Tema 1. Movimiento ondulatorio

1.1. Introduccin 1.2 Ecuacin de ondas 1.3 Ondas armnicas Velocidad de fase de la onda

1.4 Superposicin de ondas Superposicin de ondas escalares de la misma frecuencia Superposicin de ondas: ondas estacionarias. Superposicin de ondas escalares de la diferente frecuencia. Velocidad del grupo de ondas.

1.5 Ondas anarmnicas. Series de Fourier Ondas no peridicas. Transformada de Fourier

1.6 Ondas en tres dimensiones. 1.7 El efecto Doppler A.1 Apndice. Representacin compleja de las ondas.

Miguel Antn Revilla Departamento de ptica EUO

1.1. Introduccin Hay muchos fenmenos fsicos, aparentemente muy diferentes entre s, que pueden describirse mediante la propagacin de ondas. El viento que mueve un campo de trigo determina un movimiento colectivo en forma de onda que se difunde a lo largo de toda su extensin. Podemos distinguir aqu dos clases de movimiento, el de la propagacin

de la onda y el de cada una de las espigas, las cuales ejecutan movimientos de vaivn en torno a su posicin de equilibrio, pero no se trasladan. En el caso del golpe de una piedra sobre la superficie tranquila del agua de un estanque, se observa la propagacin de ondas esfricas que se agrandan paulatinamente. De nuevo pueden observarse dos movimientos, el de avance de pequeos abultamientos que constituyen la onda y el movimiento de las partculas de agua que realizan movimientos hacia arriba y hacia abajo en direccin perpendicular al de la propagacin de la onda. Se trata de una onda transversal. Este hecho se puede demostrar situando pequeos flotadores en la superficie

del agua. Se observar su movimiento de vaivn pero no su desplazamiento en la direccin de avance de los abultamientos.

El sonido es otro ejemplo de propagacin de ondas. En efecto, si se produce un sbito cambio de presin en el emisor, las partculas de aire prximas se comprimen y se produce un cambio de presin que empuja ms aire. a su vez este aire se comprime dando lugar a una presin adicional. El resultado es que este cambio de presin se propaga del emisor al receptor. Tambin podramos decir que lo que se propaga es un cambio de densidad. En este caso, las partculas de aire ejecutan pequeos desplazamientos en torno a su posicin de equilibrio pero a lo largo de la direccin en la que se propaga la onda. Se trata de una onda longitudinal

Ciertamente, en todos los casos comentados se trata de movimiento de partculas en torno a su posicin de equilibrio, pero lo que se propaga no son las partculas sino un cierto estado de perturbacin de la materia. De una manera genrica diremos que una onda representa la propagacin de un estado de perturbacin de la materia o del campo (elctrico, magntico, gravitatorio). En el caso de una onda en el agua, las partculas de agua ejecutan movimientos en torno a su posicin de equilibrio, pero no se trasladan. Lo que se transmite de un punto a otro es el estado de perturbacin creado en un momento dado y en un punto. En este caso se trata de una onda transversal ya que la direccin de de la perturbacin tiene lugar perpendicularmente a la direccin en la que vibran las partculas de agua.

Como ya hemos dicho ms arriba, las ondas del sonido son ondas longitudinales. En este caso un cambio brusco de presin o densidad en un punto hace que las partculas de aire se desplacen de su posicin de

equilibrio empujando a las contiguas. De este modo se propaga ese cambio de presin de un punto a otro del espacio y en la misma direccin en la que vib ran las partculas. Tanto las ondas en el agua como las ondas de sonido son ondas mecnicas ya que en ltima instancia representan la propagacin de estados de perturbacin de la materia y son producidas por movimientos de partculas. De hecho, los que se transmite de un punto a otro es la energa mecnica de estas partculas que oscilan en torno a su posicin de equilibrio. Pero existen tambin ondas de carcter electromagntico, tales como las ondas de radio, las ondas que produce un horno microondas o la propia luz visible que nos permite ver los objetos. En este caso lo que se propaga de un punto a otro del espacio es un estado de perturbacin del campo electromagntico. Por ejemplo, si se hace oscilar cargas elctricas mediante corrientes alternas, en las proximidades se perturba el campo elctrico y magntico. Esta perturbacin se puede propagar en el vac o en forma de ondas. Las ondas as generadas tienen longitudes de ondas de metros o centmetros y se usan en transmisiones de radio y televisin. Estas ondas son captadas por antenas Si hacemos oscilar a los electrones de los tomos o molculas, tambin se producen ondas electromagnticas , slo que en este caso, su longitud de onda ser mucho menos, del orden de dcimas de micra. De hecho, existe una gran variedad de ondas electromagnticas que se diferencian por su longitud de onda. En la figura se muestra el espectro electromagntico. Dentro de l existe una pequea porcin, entre 340 y 780 nm que constituye el espectro visible capaz de producir estmulos visuales en el ojo humano.

