tema ii. señales, sistemas y...

Teoría de la Comunicación 1ver. 0.b

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Tema II. SeTema II. Seññales, sistemas ales, sistemas y perturbaciones.y perturbaciones.

II.1. INTRODUCCIÓN. CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES.

II.2. PERTURBACIONES EN LOS II.2. PERTURBACIONES EN LOS SISTEMAS DE TRANSMISISISTEMAS DE TRANSMISIÓÓN.N.

II.3. SEÑALES PASO BANDA DE BANDA ESTRECHA.

Teoría de la Comunicación, www.eps.uam.es/~tco2º Ing. de Telecomunicación

Escuela Politécnica Superior, Universidad Autónoma de MadridJorge A. Ruiz Cruz ([email protected], www.eps.uam.es/~jruiz)

II. Señales, sistemas y perturbaciones. 2ver. 0.b

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II.2. PERTURBACIONES EN LOS SISTEMAS DE TRANSMISIÓN.

II.2.1. Transmisión por canales ideales.

II.2.2. Clasificación de las perturbaciones.

II.2.3. Distorsión lineal.

II.2.4. Distorsión no lineal.

II.2.5. Diafonía e Interferencia.

II.2.6. Ruido y su caracterización.

II.2. Perturbaciones en los sistemas de transmisión. 3ver. 0.b

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II.2.1. Transmisión por canales ideales.

Todo sistema de transmisión se ve afectado siempre por tres fenómenos fundamentales:

- a) Retardo: la velocidad de propagación es finita y la señal invierte un cierto tiempo en llegar al receptor

- b) Atenuación: la señal va perdiendo potencia a medida que se propaga

- c) Perturbación: la señal se va deformando a medida que se propaga.

Se considera que un canal es ideal si sólo introduce retardo y/o atenuación, ya que en este caso, la señal recibida es una fiel réplica de la enviada

Canal

- y(t) conserva la forma de x(t), salvo un factor de escala que se puede resolver con amplificación y un retardo temporal inevitable

II.2.1. Transmisión por canales ideales. 4ver. 0.b

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¿Cómo es la función de transferencia del canal en esta situación ideal?

- La función de transferencia es la TF de la respuesta del sistema a la excitación x(t)=δ(t):

TF

- Luego:un canal con módulo constante y fase lineal con la frecuencia simplemente escala y retarda la señal.

Ahora se va a profundizar este resultado, estudiando la transmisión por un sistema LTI de señales paso banda como las usadas en comunicaciones:

= canal ideal

- Caso A) Transmisión de una portadora pura

- Caso B) Portadora modulada en amplitud

- Caso C) Portadora modulada en amplitud y fase

- Realmente, la condición de módulo constante y fase lineal sólo es necesario que se cumpla en la banda de frecuencias que ocupa la señal x(t)

Canal


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Caso A) Portadora pura (no lleva información)

ffo-fo

|X (f)|

- Parámetros característicos de la transmisión

Retardo de fase o de portadora

Factor de escala

- Portadora a la entrada:

- TF de la portadora:

- TF de la salida del sistema:

- Salida del sistema:

(por ser el canal real, se recuerda que el módulo M(f) es par: M(f)=M(-f) y la fase Φ(f) es impar Φ(f)=-Φ(-f))

“Para todo canal LTI, una portadora a la entrada se

convierte en una portadora a la salida (con escalado y

desfase): las portadoras son autofunciones de los LTI”

(V,θ: constantes, ωo=2πfo)


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B/2

Caso B) Portadora modulada en amplitud

ff0-f00

|X(f)|B B

f0

|V(f)|

- Señal a la entrada:

- TF de la señal a la entrada:

- TF de la señal a la salida:

- Si no se impone alguna condición a H(f), la señal a la salida será la TF inversa de Y(f) y, en principio, la señal resultante y(t) no tiene porque parecerse a x(t)

- Sin embargo, como se va a ver ahora, si se exige que M(f) sea constante y Φ(f) sea lineal en la banda B de X(f), la señal resultante y(t) conservará la forma de x(t) (salvo el retardo de fase, de grupo y la atenuación).

