Dinmica 2015-0

Sesin 04

Tema:

Cintica de Cuerpo Rgido en el Plano

Emprendedores sin fronteras

1

Una bailarina tendr ms

momento de inercia si

extiende los brazos, girando

ms rpido, que si los

contrae.

El Momento de Inercia (smbolo I) es una medida de la Inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado Tensor Inercia. La descripcin tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscopicos.

El momento de inercia refleja la distribucin de masa de un cuerpo o de un sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un slido rgido.

2

iirmI

Ecuaciones del Momento de Inercia

Cul de estos giros resulta ms difcil?

El momento de inercia de un cuerpo indica su

resistencia a adquirir una aceleracin angular.

Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, el

momento de inercia del mismo se define como la

suma de los productos de las masas de las partculas

por el cuadrado de la distancia r de cada partcula a

dicho eje. Matemticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio Continuo),

se

generaliza como:

dVrdmrI2

2 .

Cul de estos giros resulta ms difcil?

El momento de inercia de un cuerpo indica su

resistencia a adquirir una aceleracin angular.

2

12II

2mDII GZ

Teorema de Steiner en 2D

RADIO DE GIRO K

2

ZZ mKI 2. GG KmI

2mDII GZ Del Teorema de Steiner:

222 DKK GZ

Traslacin, Rotacin y movimiento plano cualquiera de un cuerpo rgido

GamF

Los problemas de movimiento plano se pueden clasificar, segn su naturaleza, en: 1.- Traslacin. 2.- Rotacin en torno a un eje fijo. 3.- Movimiento plano cualquiera. Los dos primeros son casos particulares del Movimiento plano cualquiera.

Para un cuerpo de forma arbitraria, las ecuaciones de Movimiento plano cualquiera desarrolladas anteriormente vienen dadas por las ecuaciones en la forma:

GGIM

Traslacin Pura Un cuerpo rgido lleva movimiento de Traslacin cuando todo segmento rectilneo del cuerpo se mantenga paralelo a su posicin inicial a lo largo del movimiento.

Durante la Traslacin, no hay movimiento angular ( = = 0); por tanto, todas las partes del cuerpo tienen la misma aceleracin lineal a.

La Traslacin slo puede tener lugar cuando la recta soporte de la resultante de las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el cuerpo pase por su cdm G.

En el caso de Traslacin, con el origen del sistema de coordenadas xyz en el centro de masa G del cuerpo , las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a:

0 yx

0

Gz

Gyy

Gxx

M

amF

amF

Rotacin en torno a un eje fijo

Este tipo de movimiento plano se produce cuando todos los elementos de un cuerpo describen trayectorias circulares alrededor de un eje fijo.

0 GyzGzx II

GzGzGyy

Gxx

IMamF

amF

0

0

La figura representa un cuerpo rgido simtrico respecto al plano de movimiento

y que gira en torno a un eje fijo que pasa por el cdm G del cuerpo

0 yx

En este caso aG = 0; por tanto, las ecuaciones para un movimiento plano cualquiera se reducen a

Movimiento plano cualquiera

En la figura, donde un mbolo est conectado a un volante mediante una biela AB, se ilustran tres formas de movimiento plano: 1.- Rotacin del volante en torno a un eje fijo. 2.- Traslacin rectilnea del mbolo 3.- Movimiento plano cualquiera de la biela AB. Cuando el volante gira un ngulo , el pasador A recorre una distancia sA = R a lo largo de un camino circular. El movimiento del pasador B se puede considerar que es una superposicin de los desplazamientos resultantes de una traslacin curvilnea de la biela y de una rotacin de la biela en torno al pasador A. Como resultado de estos dos desplazamientos, el pasador B recorre una distancia sB a lo largo de un camino horizontal. As pues, el movimiento plano de la biela AB es la superposicin de una traslacin y una rotacin en torno a un eje fijo.