1.2 Ecuacin de ondas Sera interesante obtener algn tipo de ecuacin que describiera el movimiento de esta perturbacin, una ecuacin que fuera a la onda lo que la ley de Newton es al movimiento de una partcula. Esto es lo que haremos a continuacin. Consideraremos el caso de una perturbacin o pulso que se propaga sin deformarse tal como se indica en la figura. La amplitud del pulso se define en todos los puntos del espacio y en cada instante de tiempo. Podremos describirlo por una cierta funcin Y(x,t) = f(x,t)

Si el pulso viaja durante un cierto tiempo t a una velocidad v y no cambia de forma al propagarse, se cumplir que la forma de la funcin Y(x) en el sistema en reposo, tomar los mismos valores referidos al sistema que se mueve con el pulso, esto es,

donde Por lo tanto, la funcin Y(x,t), representar el movimiento de un pulso que no se deforma siempre que su expresin funcional sea de la forma es decir, las variables x y t no entran en la funcin de cualquier manera sino en la forma x-vt. El mismo argumento se podra utilizar para analizar la propagacin de pulsos en la direccin negativa del eje X. Basta con cambiar el signo de la velocidad, con lo que se obtendra una funcin del tipo

Veamos esto con un ejemplo. Considrese q ue en t=0, el pulso est determinado por la funcin

Si el pulso se propaga a la velocidad v=2 m/s sin deformarse, entonces, en otro instante se podr expresar como se podr expresar como

)'(),( xftx =Y

txx v' -=

)v(),( txftx -=Y

)v(),( txftx +=Y

23)0,( xex -=Y

( ) ( )22 2v 33),( txtx eetx ---- ==Y

En la figura se muestra el pulso en todos los puntos del espacio y en diferentes instantes de tiempo . Vamos a tratar de encontrar una ecuacin diferencial de la funcin Y(x,t), cuya solucin tenga la forma f(x-vt). Para ello, derivaremos dos veces la funcin Y(x,t) respecto del espacio y respecto del tiempo.

Por otra parte, si derivamos respecto del tiempo

Comparando ambas expresiones, se llega a

Toda funcin que satisfaga esta ecuacin, representa la propagacin de una perturbacin que se desplaza en el espacio a la velocidad v. Esta ecuacin representa la ecuacin diferencial de una onda.

=

=

Y

uf

xu

uf

x 22

u

fxu

u

uf

=

=22

x

Y

22

2

vu

ftu

uu

f

=

=22

t

Y( ) -

=

=Y

vuf

tu

uf

t

( ) ( )2

2

22

2 ,

v

1,

t

tx

x

tx

Y=

Y

t=0 t=2 s t=3 s Y(x,t)

x

1.3 Ondas armnicas Un caso particularmente interesante lo constituyen las soluciones cuya forma de la perturbacin funcin Y(x,t) es una funcin armnica. Por un lado sus propiedades matemticas son sencillas y constituyen una primera aproximacin a situaciones fsicas reales. Por otro lado, como veremos ms adelante, el teorema de Fourier permite expresar funciones ms comp lejas como una suma de funciones armnicas de diferentes frecuencias por lo que el estudio de tales funciones se reduce al de sus componentes elementales. Consideremos que en t=0, la funcin f es una funcin sinusoidal, donde k es una constante cuyo sig nificado especificaremos enseguida. Esta funcin caracteriza el estado de perturbacin de todos los puntos del espacio en el instante t=0. En otro instante de tiempo la onda vendr dada por Vamos a llevar a cabo dos representaciones, una espacial y otra temporal, que nos informarn de varios aspectos del movimiento ondulatorio armnico. La constante A indica el valor mximo que puede alcanzar la perturbacin Y(x,t) y se denomina amplitud de la onda. Adems, se puede apreciar que existen puntos del espacio que se encuentran en el mismo estado de perturbacin, esto es con la misma amplitud y la misma pendiente. En nuestro caso los mximos ocurren cuando La separacin que existe entre dos puntos consecutivos que se encuentran en el mismo estado de perturbacin recibe el nombre de longitud de onda, l o perodo espacial. La constante k recibe el nombre de nmero de onda o frecuencia espacial de la onda.

kxAx cos)0,( =Y

( )txkAtx vcos),( -=Y

lA

xA

Y(x,0)

km

xmkx mp

p2

2 ==

kp

l2

=

Podemos preguntarnos por la evolucin temporal de un determinado punto del espacio, por ejemplo por el punto x=0. En esta caso, deberemos considerar la funcin Y(0,t) , esto es donde kv=w. Aunque las dos grficas se parecen, representan dos aspectos muy distintos del movimiento ondulatorio. En este caso, la grfica muestra el movimiento armnico simple que est ejecutando el punto del origen. La separacin temporal entre dos estados contiguos de oscilacin del punto equivalentes se denomina periodo temporal de la onda, T. Puede verse que en nuestro caso La frecuencia n del movimiento ondulatorio viene dada por el nmero de oscilaciones por unidad de tiempo que ejecuta el punto x=0, es decir, Usualmente n se mide en Hertzios, mientras que la frecuencia angular, w se mide en radianes/segundo.

