tema3-gradiente y diferencial

8/17/2019 Tema3-Gradiente y Diferencial

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Tema 3: Cálculo diferencial en R2 y R3

Diferenciación

Ampliación de Cálculo

Primer curso de GISIT 2015-16

Departamento de Matemáticas

Universidad de Extremadura

Tema 3

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Derivada direccional

Si f es diferenciable en (a, b) existe una forma alternativa paracalcular la derivada direccional, pues se verifica el:

Teorema

Si f es diferenciable en (a, b) y u = (u1, u2) es un vector unitariocualquiera, entonces existe la derivada direccional en el punto

(a, b) según el vector u,

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Teorema

Si f es diferenciable en (a, b) y u = (u1, u2) es un vector unitariocualquiera, entonces existe la derivada direccional en el punto

(a, b) según el vector u, y se verifica:

Duf (a, b) = f x(a, b)u1 + f y(a, b)u2

Tema 3

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Teorema

Si f es diferenciable en (a, b) y u = (u1, u2) es un vector unitario

cualquiera, entonces existe la derivada direccional en el punto

(a, b) según el vector u, y se verifica:

Duf (a, b) = f x(a, b)u1 + f y(a, b)u2

El anterior teorema permite, si f es diferenciable, el cálculo de laderivada direccional a partir de las derivadas parciales.

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Vector gradiente

Según el teorema anterior, si f es diferenciable en (a, b), tieneinfinitas derivadas direccionales: una derivada direccional para

cada vector unitario u = (u1, u2)

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Vector gradiente


cada vector unitario u = (u1, u2) cuyo valor se puede escribircomo un producto escalar de dos vectores:

Tema 3

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Vector gradiente



Du

f (

a, b) =

f x(

a, b)

u1 +

f y(

a, b)

u2 =

Tema 3



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Vector gradiente



Du

f (a, b) = f x

(a, b)u1

+ f y

(a, b)u2

= (f x

(a, b), f y

(a, b))·

(u1

, u2

)

Al vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f

en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b)

Tema 3

D i d di i l



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Vector gradiente



Du

f (a, b) = f x

(a, b)u1

+ f y

(a, b)u2

= (f x

(a, b), f y

(a, b))·

(u1

, u2

)


en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b) y sesimboliza por ∇f (a, b) = (f x(a, b), f y(a, b)).

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D i d di i l

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Vector gradiente



Du

f (a, b) = f x

(a, b)u1

+ f y

(a, b)u2

= (f x

(a, b), f y

(a, b))·

(u1

, u2

)


en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b) y sesimboliza por ∇f (a, b) = (f x(a, b), f y(a, b)).Teorema Si f es diferenciable en (x, y), y u = (u1, u2) es un vector unitariocualquiera, entonces

Duf (x, y) = ∇f (x, y) · u

Tema 3

D i d di i l



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Vector gradiente



Du

f (a, b) = f x

(a, b)u1

+ f y

(a, b)u2

= (f x

(a, b), f y

(a, b))·

(u1

, u2

)


en el punto (a, b) se le llama vector gradiente de f en (a, b) y sesimboliza por ∇f (a, b) = (f x(a, b), f y(a, b)).Teorema Si f es diferenciable en (x, y), y u = (u1, u2) es un vector unitariocualquiera, entonces

Duf (x, y) = ∇f (x, y) · u

Tema 3

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Fijando un punto (x, y), y haciendo variar el vector unitario u,se obtienen valores distintos para la derivada direccional,

verificándose el siguiente:Teorema

Si f es una función diferenciable en (a, b), entonces:

1) La derivada direccional (también llamada velocidad o ritmo de

cambio) de f en (a, b) toma el valor máximo en la direccióndel gradiente, siendo su valor |∇f (a, b)|, y el vector unitariou =

∇f (a,b)|∇f (a,b)| .

2) La derivada direccional de f en (a, b) toma el valor mı́nimo enla dirección opuesta a la del gradiente, siendo su valor

−|∇f (a, b)|, y el vector unitario u = −∇f (a,b)|∇f (a,b)| .

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Fijando un punto (x, y), y haciendo variar el vector unitario u,se obtienen valores distintos para la derivada direccional,

verificándose el siguiente:Teorema

Si f es una función diferenciable en (a, b), entonces:

1) La derivada direccional (también llamada velocidad o ritmo de

cambio) de f en (a, b) toma el valor m´aximo en la direcci

´ondel gradiente, siendo su valor |∇f (a, b)|, y el vector unitario

u = ∇f (a,b)|∇f (a,b)| .

2) La derivada direccional de f en (a, b) toma el valor mı́nimo enla dirección opuesta a la del gradiente, siendo su valor

−|∇f (a, b)|, y el vector unitario u = −∇f (a,b)|∇f (a,b)| .La demostración se basa en la expresión del producto escalar de

dos vectores como el producto de sus módulos por el coseno del

ángulo que forman, y se propone como ejercicio.

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Ejemplo

Obtener las direcciones de máximo ritmo de crecimiento y de

decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funciónf (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).

