tema iii, cinetica de cuerpo rigido
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En este tema determinaremos los parámetros que definen el movimiento del mecanismo teniendo en cuenta la causa que lo produce.TRANSCRIPT
CINÉTICA DE CUERPOS RIGIDOS EN EL PLANO
Generalidades:
Definir el movimiento de un cuerpo es equivalente a determinar la posición de cualquier recta que pertenezca al cuerpo en cualquier instante t. Por ejemplo, si para el cuerpo representado en la figura 3-13 se puede determinar la posición, digamos, de la recta AB en cualquier instante, entonces el movimiento quedará completamente definido. Ahora bien, para determinar la posición de la recta AB se requieren tres coordenadas, dos lineales xA y yA y una coordenada angular q. Los puntos A y B son arbitrarios.
Figura 3-13
La determinación de estas tres coordenadas requiere de tres ecuaciones independientes que se hallarán a continuación.
Consideremos el cuerpo rígido de la figura 3-14 sobre el cual actúa un sistema arbitrario de fuerzas. Desde el punto de vista del cuerpo como un todo, el sistema de fuerzas comprende las fuerzas externas ejercidas por otros cuerpos y las fuerzas de interacción entre las diferentes partículas, estas últimas se ejercen por pares de igual magnitud y de sentido contrario de tal manera que se anulan.[1]
Por esto, sólo es necesario tener en cuenta, para el sistema completo, las fuerzas externas. Ahora bien, cada partícula de masa dm adquiere una cierta aceleración que será proporcional a la fuerza efectiva que actúa sobre ella.
Figura 3-14
Como de acuerdo con la segunda ley de Newton
se puede escribir que
[3-10]
Para determinar la sumatoria , consideremos por conveniencia un sistema de ejes centroidales, [Fig. 3-15].
Figura 3-15
Teniendo en cuenta la ecuación [3-6], aceleración de cualquier partícula i en movimiento plano es
Entonces
Como es cero por ser el primer momento del cuerpo con respecto a un eje centroidal,
entonces
ya que , donde m es la masa del cuerpo, por consiguiente
Es decir, el centro de masa se mueve como si la resultante de las fuerzas externas se estuviera aplicando en ese punto. Sin embargo, vamos a demostrar que, en general, la fuerza resultante no pasa por el centro de masa. Con base en los sistemas equivalentes representados en la figura 3-16 y tomando momentos alrededor del
centro de masa se tiene
Figura 3-16
De la ecuación [3-6]
Los dos primeros términos de la derecha son evidentemente iguales a cero, por consiguiente
Como es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje centroidal perpendicular al plano de movimiento, se tiene
que
En conclusión, un sistema de fuerzas aplicado a un cuerpo en movimiento plano, es
equivalente, en general, a un sistema que comprende un vector aplicado en c y un par Ia perpendicular al plano de movimiento, [Fig. 3-17]
Figura 3-17
Esta equivalencia se puede formular matemáticamente como
[3-11]
El sistema de la derecha en la figura 3-17 se puede representar como se ilustra en la figura 3-18.
Figura 3-18
Como el sistema consiste de una fuerza y un par que son mutuamente perpendiculares, se puede representar por una fuerza única tal que . Esto demuestra que en general que la fuerza resultante no pasa por el centro de masa y que la distancia de su línea de acción es
[3-12]
Esta ecuación demuestra que si la resultante de un sistema de fuerzas pasa por el centro de masa, la aceleración angular es cero y que si el cuerpo esta inicialmente en reposo, no habrá rotación y por consiguiente el cuerpo tendrá un movimiento de traslación rectilíneo.
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_2_1.htm
CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RIGIDO:
Análisis cinético de un cuerpo rígido modelado en el plano, con un movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular al plano de movimiento.
El movimiento de rotación de un cuerpo rígido, se conceptualiza (define) como un cuerpo que rota (gira) alrededor de un eje fijo; la rotación es un cambio de posición angular con respecto a un punto de referencia fijo (eje de giro) y una línea de referencia fija horizontal (vertical, ...) que pasa por ese punto, el conjunto de posiciones angulares de cualquiera de los puntos del cuerpo (excepto un punto del eje de giro) traza una trayectoria circular.
El análisis cinético de un cuerpo rígido en movimiento de rotación, generalmente, requiere que primero se conozcan todas las variables cinemáticas; entonces, la cinemática de un plano en rotación, tal como una circunferencia, un rectángulo, ..., se analiza en un sistema de referencia angular, como el de coordenadas polares, para este, se elige el punto fijo de referencia radial conocido como polo, y después se traza la línea de referencia angular, que puede ser horizontal, vertical, ... partiendo del punto fijo (polo). Se puede considerar que por el punto fijo de referencia (polo), pase el eje de giro, ya que éste debe ser perpendicular al plano donde se está trazando la trayectoria curvilínea. Si la aceleración angular es constante, se, tiene las siguientes ecuaciones:
i) La ecuación de posición angular para cualquier punto del plano es: � = �0 + �0t � �t2/2,
ii) La ecuación de la velocidad angular del plano, � = �0 � �t,
iii) La ecuación de la velocidad del plano como una función de la aceleración angular y la posición angular, �2 = (�0)2 � 2�(� -�0).
Para elaborar el análisis cinético de un cuerpo rígido que está girando, si éste puede ser representado en el plano, se dibujan en el plano la representación del cuerpo dos veces de preferencia en el sentido horizontal, estando el segundo dibujo a un lado del primero. En el primer dibujo se representan las fuerzas externas incluyendo el vector peso en el centro de gravedad; este primer dibujo con las fuerzas externas, es el diagrama de cuerpo libre del cuerpo; mientras que en el segundo dibujo, se representa alrededor del eje de giro, el vector momento inercial I�, en el sentido de �; esto es, sentido (-) o contra sentido (+) de las manacillas del reloj; además deberá representarse el vector ma, en sus componentes cartesianas o, en componentes normal – tangencial (n – t); este segundo dibujo, es el diagrama cinético. Entre los dibujos se traza el signo identidad(�) , lo cual significa que, el efecto que producen las fuerzas externas alrededor del eje de giro, es equivalente al efecto que está produciendo el movimiento a través del vector momento inercial I�, donde I es el momento de masa polar de inercia (recuerde que para un disco: Iyy = mr2/2 kg m2 o, slug ft2 , para ... ).
Para finalizar, se aplica la segunda ley de Newton, y también se obtiene una suma de momentos con respecto al centro de gravedad para cuantificar al vector momento de masa inercial ICG�, producido por el movimiento.
F = ma, (13)
MCG = ICG�, (14).
En el movimiento de rotación de un cuerpo rígido que se puede representar en un plano, se tienen dos casos:
1.- Cuando el eje de giro pasa por el centro de gravedad, lo cual implica que: a = 0.
2.- El eje de giro no pasa por el centro de gravedad del cuerpo.
O
B
A
Eje centroidal Y
Eje centroidal X
Figura 15.a. Disco girando en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de un eje que pasa por su centro de gravedad.
Figura 15.b. Barra delgada rectangular girando alrededor de un eje que pasa por el extremos A, se traza la trayectoria del punto E.