tAtkAt wcosvcos),0( ==Y

T

t

),0( tY

wp2

=T

pw

n2

1==

T

1.3.1 Velocidad de fase de la onda Dada la onda armnica se denomina fase de la onda a la cantidad Es evidente que los puntos en los cuales la fase vale lo mismo, se encuentran en el mismo estado de perturbacin. Las superficies de fase constante representan el perfil de la onda. As por ejemplo, las crestas de las ondas que se producen en el agua representan el lugar geomtrico donde la fase toma el mismo valor. Podemos preguntarnos por la velocidad con la que se propagan estas superficies de fase constante. Para ello, considrese la figura. En ella se ha representado la funcin Y(x,t) en diferentes instantes de tiempo, t=0, t=T/4, t=T/2, t=3T/2 y t=T. Podemos ver que en t=0, el primer punto que alcanza el mximo valor de la perturbacin Y(x,t) es el punto x=0. Aqu la fase de la onda toma un valor f(0,0)=k0- w 0= 0, tal que cos 0= 1. Un instante de tiempo despus, t= T/4, el mximo de la perturbacin se ha desplazado a otro punto de coordenada x1. En este punto la fase ha de vale r lo mismo que en el anterior. Por lo tanto La velocidad con la que se desplaza la perturbacin se puede calcular sin ms que dividir el espacio que ha recorrido el mximo entre el tiempo que ha tardado en hacerlo, esto es

( )tkxAtx w-=Y cos),(

tkxtx w-=F ),(

0=t

4/Tt =

2/Tt =

4/3Tt =

4/4Tt =

041

=-T

kx w

kTx w

==4

v 1f

Este valor representa la velocidad con la que se propagan las superficies de fase constante por lo que se denomina velocidad de fase de la onda. En nuestro caso, la velocidad de fase coincide con la velocidad con la que se propaga la onda. Ejemplo 1. Dada la onda armnica, calcular la frecuencia angular, la longitud de onda, la amplitud y la velocidad de fase. Las unidades estn dadas en el sistema internacional. Se trata de una onda armnica que se propaga en la direccin del eje X, tienen una amplitud A=10 m y tiene una frecuencia w=100 rad/s. Por otra parte, el nmero de onda, k es La velocidad de fase ser

Ejemplo 2. Dar la expresin de una onda escalar de presin que se propaga en la direccin positiva del eje OX, tiene una amplitud de 5 Nw/m2, una frecuencia de 440 Hz y se propaga a una velocidad de 340 m/s. La expresin de la onda ser de la forma Como se tendr

( )txtx 10020cos10),( -=Y

mk 314.02022

20 ====p

llp

( )tkxAtx w-=Y cos),(128.1

340440

v-=== mk

w ( )txtx 44028.1cos5),( -=Y

1520

100v -=== m

kw

1.4 Superposicin de ondas Unos de los fenmenos ms interesantes de las ondas es que dos o ms ondas pueden superponerse en una cierta

regin del espacio. En general, si se dan ciertas condiciones, que analizaremos enseguida, la superposicin de dos ondas se manifiesta en una redistribucin espacial de la energa, esto es, en bandas brillantes y oscuras denominadas franjas de interferencia. En la figura se puede apreciar lo que decimos: dos fuentes coherentes emiten ondas esfricas hacia delante. Existen zonas del espacio donde una cresta de una onda proveniente de una de las fuentes se superpone con un valle de una onda proveniente de la fuente inferior. En el punto donde ocurre esto, la perturbacin total se cancela o es mnima.

Esto se debe al carcter lineal de la ecuacin de onda. En efecto, sean dos ondas escalares Y1(x,t) y Y2(x,t). Cada una de ellas debe satisfacer la ecuacin de onda, esto es Si sumamos las dos ecuaciones de arriba y tenemos en cuenta las propiedades de las derivadas se llega enseguida a que Por lo tanto, la funcin Y(x,t) =Y1(x,t) +Y2(x,t) tambin satisface la ecuacin de onda, por lo que la resultante de la superposicin ser una onda. Vamos a hora a calcular en algunos casos sencillos el valor de la amplitud de la onda resultante de la superposicin.

1.4.1 Superposicin de ondas escalares de la misma frecuencia Sean las dos ondas las cuales corresponden a dos ondas monocromtica de la misma frecuencia y diferente amplitud que viajan en la misma direccin. Obsrvese que adems difieren en la fase. Presentan un desfase dado por la cantidad d.