Tema 3




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Ejemplo


decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funciónf (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).Sol:

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Ejemplo


decrecimiento, y sus valores respectivos, para la funciónf (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).Sol: Calculemos el gradiente en el punto P :

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Ejemplo



f x = 2x,

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Ejemplo



f x = 2x, f y = 2y

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Ejemplo



f x = 2x, f y = 2y ⇒ ∇f (1, 2) = (f x(1, 2), f y(1, 2)) = (2, 4)

Tema 3


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Ejemplo



f x = 2x, f y = 2y ⇒ ∇f (1, 2) = (f x(1, 2), f y(1, 2)) = (2, 4)

Lo que se pide son las direcciones donde la derivadadireccional toma los valores máximos o mı́nimos. Para el valor

máximo se tiene

∇f (1,2)

|∇f (1,2)

| = (2,4)

|(2,4)

|

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e ada d ecc o a

Ejemplo


decrecimiento, y sus valores respectivos, para la función

f (x, y) = x2 + y2 − 3, en el punto P (1, 2).Sol: Calculemos el gradiente en el punto P :

f x = 2x, f y = 2y ⇒ ∇f (1, 2) = (f x(1, 2), f y(1, 2)) = (2, 4)

Lo que se pide son las direcciones donde la derivadadireccional toma los valores máximos o mı́nimos. Para el valor

máximo se tiene

∇f (1,2)

|∇f (1,2)

| = (2,4)

|(2,4)

| = (2,4)√

20 = 22√ 5 , 42√ 5 = 1√ 5 , 2√ 5

siendo el valor máximo en esta dirección

|∇f (1, 2)| = |(2, 4)| = 2√ 5.La dirección de mayor ritmo de decrecimiento será la opuesta,

es decir −1√ 5 , −2√ 5, siendo su valor −2√

5.

Tema 3

Diferenciabilidad

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Diferencial en una variable

Un infinit ́ esimo es una función (h) que verifica que ĺımh→0

ε(h) = 0.

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Diferenciabilidad

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ε(h) = 0.

El incremento de la variable x en un valor a es ∆x = x − a.

Tema 3

Diferenciabilidad

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ε(h) = 0.

El incremento de la variable x en un valor a es ∆x = x − a. Elincremento de la función en ese valor a es

∆y = f (a + ∆x)

−f (a).

f es diferenciable si ∆y es función lineal de ∆x salvo uninfinitésimo. Es decir si

∆y = k · ∆x + (∆x) · ∆x, para k ∈ R y ĺım∆x→0

ε(∆x) = 0

Tema 3

Diferenciabilidad

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ε(h) = 0.


∆y = f (a + ∆x)

−f (a).



ε(∆x) = 0

La función lineal “k

·” es la diferencial de f , y se denota dy.

Tema 3

Diferenciabilidad

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ε(h) = 0.


∆y = f (a + ∆x)

−f (a).



ε(∆x) = 0

La función lineal “k

·” es la diferencial de f , y se denota dy. Ası́

dy(∆x) = k · ∆x, o abreviadamente dy = k∆x

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Diferenciabilidad

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Ejemplo

Tema 3

Diferenciabilidad

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Ejemplo

Calcular la diferencial de la función f (x) = x2 + 3x − 1 encualquier punto a.

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Diferenciabilidad



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Ejemplo


Sol: Calculemos el incremento de la función en dicho punto

cualquiera:

Tema 3

Diferenciabilidad



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Ejemplo



cualquiera:

∆y = f (a + ∆x) − f (a) =

Tema 3

Diferenciabilidad



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Ejemplo



cualquiera:

∆y = f (a + ∆x) − f (a) = (a + ∆x)2 + 3(a + ∆x) − 1 − f (a) =a2 + (∆x)2 + 2a∆x + 3a + 3∆x − 1 − a2 − 3a + 1 =

∆x2 + 2a∆x + 3∆x = (2a + 3)∆x + ∆x∆x

Tema 3

Diferenciabilidad



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Ejemplo



cualquiera:


∆x2 + 2a∆x + 3∆x = (2a + 3)∆x + ∆x∆x

Luego se cumple la definición de diferenciabilidad tomando

k = 2a + 3, y ε(∆x) = ∆x.

Tema 3

Diferenciabilidad



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Ejemplo



cualquiera:


∆x2 + 2a∆x + 3∆x = (2a + 3)∆x + ∆x∆x

Luego se cumple la definición de diferenciabilidad tomando

k = 2a + 3, y ε(∆x) = ∆x.Nótese que k = f (a). Veremos que esto es cierto en general.

Tema 3

Diferenciabilidad



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Si ∆y no es función lineal de ∆x salvo un infinitésimo,

entonces f no es diferenciable.

Tema 3

Diferenciabilidad



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Teorema

Si f es diferenciable, es decir si dy(∆x) = k · ∆x, entonces f esderivable, y coincide la diferencial con la derivada: k = f (a).

Para una función de una variable los conceptos de

diferenciabilidad y derivabilidad en un punto son equivalentes.

Tema 3

Diferenciabilidad



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Teorema




Si consideramos la función y = x ⇒ dy = ∆x

Tema 3

Diferenciabilidad



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Teorema




Si consideramos la función y = x ⇒ dy = ∆x ⇒ dy = dx = ∆x.

Tema 3



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Diferenciabilidad


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Teorema




Si consideramos la función y = x ⇒ dy = ∆x ⇒ dy = dx = ∆x.Por esto la diferencial de f se suele escribir dy = f (a)dx, es decirf (a) = dy

dx, que es otra notación para la derivada.

