n f ′ (x) dx = 1

n+1[f (x)]n+1 +K para todo n �= −1

•�f ′(x)f(x)

dx = ln f (x) +K

•�f ′ (x) ef(x)dx = ef(x) +K

•�f ′ (x) af(x)dx = 1

lnaaf(x) +K

•�f ′ (x) sin f (x) dx = − cos f (x) +K

•�f ′ (x) cos f (x) dx = sin f (x) +K

•�f ′ (x) tan f (x) dx = − ln (cos f (x)) +K

•�

f ′(x)cos2 f(x)

dx =�(1 + tan2 f (x)) dx =

�sec2 f (x) dx = tan f (x) +K

•�

f ′(x)

sin2 f(x)dx =

�(1 + cot2 f (x)) dx =

�csc2 f (x) dx = − cot f (x) +K

•�

f ′(x)√1−f(x)2

dx = arcsin f (x) +K

•�

f ′(x)

1+f(x)2dx = arctan f (x) +K

•�

f ′(x)√1+f(x)2

dx = ln

��x+�

1 + f (x)2��+K


1.2.2 Integración por partes:

Este método se suele emplear cuando tenemos en el integrado el producto de dos funciónes. Siu y v son dos funciones de x tales que sus derivadas son continuas entonces:

�udv = uv −

�vdu

Consideremos distintas situaciones que pueden aparecer en las que aplicaremos integraciónpor partes.

•�P (x) ln xdx donde P (x) es un polinomio.

En este caso tomaremos

u = ln x du = 1xdx

dv = P (x) dx v =�P (x) dx

de manera que

I = P (x) ln x−�

1

x

��P (x) dx

�dx

I =

�x ln xdx

tomamosu = lnx du = 1

xdx

dv = xdx v = 12x2

entonces

I =

�x ln xdx =

1

2x2 ln x−

�1

2x2

1

xdx =

=1

2x2 ln x− 1

2

�xdx =

=1

2x2 ln x− 1

4x2 +K

•�P (x) sin x dx o

�P (x) cosx dxdonde P (x) es un polinomio.

En el caso�P (x) sin x dx tomaremos

u = P (x) du = P ′ (x) dxdv = sin xdx v = − cosxdx

de manera que

I = sin x ln x+

�P ′ (x) cosxdx


En el caso�P (x) cosx dx tomaremos

u = P (x) du = P ′ (x) dxdv = cos xdx v = sinxdx

de manera que

I = cosx ln x−�P ′ (x) sin xdx

I =

�x sinxdx

tomamosu = x du = dx

dv = sin xdx v = − cosx

entonces

I =

�x sin xdx = −x cosx+

�cosxdx =

= −x cosx+ sin x+K

•�P (x) exdx donde P (x) es un polinomio.

En este caso tomaremosu = P (x) du = P ′ (x) dxdv = exdx v = exdx

de manera que

I = P (x) ex −�P ′ (x) exdx

I =

�xexdx

tomamosu = x du = dx

dv = exdx v = ex

entonces

I =

�xexdx =

= xex −�exdx =

= xex − ex +K

• I =�ex cosxdx o I =

�ex sinxdx habrá que aplicar integración por partes dos veces.


Consideremos la integral I =�ex cosxdx, tomaremos

u = ex du = exdxdv = cosxdx v = sin x

entonces

I =

�ex cosxdx =

= ex sin x−�ex sin xdx

volvemos a aplicar la integración por partes a�ex sin xdx

u = ex du = exdxdv = sin xdx v = − cosx

de manera que

I = ex sin x−�−ex cosx−

�− cos xexdx

�=

= ex sin x+ ex cosx−�ex cosxdx =

tenemos entonces queI = ex sin x+ ex cosx− I

despejando I obtenemos

2I = ex sin x+ ex cosx

I =ex sin x+ ex cosx

2


• Por último, también aplicaremos integración por partes cuando la función a integrar seaun poco complicada como

I =

�ln xdx

tomamosu = lnx du = 1

xdx

dv = dx v = x

entonces

I =

�ln xdx =

= x lnx−�x1

xdx =

= x lnx− x+K

1.2.3 Integración de funciones racionales: P (x)Q(x)

Veremos cómo integrar cualquier función racional�P (x)

Q (x)dx

(P (x) y Q (x) son funciones polinómicas) expresándola como suma de fracciones más simples.