En el primer caso la sumatoria de fuerzas externas es igual al vector nulo, mientras que en el segundo caso, para estudiar la cinética se debe utilizar el sistema de referencia normal – tangencial (n – t), ya que el centro de gravedad en su movimiento va trazando una trayectoria circular, y la sumatoria de fuerzas será con respecto a los ejes tangencial y normal.
Fn = man = m�2r, (15)
Ft = mat = m�r, (16)
MCG = I�, (17).
Principio de d'Alembert
El principio de d'Alembert, enunciado por Jean d'Alembert en su obra maestra Tratado de dinámica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.
Enunciado e Historia
El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas de un sistema:
Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo:
, momento de la partícula i-ésima. , fuerza sobre la partícula i-ésima. cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de
partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes.
El principio de d'Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrange usó este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de acción y basando todo su trabajo en el principio de D'Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en su Mécanique Analytique. Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones:1
• En primer lugar, el principio de acción estacionaria está ligado a la existencia de una función potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d'Alembert.
• En segundo lugar, el principio de acción se presta a interpretaciones filosóficas y teleológicas que no le gustaban a Lagrange.
Finalmente debe señalarse que el principio de d'Alembert es peculiarmente útil en la mecánica de sólidos donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el cálculo mediante el principio de D'Alembert, que también se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales es ventajoso sobre el enfoque más simple de la mecánica newtoniana.
Consecuencias
El principio de d'Alembert en el caso de existir ligaduras no triviales lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange, si se usa conjunto de coordenadas generalizadas independientes que implícitamente incorporen dichas ligaduras. Consideremos un sistema de N partículas en el que existan m ligaduras:
Por el teorema de la Función Implícita existirán n = 3N-m coordenadas generalizadas y N funciones vectoriales tales que:
El principio de d'Alembert en las nuevas coordenadas se expresará simplemente como:
(4)
La última implacación se sigue de que ahora todas las son independientes. Además la fuerza generalizada Qj y el término Wj vienen dados por:
Expresando Wj en términos de la energía cinética T tenemos:
Y por tanto finalmente usando (4) llegamos a las ecuaciones de Euler-Lagrange:
(5)
Si las fuerzas son además conservativas entonces podemos existe una función potencial U(Wj) y podemos definir el lagrangiano L = T - U, simplificando aún más la expresión anterior.
Fuente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_d'Alembert
Movimiento plano de un C/R
Fuerzas y aceleraciones
Mientras mayor sea la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo de masa constante, mayor será la aceleración que alcanzará el cuerpo. Dicho de otra manera, al duplicar la fuerza neta, se duplicará la aceleración. El enunciado de este comportamiento se expresa diciendo que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el mismo.
http://apuntes.infonotas.com/pages/fisica/fuerzas/faq‐fisica‐6.php
Traslación
Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualesquiera puntos P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:
Más aún se cumple que:
Como el cuerpo no tiene movimiento rotacional a=0 entonces , la fuerza
resultante pasa por el centro de masa y se debe cumplir que .
Figura 3-19
http://es.wikipedia.org/wiki/Traslaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)
Rotación centroidal
Se llama rotación centroidal a la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa y es perpendicular al plano de movimiento.
Figura 3-20
En este caso el sistema equivalente de las fuerzas aplicadas es un par y por
consiguiente la fuerza resultante es cero. El par resultante es igual a
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001734/lecciones/tem05/lec03_2_2.htm
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ESTUDIANTES QUE HAN PARTICIPADO: Feliz Perez, Karla CG3956 Garcia Jimenez, Irvin CH7589 (Encargado de Grupo) Gonzalez Beato, Winston CH7218 Gonzalez R, Samuel CI1896 Gutierrez De La Rosa, Brandy CB1601 Guzman B, Cinthia CD4804 Lantigua Alvarado, Rayner CI0779 Martinez R, Mariela CI5224
Movimiento plano general El movimiento plano general es lacombinación de una traslación y unarotación alrededor de un punto(intersección del eje con el plano demovimiento) arbitrariamenteseleccionado.
Entonces de acuerdo a la figura 1-1, para determinar la velocidad del puntoA se debe conocer la velocidad decualquier otro punto, por ejemplo B, yla velocidad angular del cuerpo en elinstante considerado.
Figura 1-1
2
En consecuencia la velocidad
comprende una velocidad de traslación, y otra debida a la rotación alrededor de B
[1-2]
Esta expresión se puede obtener a partir de los vectores de posición (Nn) de A y B, [Fig. 1-2].
Figura 1-2
Y como es un vector que está en rotación alrededor de B, su derivada es, de
acuerdo a la ecuación obtenemos: , entonces
La aceleración de A es
[1-3]
3
Figura 1-3
donde es la aceleración tangencial de A debido a la rotación alrededor de B y
es la aceleración normal por la rotación alrededor de B, [Fig. 1-3].
Movimiento restringido
Consideremos el mecanismo biela-manivela-corredera representado en la figura 3-10, que es utilizado para transformar el movimiento circular en un movimiento rectilíneo alternativo. En este mecanismo se pueden identificar los movimientos descritos anteriormente.
Figura 3-10
La manivela AB rota alrededor de un eje fijo que pasa por A. La corredera posee un movimiento de traslación rectilínea y la biela BC un movimiento plano general.
Supongamos que se desea conocer tanto la velocidad como la aceleración de la corredera conocida la velocidad angular de la manivela AB que se supone constante.
Es importante hacer notar que para transmitir un movimiento debe haber uniones (pares cinemáticos) entre los diferentes elementos. En el caso en que se está considerando, en el punto A que pertenece al bastidor, que se considera fijo, y a la manivela,
El punto B pertenece tanto a la manivela AB como a la biela BC y por último el punto C pertenece tanto a la biela como a la corredera. Entonces al determinar la velocidad de A se está determinando la velocidad de un punto de la biela. Del otro punto de la biela, C, se conoce la dirección de la velocidad, que corresponde a la dirección de la velocidad de la corredera. Con esta información es posible determinar: la velocidad angular de la biela, su aceleración angular, la velocidad y aceleración de la corredera y por supuesto la velocidad y aceleración de cualquier punto de los elementos del mecanismo. Veamos:
4
existe un par cinemático.
Análisis de velocidades,
[Fig. 1-5]
Figura 1-5a figura 1-5b
de magnitud y perpendicular a AB.
De se conoce la dirección que es horizontal y de
Se conoce su dirección, que es perpendicular a la barra BC. Se tienen entonces dos incógnitas y que se pueden hallar resolviendo el triangulo de velocidades representado en la figura 1-5b.
Análisis de aceleraciones, [Fig. 1-6]
La aceleración de B normal es
dirigida de B hacia A; la aceleración de B tangencial es 0 porque es constante.
La aceleración de C es
es de dirección conocida; horizontal.
es perpendicular a la barra BC y de
magnitud , desconocida.
Nuevamente se tienen dos incógnitas y que se pueden hallar resolviendo el
polígono de aceleraciones, [Fig. 1-6].
Figura 1-6
5
tiene de magnitud
y va dirigida de C hacia B.
Interpretación física de resultados
En la figura 1-5b se ve que la velocidad de la corredera es hacia la izquierda y se deduce que la velocidad angular de la biela BC es anti horaria
De la figura 1-6 se deduce que la aceleración de la corredera, es hacia la izquierda, esto quiere decir que su velocidad está disminuyendo en el instante representado, y que la aceleración angular de la biela BC es anti horaria, lo cual indica que, para el instante considerado, la velocidad angular de la biela está aumentando.