Tema 3

Interpretación geométrica de la diferencial



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Tema 3

Diferenciabilidad



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Ejemplo Calcular la diferencial de f (x) = x3 − x2, en un punto arbitrario x,y luego en el punto x = a = 1:

Tema 3

Diferenciabilidad

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Ejemplo Calcular la diferencial de f (x) = x3 − x2, en un punto arbitrario x,y luego en el punto x = a = 1:Sol: Se tiene f (x) = 3x2 − 2x, luego dy = (3x2 − 2x)dx.

Tema 3



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Diferenciabilidad


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Ejemplo Calcular la diferencial de f (x) = x3 − x2, en un punto arbitrario x,y luego en el punto x = a = 1:Sol: Se tiene f (x) = 3x2 − 2x, luego dy = (3x2 − 2x)dx.Tomando x = 1

⇒dy = dx.

Ejercicio

Estudiar la diferenciabilidad de la función f (x) = log(x2 − x),calculando su diferencial para todos los valores posibles.

Tema 3

Diferenciabilidad

Dif i l d i bl

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Diferencial en dos variables

Un infinit ́ esimo en dos variables es una función (h1, h2) queverifica que ĺım

(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.

Tema 3

Diferenciabilidad

Dif i l d i bl



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(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.

El incremento de las variables x e y en un punto (a, b)(∆x, ∆y) = (x − a, y − b).

Tema 3

Diferenciabilidad


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(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.

El incremento de las variables x e y en un punto (a, b)(∆x, ∆y) = (x − a, y − b). El incremento de la función en esepunto (a, b) es ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b).

Tema 3

Diferenciabilidad


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(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.


f es diferenciable si ∆z es función lineal de (∆x, ∆y) salvo un

infinitésimo. Es decir si

∆z = (M N ) ·

∆x∆y

+ (∆x, ∆y) · ||(∆x, ∆y)||

para una matriz 2x1 (M N ) y infinitésimo.

Tema 3

Diferenciabilidad




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(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.




∆z = (M N ) ·

∆x∆y

+ (∆x, ∆y) · ||(∆x, ∆y)||


La función lineal de matriz “(M N ) ·” es la diferencial de f , y sedenota dz.

Tema 3

Diferenciabilidad


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(h1,h2)→(0,0)ε(h1, h2) = 0.




∆z = (M N ) ·

∆x∆y

+ (∆x, ∆y) · ||(∆x, ∆y)||


La función lineal de matriz “(M N ) ·” es la diferencial de f , y sedenota dz. Ası́

dz(∆x, ∆y) = (M N ) ·

∆x∆y

= M ∆x + N ∆y

Tema 3

Diferenciabilidad

Ejemplo

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Ejemplo

Dada la función z = f (x, y) = x2 − xy + y, y el punto (a, b), calculemossu incremento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:

Tema 3

Diferenciabilidad

Ejemplo

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Ejemplo

Dada la función z = f (x, y) = x2 − xy + y, y el punto (a, b), calculemossu incremento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:

Sol: ∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) =

Tema 3

Diferenciabilidad

Ejemplo

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j p

Dada la función z = f (x, y) = x2 − xy + y, y el punto (a, b), calculemossu incremento, para incrementos ∆x e ∆y de a y b:Sol:

∆z = f (a + ∆x, b + ∆y) − f (a, b) =(a + ∆x)2 − (a + ∆x)(b + ∆y) + b∆y − a2 + ab − b =

a2+∆x2+2a∆x−ab−a∆y−b∆x−b∆x−∆x∆y +b+∆y−a2+ab−b =(−b + 2a)∆x + (−a + 1)∆y + ∆x∆x − ∆x∆y.

Tema 3

Diferenciabilidad

Ejemplo

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j p




Como f x(x, y) = 2x

−y, f y(x, y) =

−x + 1

⇒f x(a, b) =

2a − b, f y(a, b) = −a + 1,

Tema 3

Diferenciabilidad

Ejemplo



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j p




Como f x(x, y) = 2x

−y, f y(x, y) =

−x + 1

⇒f x(a, b) =

2a − b, f y(a, b) = −a + 1, luego∆z = f x(a, b)∆x + f y(a, b)∆y + ε1∆x + ε2∆y, siendo ε1 = ∆x yε2 = −∆x, cumpliendo que:

ĺım(∆x,∆y)→(0,0)

ε1(∆x, ∆y) = ĺım(∆x,∆y)→(0,0)

ε2(∆x, ∆y) = 0

Tema 3

Diferenciabilidad

Ejemplo



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Como f x(x, y) = 2x

−y, f y(x, y) =

−x + 1

⇒f x(a, b) =


ĺım(∆x,∆y)→(0,0)

ε1(∆x, ∆y) = ĺım(∆x,∆y)→(0,0)

ε2(∆x, ∆y) = 0

Como consecuencia se cumple la definición de diferenciabilidad en el

punto (a, b), poniendo M = f x(a, b) y N = f y(a, b).

Tema 3

Diferenciabilidad

Ejemplo

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Como f x(x, y) = 2x

−y, f y(x, y) =

−x + 1

⇒f x(a, b) =


ĺım(∆x,∆y)→(0,0)

ε1(∆x, ∆y) = ĺım(∆x,∆y)→(0,0)

ε2(∆x, ∆y) = 0

Como consecuencia se cumple la definición de diferenciabilidad en el

punto (a, b), poniendo M = f x(a, b) y N = f y(a, b). Las relacionesobtenidas en el ejemplo, para M y N , son ciertas en general, aunque el

procedimiento aquı́ empleado, de cálculo directo, se hace complicado en

la mayorı́a de los casos.