El grado de P (x) es mayor o igual que el grado de Q (x) Dividimos los polinomios

P (x)

Q (x)= C(x) +

R (x)

Q (x)

donde R (x) es de menor grado que Q (x), de manera que�P (x)

Q (x)dx =

�C(x)dx+

�R (x)

Q (x)dx

la primera integral no ofrece problemas ya que es la integral de un polinomio, en la siguienteintegral tenemos un cociente de polinomios donde el grado del numerador es mayor que el gradodel donominador. En la siguiente sección veremos como resolver este tipo de integrales.

El grado de P (x) es menor o igual que el grado de Q (x) Entonces podemos escribir elcociente como suma de múltiplos constantes de funciones del tipo

1

(x− a)n ,x

(x2 + cx+ d)m,

1

(x2 + cx+ d)m

llamadas funciones simples.Lo primero que debemos hacer es estudiar las raíces del denominador, de manera que nos

pueden aparecer los siguientes casos:


• El denominador Q (x) tiene n raíces reales simples:

Q (x) = (x− a1) (x− a2) · · · (x− an)

En este caso la fracción P (x)Q(x)

se descompone en los siguientes sumandos:

P (x)

Q (x)=

A1(x− a1)

+A2

(x− a2)+ · · ·+ An

(x− an)

�x+ 5

x2 + x+ 2dx

Factorizamos el denominador

x2 + x− 2 = (x+ 2) (x− 1)

y descomponemos x+5x2+x+2

en sumandos

x+ 5

x2 + x+ 2=

A

(x+ 2)+

B

(x− 1)=A (x− 1) +B (x+ 2)

(x+ 2) (x− 1)

de manera quex+ 5 = A (x− 1) +B (x+ 2) = (A+B)x+ (2B − A)

igualando coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

1 = A+B

5 = 2B −A

cuya solución es A = −1, B = 2. Ahora podemos realizar la integral

�x+ 5

x2 + x+ 2dx =

�2

(x− 1)− 1

(x+ 2)dx = 2 ln |x− 1| − ln |x+ 2|+K

• El denominador Q (x) tiene n raíces reales múltiples:

Q (x) = (x− a1)α1 (x− a2)α2 · · · (x− an)αn



P (x)

Q (x)=

A1(x− a1)

+A2

(x− a1)+· · ·+ Aα1

(x− a1)α1+· · ·+ B1

(x− an)+

B2(x− an)

+· · ·+ Bαn(x− an)αn


�4x

x3 − x2 − x+ 1dx

Factorizamos el denominador

x3 − x2 − x+ 1 = (x+ 1) (x− 1)2

y descomponemos 4xx3−x2−x+1 en sumandos

4x

x3 − x2 − x+ 1=

A

(x+ 1)+

B

(x− 1)+

C

(x− 1)2=A (x− 1)2 +B (x+ 1) (x− 1) + C (x+ 1)

(x+ 1) (x− 1)2

de manera que

4x = A (x− 1)2 +B (x+ 1) (x− 1) + C (x+ 1) = (B +A)x2 + (−2A+ C) x−B +A+ C

igualando coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

0 = B +A

4 = −2A+ C

0 = −B +A+ C

cuya solución es A = −1, B = 1, C = 2. Ahora podemos realizar la integral

�4x

x3 − x2 − x+ 1dx =

� −1

(x+ 1)+

1

(x− 1)+

2

(x− 1)2dx− ln (x+ 1)+ ln (x− 1)− 2

x− 1+K

• El denominador Q (x) tiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de loscuales se repite, por ejemplo:

Q (x) =�ax2 + bx+ c

�(x− d)



P (x)

Q (x)=

A

(x− d) +Bx+ C

(ax2 + bx+ c)


�x

(x− 2) (x2 + 1) (x2 + 4)dx

En este caso descomponemos x(x−2)(x2+1)(x2+4) en los siguientes sumandos

x

(x− 2) (x2 + 1) (x2 + 4)=

A

(x− 2)+Bx+ C

(x2 + 1)+Dx+ E

(x2 + 4)=

operando e igualando coeficientes obtenemos: A = 120, B = − 2

15, C = 1

15, D = 1

12, E = − 2

12por

tanto,

�x

(x− 2) (x2 + 1) (x2 + 4)dx =

� �1

20

1

(x− 2)+

1

15

1− 2x

(x2 + 1)+

1

12

x− 2

(x2 + 4)