Rotación centroidal
Se llama rotación centroidal a la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa y es perpendicular al plano de movimiento.
Figura 2-1
En este caso el sistema equivalente de las fuerzas aplicadas es un par y por
consiguiente la fuerza resultante es cero. El par resultante es igual a
6
Rotación no centroidal El sistema equivalente para este caso se representa en la figura 2-2.
Si se toma momentos con respecto a O se tiene
,
ya que el momento de es cero.
Pero y como
entonces
[2-1]
donde IO es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje que pasa por O y es perpendicular al plano de movimiento. A diferencia de la rotación centroidal, la fuerza resultante en el caso de rotación no centroidal es diferente de cero ya que el centro de masa posee aceleración. El hecho de resaltar en la rotación no centroidal es que la ecuación 2-1.
Figura 2-2
7
Sugerencia: Descomponer la aceleración del centro de masa en componente tangente y normal perpendicular a su trayectoria. -La dirección normal (N) es la recta que une el CDR y el CDM. -La dirección tangencial es perpendicular a la normal, pasando por el CDR. Las ecuaciones generales de movimiento son validas: ∑F= m ∑ =m ; = (OG) ∑ = ∑ =m ; = (OG) Cinemática O= Centro de rotación
Principio de d'Alembert
El principio de d'Alembert, enunciado por Jean d'Alembert en su obra maestra Tratado de dinámica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.
Enunciado e Historia
El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas de un sistema:
Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo:
, momento de la partícula i-ésima. , fuerza sobre la partícula i-ésima. , cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto
de partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes.
El principio de d'Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras.
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Consecuencias
El principio de d'Alembert en el caso de existir ligaduras no triviales lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange, si se usa conjunto de coordenadas generalizadas independientes que implícitamente incorporen dichas ligaduras. Consideremos un sistema de N partículas en el que existan m ligaduras:
Por el teorema de la Función Implícita existirán n = 3N-m coordenadas generalizadas y N funciones vectoriales tales que:
El principio de d'Alembert en las nuevas coordenadas se expresará simplemente como:
(4)
La última implicación se sigue de que ahora todas las son independientes. Además la fuerza generalizada Qj y el término Wj vienen dados por:
Expresando Wj en términos de la energía cinética T tenemos:
Y por tanto finalmente usando (4) llegamos a las ecuaciones de Euler-Lagrange:
(5)
Si las fuerzas son además conservativas entonces podemos existe una función potencial U (Wj) y podemos definir el lagrangiano L = T - U, simplificando aún más la expresión anterior.
Resumen: ∑F= m ∑ =
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Casos especiales: I-) ∑F= m ; Traslación ; =0 ∑ = 0 II-) ∑F=0 ; Rotación Centroidal; =0 ∑ = III-) ∑F= m ; Rotación No Centroidal en c de la figura 2-2 ∑ = Sugerencia: ; = (CG) ; = (CG)
SISTEMAS DE FUERZAS EXTERNAS E INTERNA & FUERZAS EFECTIVAS ESTRUCTURAS ISOSTATICAS (ESFUERZO, DEFORMACION) ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS________________________________________ ¿Cuales son las condiciones de isostaticidad para que una estructura sea isostática? El número de incógnitas (I) debe ser igual al número de las ecuaciones delequilibrio estático (E) que contenga el sistema en su conjunto.Por lo tanto, el lector necesita dominar de la teoría de la estática entre otrosconceptos los siguientes: Identificación y clasificación de fuerzas y sistema defuerzas, el momento de una fuerza respecto a un punto y a una línea, equivalenciay resultante de sistemas de fuerzas, equilibrio de sistemas de fuerzas, ejes y planosde simetría, centroides, momentos estáticos o de primer orden, momentos de inercia o de segundo orden, etc. En el entorno de las matemáticas: Álgebra,trigonometría, cálculo diferencial e integral, álgebra vectorial, etc.Para el análisis de una estructura isostática sobre la base de los conocimientos previos requeridos, el contenido se estructura para que el lector que por primerocasión incursiona en el análisis estructural, obtenga elementos de juicio paradistinguir y diferenciar la relación que existe entre la mecánica de los cuerpos rígidos y la mecánica de los cuerpos deformables.En principio, el análisis de una estructura isostática esta enmarcado en el análisisde la relación: causa-efecto; que se presenta entre un sistema de fuerzas externo yun sistema de fuerzas interno; por lo tanto se plantea: ¿Que efectos internos produce la acción de una fuerza externa sobre un elementoestructural? La respuesta en términos del conocimiento científico de la mecánica de los cuerposrígidos, y cuando el sistema de fuerzas que actúa sobre el elemento estructural se encuentra en equilibrio, sería: No se observa ningún efecto.Pero, si el marco teórico de referencia, es la mecánica de los cuerpos deformables,la respuesta estará en función del tipo de las fuerzas externas que actúan sobre elelemento; por ejemplo:Cuando sobre el elemento estructural actúa una fuerza externa axial yperpendicular a su sección transversal, el efecto que produce a través delresultante interno es un alargamiento longitudinal por el efecto de tensión, al quese le asocia una disminución en la sección transversal: o un acortamiento longitudinal, cuando el efecto de la fuerza interna es decompresión, acompañado por un aumento en su sección transversal:
Ahora, si una fuerza externa actúa perpendicular al eje longitudinal del elemento como se muestra en la figura; ésta, a través del resultante interno produce unadeformación al eje longitudinal, ocasionando una deformación en la fibra superiorcon efecto de compresión y, en la fibra inferior un efecto de tensión. De lo anterior se deduce que existe una fibra que no experimenta cambio alguno en su longitud,que se identifica como el eje neutro de la sección transversal; por lo tanto, el efectodescrito se identifica como flexión:Veamos ahora el efecto de una fuerza interna paralela a la sección transversal;para ello, e idealizando la estructura que se muestra en la figura, y si ésta seencuentra en equilibrio; cualquier porción de la estructura, también deberá deencontrarse en equilibrio. Para lo anterior y si tomamos como referencia una sección perpendicular al eje longitudinal localizada a una distancia X del punto A, elequilibrio de fuerzas verticales de la porción izquierda, esta representado entre lareacción en A (sistema externo) y la fuerza vertical V (sistema interno); en forma análoga, para el equilibrio de la porción del lado derecho, el equilibrio estarepresentado por el sistema externo integrado por la reacción en C, y la fuerza P; ypor el sistema interno, por la fuerza vertical V.Con base en lo anterior, y considerando un elemento diferencial de longitud dxsobre la sección, las fuerzas internas (verticales) generadas por las fuerzasexternas (verticales), se les define como fuerza cortante que se asocian con unefecto de corte: Otra alternativa de respuesta, es cuando un par de fuerzas externo actúa sobre unelemento estructural de tal forma que su efecto tienda a torcer al eje longitudinal;efecto que se identifica como torsión.Por las respuestas probables que se han desarrollado, se deduce: Los efectos internos que produce un sistema de fuerzas externo sobre unaestructura, están en función del tipo, forma y variación de las fuerzas.Por lo tanto, es de suponerse que para analizar estructuras isostáticas, es necesariodeterminar las relaciones que existen entre la acción de las fuerzas externas y lasfuerzas internas a partir del equilibrio de sistemas de fuerzas; por ende resulta: Unequilibrio externo, que tiene como objetivo determinar las componentes reactivasde los apoyos en el contexto de la mecánica de los cuerpos rígidos; y un equilibriointerno, en el contexto de la mecánica de los cuerpos deformables; equilibrio, quepermite determinar la magnitud de los elementos mecánicos conocidos comoacciones o fuerzas internas de las que se identifican: Fuerza normal, fuerzacortante, momento flexionante y momento torsionante; elementos que producenesfuerzos y deformaciones.Tomando en cuenta lo anteriormente expresado, el objetivo que nos proponemosalcanzar para el análisis de una estructura isostática es: Determinar el estado de esfuerzos y deformaciones en cualquier punto de unaestructura isostática.