(θ: constante, ωo=2πfo)


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Caso B) Portadora modulada en amplitud (cont).

ff0-f00

B

f

f0

-f00

Módulo par

Fase impar

- Ahora se va a suponer que el canal tiene módulo constante y fase lineal en torno a ±f0:

(D=pendiente de la recta de fase del canal en f=fo)

(A=valor de la fase del canal en f=fo)

- En estas condiciones se puede demostrar (ver Ap. C, donde se opera con las TF como en el caso A) que la señal y(t) resultante es:

* Retardo de fase:

* Retardo de grupo:

Señal: X(f)Canal: H(f)


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Canal de modulo constante y fase lineal en la banda de X(f)

Caso C) Portadora modulada en amplitud y/o fase:

- Para el mismo tipo de canal de módulo constante y fase lineal en la banda de X(f), se puede demostrar también (ver Ap. C) que la señal y(t) resultante es:

- Esta situación es la más general en comunicaciones e incluye a los casos A) y B):

Conclusión: Para canales LTI de respuesta en frecuencia con módulo constante y fase lineal en la banda de frecuencias de X(f), la señal a la salida es una versión escalada y retardada de la señal de entrada (no hay ninguna distorsión)

- Los parámetros característicos de la transmisión son: Mo (factor de escala), tp (retardo de fase) y tg (retardo de grupo).

- La fase se retarda tp, mientras que la señal de información se retarda tg. Ambos valores suelen ser iguales (aunque no necesariamente, depende del canal).


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Si el módulo no es constante y/o la fase no es lineal, habrá distorsión (se llama distorsión de tipo lineal, de amplitud y/o fase, respectivamente)

- La distorsión de fase se caracteriza porque la fase no es lineal (que es lo mismo que decir que su derivada no es constante).

- Si hay algún tipo de distorsión (ya sea de amplitud o de fase, o las dos a la vez), la señal a la salida ya no se puede escribir como en las pag. anterior: la salida del sistema y(t) no guardará una relación sencilla con la señal a la entrada x(t).

- La distorsión de amplitud se caracteriza porque el módulo no es constante

Velocidad de fase y velocidad de grupo:

- Si el canal estudiado de módulo constante y fase lineal en la banda de X(f) se corresponde con un medio de transmisión de longitud d, se puede definir:

* Velocidad de fase (o de portadora):

* Velocidad de grupo (velocidad a la que viaja la señal de información):


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- En el caso de que el canal presente distorsión lineal, se pueden definir también las siguientes funciones dependientes de la frecuencia, asociadas exclusivamente al comportamiento en fase del canal:

Distorsión de tipo lineal (cont.)

- El significado físico directo de estas funciones sólo se encuentra en el caso de que el canal tenga módulo cte y fase lineal en la banda de la señal X(f), ya que entonces se convierten en constantes y sólo en ese caso particular se tiene la expresión de y(t) de la pag. 8

- Para un canal LTI cualquiera, estas funciones dan una idea de cuanto se aleja la fase del caso ideal.

Función retardo de fase Función retardo de grupo

- Si la fase no es lineal en la banda de X(f), incluso aunque el módulo sea constante, la expresión de y(t) de la pag. 8 no es aplicable.

- Estas funciones de la frecuencia se llaman función retardo de fase y función retardo de grupo, respectivamente.


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- De igual manera, si el LTI con distorsión lineal es un medio de transmisión de longitud d, se pueden definir también las funciones velocidad de fase y de grupo dependientes de la frecuencia:

Distorsión de tipo lineal (cont.)

(comparar este caso general con la línea de transmisión ideal de II.1.3, pags. 16-17)

Función velocidad de fase Función velocidad de grupo

- De nuevo, el significado físico directo de estas funciones sólo aparece cuando el canal tiene módulo constante y fase lineal (ver pag. anterior), y se convierten en constantes.