Tema 3

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Diferenciabilidad

Si ∆z no es función lineal de (∆x, ∆y), f no es diferenciable.


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( , y), fSe verifica el siguiente:

Teorema Si f es diferenciable en (a, b) y dz = M ∆x + N ∆y es su diferencial en ese punto, entonces existen la derivadas parciales

f x(a, b), f y(a, b) y coinciden con M y N respectivamente:

M = f x(a, b), N = f y(a, b)

Tema 3

Diferenciabilidad


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( , y), fSe verifica el siguiente:



M = f x(a, b), N = f y(a, b)

Considerando la función

z = x ⇒

Tema 3

Diferenciabilidad


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63/144

( , y) fSe verifica el siguiente:



M = f x(a, b), N = f y(a, b)


z = x ⇒ f x = 1, f y = 0 ⇒ dz = dx = 1∆x ⇒ dx = ∆x.

Tema 3

Diferenciabilidad


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Se verifica el siguiente:



M = f x(a, b), N = f y(a, b)


z = x ⇒ f x = 1, f y = 0 ⇒ dz = dx = 1∆x ⇒ dx = ∆x.Análogamente si

z = y ⇒ f x = 0, f y = 1 ⇒ dz = dy = 1∆y ⇒ dy = ∆y.

Tema 3

Diferenciabilidad




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Se verifica el siguiente:



M = f x(a, b), N = f y(a, b)


z = x ⇒ f x = 1, f y = 0 ⇒ dz = dx = 1∆x ⇒ dx = ∆x.Análogamente si

z = y ⇒ f x = 0, f y = 1 ⇒ dz = dy = 1∆y ⇒ dy = ∆y. .Por lo tanto dz se puede escribir en la forma

dz = f x(a, b)dx + f y(a, b)dy

Tema 3

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Diferenciabilidad


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Ejercicio

Estudiar la diferenciabilidad en el origen de la función:

f (x, y) =

e

−1

x2+y2 si x2 + y2 = 00 si (x, y) = 0

Tema 3

Plano tangente y diferenciabilidad

P i bl l i t i d d i d t i l

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Para una variable, la existencia de derivada en un punto, equivale

a la existencia de recta tangente en el mismo punto.

Tema 3


P i bl l i t i d d i d t i l

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Veremos que para dos variables la diferenciabilidad en unpunto equivale a la existencia de plano tangente a la superficie

que representa la función, en el mismo punto.

Tema 3


Para una variable la existencia de derivada en un punto equivale

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Veremos que para dos variables la diferenciabilidad en unpunto equivale a la existencia de plano tangente a la superficie

que representa la función, en el mismo punto. En general, la

existencia de derivadas parciales no garantiza la existencia de

plano tangente.

Se tiene el siguiente resultado fundamental:

Teorema

La superficie z = f (x, y) admite plano tangente en el punto P (a,b,f (a, b)) si y solo si la funci ́ on f es diferenciable en el punto

(a, b), y en este caso su ecuaci ́ on es

f x(a, b)(x − a) + f y(a, b)(y − b) − (z − f (a, b)) = 0

Tema 3


Supongamos, para demostrarlo, que f es diferenciable en el punto

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P (a, b), y llamemos x = a + ∆x, y = b + ∆y, c = f (a, b)

Tema 3



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p ga s, pa a s a , q f s a p

P (a, b), y llamemos x = a + ∆x, y = b + ∆y, c = f (a, b) por lo que debeverificarse, por definición de diferenciabilidad:

f (x, y) = c + f x(a, b)(x − a) + f y(a, b)(y − b) + ε

(x − a)2 + (y − b)2

Tema 3



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p g , p , q f p



(x − a)2 + (y − b)2El plano que tiene por ecuación z = c + f x(a, b)(x − a) + f y(a, b)(y − b)tiene la propiedad de que la diferencia entre la ‘z’ de la función y la ‘z’ del

plano es un infinitésimo de orden superior a (x − a)2 + (y − b)2

cuando (∆x, ∆y) → (0, 0), ya que se tienef (x, y)− (c + f x(a, b)(x− a) + f y(a, b)(y− b)) = ε

(x − a)2 + (y − b)2

luego z(de la función) − z(del plano) = ε

(x − a)2 + (y − b)2.

Tema 3



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p g p q f p



(x − a)2 + (y − b)2El plano que tiene por ecuación z = c + f x(a, b)(x − a) + f y(a, b)(y − b)tiene la propiedad de que la diferencia entre la ‘z’ de la función y la ‘z’ del

plano es un infinitésimo de orden superior a (x − a)2 + (y − b)2

cuando (∆x, ∆y) → (0, 0), ya que se tienef (x, y)− (c + f x(a, b)(x− a) + f y(a, b)(y− b)) = ε

(x − a)2 + (y − b)2

luego z(de la función) − z(del plano) = ε

(x − a)2 + (y − b)2. Ademásse cumple:

z(de la función)−z(del plano)√ (x−a)2+(y−b)2

= ε siendo ĺım(∆x,∆y)→(0,0)

ε = 0, con lo

que se prueba lo afirmado anteriormente. El plano considerado antes esel plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el punto P (a,b,f (a, b)),y la condición que verifica se toma como definición de plano tangente a

una superficie en un punto.