Impulso y Cantidad de Movimiento
¿Qué es un choque?
Durante un choque obra una fuerza relativamente grande sobre cada una de las partículas que chocan durante un tiempo relativamente corto. La idea básica de un choque es que le movimiento de las partículas que chocan (o por lo menos de una de ellas) cambia abruptamente y que podemos establecer una separación relativamente precisa de tiempos que transcurrieron “antes del choque” y de tiempos que transcurrieron “después del choque”.
Por ejemplo, cuando un bate le pega a una pelota de béisbol, se puede determinar con una buena precisión el principio y el fin del choque. El bate está en contacto con la pelota durante un intervalo que es muy pequeño en comparación con el tiempo durante el cual estamos observando a la misma. Durante el choque, el bate ejerce una gran fuerza sobre la pelota. Esta fuerza varía con el tiempo de una manera compleja que sólo con dificultad podemos medir. Tanto la pelota como el bat se deforman durante el choque. A las fuerzas que obran durante un tiempo que es pequeño comparado con el tiempo que dura la observación del sistema se les llama fuerzas impulsivas.
Si lo deseamos, podemos ampliar nuestra definición de “choque” aún más, hasta incluir la desintegración espontánea de una sola partícula en otras dos o más partículas. Como ejemplo citaremos la desintegración de la partícula elemental llamada partícula sigma en otras dos partículas, el pión y el neutrón.
Aun cuando en este proceso no hay dos cuerpos que entren en contacto (a menos que consideremos el proceso a la inversa), tiene muchas características comunes con los choques : (1) Hay una distinción bien clara entre “antes del fenómeno” y “ después del fenómeno”, y (2) las leyes de la conservación de la cantidad de movimiento y de la energía nos permiten averiguar muchas circunstancias relativas a tales procesos, estudiando las situaciones “antes” y “ después”, aunque no podamos saber sino muy poco acerca de las leyes de las fuerzas que intervienen durante el “fenómeno” mismo.
Al estudiar los choques nuestro objetivo será el siguiente: Dados los movimientos iniciales de las partículas que chocan ¿qué podemos saber acerca de sus movimiento finales a partir de los principios de la conservación de la cantidad de movimiento y de la energía, considerando que no conocemos nada acerca de las fuerzas que obran durante el choque?
Y para finalizar como diría Galileo Galilei “He llegado a la conclusión de que este asunto de las fuerzas de impulsión es muy obscuro y pienso que, hasta ahora, ninguno de los que han tratado este tema han podido aclarar sus rincones obscuros que quedan casi más allá del alcance de la imaginación humana...
FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS:
Aquí no sólo estudiaremos la dinámica de un cuerpo único, sino también de un sistema de dos o más cuerpos, tales como un palo y una pelota de golf, el rifle y la bala, el bat y la pelota. Al analizar el comportamiento de un sistema de multicomponentes o de varios cuerpos, es conveniente distinguir entre fuerzas internas y externas. Las fuerzas internas son aquellas por las cuales todas las partes del sistema actúan entre sí. Las fuerzas externas son aquellas que influyen fuera del sistema sobre uno o más de los cuerpos de éste o sobre el sistema completo.
Consideramos que el sistema en estudio consiste de dos masas, M1 y M2 que se fijan entre sí por medio de un resorte sin masa, como se muestra en la figura 8.1. El resorte empuja a las dos esferas apartándolas, cuando se le comprime a una longitud menor que la longitud de equilibrio, L0 , ejerciendo una fuerza de atracción en cada una de las masas si la extensión del resorte es mayor que L0. Para este sistema, la fuerza que el resorte ejerce un cada una de las masas es interna. Además de esta fuerza interna, también depende de su separación. La atracción gravitacional entre cada una de las masas y la Tierra, sin embargo, es una fuerza externa que actúa sobre el sistema de las dos masa y el resorte.
RETORNO A LA SEGUNDA LEY DE NEWTON; cantidad de movimiento lineal
La alteración del movimiento siempre es proporcional a la fuerza motriz aplicada, y se hace en la dirección de la recta en la cual se aplica dicha fuerza.
Esta es la famosa segunda ley, tal como la formuló Newton. Para entender su significado primero hay que aclarar lo que Newton quería decir con “movimiento”, el que definió de la siguiente forma:
� La cantidad de movimiento es la medida del mismo, y surge de la velocidad y de la cantidad de materia en conjunto
Esto es, movimiento, tal como Newton usó la palabra, quiere decir el producto de masa y velocidad, una cantidad que ahora llamamos cantidad de movimiento de la masa; se define como sigue:
La cantidad de movimiento de un objeto de masa m y velocidad v es igual al producto de la masa y al velocidad.
P= mv
Convencionalmente se usa el símbolo p para la cantidad de movimiento. Observe que p es un vector que apunta en la misma dirección que v. La unidad de p en el SI es kg m/s; la dimensión de p es [M][L]/[T].
La traducción exacta de la segunda ley de Newton al lenguaje matemático, por consiguiente, no es F=ma, sino:
esto es, la fuerza es igual a la rapidez de cambio de la cantidad de movimiento. Si el cambio de cantidad de movimiento se debe sólo a cambio de velocidad, permaneciendo constante la masa, entonces podemos escribir y hemos llegado a la forma ya familiar de la segunda ley de Newton.
CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO, durante los choques
Consideramos ahora un choque entre dos partículas, tales como las de masa m1 y m2, que se muestra en la figura 8.2 . Durante el breve choque, esas partículas ejercen grandes fuerzas una sobre la otra. En un instante cualquiera, F1 es la fuerza ejercida por la partícula 2 sobre la partícula 1 y F2 es la fuerza ejercida por la partícula 1 sobre la partícula 2. De acuerdo con la tercera ley de Newton estas fuerzas son, en cualquier instante, de igual magnitud pero de sentido contrario.
El cambio de cantidad de movimiento de la partícula 1 resulta del choque es:
__
�p1=�tfti F1dt = F1�t
__
siendo F1 el valor medio de la fuerza F1 durante el intervalo de tiempo del choque .
El cambio de cantidad de movimiento de la partícula 2 que resulta del choque es :
__
�p2=�tfti F2dt = F2�t
__
siendo F2 el valor medio de la fuerza F2 durante el intervalo de tiempo del choque �t = tf � ti
Si no actúa ninguna otra fuerza sobre las partículas, y dan el cambio total de cantidad de movimiento de cada partícula. Pero hemos visto que en todo momento F1= - F2, de manera que F1= -F2, por consiguiente:
�p1 = ��p2.