�dx =

=1

20ln |x− 2|+ 1

15

�arctanx− ln

��x2 + 1��+

1

12

�1

2ln��x2 + 4

��− arctan1

2x

�+K

• El denominador Q (x) contiene factores cuadráticos irreducibles repetidos

Q (x) = x�ax2 + bx+ c

�n

en ese caso P (x)Q(x)


P (x)

Q (x)=A

x+

A1x+B1(ax2 + bx+ c)

+A2x+B2

(ax2 + bx+ c)2+ · · ·+ Anx+Bn

(ax2 + bx+ c)n

�dx

(x2 + 1)2 x

En este caso la fracción 1(x2+1)


1

x (x2 + 1)2=

Ax+B

(x2 + 1)+Cx+D

(x2 + 1)2+E

x=

(Ax+B) (x2 + 1) x+ (Cx+D) x+ E(x2 + 1)

2

(x2 + 1)2=

=(A+ E) x4 +Bx3 + (A+ 2E + C) x2 + (B +D)x+ E

x (x2 + 1)2

igualando coeficientes y resolviendo

0 = A+ E0 = B

0 = A+ 2E + C0 = B +D

1 = E


obtenemos como solución A = −1, B = 0, C = −1, D = 0, E = 1. Luego

�dx

(x2 + 1)2 x=

� �− x

x2 + 1− x

(x2 + 1)2+

1

x

�dx = −1

2ln�x2 + 1

�+

1

2 (x2 + 1)+ ln |x|+K

Muchas funciones se convierten en racionales mediante cambios de variables. Por ejemplo

�R(ex)dx

función racional de ex que se convierte en racional haciendo u = ex, du = exdx y obtenemosentonces �

R (u)

udu

�e2x

e4x − 1dx

realizando el cambio u = ex, du = exdx obtenemos la integral�

u2

u4−1dx


EJERCICIOS:

1. Calcula las siguientes integrales inmediatas.

•�(3x2 + 4x− 6) dx = x (x2 + 2x− 6) +K

•� �√

x− 3x2 + 1x+ ln 2x

�dx = 1

2√x− x3 − 1

x2+ 2

x+K

•�

1x−2dx = ln (x− 2) +K

•� √

x− 3dx = 23(x− 3)

3

2 +K

•�

2x+ 1(x−1)2

dx = x2 − 1

x−1 +K

•�2xe(x

2−1)dx = ex2−1 +K

•�2x sin x2dx = − cosx2 +K

•�

ex

cos2(1+ex)dx = 1

cos(1+ex)sin (1 + ex) +K

•�

2xcos2 x2

dx = 1cosx2

sin x2 +K

•�(5x2 + 3 cosx)dx = 5

3x3 + 3 sinx+K

•�

aa−xdx = − (ln (a− x)) a

•�xe−(x

2+1)dx = −12e−x

2−1 +K

•�x7x

2

dx = 12 ln 7

7x2

+K

•�e1/x

x2dx = −e 1x +K

•�2 sin x cosxdx = sin2 x+K

•�

ex

ex−1dx = ln (ex − 1) +K

•�cos

√x√

xdx = 2 sin

√x+K

•�cosx√2dx = 1

2(sin x)

√2 +K

2. Calcula las siguientes integrales aplicando el método de integración apropiado

•�

x+3√x2+2x+2

dx =�

(x2 + 2x+ 2) + 2 ln��

(x2 + 2x+ 2) + (x+ 1)��+K

•�x2 sin 3xdx = −1

3x2 cos 3x+ 2

27cos 3x+ 2

9x sin 3x+K

•�sin2 x cos3 xdx = −1

5sin5 x+ 1

3sin3 x+K


•�x(2x+ 5)10dx = x

22(2x+ 5)11 − 1

528(2x+ 5)12 +K

•�

1+x1+√xdx = −4 ln (1 +

√x) + 4

√x− x+ 2

3(√x)3+K

•�

x23√x3+1

dx = 12

3

�(x3 + 1)