Tema 3

Interpretación geométrica de la diferencial

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Tema 3

Regla de la cadena

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Estudiemos ahora la regla de la cadena o la derivada de la función

compuesta para funciones de dos variables.

Tema 3

Regla de la cadena

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77/144


compuesta para funciones de dos variables.Regla de la cadena para el caso:

z = f (x, y), x = g(t), y = h(t).

Tema 3

Regla de la cadena

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78/144


compuesta para funciones de dos variables.Regla de la cadena para el caso:

z = f (x, y), x = g(t), y = h(t).

Teorema Sea z = f (x, y) diferenciable en (x, y). Six = g(t), y = h(t), siendo g y h funciones derivables en t,entonces f es derivable en t, y su derivada es

z(t) = zxx

(t) + zyy

(t).

Tema 3

Regla de la cadena

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Ejemplo

Siendo z = xy2

− x2

, con x = cos t, y = sen t, verificamos elresultado anterior calculando z (t) de dos formas distintas:directamente sustituyendo x, y en función de t,

Tema 3

Regla de la cadena

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Ejemplo

Siendo z = xy2

− x2

, con x = cos t, y = sen t, verificamos elresultado anterior calculando z (t) de dos formas distintas:directamente sustituyendo x, y en función de t, y aplicando el

teorema anterior:

z(t) = cos t sen2

t − cos2

t ⇒ z(t) = − sen t sen2

t +2cos t cos t sen t+2sen t cos t = − sen3 t+2cos2 t sen t+2sen t cos t

Tema 3

Regla de la cadena

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Ejemplo

Siendo z = xy2

− x2


teorema anterior:

z(t) = cos t sen2

t − cos2



z(t) = zxx(t) + zyy(t) = (y2 − 2x)(− sen t) + 2xy cos t =(sen2 t − 2cos t)(− sen t) + 2 cos2 t sen t,

Tema 3

Regla de la cadena



82/144

Ejemplo

Siendo z = xy2

− x2


teorema anterior:

z(t) = cos t sen2

t − cos2



z(t) = zxx(t) + zyy(t) = (y2 − 2x)(− sen t) + 2xy cos t =(sen2 t − 2cos t)(− sen t) + 2 cos2 t sen t,

que coincide con el resultado anterior.

Tema 3

Regla de la cadena

z = f (x, y), x = g(t), y = h(t)

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f( , y), g( ), y ( )

z (t) = z xx(t) + z yy(t)

Tema 3

Regla de la cadena

Regla de la cadena para el caso:

z = f (x y) x = g(u v) y = h(u v):

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z = f (x, y), x = g(u, v), y = h(u, v):

Tema 3

Regla de la cadena


z = f (x, y), x = g(u, v), y = h(u, v):

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85/144

z f (x, y), x g(u, v), y h(u, v):Teorema

Si f es diferenciable en (x, y) y existen las derivadas parcialesxu, xv, yu, yv en (u, v), entonces existen zu, zv en (u, v) y severifica:

zu = zxxu + zyyuzv = zxxv + zyyv

Tema 3

Regla de la cadena


z = f (x, y), x = g(u, v), y = h(u, v):

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86/144

z f (x, y), x g(u, v), y h(u, v):Teorema



Para funciones de más de dos variables se obtienen resultados

análogos.

Tema 3

Regla de la cadena


z = f (x, y), x = g(u, v), y = h(u, v):



87/144

f ( , y), g( , ), y ( , )Teorema



Para funciones de más de dos variables se obtienen resultados

análogos.

Ejercicio

Siendo z = x2y2

2 , x = u + v, y = u

−v, calcular zu, zv de dos

formas distintas:

a) Sustituyendo x e y en función de u y v.

b) Aplicando el teorema anterior.

Tema 3

Regla de la cadena



88/144

z = f (x, y), x = g(u, v), y = h(u, v)

z u = z xxu + z yyuz v = z xxv + z yyv

Tema 3

Regla de la cadena



89/144

Otro ejemplo:

z = F (u,v,w), u = g(x, y), v = h(x, y), w = k(x, y)

F x = F uux + F vvx + F wwx

F y = F uuy + F vvy + F wwy

Tema 3

Regla de la cadena

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90/144

Otro ejemplo:

z = F (u,v,w), u = g(x, y), v = h(x, y), w = k(x, y)

F x = F uux + F vvx + F wwx

F y = F uuy + F vvy + F wwy

Se usará más adelante al derivar implı́citamente.

Tema 3

Derivación en forma implı́cita

El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha

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91/144

sido z = f (x, y).

Tema 3



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92/144

sido z = f (x, y). Decimos que z está dada en forma explicita , es

decir, despejada en función de x e y.

Tema 3



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93/144


decir, despejada en función de x e y.

Otra forma, mas general, de definir z como función de x e y es

F (x,y,z) = 0.

Tema 3



( )

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94/144


decir, despejada en función de x e y.Otra forma, mas general, de definir z como función de x e y es

F (x,y,z) = 0. Se llama forma impl ́ ıcita de definir z como funciónde x, y (la z no está despejada).

Tema 3



id f ( ) D i ´ d d f li i

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95/144




El pasar de la forma explicita a la implı́cita es inmediato:

z = f (x, y) ⇒ z − f (x, y) = 0.

Tema 3



id f ( ) D i t ´ d d f li it

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96/144





z = f (x, y) ⇒ z − f (x, y) = 0. Si llamamosF (x,y,z) = z − f (x, y) ⇒ F (x,y,z) = 0.