Si consideramos a las dos partículas como un sistema aislado, la cantidad de movimiento total del sistema es:
P = p1 + p2,
y el cambio total de cantidad de movimiento del sistema como resultado del choque es cero, esto es,
�P = �p1 + �p2 = 0.
Por consiguiente, si no hay fuerzas externas, la cantidad de movimiento total del sistema no cambia como consecuencia del choque. Las fuerzas impulsivas que obran durante el choque son fuerzas internas que no tienen ningún efecto sobre la cantidad de movimiento total del sistema.
Hemos definido un choque como una interacción que ocurre en un tiempo promedio que es insignificante comparado con el tiempo durante el cual estamos observando el sistema. También podemos caracterizar un choque como un fenómeno en el cual las fuerzas externas que puedan obrar sobre el sistema son insignificantes comparadas con las fuerzas impulsivas del choque. Cuando un bat le pega a una pelota de béisbol, o cuando un bastón de golf le pega a una pelota de golf, o cuando una bola de billar le pega a otra, obran fuerzas externas sobre el sistema. Por ejemplo, la gravedad o el rozamiento ejercen fuerzas en esos cuerpos; esas fuerzas externas pueden no ser las mismas en cada uno de los cuerpos que chocan y no necesariamente serán anuladas por otras fuerzas externas. Aún así, con gran seguridad se pueden pasar por alto esas fuerzas externas durante el choque y suponer la conversación de la cantidad de movimiento, porque casi siempre ocurre que las fuerzas externas son insignificantes comparadas con las fuerzas impulsivas de choque. Como resultado de ello, el cambio de cantidad de movimiento de una partícula durante un choque, cambio motivado por alguna
fuerza externa, es insificante en comparación con el cambio de cantidad de movimiento de esa partícula producido por la fuerza impulsiva de choque.
Por ejemplo, cuando un bat le pega a una pelota de béisbol, el choque dura solamente una pequeña fracción de segundo. Puesto que el cambio de cantidad de movimiento es grande y el tiempo que dura el choque es pequeño. Durante el choque podemos con seguridad pasar por alto esta fuerza externa al determinar el cambio de movimiento de la pelota; mientras más corta sea la duración del choque mayor será la probabilidad de estar en lo justo.
Por consiguiente, en la práctica, podemos aplicar el principio de la conservación de la cantidad de movimiento durante los choques si el tiempo que dura el choque es suficientemente pequeño. Entonces podemos decir que la cantidad de movimiento de un sistema de partículas poco antes de que éstas choquen, es igual a la cantidad de movimiento del sistema inmediatamente después de que las partículas choquen.
CHOQUES EN UNA DIMENSIÓN:
Siempre podemos calcular los movimientos de los cuerpos después de un choque a partir de sus movimientos antes del mismo, si conocemos las fuerzas que obran durante un choque, y si podemos resolver las ecuaciones de movimiento. A menudo no conocemos esas fuerzas. Sin embargo, el principio de la conservación de la cantidad de movimiento debe seguir siendo válido durante el choque. Ya sabemos que es válido el principio de la conservación de la energía total. Aun cuando podemos no conocer los detalles de la interacción, es posible utilizar esos principios en muchos casos para predecir los resultados del choque.
Los choques se clasifican ordinariamente según que se conserve o no la energía cinética durante el choque. Cuando se conserva la energía cinética, se dice que el choque es elástico. De no ser así, se dice que el choque es inelástico. Los choques entre las partículas atómicas, nucleares y fundamentales, son algunas veces elásticos. De hecho, son los únicos choques verdaderamente elásticos que se conocen. Los choques entre los cuerpos grandes siempre son inélasticos hasta cierto grado. Sin embargo, a menudo podemos tratar tales choques como aproximadamente elásticos, como, por ejemplo, el choque entre bolas de marfil o de vidrio. Cuando dos cuerpos quedan pegados entre sí después del choque, se dice que el choque es completamente inelástico. Por ejemplo, el choque entre una bala y su blanco es completamente inelástico cuando la bala permanece ahogada en el blanco. El término completamente inelástico no significa que se pierda toda la energía cinética inicial; lo que significa es que la pérdida es tan grande como sea compatible con la conservación de la cantidad de movimiento.
Aun cuando no se conozcan las fuerzas de choque, podemos encontrar los movimientos de las partículas después del choque a partir de los movimientos antes del mismo, con tal que el choque sea completamente inelástico, o bien, si es elástico, con tal que el coche sea en una sola dimensión. Para que un choque en una dimensión, el movimiento relativo después del choque es a lo largo de la misma dirección que el movimiento relativo al choque. Por ahora nos limitaremos al movimiento en una dimensión.
LA “VERDADERA” MEDIDA DE FUERZA
La distinción entre la energía cinética y cantidad de movimiento y la relación de estos conceptos con la fuerza no fueron claramente comprendidos sino hasta muy avanzado el siglo XVIII. Los hombres de ciencia de cuál era la “verdadera” medida del efecto de una fuerza sobre un cuerpo, si la energía cinética o la cantidad de movimiento. Descartes afirmaba que al interactuar dos cuerpos, lo único que puede ocurrir es una transferencia de cantidad de movimiento de un cuerpo a otro, porque la cantidad de movimiento total del universo permanece constante; por consiguiente, la única medida “ verdadera de una fuerza es el cambio de cantidad de movimiento que produce en un tiempo dado. Leibnitz atacaba este punto de vista y afirmaba que la “verdadera” medida de una fuerza es el cambio que produce en la energía cinética.
En su tratado de mecánico (1743), D´Alembert descartó la discusión por considerarla sin objeto y como proveniente de una confusión en la terminología. El efecto acumulativo de una fuerza se puede medir por su efecto integrado en el tiempo , el cual produce un cambio en la cantidad de movimiento, o bien, por su efecto integrado sobre la distancia recorrida, que produce un cambio de energía cinética. Ambos conceptos son útiles y válidos aunque diferentes. Cuál debe usarse en cada caso, depende de en qué estemos interesados o qué cosa sea más conveniente. Como lo ilustra lo que estamos estudiando, frecuentemente empleamos ambos conceptos en el mismo problema.
Un punto de vista más moderno es buscar aquellas cantidades de movimiento que son invariantes, más bien que enfocar sobre el concepto de fuerza. La cuestión de si es la energía o la cantidad de movimiento la cantidad “real” del movimiento de que se trate, viene a ser inútil porque no hay una única “cantidad que caracterice al movimiento”. Por el contrario, tanto la energía como la cantidad de movimiento se pueden considerar como cantidades sumadas en todas las partes del sistema, permanece constante con el tiempo. Puede haber un intercambio de energías, y de cantidades de movimiento, entre las diferentes partes de un sistema aislado, pero el total de cada una de esas cantidades se conserva.