( ) ( )

( ) ( )2

22

222

2

21

2

221

2

,

v

1,

,

v

1,

t

tx

x

tx

t

tx

x

tx

Y=

Y

Y=

Y

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]2

212

2221

2 ,,

v

1,,

t

txtx

x

txtx

Y+Y=

Y+Y

( )tkxAtx w-=Y cos),( 11( )dw +-=Y tkxAtx cos),( 22

La onda resultante ser Desarrollando los cosenos se llega fcilmente a que la perturbacin resultante viene dada por donde Se trata de una onda de la misma frecuencia que la dos ondas pero cuya amplitud resultante depende de las amplitudes de las ondas que se superponen y tambin de su fase relativa, d . Dependiendo de la diferencia de fase tendremos diferentes situaciones que se esquematizan a continuacin:

En este caso las dos ondas estn en fase y la superposicin es constructiva: Ahora las dos ondas estn en oposicin de fase, cresta frente a vientre, por lo que la superposicin es destructiva: La amplitud resultante es menor que la suma de la amplitudes parciales.

Si adems de que d =(2m+1)p , las amplitudes de las ondas son iguales y por lo tanto, la irradiancia es nula:

Las dos ondas se superponen destructivamente.

pd m2=

21

)12(AAm

+= pd

21

)12(II

m=

+= pd

( ) ( )dww +-+-=Y+Y=Y tkxAtkxAtxtxtx coscos),(),(),( 2121

[ ] ( ) ( ) ( )fwwdwd +-=---+=Y tkxBtkxsensenAtkxAAtx coscoscos),( 221

( )

dd

f

ddd

costan

,cos2cos

21

2

2122

21

222

221

AAsenA

AAAAsenAAAB

+=

++=++=

22

21

22

21 2 AAAAB ++=

22

21

22

21 2 AAAAB -+=

0=B

1.4.2 Superposicin de ondas: ondas estacionarias. Existen muchas situaciones fsicas en las que se produce la superposicin de ondas de la misma frecuencia pero que viajan en direcciones opuestas. Por ejemplo, cuando una onda se enva hacia un espejo. En el espacio comprendido entre la fuente y el espejo tiene lugar una superposicin entre las ondas que van y las que vuelven reflejadas por este ltimo. Existen muchos dispositivos pticos, tales como los lseres, que contienen cavidades formadas por dos espejos enfrentados. En su interior la luz viaja en ambos sentidos a lo largo del eje de la cavidad, dando lugar a ondas estacionarias. Vamos a describir, mediante un ejemplo sencillo, en que consisten. Para simplificar el clculo, supongamos que las ondas que se superponen tienen la misma amplitud:

La superposicin vendr dada por Esta es la ecuacin de una onda estacionaria. Al contrario de las ondas que venimos comentando, el perfil de esta onda no se mueve en el espacio. Por ejemplo existen puntos donde la perturbacin resultante siempre es nula para cualquier instante de tiempo. En efecto, la perturbacin resultante es nula si Estos puntos se conocen como nodos o puntos nodales. Entre medias de estos puntos, es decir en x= l/4, 3l/4, 5l/4, ..., la amplitud tiene una valor 2, y estos puntos se conocen como antinodos. Se puede ver que los antinodos estn oscilando con el tiempo a la frecuencia w, pero la onda no se desplaza. En un experimento donde se producen ondas estacionarias se puede usar la informacin de que la distancia entre dos nodos consecutivos representa la mitad de la longitud de onda de la radiacin. De hecho fue as como Hertz midi por primera vez la longitud de onda de las ondas electromagnticas de radio. La intensidad de las ondas es proporcional al cuadrado de la amplitud, por lo que en el caso de las ondas estacionarias, se tiene donde IM(x) representa el promedio temporal de la intensidad que medira un detector. Esta expresin nos dice que la intensidad es mxima en los puntos donde es decir, la separacin entre dos mximos de intensidad es igual a la mitad de la longitud de onda.

( )( )tkxAsentx

tkxAsentxww

+=Y-=Y

),(),(

2

1

( ) ( ) tkxsenAtkxAsentkxAsentxtxtx www cos2),(),(),( 21 =++-=Y+Y=Y

,...2,1,02

0 === mmxkxsenl

2l l

23l

x

kxsenAxItkxsenAtxI M22222 4)(cos4),( w

21

lp=D== mm xk

mxkxsen

Utilizando este hecho podemos medir la velocidad de las ondas electromagnticas en casa mediante un horno microondas. En efecto, el horno produce ondas electromagnticas mediante un circuito electrnico. La frecuencia de

estas ondas viene indicada en el horno y suele ser v= 2450 MHz, por razones que veremos ms adelante. Dentro del horno las ondas se reflejan en las paredes metlicas del mismo y la interferencia forma un patrn de ondas estacionarias. Si colocamos dentro del horno (al que habremos retirado la plataforma giratoria) algn material que se ablande con el calor, por ejemplo, lonchas de queso, se quemarn apreciablemente las zonas donde se producen los mximos de intensidad de estas ondas. En la figura se pueden apreciar las zonas ms quemadas. La distancia entre estas zonas ser igual a la mitad de la longitud de onda de la radiacin. En la foto se ve que esta distancia es del orden de 6 cm. Por lo tanto, la velocidad de las ondas ser