2+K

•�

x√x+1

dx =�

(1 + x)�23x− 4

3

�+K

•�x3xdx = x

ln 33x − 1

ln2 33x +K

•�ln xdx = x ln x− x+K

•�x2 ln xdx = 1

3x3 ln x− 1

9x3 +K

•�lnx√xdx = 4

√x ln

√x− 4

√x+K

•�x2+3x−4x2−2x+8dx = x+ 5

2ln (x2 − 2x+ 8)−

√7 arctan 1

7(x− 1)

√7 +K

•�x2exdx = x2ex − 2xex + 2ex +K

•�ex(x2 − 2x− 1)dx = x2ex − 4xex + 3ex +K

•�

xx2+9

dx = 12(ln (x2 + 9)) +K

•�

x2+1x3−6x2+8xdx = 1

8ln x− 5

4ln (x− 2) + 17

8ln (x− 4) +K

•�

1x3+5x2+8x+4

dx = ln (1 + x) + 1x+2

− ln (x+ 2) +K

3. Calcula las siguientes integrales

•�

3x+1x3−x2−x+1dx = −1

2ln (1 + x)− 2

−1+x + 12ln (−1 + x) +K

•�

34+9x2

dx = 12arctan 3

2x+K

•�xe−x

2

dx = −12e−x

2

+K

•�

5x√1+x2

dx = 5�

(x2 + 1) +K

•�

14x2+9

dx = 16arctan 2

3x+K

•�5x cos(x2 + 3)dx = 5

2sin (x2 + 3) +K

•�

x+1(x−1)2dx = − 2

x−1 + ln (x− 1)

•�x2 sin xdx = −x2 cosx+ 2 cosx+ 2x sin x

•�x2e−xdx = −e−x (2x+ x2 + 2) +K


•�x4−3x3−3x−2x3−x2−2x dx = 1

2x2 − 2x+ ln x+ 5

3ln (x+ 1)− 8

3ln (x− 2) +K

•�(x2 + 1)e−2xdx = −1

4e−2x (2x+ 2x2 + 3) +K

•�x3−2x2+x−1x2−3x+2 dx = x+ 1

2x2 + ln (x− 1) + ln (x− 2) +K


2 La integral definida

2.1 La integral de Riemann

Vamos a definir el concepto de integral de Riemann de una función acotada en un intervalocerrado [a, b] ⊂ R por medio de sumas superiores e inferiores que nos servirán en el cálculo deáreas.

Para ello lo primero que vamos a hacer es definir que es una partición de un intervalo.

Definición 3 (Partición) Dado un intervalo [a, b] ⊂ R, llamaremos partición de [a, b] a unacolección finita de puntos del intervalo P = {x0, x1, ..., xn}, tales que x0 = a < x1 < ... < xn = b.El intervalo [a, b] queda dividido en subintervalos [xi, xi+1], donde i = 0, 1, 2, ..., n− 1.

Definición 4 (Sumas superiores e inferiores) Sea f : [a, b] → R una función acotada ysea P = {x0, x1, ..., xn} una partición de [a, b].

• Definiremos L(P, f) como la suma inferior de f con relación a la partición P del siguientemodo:

L (P, f) =

n�

i=1

mi (xi − xi−1)

donde mi es el valor ínfimo que toma la función f en el subintervalo [xi−1, xi]

mi = inf {f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi}

• Definiremos U(P, f) como la suma superior de f con relación a la partición P del siguientemodo:

L (P, f) =n�

i=1

Mi (xi − xi−1)

donde mi es el valor supremo que toma la función f en el subintervalo [xi−1, xi]

mi = sup {f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi}

Definición 5 (Integrabilidad) Diremos que una función f:[a, b] → R acotada es integrableRiemann (o simplemente integrable) en [a, b] si se da la siguiente igualdad

sup {L (P, f) : P es una partición de [a, b]} = inf {U (P, f) : P es una partición de [a, b]}

y ese número común se denota por

� b

a

f (x) dx o

� b

a

f

El número a se llama límite inferior de integración mientras que b es el límite superior deintegración.


3.5 4 4.5 5

-100

-75

-50

-25

25

50

75

Figure 1: f (x) = 1x−4 en [3,5]

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Figure 2: f (x) = |x|xen [-1,1]

Teorema 1 Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f es integrableen [a, b].

¿Es cierto el recíproco? Es decir, ¿ es toda función integrable continua?.