CHOQUES EN DOS Y EN TRES DIMENSIONES
En dos o en tres dimensiones (salvo en el caso de un choque completamente inelástico) las leyes de conservación por sí solas no nos pueden aclarar el movimiento de las partículas después del choque si conocemos el movimiento antes del choque. Por ejemplo, para un choque bidimensional elástico, que es el caso más simple, tenemos cuatro incógnitas, a saber: las dos componentes de la velocidad para cada una de las dos partículas después del choque; pero solamente tenemos tres relaciones conocidas entre ellas, una para la conservación de las energía cinética y otra para la conservación de la energía cinética y otra para la conservación de la cantidad de movimiento para cada una de las dos dimensiones. Por consiguiente, necesitamos más información que las simples condiciones iniciales. Cuando no conocemos las magnitudes de las fuerzas que interactúan, como es el caso más frecuente, la información adicional se tiene que obtener a menudo de los experimentos. Lo más sencillo es especificar el ángulo de rechazo de una de las partículas que chocan.
Consideremos lo que ocurre cuando una partícula se dispara contra otra partícula blanco que se encuentra en reposo. Este caso no tiene tantas restricciones como parece a primera vista, porque siempre podemos escoger como marco de referencia uno en el cual la partícula blanco se encuentre en reposo antes del choque. Una gran abundancia de trabajo experimental en física nuclear se lleva a cabo disparando partículas nucleares sobre un blanco que está fijo en el marco de referencia del laboratorio. En tales choques, debidos a la conservación de la cantidad de movimiento, el movimiento se encuentra en un plano determinado por las líneas de rechazo de las partículas que chocan. El movimiento inicial no tiene que estar necesariamente en la dirección de la línea que une los centros de las dos partículas. La fuerza de interacción puede ser electromagnética, gravitacional, o nuclear. Las partículas no tienen que “tocarse” necesariamente; las grandes fuerzas que obran a distancias relativamente pequeñas de acercamiento y durante un tiempo corto comparado con el tiempo que dura la observación, desvían a las partículas de sus cursos originales.
FUERZAS EFECTIVAS
Movimiento de un cuerpo por un plano horizontal: En este caso, la fuerza que actúa sobre el cuerpo perpendicularmente al plano de deslizamiento es su peso Peso = m · g y según la figura de la derecha, es obvio que N=Peso=m·g (1) (como vemos en la cruz de fuerzas del sistema). Por tanto, la fuerza de rozamiento valdrá: Fr=µ·N=µ·m·g. La fuerza efectiva que dé origen a la aceleración del objeto será: Fefectiva=Faplicada-Fr=Fa-µ·m·g (2).
Para resolver problemas de este tipo tendremos en cuenta el Segundo Principio de Newton (F=m·a) e igualaremos esta fuerza al producto de la aceleración por la masa del objeto. Así pues, reajustaremos la ecuación para despejar la incógnita que nos pidan. Normalmente ésta será la aceleración del sistema. Por lo tanto: m·a = Fa-µ·m·g, de donde: a=(Fa-µ·m·g)/m.
Si el objeto no es empujado, sino que se abandona libremente a sí mismo, no habrá fuerza aplicada. La aceleración vendrá dada por: a=-(µ·m·g)/m.
Caída de un cuerpo por un plano inclinado: Si se trata de un plano inclinado la cruz de fuerzas del sistema queda como vemos a la derecha. Esta vez, la fuerza que produce el movimiento de caída no es únicamente el peso del cuerpo sino su componente en la dirección del plano, el seno del ángulo de inclinación. Y la fuerza normal N es la componente del peso que va en dirección perpendicular al plano, el coseno del ángulo de inclinación. Es decir, que la fuerza aplicada a la caída será: Fa=m·g·senα, y la normal: N=m·g·cosα. El valor de la fuerza de rozamiento será: Fr=µ·N=µ·m·g·cosα.
Por lo tanto, la fuerza efectiva será la suma de fuerzas del sistema: F=Fa-Fr=m·g·senα-µ·m·g·cosα. Si aplicamos la Segunda Ley de Newton, la ecuación fundamental de la dinámica de traslación (F=m·a), podemos plantear: m·a=m·g·senα-µ·m·g·cosα de donde: a=g·senα-µ·g·cosα=g(senα-µ·cosα).
FRICCION
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Fricción estática: no se inicia el movimiento si la fuerza tangencial T hace que el ángulo sea menor a φ0.
Se define como fuerza de rozamiento o fuerza de fricción entre dos superficies en contacto a la fuerza que se opone al movimiento de una superficie sobre la otra (fuerza de fricción dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del movimiento (fuerza de fricción estática). Se genera debido a las imperfecciones, especialmente microscópicas, entre las superficies en contacto. Estas imperfecciones hacen que la fuerza entre ambas superficies no sea perfectamente perpendicular a éstas, sino que forma un ángulo φ con la normal (el ángulo de rozamiento). Por tanto, esta fuerza resultante se compone de la fuerza normal (perpendicular a las superficies en contacto) y de la fuerza de rozamiento, paralela a las superficies en contacto.
ROZAMIENTO ENTRE LA SUPERFICIE DE UN SOLIDÓ
En el rozamiento entre cuerpos sólidos se ha observado que son válidos de forma aproximada los siguientes hechos empíricos:
• La fuerza de rozamiento se encuentra en la dirección de la superficie de apoyo.
• El coeficiente de rozamiento es prácticamente independiente del área de la superficie de contacto.
• El coeficiente de rozamiento depende de la naturaleza de los cuerpos en contacto, así como del estado en que se encuentren sus superficies.
• La fuerza máxima de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza normal que actúa entre las superficies de contacto.
• Para un mismo par de cuerpos, el rozamiento es mayor un instante antes del movimiento que cuando se está en movimiento.
Algunos autores sintetizan las leyes del comportamiento friccional en las siguientes dos leyes básicas:[1]
1. La resistencia al deslizamiento tangencial entre dos cuerpos es proporcional a la fuerza normal ejercida entre los mismos.
2. La resistencia al deslizamiento tangencial entre dos cuerpos es independiente de las dimensiones de ambos.
La segunda ley puede ilustrarse arrastrando un bloque o ladrillo sobre una superficie plana. La fuerza de arrastre será la misma aunque el bloque descanse sobre una cara o sobre un borde. Estas leyes fueron establecidas primeramente por Leonardo da Vinci al final del siglo XV, olvidándose después durante largo tiempo y fueron posteriormente redescubiertas por el ingeniero frances Amontons en 1699. Frecuentemente se les denomina también leyes de Amontons.
TIPOS DE ROZAMIENTO
Existen dos tipos de rozamiento o fricción, la fricción estática y la fricción dinámica. El primero es una resistencia, la cual se debe superar para poner movimiento un cuerpo con respecto a otro que se encuentra en contacto. El segundo, es una fuerza de magnitud constante que se opone al movimiento una vez que éste ya comenzó. En resumen, lo que diferencia a un roce con el otro es que el estático actúa cuando el cuerpo está en reposo y el dinámico cuando está en movimiento.
El roce estático es siempre menor o igual al coeficiente de rozamiento entre los dos objetos (número que se mide experimentalmente y está tabulado) multiplicado por la fuerza normal. El roce cinético, en cambio, es igual al coeficiente de rozamiento, denotado por la letra griega , por la normal en todo instante.