sm /x1094.2)(12x10 )x10 8-262450(2

vv

2===== nl

pwlw

lp

1.4.3 Superposicin de ondas escalares de diferente frecuencia. Velocidad del grupo de ondas. Consideraremos ahora un caso de enorme inters en el que las ondas que interfieren tienen frecuencias diferentes aunque muy prximas, es decir k 1 k2 y w1 w2. Como se puede ver en la grfica adjunta, las dos ondas coinciden en x=0 pero al tener frecuencias ligeramente diferentes, los mximos no vuelven a coincidir hasta ms adelante; y entre medias se producen situaciones en las que un mximo de una de las ondas coincide con un mnimo de la otra produciendo un valor nulo en ese punto.

El resultado de la superposicin se muestra en la grfica y representa una onda una onda que no s monocromtica y cuya amplitud est modulada. La velocidad de la onda ser la velocidad con la que se propaga la envolvente. Veremos estos extremos con un poco de clculo. Es claro que la suma de las dos ondas se podr escribir como

Como k 1 k 2 y w1 w2, se podr escribir k 1+ k2=2k mientras que k 1- k2 = Dk, e igual para las frecuencias, es decir, w 1+ w2= 2w y w 1- w2 = Dw. Con todo ello, la expresin para la onda resultante se podr poner como La perturbacin total se puede interpretar como una onda viajera de frecuencia media w que tiene una amplitud modulada o variable en el tiempo A0(x,t) dada por

[ ]txkAtx 111 cos),( w-=Y

[ ]txkAtx 222 cos),( w-=Y

),(),( 21 txtx Y+Y

( ) ( ) ( ) ( )2

cos2

cos2),(),(),( 2211221121txktxktxktxk

Atxtxtxwwww ----+-

=Y+Y=Y

( )tkxtxkAtx ww -

D-D=Y cos2

cos2),(

D-D=

2cos2),(0

txkAtxA

w

Vemos que aunque cada una de las ondas componentes se mueve con una velocidad de fase v i=wi/ki, el conjunto se desplaza como un todo a la velocidad con la que se mueve las crestas de la envolvente y que se denomina velocidad de grupo. Esta velocidad viene dada como la velocidad con la que se desplazan las superficies de fase constante de la envolvente: Si tenemos en cuenta que la velocidad de fase se relaciona con la frecuencia como v=w/k, la expresin anterior se puede escribir en funcin de la velocidad de fase como En general la velocidad de grupo no coincidir con la velocidad de fase a menos que el medio en el que se propaga la onda sea no dispersivo, esto es que la v no depend a de la frecuencia. Comentaremos este hecho con ms detalle en el captulo 3 al hablar de la propagacin de ondas luminosas en medios materiales. Antes de terminar esta seccin queremos indicar que la superposicin de dos ondas de frecuencias muy prximas juega un importante papel en numerosas aplicaciones. La razn est en que la superposicin permite medir la frecuencia de la modulacin que es mucho ms baja que las frecuencias de las ondas individuales. En general, en un detector se mide la irradiancia de la onda, la cual, es proporcional al cuadrado de la amplitud. En el caso de la superposicin de dos ondas de frecuencias muy prximas vienen dada por es decir, la irradiancia oscila a Dw=w1-w2, que se conoce como frecuencia de batido. Esta frecuencia puede ser varios rdenes de magnitud ms pequea que la frecuencia de la onda portadora, y por ello, fcilmente medida. Veremos este punto ms adelante, al comentar el efecto Doppler.

dkd

kV g

ww

DD

=

dkkd

kV g)v(

v+=

[ ])(cos122

cos4),( 22220 txkAtxkAtxA ww D-D+=

D-D=

1.5 Ondas anarmnicas. Series de Fourier El ejemplo anterior muestra una idea interesante, a saber: se puede obtener una onda no armnica a partir de la suma de dos ondas armnicas. Podramos pensar que tal vez sea posible extender este ejemplo y concebir la idea de que la suma de una serie de funciones armnicas con amplitudes y frecuencias apropiadas nos permita sintetizar cualquier tipo de perturbacin. Esto sera particularmente interesante ya que, de hecho, las ondas armnicas descritas anteriormente son idealizaciones que no se corresponden con los hechos de la naturaleza. Sin embargo podramos usar estas funciones sencillas para describir situaciones ms complejas. El Teorema de Fourier nos facilita llevar a cabo esta operacin. Por ejemplo, consideremos una funcin peridica, pero no armnica, como la que se muestra en la figura Esta funcin almena podramos aproximarla por una funcin seno. En efecto, esta funcin trigonomtrica representa una aproximacin a la funcin original y capta algunas de sus propiedades, por ejemplo el periodo espacial de la funcin, los valores mximos y mnimos, la modulacin, etc. Pero ciertamente no reproduce a la funcin, que es mucho ms abrupta. Sin embargo, podemos pensar que si se le suma apropiadamente otra funcin armnica que no modifique el mximo y que retoque los laterales tal vez se mejore la aproximacin. Obsrvese el resultado en la siguiente figura Se puede apreciar claramente como la suma de ondas de frecuencia creciente y amplitud menor va mejorando el resultado.