Teorema 2 (Criterio de integrabilidad de Riemann) Sea f:[a, b]→ R acotada. Diremosque es integrable-Riemann si y sólo si para todo ǫ > 0 existe una partición Pǫ del intervalo [a, b]tal que

U (Pǫ, f)− L (Pǫ, f) < ǫ

Esto es lo mismo que decir que podemos construir unas sucesiones Ln y Un de sumasinferiores y sumas superiores que convergen hacia un mismo número, es decir

limn→∞

L (Pn, f) = limn→∞

U (Pn, f) =

� b

a

f (x) dx

A continuación vamos a definir la integral como el límite de una suma, para ello de nuevotomamos una función f : [a, b] → R acotada y consideramos las llamadas sumas de Riemannde f :

S (Pn, f) =n�

i=1

f (ξi) (xi − xi−1)


donde Pn = {x0, x1, ..., xn} es una partición de [a, b] y ξi ∈ [xi−1, xi] entonces se verifica elsiguiente criterio de integrabilidad:

Teorema 3 f es integrable si y solo si existe

limn→∞

S (Pn, f)

y es independiente de la elección de los puntos ξi, siendo Pn la partición definida anteriormentepara cada n.


2.2 Propiedades de las integrales definidas

Linealidad:

Si f, g : [a, b]→ R son funciones integrables y λ ∈ R entonces:

a. f + g es integrable y� ba(f ± g) =

� baf ±

� bag.

b. λf es integrable� baλf = λ

� baf

Monotonía:

Dadas f, g : [a, b] → R funciones integrables tales que f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [a, b]entonces: � b

a

f ≤� b

a

g

De aquí se deduce que si f es integrable y no negativa en [a, b] entonces:

� b

a

f ≥ 0

Acotación:

Si f : [a, b]→ R es una función integrable, existe dos números m,M ∈ R tales que

m (b− a) ≤� b

a

f ≤M (b− a)

donde podemos tomar a m y a M como cotas inferior y superior respectivamente de f.

Aditividad respecto del intervalo:

Sea f : [a, b]→ R acotada, y sea c ∈ [a, b], entonces f es integrable en [a, b] si y sólo si loes en [a, c] y en [c, b], verificándose además:

� b

a

f =

� c

a

f +

� b

c

f

O��:

•� aaf = 0

•� baf = −

� abf

• Si f es integrable en [a, b] y g coincide con f en [a, b] salvo en un número finito de puntos,

entonces g es integrable en [a, b] y� baf =

� bag.


3 Teoremas fundamentales del cálculo integral

Teorema 4 • Toda función f : [a, b]→ R monótona es integrable.

• Si f es continua es [a, b] entonces es integrable en [a, b].

• Si f está acotada y tiene un conjunto finito, o incluso infinito numerable de discon-tinuidades en [a, b] entonces f es integrable en [a, b].

Teorema 5 Si f es integrable en [a, b] y g es continua es un intervalo cerrado que contenga af ([a, b]) entonces g ◦ f es integrable en [a, b].

Teorema 6 (Teorema del valor medio) Si f : [a, b]→ R es una función continua y deriv-able en (a, b) entonces existe un c ∈ [a, b] tal que:

f ′ (c) =f (b)− f (a)

(b− a)

Teorema 7 (Teorema del valor medio para integrales) Si f : [a, b] → R es una funcióncontinua, entonces existe un c ∈ [a, b] tal que:

� b

a

f = f (c) (b− a)

Este teorema admite una sencilla interpretación geométrica: el área del trapecio curvilíneodelimitado por l a gráfica de la función y el eje en el intervalo [a, b] coincide con el área de unrectángulo que tuviera como base el intervalo [a, b] y la altura f (c) para cierto c ∈ [a, b].

Teorema 8 (Teorema del valor medio generalizado) Si f y g son dos funciones contin-uas en [a, b] y g (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], existe un c ∈ [a, b] tal que

� b

a

f (x) g (x) dx = f (c)

� b

a

g (x) dx

Teorema 9 (Teorema fundamental del cálculo) Sea f : [a, b]→ R integrable. La funciónF : [a, b]→ R definida por

F (x) =

� x

a

f (t) dt

se denomina función integral y verifica las siguientes propiedades:

a. F es continua en [a, b].

b. Si f es continua en c ∈ [a, b] entonces F es derivable en c y F ′ (c) = f (c) .