No se tiene una idea perfectamente clara de la diferencia entre el rozamiento dinámico y el estático, pero se tiende a pensar que el estático es mayor que el dinámico, porque al permanecer en reposo ambas superficies, pueden aparecer enlaces iónicos, o incluso microsoldaduras entre las superficies. Éste fenómeno es tanto mayor cuanto más perfectas son las superficies. Un caso más o menos común es el del gripaje de un motor por estar mucho tiempo parado (no sólo se arruina por una temperatura muy elevada), ya que al permanecer las superficies del pistón y la camisa durante largo tiempo en contacto y en reposo, pueden llegar a soldarse entre sí.
Un ejemplo bastante simple de fricción dinámica es la ocurrida con los neumáticos de un auto al frenar.
Como comprobación de lo anterior, realicemos el siguiente ensayo, sobre una superficie horizontal colocamos un cuerpo, y le aplicamos un fuerza horizontal F , muy pequeña en un principio, podemos ver que el cuerpo no se desplaza, la fuerza de rozamiento iguala a la fuerza aplicada y permanece en reposo, en la gráfica representamos en el eje horizontal la fuerza F aplicada, y en el eje vertical la fuerza de rozamiento Fr.
Entre los puntos O y A, ambas fuerzas son iguales y el cuerpo permanece estático, al sobrepasar el punto A el cuerpo súbitamente se comienza a desplazar, la fuerza ejercida en A es la máxima que el cuerpo puede soportar sin deslizarse la llamaremos Fe, fuerza estática, la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en movimiento una vez iniciado el desplazamiento Fd, fuerza dinámica, es menor que la que fue necesaria para iniciarlo, Fe. La fuerza dinámica permanece constante.
Si la fuerza de rozamiento Fr es proporcional a la normal N, y la constante de proporcionalidad la llamamos
y permaneciendo la fuerza normal constante, podemos calcular dos coeficientes de rozamiento el estático y el dinámico:
donde el coeficiente de rozamiento estático corresponde a la mayor fuerza que el cuerpo puede soportar antes de iniciar el movimiento y el coeficiente de rozamiento dinámico es el que corresponde a la fuerza necesaria para mantener el cuerpo en movimiento una vez iniciado.
Rozamiento estático
Sobre un cuerpo en reposo al que aplicamos una fuerza horizontal F, intervienen cuatro fuerzas:
F: la fuerza aplicada. Fr: la fuerza da rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se opone al movimiento. P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad.
N: la fuerza normal, que la superficie hace sobre el cuerpo sosteniéndolo.
Dado que el cuerpo esta en reposo la fuerza aplicada y la fuerza de rozamiento son iguales, y el peso del cuerpo y la normal:
Sabemos que el peso del cuerpo P es el producto de su masa por la gravedad, y que la fuerza de rozamiento es el coeficiente estático por la normal:
esto es:
La fuerza horizontal F máxima que podemos aplicar a un cuerpo en reposo es igual al coeficiente de rozamiento estático por su masa y por la aceleración de la gravedad.
Rozamiento dinámico
Sobre un cuerpo en movimiento, sobre una superficie horizontal intervienen las siguientes fuerzas:
F: la fuerza aplicada. Fr: la fuerza de rozamiento entre la superficie de apoyo y el cuerpo, y que se opone al movimiento. Fi: fuerza de inercia, que se opone a la aceleración de cuerpo, y que es igual a la masa del cuerpo m por la aceleración que sufre a. P: el peso del propio cuerpo, igual a su masa por la aceleración de la gravedad. N: la fuerza normal, que la superficie hace sobre el cuerpo sosteniéndolo.
Como equilibrio dinámico, podemos establecer que:
Sabiendo que:
podemos deducir:
esto es, la fuerza F aplicada a un cuerpo es igual a la fuerza de rozamiento Fr mas la fuerza de inercia Fi que el cuerpo opone a ser acelerado. De lo también podemos deducir:
Con lo que tenemos la aceleración a que sufre el cuerpo, al aplicarle una fuerza F mayor que la fuerza de rozamiento Fr con la superficie sobre la que se apoya.
Rozamiento en un plano inclinado
Rozamiento estático
Si sobre una la línea horizontal r, tenemos un plano inclinado s, un ángulo , y sobre este plano inclinado colocamos un cuerpo con rozamiento sobre el plano inclinado, tendremos tres fuerzas que intervienen:
P: el peso del cuerpo vertical hacia abajo según la recta u, y con un valor igual a su masa por la aceleración de la gravedad: P = mg. N: la fuerza normal que hace el plano sobre el cuerpo, perpendicular al plano inclinado, según la recta t
Fr: la fuerza de rozamiento entre el plano y el cuerpo, paralela al plano inclinado y que se opone a su deslizamiento.
Si el cuerpo esta en equilibrio, no se desliza, la suma vectorial de estas tres fuerzas es cero:
Lo que gráficamente seria un triángulo cerrado formado por estas tres fuerzas, puestas una a continuación de otra, como se ve en la figura.
Si el peso P del cuerpo lo descomponemos en dos componentes: Pn, peso normal, perpendicular al plano, que es la componente del peso que el plano inclinado soporta y Pt, peso tangencial, que es la componente del peso tangencial al plano inclinado y que tiende a desplazar el cuerpo descendentemente por el plano inclinado. Podemos ver que el Pn se opone a la normal, N, y el peso tangencial Pt a la fuerza de rozamiento Fr.
Podemos decir que el Pn es la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el plano inclinado y la normal, N, es la fuerza que el plano inclinado hace sobre el cuerpo impidiendo que se hunda, Pn = N para que este en equilibrio. El peso tangencial Pt es la fuerza que hace que el cuerpo tienda a deslizarse por el plano y Fr es la fuerza de rozamiento que impide que el cuerpo se deslice, para que este en equilibrio Pt = Fr.
Cuando el cuerpo esta en equilibrio estas dos ecuaciones determinan la igualdad de fuerzas, también es necesario saber que:
y que la descomposición del peso es:
Con lo que determinamos las condiciones del equilibrio de un cuerpo en un plano inclinado con el que tiene fricción. Es de destacar la siguiente relación:
Haciendo la sustitución de N, tenemos:
que da finalmente como resultado:
El coeficiente de rozamiento estático es igual a la tangente del ángulo del plano inclinado, en el que el cuerpo se mantiene en equilibrio sin deslizar, esto nos permite calcular los distintos coeficientes de rozamiento, simplemente colocando un cuerpo de un material concreto sobre un plano inclinado del material con el que queremos calcular su coeficiente de rozamiento, inclinando el plano progresivamente observamos el momento en el que el cuerpo comienza a deslizarse, la tangente de este ángulo es el valor del coeficiente de rozamiento. Del mismo modo conocido el coeficiente de rozamiento entre dos materiales podemos saber el ángulo máximo de inclinación que puede soportar sin deslizar.
Rozamiento dinámico
En el caso de rozamiento dinámico en un plano inclinado, tenemos un cuerpo que se desliza y que al estar en movimiento, el coeficiente que interviene es el dinámico
, así como una fuerza de inercia Fi, que se opone al movimiento, el equilibrio de fuerzas se da cuando:
descomponiendo los verctores en sus componentes normales y tangenciales, tenemos:
teniendo en cuenta que:
y como en el caso de equilibrio estático, tenemos:
Con estas ecuacione determinamos las condiciones de equilibrio dinámico del cuerpo con fricción en un plano inclinado. Si el cuerpo se desliza sin aceleración, a velocidad constante, su fuerza de inercia Fi sera cero, y podemos ver que:
esto es, de forma semejante al caso estatico:
con lo que podemos decir que el coeficiente de rozamiento dinámico de un cuerpo con la superficie de un plano inclinado, es igual a la tangente del ángulo del plano inclinado con el que el cuerpo se desliza sin aceleración, con velocidad constante, por el plano.