kxsen kxsen 331

+

kxsen kxsen 331

+ kxsen 551

+

=........)( xf

x

l

La idea del teorema de Fourier descansa en el hecho de que bajo ciertas condiciones muy generales, que explicitaremos ms adelante, una funcin peridica de frecuencia espacial k=2p/l donde l es el periodo espacial de la funcin, se puede expresar como una suma de funciones elementales armnicas, de frecuencias mltiplos de la frecuencia fundamental. En general, la suma es infinita, pero en la prctica, basta un nmero reducido de trminos para reproducir con suficiente aproximacin la funcin peridica: Se puede demostrar que tal funcin se puede obtener como Los trminos de la serie determinan el contenido espectral de la funcin f(x), es decir, el conjunto de funciones armnicas de frecuencias diferentes a partir del cual, se puede sintetizar la funcin f(x). El primer trmino tiene una frecuencia igual a la de la onda cuadrada y constituye la frecuencia fundamental. El segundo trmino de la serie tiene una frecuencia que es el triple que la frecuencia fundamental y una

amplitud 1/3 de veces menor. El tercer trmino de la serie tiene una frecuencia que es cinco veces la frecuencia fundamental y una amplitud

an menor, lo cual es consistente con la idea de que estas componentes de alta frecuencia, al oscilar ms rpidamente, reproducen las variaciones bruscas de la funcin f(x) pero se comprende que su amplitud debe ser pequea.

++

++...

=......)( xf

x

...771

551

331

)( ++++= xsenxsenxsensenxxf

Podemos ahora preguntarnos, cmo hemos elegido los trminos necesarios para elaborar la sntesis de la funcin. El teorema de Fourier establece la manera de hacerlo y lo presentaremos aqu sin demostracin. Este teorema establece que si f(x) es una funcin peridica de periodo l tal que verifica las condiciones siguientes: f(x) es univaluada sobre su periodo, l. f(x) tiene un nmero finito de mximos y mnimos. f(x) tiene un nmero finito de discontinuidades. ?|f(x)| dx es finita sobre un periodo,

entonces existe una serie de Fourier que converge a f(x) dada por Donde las amplitudes Am y Bm de las funciones armnicas vienen dadas por

++=

11

0 )()cos(2

)( mkxsenBmkxAA

xf mm

=l

l0

)cos()(2 dxmkxxfA m

=l

l0

)()(2

dxmkxsenxfB m

1.5.a Ondas no peridicas. Transformada de Fourier Si el periodo de la onda es muy grande de tal manera que pudiera tomarse como infinito, la onda dejara de ser peridica y se reducira a un pulso tal como el que se muestra en la figura En este caso el espectro de tal onda en lugar de ser un espectro discreto como ocurriera en el ejemplo anterior, se convierte en un espectro continuo. Ello responde a la idea de que necesitamos muchos ms componentes elementales para sintetizar tan brusca variacin espacial: la funcin es nula en casi todo el espacio excepto en el intervalo [-a/2, a/2]. La suma infinita se convierte en una integral sobre todos los posible s valores de k. As, la funcin no peridica f(x) se puede expresar como o bien donde las amplitudes F(k) de las ondas armnicas ahora vienen dadas por La funcin F(k) constituye el espectro de frecuencias espaciales que permiten sintetizar a la funcin f(x) y se denomina transformada de Fourier de la funcin f(x). Como ejemplo, calcularemos el espectro de frecuencias del pulso cuadrado del comienzo. En efecto, segn la expresin anterior, se tiene

dkkxsenkBdkkxkAxf )()()cos()()(00

+= dkkFxf kxe i)()(

-

=

dxxfkF kxe-i)()(

-

=

2/2/

)()( 0

2/

2/

0-i-i

kakasen

afdxfdxxfkF kxkx eea

a

=== -

-

F(k)

f0

x

1.6 Ondas en el espacio Muy pocas veces el modelo de onda unidimensional que acabamos de tratar describe situaciones fsicas reales. Por ejemplo, las ondas en una cuerda pueden describirse mediante ondas unidimensionales. Pero lo usual es que la perturbacin afecte a muchos puntos del espacio tridimensional. Ello implica que la magnitud fsica que se propaga sea una cierta funcin, Y(x,y,z; t). En este caso, la ecuacin de onda unidimensional obtenida en la seccin 1.2 se puede generalizar de la siguiente forma: En este caso tambin se pueden obtener soluciones armnicas en tres dimensiones. Por ejemplo, podemos probar soluciones del tipo donde k es un vector cuyo significado estableceremos enseguida. Para empezar, si esta es una solucin de la ecuacin de onda, tendr que satisfacerla para todo punto y en todo instante de tiempo. Por lo tanto se tendr que cumplir que Por otro lado, las superficies de fase constante que nos informan del perfil de la onda son planos perpendiculares al vector k. En efecto estas superficies vienen determinadas por la condicin Esta superficie representa un plano en el que el vector k es perpendicular al mismo. Por ello, estas ondas se denominan, ondas armnicas planas.

