tema1 1 p curso pad

1

MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

LINEALES

MATEMÁTICAS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA

1º LADE y LADE-TUR.

Presentación realizada por Mª Luisa Vílchez Lobato

TEMA 1

2

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Contenidos

1.1. Definición de matriz de orden m x n. Tipos de matrices.

1.2. Operaciones con matrices.

1.3. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades de los determinantes.

1.4. Amplía tus conocimientos.

3


1.1. Definición de matriz de orden m x n

¿Qué es una matriz de orden m x n?

A

a a a

a a a

a a a

n

n

m m m n

11 12 1

21 22 2

1 2

. .

. .

. . . . .

. . . . .

. .

531

021

2 x 3

951

300

612

3 x 3

2530 1 x 4

3

6

1

1

4 x 1 Si m n, A es rectangular

Si m = n, A es cuadrada

a23

a33

00

00

2 x 2

Matriz Nula,

4

Sea A cuadrada de orden n.

A es diagonal si son nulos todos los elementos fuera de la diagonal principal

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

. .

. .

. . . . .

. . . . .

. .Diagonal principal de A

A es triangular superior si son nulos todos los elementos por debajo de la diagonal principal

A es triangular inferior si son nulos todos los elementos por encima de la diagonal principal

300

020

001

300

720

051

353

024

001


1.1. Tipos de matrices

5

Sea A cuadrada de orden n.

A

a a a

a a a

a a a

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2

. .

. .

. . . . .

. . . . .

. .Diagonal principal de A

A es simétrica si son iguales los elementos simétricos respecto de la diagonal principal

A es antisimétrica si son nulos los elementos de la diagonal principal y opuestos los elementos simétricos respecto de la misma

370

725

051

073

705

350


1.1. Tipos de matrices

6

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA: A + B, matrices del mismo orden

811

230

531

021

..

..-1

4

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL: A

1342

251

3010

50

50

1510

62

10

10

32

5


1.2. Operaciones con matrices

7

TRASPUESTA DE UNA MATRIZ DE ORDEN m x n: At

132

45

21

1342

251t

Observación: si A es cuadrada, entonces:

A simétrica At = A

A antisimétrica At = -A

PRODUCTO DE DOS MATRICES: AB

El número de columnas de A ha de ser igual al número de filas de B

Am x n B n x p = Cm x p



8

0020

1152

1011

132

021

24232221

14131211

cccc

cccc

13194

3295C

(-1)(-1)+22+00=5 (-1)1+25+0(-2)=9

2 x 3 3 x 4



9

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Cálculo de un determinante de orden 2:

211222112221

1211 aaaaaa

aa

13351213

52 3)1(121

21

11

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 -

a13a22a31 - a21a12a33 - a23a32a11


1.3. Determinante de una matriz cuadrada

Cálculo de un determinante de orden 3: Regla de Sarrus

10

9230004

210

321

011

Menor complementario del elemento aij: es el determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en A la fila i y la columna j. Se denota por ij.

Sea A una matriz cuadrada de orden n

2134

5210

0121

4312

A 23

234

510

021

13 13

521

012

431

41


1.3. Determinante de una matriz cuadrada

Cálculo de un determinante de orden superior a 3

11

Adjunto del elemento aij:

imparjisi

parjisiA

ij

ij

ij

En el ejemplo anterior, A13= 23, A41=13

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES:

3. Si una matriz tiene dos filas o columnas iguales o proporcionales, entonces su determinante es igual a cero.

1. El determinante de una matriz y de su traspuesta son iguales

2. Si una fila o columna de una matriz tiene todos sus elementos nulos, entonces el determinante de la matriz es igual a cero.


1.3. Determinante de una matriz cuadrada. Propiedades.

12

5. El valor de un determinante no varía si a una fila (resp. columna) se le suman las demás filas (resp. columnas), multiplicadas por cualesquiera números reales.

4. Si una fila (o columna) de una matriz es combinación lineal de las restantes filas (o columnas), entonces el determinante es nulo.

0

110

531

021

C3=2C1-C2

110

541

201

110

541

121

F1+F2+2F3



13

6. El valor de un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila (o columna) cualquiera, por sus adjuntos correspondientes.

9230004

210

321

011

1A11+1A12+0 A13= 920

311

21

321

Aplicamos esta propiedad para resolver determinantes de cualquier orden.



14

2134

5210

0121

4312

32

234

510

412

214

520

432

2

213

521

431

Ejercicio propuesto: comprobar que si se aplica la propiedad 6 con otra fila o columna, el valor del determinante es el mismo.

24232221 A0A1A2A1



15

2104

1200

0301

4212

Esta propiedad simplifica notablemente el cálculo de determinantes que tienen una fila o columna con todos los elementos nulos excepto uno. Por ejemplo:

Cualquier determinante puede expresarse en la forma anterior, sin más que emplear la propiedad 5. Por ejemplo:

2134

5210

0121

4312

5

1

0

5

3

2

0

5C2-2C1

C3+C1

32

235

521

455

A1 21

214

120

031

A1 12



16


1.4. Amplía tus conocimientos.

Vídeo cálculo determinante de orden 3

Vídeo cálculo determinante de orden 4

Apuntes sobre el tema

Página web de la asignatura

tema1 1 p curso pad

Travel