Teorema 10 Sea f : [a, b]→ R continua entonces para todo x∈ [a, b] se tiene

d

dx

� x

a

f (t) dt

�= f (x)


Teorema 11 (Regla de Barrow) Si f es una función continua en [a, b] y G una funcióncontinua en [a, b], derivable en (a, b) y G′ (x) = f (x) para todo x ∈ (a, b) entonces:

� b

a

f (t) dt = G (b)−G (a)


4 Aplicaciones de la integral

4.1 Área entre la región de dos curvas

Si f y g son dos funciones continuas en [a, b] y f (x) ≤ g (x) para todo x ∈ [a, b], el área de laregión acotada por las gráficas de f y g entre las rectas verticales x = a y x = b es

A =

� b

a

[g (x)− f (x)] dx

-1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

y

ex curva gruesa, e−x curva delgada, x = 1 línea punteada.

Cuando dos curvas se cruzan y queremos calcular el área comprendida entre ellas, primerotendremos que calcular los puntos de corte de ambas curvas, por ejemplo pensemos en el áreacomprendida entre la gráfica f (x) = 2− x2 e g (x) = x, en este caso f (x) ≥ g (x) para todo xcomprendido entre los puntos de corte entre ambas gráficas por tanto el área de la curva será

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-2

2

x

y

A =� 1−2 (f (x)− g (x)) dx

Si dos curvas se cortan en más de dos puntos, de nuevo hay que calcular los puntos donde lascurvas se cortan y tener en cuenta cuando una curva está por encima de otra cuando integramos.


-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

Curva gruesa y = (x− 1)3, curva delgada y = (x− 1)

Hay que tener que curva está por encima y cual por debajo, en este caso tendremos portanto:

� 1

0

�(x− 1)3 − (x− 1)

�dx+

� 2

1

�(x− 1)− (x− 1)3

�dx =

1

5

¿Qué ocurre cuando queremos calcular áreas de la forma?

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

x

y

Curva gruesa x = 3− y2, curva delgada y = x− 1

En este caso de nuevo calculamos los puntos de corte, pero ahora de las funciones x = y ex = 3− y2 que en este caso son (−1,−2) y (2, 1) . Podemos hacer la integral de dos modos, obien � 1

−2

�3− y2 − y − 1

�dy

o bien � 2

−1

�(x− 1) +

√3− x

�dx+

� 3

2

2√3− xdx


EJERCICIOS

1. Calcular:

(a)� 6−1 (4x

2 − 8) dx

(b)� 20ln (x+ 3) dx

(c)� 3−1

xx2+1

dx

2. Demostrar que si f es una función par entonces:� a

−af (x) dx = 2

� a

0

f (x) dx

y si es impar entonces � a

−af (x) dx = 0

3. Hallar una primitiva de la función

g (x) = x−√x

cuya gráfica pase por el punto (2, 3) .

4. Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x− x2 y las tangentes ala curva en los puntos de intersección con el eje OX.

5. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa porlos puntos (−1, 0) y (1, 4).

6. Sea f (x) una función continua. Las funciones de x dadas por

F (x) =

� x

0

f (t) dt

G (x) =

� x

1

f (t) dt

H (x) =

� x

2

f (t) dt

¿Son todas ellas primitivas de f?

7. Hallar el área finita limitada por la curva de ecuación y = x2 − 4 y el eje y = 0.

8. Calcular el área encerrada por la gráfica de

f (x) =x

x2 − 1

el eje OX y las rectas x = 2 y x = 3.


9. Calcula el área encerrada por la curva y = 2x ln x, el eje de abcisas y las rectas x = a yx = 1. Calcular el límite de este área cuando a tiende a cero.

10. Calcular el área limitada por las curvas y = ex, y = e−x y la recta x = 1.

11. Hallar el área de la región del plano limitada por la curva y = x3 − 2x2 + x y su rectatangente en el origen.

12. Hallar la derivada en t = π2de la función

F (t) =

� t

0

cosxdx

13. Hallar F ′ (1), si

F (t) =

� 3t+1

1

(2x+ cosx) dx

F (t) =

� (t+1)2

t2

�3x3 − 1

�dx

F (x) =

� (x+1)2

x2

�3t2 − 1

�dt

14. Hallard

dx

� sinx

cosx

cos�πt2�dt

15. Dadas las funciones f (x) = 1x2+3

y g (x) = x−18x

determinar el área de la región delimitadapor sus gráficas y los semiejes coordenados positivos.