En efecto, sea un punto de coordenadas r0. Los puntos de coordenadas r pertenecern al plano que pasa por r0 y que es perpendicular al vector k si se cumple que el vector r-r0 estn en el plano, y por lo tanto satisfacen

( ) ( ) ( ) ( )2

2

22

2

2

2

2

2 ,,,

v

1,,,,,,,,,

t

tzyx

z

tzyx

y

tzyx

x

tzyx

Y=

Y+

Y+

Y

( ) ( )trkAtzyx w-=Y rrcos,,,

2

2222

v

w=++ zyx kkk

ctezkykxkcterk zyx =++=rr

ro

r

k

r ( ) ctezkykxkrrk zyx =++=- 0. 0rrr

En un instante dado, la perturbacin en los diferentes puntos del espacio, estar caracterizada porque su amplitud toma el mismo valor a la vez en todos los puntos de un plano. Por ejemplo, en la figura se muestran cuatro planos en los que la perturbacin toma los valores Y(x1,y1,z1; t)=0, Y(x2,y2,z2; t)=A, Y(x3,y3,z3; t)=-A, Y(x4,y4,z4; t)=0. Vemos que el valor de la amplitud se repite, por lo que la distancia entre el primer y cuarto plano constituye la longitud de onda de esta onda plana que se propaga en la direccin del vector k. Estas superficies plana se denominan superficies o frentes de onda. De la misma manera que en una dimensin. La velocidad con la que se propagan los frentes de onda planos en los que la fase de la onda toma un valor constante, constituye la velocidad de fase de la onda. As, si tenemos la onda las superficies de fase constante en un instante de tiempo dado satisfarn Existirn otros puntos del espacio D r y otro instante de tiempo en los que la fase vuelva a tomar el mismo valor, esto es, Por lo tanto, la velocidad con que se desplazan los frentes en la direccin de k es

Y=0 Y=AY=-A Y=0

k

( ) ( )trkAtzyx w-=Y rrcos,,,ctetrk =-w

rr

( ) ( ) 0=D-D=D+-D+ trkctettrrk ww rrrrr

kw

=v

1.7 El efecto Doppler Para finalizar este tema vamos a comentar el efecto Doppler por su influencia en la luz emitida por tomos y otras fuentes de luz en movimiento y por su importancia metrolgica en la determinacin de velocidades, entre otras aplicaciones. Todos hemos observado este efecto en las ondas de sonido en el andn de alguna estacin. Cuando estamos en reposo y en tren se acerca a nosotros a gran velocidad, el sonido que emite se va haciendo cada vez ms agudo, esto es la frecuencia que detectamos aumenta, respecto de la frecuencia de las ondas emitidas por el tren si ste estuviera en reposo relativo respecto de nosotros. Por el contrario, cuando el tren se aleja el sonido que percibimos es cada vez ms grave. En el dibujo se muestra el efecto. La fuente emite ondas a frecuencia constante, esto es, las crestas abandonan la fuente de ondas (sonido o luz) a intervalos regulares de tiempo T. Si la fuente se aleja del observador de la izquierda a velocidad constante v, entonces durante el periodo de tiempo comprendido entre crestas sucesivas, la fuente se habr desplazado una distancia vT. Esto aumenta el tiempo que necesita una cresta en llegar al observador en una cantidad vT/c, donde c es la velocidad con la que se propagan las ondas en el espacio. Por lo tanto, el tiempo transcurrido entre la llegada de la primera cresta y la siguiente ser: Teniendo en cuenta que l=cT, la longitud de onda que medir el observador de la izquierda ser Un razonamiento anlogo demostrara que el observador de la derecha medira una longitud de onda ms corta. Basta con cambiar el signo de la velocidad. En general, el cambio en la longitud de onda se podr poner El efecto Doppler permite medir la velocidad a la que se mueve un objeto luminoso si podemos medir el corrimiento que experimenta el espectro de la radiacin emitida por el mismo . Una aplicacin interesante del efecto Doppler es la determinacin de la velocidad de un objeto mediante la deteccin de la frecuencia de batido entre la seal y la onda reflejada por el objeto en movimiento. Un ejemplo prctico es el