Tema 3



id f ( ) D i t ´ d d f li it

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97/144

sido z = f (x, y). Decimos que z esta dada en forma explicita , es




z = f (x, y) ⇒ z − f (x, y) = 0. Si llamamosF (x,y,z) = z − f (x, y) ⇒ F (x,y,z) = 0.

El pasar de la forma implı́cita a la explicita, en general, es más

complicado.

Tema 3

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98/144

Derivación en forma implı́citaSupongamos que z está definida implı́citamente como función de

x e y, o sea F (x,y,z) = 0.


99/144

Tema 3


x e y, o sea F (x,y,z) = 0. Considerando F como una función detres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la

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100/144

igualdad F (x,y,z) = 0,

Tema 3



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101/144

igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x = 0x ⇒ F x = 0, F y = 0.

Tema 3





102/144

igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x = 0x ⇒ F x = 0, F y = 0.Derivando respecto de x :F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0,

Tema 3



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103/144

igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x = 0x ⇒ F x = 0, F y = 0.Derivando respecto de x :F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF z

Tema 3



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104/144


Derivando respecto de y :

F y = F xxy + F yyy + F zzy = 0,

Tema 3



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105/144



F y = F xxy + F yyy + F zzy = 0, como xy = 0, yy = 1,

⇒zy =

−F yF z

Tema 3



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106/144




⇒zy =

−F yF z

Ejemplo

Siendo z3 sen x + zexy − xy = 0, obtener zx, zy aplicando elresultado anterior.

Tema 3



i ld d F bti F F F

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107/144

igualdad F (

x,y,z) = 0

, se obtiene F x = 0x ⇒

F x = 0

, F y = 0

.

Derivando respecto de x :

F x = F xxx + F yyx + F zzx = 0, como xx = 1, yx = 0,⇒ zx = −F xF zDerivando respecto de y :


⇒zy =

−F yF z

Ejemplo


Sol: En este caso F (x,y,z) = z3 sen x + zexy − xy, luego

Tema 3

Derivaci´on en forma implı́cita

Supongamos que z está definida implı́citamente como función de


igualdad F se obtiene F F F

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108/144

igualdad F (

x,y,z) = 0


F x = 0

, F y = 0

.




⇒zy =

−F yF z

Ejemplo


Sol: En este caso F (x,y,z) = z3 sen x + zexy − xy, luegoF x = z

3

cos x + zyexy

− y,

Tema 3

Derivaci´on en forma implı́cita



igualdad F x y z se obtiene F F F

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109/144

igualdad F (

x,y,z) = 0


F x = 0

, F y = 0

.




⇒zy =

−F yF z

Ejemplo



3

cos x + zyexy

− y, F y = zxexy

− x,

Tema 3




igualdad F (x y z) = 0 se obtiene F = 0 F = 0 F = 0

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110/144

igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x

= 0x ⇒

F x

= 0, F y

= 0.Derivando respecto de x :



⇒zy =

−F yF z

Ejemplo



3

cos x + zyexy

− y, F y = zxexy

− x, F z = 3z2

sen x + exy

.

Tema 3




igualdad F (x y z) = 0 se obtiene F = 0 F = 0 F = 0

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111/144

igualdad F (x,y,z) = 0, se obtiene F x

= 0x ⇒

F x

= 0, F y

= 0.Derivando respecto de x :



⇒zy =

−F yF z

Ejemplo



3

cos x + zyexy

− y, F y = zxexy

− x, F z = 3z2

sen x + exy

.Por lo que sustituyendo queda:

zx = −z3 cosx−zyexy+y

3z2 senx+exy , zy =

−xzexy+x3z2 senx+exy

Tema 3


Ejercicio

Con el mismo dato del ejemplo anterior, obtener zx, zyderivando directamente la igualdad z3 sen x + zexy xy = 0, y

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g

−y y

considerando que z es función de x e y. Comprobar que elresultado obtenido coincide con el anterior.

Tema 3


Como otra aplicación de la derivación implı́cita, obtengamos la

ecuación de plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el puntoP (a,b,c) cuando esta viene dada en forma implı́citaF (x y z) = 0

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113/144

F (x,y,z) = 0.

Tema 3



ecuación de plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el puntoP (a,b,c) cuando esta viene dada en forma implı́citaF (x y z) = 0



114/144

F (x,y,z) 0.Se obtuvo que la ecuación es:

zx(a, b)(x − a) + zy(a, b)(y − b) − (z − c) = 0

Tema 3



ecuación de plano tangente a la superficie z = f (x, y) en el puntoP (a,b,c) cuando esta viene dada en forma implı́citaF (x,y,z) = 0.