Valores de los coeficientes de fricción
En la tabla podemos ver los coeficiente de rozamiento de algunas sustancias donde
Los coeficientes de rozamiento al ser la relación entre dos fuerzas son magnitudes adimensionales.
Rozamiento entre sólido y fluido [editar]
Artículo principal: aerodinámica
La fricción aerodinámica depende del régimen o tipo de flujo que exista alrededor del cuerpo en
Coeficientes de rozamiento de algunas sustancias Materiales en contacto Articulaciones humanas 0,02 0,003 Acero // Hielo 0,03 0,02 Acero // Teflón 0,04 0,04 Teflón // Teflón 0,04 0,04 Hielo // Hielo 0,1 0,03 Esquí (encerado) // Nieve (0ºC) 0,1 0,05 Vidrio // Madera 0,2 0,25 Caucho // Cemento (húmedo) 0,3 0,25 Madera // Cuero 0,5 0,4 Madera // Madera 0,7 0,4 Acero // Latón 0,5 0,4 Madera // Piedra 0,7 0,3 Acero // Acero 0,15 0,09 Vidrio // Vidrio 0,9 0,4 Caucho // Cemento (seco) 1 0,8 Cobre // Hierro (fundido) 1,1 0,3
movimiento:
• Cuando el flujo es laminar la fuerza de oposición al avance puede modelizarse como proporcional a la velocidad del cuerpo, un ejemplo de este tipo de resistencia aerodinámica es la ley de Stokes para cuerpos esféricos.
• Cuando el cuerpo se mueve rápidamente el fujo se vuelve turbulento y se producen remolinos alrededor del cuerpo en movimiento, y como resultado la fuerza de resistencia al avance es proporcional al cuadrado de la velocidad (v2), de hecho, es proporcional a la presión aerodinámica.
Rozamiento en medios fluidos
Artículo principal: Viscosidad
El modelo más simple de fluido viscoso lo constituyen los fluidos newtonianos en los cuales el vector tensión debido al rozamiento entre unas capas de fluido y otras viene dado por:
Donde:
(ux,uy,uz), son las componentes de la velocidad.
Para un flujo unidimensional la anterior ecuación se reduce a la conocida expresión:
BIBLIOGRAFIA
http://www.ingenieriaquimica.net/foro/leemensaje.php http://mit.ocw.universia.net/16.21/NR/rdonlyres/Aeronautics http://www.doschivos.com/trabajos/fisica/318.htm http://www.t-systems.com.mx/tsi/es/ http://fisica.laguia2000.com/dinamica-clasica/plano-recto http://es.wikipedia.org/wiki/
Grupo #4 SEC 08 Personas que aportaron en la información:
Wendy Rodríguez-cb4834
Elioneysi Ruiz-cb6317 Bolívar Sánchez-cf9348 Abner Pineda-cf7333 Julieta Pujols-cc0840
Ramón Pichardo ah6929 Genara Quezada-cc2630 Heriberto Ramos-ci6803 Vladimir Taveras-bb7068 Abismael Toledo bf3310 Sheila Ventura-ci2046
Mario Villanueva-ag5872 Andry Vivieca-ab3753
Raquel Rodríguez-bh6128 Alex rosario-cb5259
MOVIMIENTO DE RODAMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO Rodamiento de un cuerpo rígido
Se puede concluir que:
La energ ía cinética total de un objeto sujeto a movimiento de rodamiento es la suma de la energía cinética rotacional alrededor del centro de masa y la energía cinética traslacional del centro de masa.
Empleando el hecho que vCM = Rω:
222
1
221
2
21
CMCM
CMCM
CM
vMRIK
MvR
vIK
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Si un objeto se desliza sobre una pendiente de altura h, la velocidad con que llega al final de la pendiente es:
212
MRIghv
CMCM +
=
M
h
R
ω
θ vCM
x
Movimiento de Rodamiento (de un cuerpo rígido) Desde chicos vemos como los reflectores de las llantas de las bicicletas dan vueltas y nos parece algo sin lógica o simplemente no nos interesa. Pues es momento de saber que estos vidrios en realidad están haciendo un movimiento muy complejo llamado movimiento de rodamiento.
Este movimiento se lleva a cabo alrededor de un eje móvil. Este realiza una trayectoria de s = R . Donde R viene siendo el radio de la bicicleta y el ángulo que se mueve:
Para sacar su velocidad en el centro de masa del eje: Vcm = ds/dt = R(d /dt) = R Para sacar su aceleración en su centro de masa (del eje): acm= dVcm/dt= R(d /dt)= R La velocidad lineal del reflector tiene sus componentes tanto vertical como horizontal. La rueda en general contiene una energía que se puede obtener: K = ½ Ip Ip es el momento de inercia alrededor del eje de la llanta, que pasa por el reflector. Pero ya sabiendo el teorema de los ejes paralelos podemos decir: K = ½ Icm + ½ Mvcm Esa expresión se traduce:
La energía cinética es inversamente proporcional a la suma de la energía cinética rotacional alrededor del centro de masa y de la energía cinética traslacional del centro de masa. Supongamos que la bicicleta esta estacionada al borde de una montaña. Cuando empieza a deslizarse el movimiento de rodamiento se da por la fricción del suelo, si no se fuera barriendo por toda la trayectoria. También hay que ver que no hay pérdida de energía cinética por que siempre esta en contacto con el suelo (superficie). Pero hay que ver que cuando la bici llegue al final de la lomita se realiza sobre ella un trabajo igual a Mgh. Y por que empieza su trayectoria desde el reposo, entonces la energía cinética crece al final y eso viene siendo: Mgh = ½ [(Icm/R) + M] Vcm Trabajo igual a ganancia de energía cinética En otras palabras el movimiento de rodadura En general es un movimiento plano general de cuerpos tales como, discos, ruedas cilindros, esferas ,etc. que giran sobre una superficie planas rectas. en este existe: RODADURA CON DESLIZAMIENTO Existe movimiento relativo entre el punto del cuerpo en contacto con la superficie con movimiento y la superficie misma. La relación: AG=αr (no es valido) Esto es: AG /dif de rα (AG y αson independientes) A α y α se calculan a partir de las ecuaciones del movimiento o principio de D’alembert En este caso la fricción es: fk=μkn En general :μk<μs μk coeficiente de fricción cinética μs coeficiente de fricción estática Cuando no se sabe si un cuerpo rodante se desliza o no , primero se asume rodadura pura o sin deslizamiento y, a partir del principio de D’ Alembert se determina la fricción (f). a) si f <f Max ⇒la suposición es correcta
b) si f>f Max ⇒la suposición es incorrecta Hay deslizamiento y el problema se rehace. Nota: lo anterior implica que el cuerpo rígido rodante es homogéneo, esto es, que su centro de masa coincide con su centro geométrico. Ejercicios: 1.
2.
3.
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