cT

TTv

' +=

+=cv

1' ll

=cv

1' ll

RADAR de trfico. En efecto, considrese que desde un coche de polica en reposo se enva una onda electromagntica de frecuencia conocida, (tpicamente en el rango de la banda X de radiofrecuencias, en torno a los 10 GHz). Esta onda se refleja en un vehiculo en movimiento a una velocidad v. Debido al efecto Doppler, la frecuencia de la onda que llega al vehiculo vienen dada por Por la misma razn , la frecuencia de la onda reflejada por el vehculo en movimiento cambia a Como v

misma figura se muestra el espectro de la luz emitida por una estrella. Sobre el espectro continuo aparecen unas lneas oscuras causadas por la absorcin de esas determinadas radiaciones por electos qumicos de la atmsfera externa de la estrella. Como se ve, cuando se compara con las emisiones en el laboratorio, aparecen corrimientos de las lneas debidas al efecto Doppler. Como ejemplo, se muestra el corrimiento en las lneas del Hidrgeno de una galaxia. En la figura de la derecha se puede observar el corrimiento hacia el rojo de las lneas espectrales del Hidrgeno del espectro emitido por la Galaxia 8C1435+635, obtenido recientemente con el telescopio William Hershel en la isla de la Palma.

Otro ejemplo se muestra en la figura de la izquierda en la que se puede observar el aspecto real de la deteccin de un espectro emitido por una estrella cercana en reposo comparado con el espectro emitido por una galaxia en movimiento. Obsrvese el corrimiento experimentado por las lneas de emisin del calcio, magnesio y sodio. Este desplazamiento espectral corresponde a una velocidad de recesin de 12.000 km/s

Hubble, en llev a cabo una medicin sistemtica de los corrimientos espectrales de una gran nmero de galaxias, encontrando un desplazamiento hacia el rojo que aumentaba linealmente con la distancia entre nuestra galaxia y las

Calcio

Magnesio

Sodi o

Espectro de la galaxia

Espectro estelar

observadas, tal como se muestra en la figura. Este hecho experimental apoya fuertemente la idea de un universo en expansin. De las grficas se desprende que las galaxias ms lejanas se alejan de nosotros ms deprisa. De hecho encontr una dependencia lineal de la velocidad con la distancia siendo r la separacin entre galaxias y H0 la constante de Hubble cuyo valor actual es H= 67 km/s/Mpc . Todo esto nos dice que antao todas las galaxias han debido estar muy juntas. Para ser ms especficos, si su velocidad ha sido constante, entonces el tiempo que todo par de galaxias ha necesitado para llegar a su situacin actual ser es decir, ha sido el mismo para todas ellas: en el pasado deben haber estado todas unidas en el mismo tiempo!, hace aproximadamente 20.000 millones de aos.

rHV 0=

0

1

0 HrHr

Vr

t ===

1.A Apndice. Representacin compleja de las ondas. Hemos descrito los fenmenos ondulatorios mediante funciones armnicas. En muchos casos, cunado hay que realizar promedios y superposiciones de muchas ondas, las funciones armnicas pueden hacer engorrosos los clculos. Por eso se suele utilizar la notacin compleja. Por ello introduciremos brevemente algunas propiedades de los nmeros complejos y la manera en que estos permiten representar una funcin armnica. Un nmero complejo tiene la forma donde Las partes real e imaginaria de z son x e y donde, en ambas, x e y, son nmeros reales. Los nmeros complejos se suelen representar en un diagrama como el de la figura El nmero complejo z se puede poner en trminos de las coordenadas polares (r, q). En efecto, de la figura se tiene Una relacin muy importante para la representacin compleja es la frmula de Euler, (que se puede demostrar a partir de desarrollo de Taylor de las funciones seno, coseno y exponencial) que nos permite escribir el nmero complejo en la forma donde r representa el mdulo, que se denota por z y q es el ngulo de fase donde

iyxz +=

x+iy

x

y

q

r= z

( )qq isenriyxz +=+= cos

qqq isenei += cos

qieriyxz =+=

xy

yxz

=

+=

qtan

22

1-=i

Es til tambin la introducin de el complejo conjugado de un nmero complejo z, que se denota con el smbolo z*, y que se obtiene sin ms que cambiar i por i, esto es Con todo ello en mente, se pueden demostrar las siguientes operaciones: Ahora ya podemos ver cmo los nmeros complejos pueden ser utilizados para representar ondas armnicas. En efecto, una onda del tipo se puede representar mediante la funcin donde Re indica que se toma la parte real del numero complejo que hay dentro del corchete.

qireiyxz -* =-=

( )

( )212

1

2121

2

1

2

1

2

1

212121

.

qqq

q

qqqq

-

+

*

==

==

=

ii

i

iii

ez

z

ez

ez

zz

ezzezezzz

zzz

( )tkxAtx w-=Y cos),(

( )[ ]tkxieAtx w-=Y Re),(