A.- Si se toma el origen de coordenadas en el pasador A y los ejes x e y estn orientados segn el eje de la biela y perpendicularmente a ella , respectivamente, las ecuaciones generales de movimiento plano quedan as:

0y

AzAyAzGyy

Gxx

ImxaMamF

amF

B.- Si se sita el origen del sistema de coordenadas en el cdm G de la biela, las ecuaciones se reducen a:

GzGzGyy

Gxx

IMamF

amF

Anlisis Cintico de la Biela:

Tenemos dos posibilidades:

Ejemplo:

Considere que el cuerpo parte del reposo

01. El trabajo realizado por el peso. (J) 02. La velocidad angular del aro. (rad/s) 03. La fuerza normal sobre el aro. (N) 04. La fuerza de friccin. (N) 05. La aceleracin angular del aro. (rad/s2)

El aro de 12 kg. y radio de giro respecto a su centro de masa de 0,6 mm. rueda sin deslizamiento. Cuando = 0 el centro de la rueda tiene una rapidez de 3 m/s. para = 90 calcule:

PROBLEMA

ESTADO 1 ESTADO 2

W peso = -mg(Z2 - Z1) = -12.(9,81).(5x10-2)

W peso = -5,88 J 1

Aplicamos el: PRINCIPIO DE CONSERVACIN DE LA ENERGA

PARA EL ESTADO 1 calculamos : T1 Y Ep1

T1 = / mVG1

2 + / IGW12

Ep1 = mg(0) = 0

Clculo de T1 :

PARA EL ESTADO 2 calculamos : T2 Y Ep2

T2 = / mVG22 + / IGW2

2 Ep1 = W Peso = 5,88

CALCULAMOS: r2

CALCULAMOS: T2

CON LOS VALORES OBTENIDOS REEMPLAZAMOS EN:

T1 + Ep1 = T2+ Ep2

47,04 + 0 = 3,39.(W2)2 + 5,88

(W2)2 = 12,141593

W2 = 3,4844788 rad/s

PARA EL ESTADO 2:

HALLAMOS aG2 :

CAUSAS EFECTOS

TRASLACIN Y ROTACIN

CLCULOS

Acomodamos las 3 ecuaciones

0 + f + 9.aG2 = 7,28496 N + 0 + 0,6.aG2 = 117,6 0,05.N + 0,75.f 4,32 x 10-6.aG2 = 0

RESULTADOS :

PREGUNTA MAGNITUD UNIDADES

01 - 5,88 J

02 3,4844788 rad / s

03 116,596131613 N

04 7,7730658 N

05 1,6731139 m / s2

Si el sistema se suelta del reposo.

Determine:

1.- La aceleracin angular de A.(m/s2)

2.- La tensin de la cuerda en contacto con C.(N)

3.- La aceleracin angular de B.(m/s2)

4.- La tensin de la cuerda en contacto con D.(N)

5.- La tensin de la cuerda AB.(N)

E G

mE = 50 kg

mG = 25 kg

El movimiento de la barra uniforme AB de 2m y 20Kg con ruedas de masa despreciable, se encuentra en la posicion = 30 siendo su velocidad angular + 4 rad/s. Calcule:

04. La magnitud de la velocidad del punto B. (m/s)

05. La magnitud de la aceleracin angular de la barra. (rad/s2)

06. La magnitud de la aceleracin lineal del punto A (m/s2)

07. La magnitud de la fuerza de reaccin normal en el apoyo A (N)

08. La magnitud de la fuerza de reaccin normal en el apoyo B (N)

Na =194.85 N

Nb = 214.47 N

aGx = 8,437

aGy = 5,794 m/s2

aA = 13,38

aB = 23.56

Alfa =2,546

El movimiento de la barra uniforme AB de 2m y 20Kg con ruedas de masa despreciable, se suelta desde el reposo cuando = 0, para = 30 , calcule:

04. La magnitud de la velocidad del punto B. (m/s)

05. La magnitud de la aceleracin angular de la barra. (rad/s2)

06. La magnitud de la aceleracin lineal del punto A (m/s2)

07. La magnitud de la fuerza de reaccin normal en el apoyo A (N)

08. La magnitud de la fuerza de reaccin normal en el apoyo B (N)

SOLUCION:

CLCULO GEOMTRICO:

Observamos el grafico:

Para ( = 30)

h = 0.5m (lo que desciende el centro

de masa de la barra )

Clculos previos: IG = 6.6667Kg.m2

ub= -0.5i 0.866j

RG/A = -0.866i - 0.5j RG/B = 0.866i +0.5j

CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA:

(1 -2)

T1 + V1 = T2 + V2 (N.R en 2)

T1 = 0(reposo) V2 =0

Entonces:

mgh = 1/2 IG AB2 + 1/2mVg2

Tambin: Por Centro instantneo

AB = 0.5VB = 0.5773 VG VG = 1.73AB

Reemplazando:

(196.2)(0.5)=(0.5)(20)(3) AB2 + 0.5(6.6667) AB

2

Donde se obtiene: Vemos que: VB = 2 AB = 2(1.71547)

VB = 3.43094 m/s

AB = 1.71547 rad/s

Usamos las Ecuaciones de Estado:

(MG)causas = (MG)efectos

NA(0.866) NB(0.866)= 6.67AB (1)

Por la 2da Ley de Newton:

F x = maGx

-NB(0.866 ) = 20(-aGx).(2)

F Y = maGY

NB(0.5) 196.2 + NA = 20(-aGy).(3)

Tenemos 3 ecuaciones con 4 incgnitas:

Aplicando el concepto de cinemtica

del (Cuerpo Rgido):

Relacionamos G con el punto A:

aG= aA + ABx RG/A+ ABx (ABx RG/A)

-aGx i - aGy j = -aA i + AB x (-0.866i - 0.5 j)

- 2AB (-0.866i - 0.5 j)

En el eje x: -aGx = -aA + 0.5AB +0.866 2

AB ......(4)

En el eje y: - aGy = -0.866AB + 0.5 2

AB (5)

Relacionamos G con el punto B:

aG= aB + ABx RG/B+ ABx (ABx RG/B)

-aGx i - aGy j = aB (-0.5i 0.866j)+AB x (0.866i +0.5 j)

- 2AB (0.866i + 0.5 j)

En el eje x: -aGx = -0.5aB -0.5AB -0.8662

AB ..............(6)

En el eje y: - aGy = -0.866aB + 0.866AB 0.52

AB ..(7)

Finalmente tenemos un sistema de 7 ecuaciones con 7 incgnitas:

(0.866) NA (0.866) NB + (0) aA + (0) aB (6.67) AB + (0) aGx + (0) aGY = 0

(1) NA + (0.5) NB + (0) aA + (0) aB + (0) AB + (0) aGx + (20) aGY = 196.2

(0) NA - (0.866) NB + (0) aA + (0) aB + (0) AB + (20) aGx + (0) aGY = 0

(0) NA + (0) NB + (1) aA + (0) aB (0.5) AB - (1) aGx + (0) aGY = 2.5484

(0) NA + (0) NB + (0) aA + (0) aB +(0.866) AB + (0) aGx - (1) aGY = 1.4714

(0) NA + (0) NB + (0) aA + (0.5) aB + (0.5) AB - (1) aGx + (0) aGY = -2.5484

(0) NA + (0) NB + (0) aA + (0.866) aB (0.866) AB + (0) aGx - (1) aGY = 1.4714

Resolviendo el sistema:

NA = 127.4982 N NB = 107.88544 N aA =8.4978 m/s2

aB = 1.7031m/s2 AB = 2.54945 rad/s2

aGx = 4.67467 m/s

aGY = 0.73795 m/s2

Respuestas:

NMERO

RESPUESTA

UNIDADES

04 3.43094 m/s

05 2.54945 Rad/s2

06 8.4978 m/s2

07 127.4982 N

08 107.88544 N