115/144

F (x,y,z) 0.Se obtuvo que la ecuación es:

zx(a, b)(x − a) + zy(a, b)(y − b) − (z − c) = 0Siendo zx =

−F xF z

, zy = −F yF z

, sustituyendo queda:

Tema 3






116/144

( ,y,z) 0Se obtuvo que la ecuación es:


−F xF z

, zy = −F yF z


−F x(a,b,c)F z(a,b,c) (x − a)− −F y(a,b,c)F z(a,b,c) (y − b) − (z − c) = 0 ⇒

Tema 3






117/144

( ,y, )Se obtuvo que la ecuación es:


−F xF z

, zy = −F yF z


−F x(a,b,c)F z(a,b,c) (x − a)− −F y(a,b,c

)F z(a,b,c) (y − b) − (z − c) = 0 ⇒F x(a,b,c)(x − a) + F y(a,b,c)(y − b) + F z(a,b,c)(z − c) = 0

Tema 3




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118/144

( ,y, )Se obtuvo que la ecuación es:


−F xF z

, zy = −F yF z


−F x(a,b,c

)F z(a,b,c) (x − a)− −F y(a,b,c


Luego la recta normal en el punto P (a,b,c) tiene como vectordirector (F x(a,b,c), F y(a,b,c), F z(a,b,c)),

Tema 3




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119/144

( y )Se obtuvo que la ecuación es:


−F xF z

, zy = −F yF z


−F x(a,b,c

)F z(a,b,c) (x − a)− −F y(a,b,c


Luego la recta normal en el punto P (a,b,c) tiene como vectordirector (F x(a,b,c), F y(a,b,c), F z(a,b,c)), por lo que su ecuación

en forma paramétrica esx = a + λF x(a,b,c)y = b + λF y(a,b,c)z = c + λF z(a,b,c)

Tema 3


Ejemplo: Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a

la superficie 2x

z + 2y

z = 8, en el punto P (2, 2, 1).

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Tema 3



la superficie 2x

z + 2y

z = 8, en el punto P (2, 2, 1).Sol: En este caso es F (x,y,z) = 2

x

z + 2y

z = 8, calculamos lasderivadas parciales:

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121/144

Tema 3



la superficie 2x

z + 2y


x

z + 2y


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122/144

F x = log(2)1z

2x

z ,

Tema 3



la superficie 2x

z + 2y


x

z + 2y


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123/144

F x = log(2)1z

2x

z , F y = log(2)1z

2y

z , F z = − log(2) xz2 2x

z −log(2) yz2

2y

z

Tema 3



la superficie 2x

z + 2y


x

z + 2y


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124/144

F x = log(2)1z

2x

z , F y = log(2)1z

2y

z , F z = − log(2) xz2 2x

z −log(2) yz2

2y

z

Tomando valores en P :

F x(2, 2, 1) = 4 log 2, F y(2, 2, 1) = 4 log 2, F z(2, 2, 1) =

−8log2− 8 log 2 = −16log2

Tema 3



la superficie 2x

z + 2y


x

z + 2y


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125/144

F x = log(2)1z

2x

z , F y = log(2)1z

2y

z , F z = − log(2) xz2 2x

z −log(2) yz2

2y

z


F x(2, 2, 1) = 4 log 2, F y(2, 2, 1) = 4 log 2, F z(2, 2, 1) =

−8log2

−8 log 2 =

−16log2

Como consecuencia la ecuación del plano tangente en P es

4log2(x − 2) + 4 log 2(y − 2)− 16 log 2(z − 1) = 0 ⇒x − 2 + y − 2 − 4z + 4 = 0 ⇒ x + y − 4z = 0

Tema 3



la superficie 2x

z + 2y


x

z + 2y


y y



126/144

F x = log(2)1z

2x

z , F y = log(2)1z

2y

z , F z = − log(2) xz2 2x

z −log(2) yz2

2y

z


F x(2, 2, 1) = 4 log 2, F y(2, 2, 1) = 4 log 2, F z(2, 2, 1) =

−8log2

−8 log 2 =

−16log2

Como consecuencia la ecuación del plano tangente en P es

4log2(x − 2) + 4 log 2(y − 2)− 16 log 2(z − 1) = 0 ⇒x − 2 + y − 2 − 4z + 4 = 0 ⇒ x + y − 4z = 0

La ecuación de la recta normal esx = 2 + λy = 2 + λ

z = 1 − aλ

Tema 3


Ejercicio

Obtener las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a

la superficie z2 + 4z + x2 = 0, en los puntos de intersección con elj OZ

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127/144

eje OZ.

Tema 3

Fórmula de Taylor para funciones de dos variables

Estudiemos ahora la fórmula de Taylor para funciones de dos variables.

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128/144

Tema 3



Se verifica el siguiente

Teorema Sea z = f (x, y) definida en un entorno de P (a, b), conderivadas parciales continuas hasta el orden n en el mismo entorno, y

existiendo todas las derivadas parciales de orden n + 1 en dicho

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129/144

existiendo todas las derivadas parciales de orden n + 1 en dichoentorno. Entonces f (x, y) se puede escribir en la forma

f (x, y) = P n(x, y) + Rn(x, y), (fórmula de Taylor)

siendo P n(x, y) un polinomio de grado n en (x − a) e (y − b),

Tema 3





existiendo todas las derivadas parciales de orden n + 1 en dicho



130/144



siendo P n(x, y) un polinomio de grado n en (x − a) e (y − b), y Rn(x, y)

un infinitésimo de orden superior a

(x − a)2

+ (y − b)2n

cuando(x, y) → (a, b).

Tema 3





existiendo todas las derivadas parciales de orden n + 1 en dichof ( )

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131/144



siendo P n(x, y) un polinomio de grado n en (x − a) e (y − b), y Rn(x, y)

un infinitésimo de orden superior a

(x − a)2

+ (y − b)2n

cuando(x, y) → (a, b).