- En general, para un sistema de transmisión de longitud d, donde la velocidad de propagación de la luz es c [m/s], la respuesta en fase y en amplitud tiene la siguiente forma:


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- Para cualquier canal, si B<<fo (↔ B/fo<<1), se puede hacer un Desarrollo en Serie de Taylor (DST) en torno a fo para el módulo (utilizando sólo el término cte.) y la fase (dejando sólo el término cte. y de orden 1):

En la práctica, ¿en que situaciones se puede conseguir módulo constante y fase lineal en la banda de frecuencias de X(f)?

- Estas aproximaciones (el hecho de despreciar los términos de orden superior del DST) serán tanto mejores cuanto más pequeño sea B en comparación con fo

- Dicho de otra manera, para un fo dado, cuanto menor sea B (menor volumen de información), menos distorsión habrá. Por supuesto, si B→0 (portadora pura), no hay distorsión (la portadora a la entrada se convierte en otra portadora a la salida, pero no hay info.).

- Equivalentemente, para un B dado, cuanto mayor sea fo menos distorsión habrá. Desde este punto de vista se justifica el porqué a altas frecuencias de portadora fo (p.ej. radioenlaces de microondas o fibras ópticas) se puede transmitir “potencialmente” mayores ancho de banda B de información que con fo bajo.


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II.2.2. Clasificación de las perturbaciones.

Distorsión

Diafonía: Perturbación aditiva procedente de sistemas próximos

Interferencia: Perturbación aditiva procedente de otros sistemas

Ruido: Perturbación aleatoria aditiva independiente de la señal.

- de fase (fase no lineal ↔ ret. de grupo no es cte. en la banda de señal)

- análisis con un tono (automodulación, armónicos, saturación)

Clasificación: internas-externas: Según se generan dentro o fuera del sistema

Se habla también de sistemas perturbados y perturbadores

Lineal

No lineal

- Excluidas las demás perturbaciones, se considera que el ruido engloba al resto de posible perturbaciones de origen electromagnético que sufre la señal.

- de amplitud (|H(f)| no es cte. en la banda de señal)

- análisis con dos tonos (automodulación, armónicos , saturación, intermodulación)


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II.2.3. Distorsión lineal.

Cuando una señal atraviesa un dispositivo lineal e invariante (LTI) (tales como filtros, líneas de transmisión, atenuadores, ...) su espectro a la salida queda filtrado por la respuesta en frecuencia del dispositivo:

- a) módulo constante M(f)=cte y fase lineal con la frecuencia Φ(f)=C+Df

Canal

Se ha visto que si, en la banda de frecuencias de la señal x(t), la función de transferencia cumple la condición a) (ó su equivalente b), la señal a la salida seráesencialmente como la de la entrada, salvo por una atenuación y un retardo:

- b) módulo constante M(f)=cte y retardo de grupo constante tg(f)=cte,

II.2.3. Distorsión lineal. 15ver. 0.b

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Habrá distorsión lineal en cualquier otro caso. Se distinguen dos tipos:

- De amplitud: M(f)≠cte en la banda de X(f)

La distorsión lineal se puede intentar compensar añadiendo en el receptor un filtro ecualizador de respuesta en frecuencia Heq(f)

- De fase: Φ(f) ≠ C+D f no es lineal en la banda de X(f) ↔↔ tg(f) = -Φ´(f)/(2π) ≠ cte en la banda de X(f)

- Se diseña Heq(f) de tal manera que el producto H(f)Heq(f) (que sería el sistema total que atraviesa la señal) tenga módulo cte. y retardo de grupo cte. en la banda de interés (aprox.)

- El criterio de diseño es que el módulo y retardo de grupo del conjunto estén dentro de unos valores permitidos (dentro de un cierto “rizado”)

B B

II.2.3. Distorsión lineal. 16ver. 0.b

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Ejemplo de distorsión lineal: función de transf. de una línea telefónica típica

Frecuencia (KHz) Frecuencia (KHz)

Reta

rdo

de g

rupo

(ms)

Mód

ulo

(dB)

- El módulo no es constante en la banda de la señal transmitida por el canal (voz, frecuencias hasta 3.4 KHz aprox.) → distorsión lineal de amplitud

- El retardo de grupo no es constante (fase por tanto no es lineal) en la banda de la señal a transmitir → distorsión lineal de fase

- Aunque haya distorsión lineal, es lo suficientemente pequeña (desde el punto de vista del receptor final, el usuario que escucha) para que pueda haber una comunicación.