16. La función de costes marginal de una fabricante es

dc

dq= 0.0004q2 − 0.5q + 50

Si c está en Euros, determinar el coste de incrementar la producción de 90 a 180 unidades.Si los costes fijos son de 5000 € calcular la función de costes.

17. Una socióloga estudia la tasa de crímenes en cierta ciudad. Estima que t meses despuésdel principio del próximo año, el número total de crímenes cometidos se incrementaráa razón de 8t + 10 crímenes por mes. Determinar el número total de crímenes que seesperan el próximo año. ¿Cuántos crímenes puede esperarse que se comentan durante losúltimos 6 meses de ese año?


18. El excedente de los consumidores está dado por

CS =

� x̄

0

D (x) dx− p̄x̄

donde D es la función de demanda, p̄ es el precio unitario de mercado y x̄ es la cantidadvendida. El excedente de los productores está dado por

PS = p̄x̄−� x̄

0

S (x) dx

donde S es la función de oferta, p̄ es el precio unitario de mercado y x̄ es la cantidadofrecida. La función de demanda de cierta marca de bicicletas de 10 velocidades estádada por:

p = D (x) = −0.001x2 + 250

donde p es el precio unitario en Euros y x es la cantidad demandada, en unidades demillar. La función de oferta de bicicletas está dado por:

p = S (x) = 0.0006x2 + 0.02x+ 100

donde p es el precio unitario en Euros y x es el número de bicicletas que el proveedorpondrá en el mercado, en unidades de millar. Determinar el excedente de los consumi-dores y de los productores si el precio de mercado de una bicicleta se iguala al precio deequilibrio.

19. Los economistas usan una distribución acumulativa que se llama curva de Lorenz paradescribir la distribución del ingreso entre los hogares en un país determinado. Típica-mente, una curva de Lorenz está definida en [0,1], pasa por los puntos (0, 0) y (1, 1),y es continua, creciente y convexa. Los puntos de esta curva se determinan ordenandotodos los hogares por nivel de ingreso y después calculando el porcentaje de casas cuyoingreso es menos o igual que un porcentaje dado del ingreso total del país. Por ejemplo,el punto (a/100, b/100) está en la curva de Lorenz si el a% inferior de las casas recibenuna cantidad menor o igual que el b% del ingreso total. La igualdad absoluta del ingresose daría cuando el a% inferior de las casas recibiera el a% del ingreso en cuyo caso lacurva de Lorenz sería la recta y = x. El área entre la curva de Lorenz y la recta y = xmide qué tanto por cierto se aparta la distribución del ingreso de la igualdad absoluta.El coeficiente de desigualdad o índice de Gini es el cociente entre el área entre la curvade Lorenz y la recta y = x dividida entre el área bajo y = x.

(a) Mostrar que el índice de Gini es dos veces el área entre la curca de Lorenz y la rectay = x, es decir, mostrar que

IG = 2

� 1

0

[x− L (x)] dx


(b) La distribución del ingreso para cierto país está representada por la curva de Lorenzque define la ecuación

L (x) =5

12x2 +

7

12x

¿Cuál es el porcentaje del ingreso total que recibe el 50% inferior de las casas? Hallarel coeficiente de desigualdad.

20. Sea la función de coste marginal de la producción

C ′(q) = 0, 2q + 2

Actualmente se producen 80 unidades por día.

(a) ¿Cuánto más costará producir 90 unidades por día?

(b) Si el coste fijo diario de producción es 50 unidades monetarias, explicitar la funciónde producción C(q).

21. Las siguientes funciones corresponden a la demanda y la oferta de un producto,ambasexpresadas como funciones de q:

Demanda : p = (1/6) · (12− q)2

Oferta : p =q2

6

(a) Dibujar ambas curvas en un mismo gráfico.

(b) Encontrar el punto de equilibrio: (q0, p0).

(c) Calcular el excedente de los consumidores.

(d) Calcular el excedente de los productores.

tema3 calculo integral

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