La expresión concreta de P n(x, y) es

P n(x, y) = f (a, b) +n

k=11k! (x− a)

∂ ∂x

+ (y − b) ∂ ∂y

k

f (a, b)

donde las potencias se entienden de manera simbólica, es decir, al

actuar el exponente sobre los sı́mbolos de derivada parcial

representarán derivación sucesiva, y al actuar sobre (x − a) o (y − b)representarán potencias.

Tema 3


Aclaremos esto obteniendo P n(x, y) para algunos valores de n:

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132/144

Tema 3



n = 1, P 1(x, y) = f (a, b) + (x

−a)f x(a, b) + (y

−b)f y(a, b)

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133/144

− −

Tema 3



n = 1, P 1(x, y) = f (a, b) + (x

−a)f x(a, b) + (y

−b)f y(a, b)

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134/144

n = 2, P 2(x, y) = f (a, b) + (x − a)f x(a, b) + (y − b)f y(a, b) +12((x − a)2f xx(a, b) + 2(x − a)(y − b)f xy(a, b) + (y − b)2f yy(a, b))

Tema 3



n = 1, P 1(x, y) = f (a, b) + (x

−a)f x(a, b) + (y

−b)f y(a, b)

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135/144

n = 2, P 2(x, y) = f (a, b) + (x − a)f x(a, b) + (y − b)f y(a, b) +12((x − a)2f xx(a, b) + 2(x − a)(y − b)f xy(a, b) + (y − b)2f yy(a, b))n = 3, P 3(x, y) = f (a, b) + (x − a)f x(a, b) + (y − b)f y(a, b) +12((x − a)2f xx(a, b)+2(x − a)(y − b)f xy(a, b)+(y − b)2f yy(a, b))+16((x − a)3f xxx(a, b) + 3(x − a)2(y − b)f xxy(a, b) +3(x − a)(y − b)2f xyy(a, b) + (y − b)3f yyy(a, b))

Tema 3

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136/144


137/144


Ejemplo

Obtener la fórmula de McLaurin de orden dos para la función

f (x, y) = e

x

cos y.Sol: En este caso a = b = 0 Necesitamos calcular las derivadas


138/144

f ( , y) cos ySol: En este caso a = b = 0. Necesitamos calcular las derivadasparciales primeras y segundas:

Tema 3


Ejemplo


f (

x, y) =

ex

cosy.

Sol: En este caso a = b = 0 Necesitamos calcular las derivadas

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139/144

( )Sol: En este caso a = b = 0. Necesitamos calcular las derivadasparciales primeras y segundas:

f x(x, y) = ex cos y, f y(x, y) = −ex sen y,

Tema 3


Ejemplo


f (

x, y) =

ex

cosy.

Sol: En este caso a = b = 0 Necesitamos calcular las derivadas

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140/144

( )Sol: En este caso a = b = 0. Necesitamos calcular las derivadasparciales primeras y segundas:

f x(x, y) = ex cos y, f y(x, y) = −ex sen y,

f xx(x, y) = ex cos y, f yy(x, y) = −ex cos y, f xy(x, y) = −ex sen y

Sus valores en el punto (0, 0) son: f x(0, 0) = 1, f y(0, 0) =0, f xx(0, 0) = 1, f yy(0, 0) = −1,f xy(0, 0) = 0, f (0, 0) = 1. Por lotanto

ex cos y = 1 + x + 12(x2 − y2) + R2(x, y)

donde R2(x, y) es un infinitésimo de orden superior a

x2

+ y2 2

,para (x, y) → (0, 0).

Tema 3


Ejemplo

Obtener el desarrollo de Taylor de orden dos de la función

f (x, y) = yx, en un entorno del punto (1, 1).

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141/144

Tema 3


Ejemplo



Sol: Calculemos las derivadas parciales de primer y segundoorden

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142/144

orden.

f x(x, y) = y2 ln y, f y(x, y) = xy

x−1, f xx = ln yyx ln y =yx ln2 y, f yy = x(x − 1)yx−2, f xy(x, y) = xyx−1 ln y + yx 1y =xyx−1 ln y + yx−1 = yx−1(x ln y + 1)

Tema 3


Ejemplo




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143/144

orden.


x−1, f xx = ln yyx ln y =yx ln2 y, f yy = x(x − 1)yx−2, f xy(x, y) = xyx−1 ln y + yx 1y =xyx−1 ln y + yx−1 = yx−1(x ln y + 1)Sus valores en el punto (1, 1) son f x(1, 1) =0, f y(1, 1) = 1, f xx(1, 1) = 0, f yy(1, 1) = 0, f xy(1, 1) = 1.

Tema 3


Ejemplo




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orden.


x−1, f xx = ln yyx ln y =yx ln2 y, f yy = x(x − 1)yx−2, f xy(x, y) = xyx−1 ln y + yx 1y =xyx−1 ln y + yx−1 = yx−1(x ln y + 1)Sus valores en el punto (1, 1) son f x(1, 1) =0, f y(1, 1) = 1, f xx(1, 1) = 0, f yy(1, 1) = 0, f xy(1, 1) = 1. Ademásf (1, 1) = 1, luego se tiene:

yx = 1 + (y − 1) + 122(x − 1)(y − 1) + R2(x, y) ⇒yx = 1 + (y

−1) + (x

−1)(y

−1) + R

2(x, y)

donde R2(x, y) es un infinitésimo de orden superior a (x − 1)2 + (y − 1)2 2, para (x, y) → (1, 1).

Tema 3
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tema3-gradiente y diferencial

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