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II.2.4. Distorsión no lineal.

En los sistemas de comunicaciones existen dispositivos tales como diodos y transistores cuya respuesta sólo se puede considerar lineal en un determinado margen de funcionamiento; fuera de él, el dispositivo trabaja en régimen no lineal.

La degradación de señal asociada a las no linealidades del dispositivo se conocen precisamente como distorsión no lineal.

zona lineal

zona de saturación

zona de saturación

1

gv

Ej: Curva de tensión entrada-salida característica de un amplificador

- Caso 1) Para señales de amplitud muy pequeña (|ve|<<Ve,sat), no habrá distorsión apreciable: vs(t) =gvve(t)

-Caso 2) Para señales “más fuertes”, habrádistorsión: vs(t)≈gvve(t)

- Caso 3) Para señales “muy fuertes”, la amplitud de la señal de salida estará limitada a un valor de saturación y la distorsión será muy apreciable: vs(t) ≠gvve(t)

Ve,sat

Vs,sat

II.2.4. Distorsión no lineal. 18ver. 0.b

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vs(t)

ve(t)

vs(t)

ve(t)

t t

Ve,satVe,sat

Vs,sat

Caso 1) Señales de poca amplitud Caso 2) Señales de amplitud relevante

1

gp1

1

Pe [dBm]

Ps [dBm]

G [dB]pe [mW]

ps [mW]

Curva de potencia entrada-salida (curva pag. anterior era en tensión)

Unidades naturales

Unidades logarítmicas

zona lineal zona linealMisma

información

Ps,sat

ps,sat

zona de saturación

zona de saturación

distorsión


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-Amplificador trabajando en régimen lineal ↔ vs(t) =gv ve(t) ↔↔ ps [mW]=gp pe [mW] ↔ Ps [dBm] = G[dB]+Pe [dBm].

Para un amplificador, sólo cuando esté trabajando con señales de poca amplitud, se podrá suponer que

Fuera del régimen lineal, la relación entrada-salida del amplificador es muy compleja y su análisis se complica enormemente.

Para modelar de manera sencilla los dispositivos no lineales se hacen las siguientes simplificaciones:

La caracterización del amplificador en este caso, y en general para los dispositivos no lineales, no es tan sencilla como en los sistemas LTI.

- El sistema no tiene memoria ni retardo entrada-salida.

- Por simplicidad, el comportamiento se modela como un polinomio de tercer grado (aunque se podrían añadir más términos)

- El término lineal del polinomio es el más importante (hipótesis de cuasi-linealidad)

- En un LTI basta con calcular la respuesta al impulso (o su transformada de Fourier) para caracterizar completamente el dispositivo de manera total.


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Incluso con estas simplificaciones, el análisis del sistema anterior es muy complejo.

Por tanto, el modelo polinómico se construye como

Modelo sencillo de dispositivo no lineal (En el ejemplo del

amplificador k1 sería la ganancia en tensión k1=gvy k3 suele ser negativo)

- Caso A) Análisis monotono (entrada de una sinusoide y calculo de la señal de salida)

- Caso B) Análisis multitono (entrada de varias sinusoides con amplitudes diferentes y cálculo de la señal de salida). El caso más simple es una entrada de dos sinusoides de igual amplitud.

Para extraer ideas y definir una serie de parámetros que sirvan para comprender las degradaciones de señal que provocan este tipo de sistemas, se suponen dos tipos de excitación particulares y se calcula su respuesta.


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- Señal sinusoidal de entrada:

0 2f0 3f0

f

Vs(f)

f00

f

Ve(f)

f0

- Cálculo de la señal a la salida:

Desarrollando las potencias de funciones trigonométricas en vs(t) en armónicos, se llega a:

¡¡ !!

Caso A) Análisis con un tono:


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- En la salida han aparecido nuevas componentes de frecuencia (continua y armónicos de la señal de entrada a farmonicos= nf0) que no existían en la señal de entrada, y que pueden interferir en otros sistemas.

- El armónico fundamental tiene una amplitud A1=k1A+3k3A3/4, donde está la

contribución del término lineal (k1A) más una automodulación originada por un término no lineal (3k3A

3/4).

- Normalmente los armónicos más altos van siendo más débiles

- Los armónicos y la continua se pueden eliminar por filtrado. Sin embargo, el problema es más complejo cuando las señales de entrada tienen múltiples componentes frecuenciales(caso habitual). Por eso ahora se hará un análisis con dos tonos.

- Ésta es la característica fundamental de la distorsión no lineal: aparición de nuevas componentes frecuenciales en armónicos de las originales. En un sistema LTI nunca se generan nuevas componentes espectrales distintas a las de la señal de entrada.

- Normalmente k3<0, por lo que a medida que aumenta la señal de entrada A, la potencia de señal en f0 a la salida se va saturando. Habrá una potencia máxima a la salida que no se podrá superar (Ps,sat).

Caso A) Análisis con un tono (cont.):


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- Entrada de dos sinusoides:

- Cálculo de la señal a la salida:

Desarrollando las funciones trigonométricas como para el análisis monotono se llega a:

f1 f2

f

Ve(f)

Caso B) Análisis con dos tonos:


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- En la salida, a parte de la señal deseada a f1 y f2 y sus armónicos, aparece un nuevo tipo de componentes frecuenciales en fintermodulacion=mf1+nf2,

f2-f12f1-f2 2f2-f1

f1 f2

2f1 2f2

f1+f2

3f1 3f2

2f1+f2 2f2+f1

f

Vs(f)

- Sin embargo, los productos 2f2 - f1 y 2f1 - f2 (que son de tercer orden) caen en la banda de trabajo y son mucho más difíciles de eliminar. Para este caso, sólo se puede intentar hacer el sistema más lineal o reducir la potencia de la señal de entrada.

(espectro de la señal de salida para el caso en el que f2 > f1>>0 y f2 ≈ f1)

Caso B) Análisis con dos tonos (cont.):

- Los productos de intermod. alejados de la banda de trabajo se pueden eliminar por filtrado.

- Se denomina orden de la frecuencia o producto de intermodulación a (|m|+|n|). Para el caso estudiado |m|+|n|≤3 (orden máximo de la no linealidad)

- Estas componentes, llamadas productos de intermodulación, son combinaciones o batidosde las frecuencias de la señal de entrada.


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II.2.5. Diafonía e Interferencia.

La diafonía (cross-talk) es la transferencia indeseada de una potencia de señal (perturbadora) a otra (perturbada), cursadas por el mismo sistema de transmisión o por sistemas próximos y de la misma naturaleza.

Fundamentalmente se produce en sistemas de transmisión con líneas metálicas (no en fibras ópticas) tales como cables de pares, coaxiales, etc con o sin apantallamiento. Causas:

La diafonía puede ser directa o indirecta (si la señal perturbadora pasa por un sistema intermedio antes de llegar al perturbado). En el segundo caso puede ser:

- Acoplo electromagnéticos de señales

- Malas conmutaciones electromecánicas

- Multiplexación analógica

- Transversal: Si la señal no circula por el sistema intermedio

- Longitudinal: Si circula por el sistema intermedio

II.2.5. Diafonía e Interferencia. 26ver. 0.b

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La diafonía puede clasificarse en paradiafonía o telediafonía según la fuente perturbadora esté, respectivamente, más cerca o más lejos que la fuente de la señal perturbada

Telediafonía

Paradiafonía

Señal perturbadora

Señal perturbada

Señal perturbadora

Señal perturbada

La interferencia sería una perturbación aditiva procedente de otros sistemas lejanos similares. Es muy común en sistemas radio, cuando por ejemplo se reutilizan frecuencias.


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II.2.6. Ruido y su caracterización.

El ruido es una señal aditiva electromagnética aleatoria de naturaleza diferente a la producida por fenómenos de diafonía, interferencia y distorsión.

Las fuentes de ruido se clasifican en dos grandes grupos: externas e internas

- Fuentes externas: son las señales aleatorias indeseadas originadas por causas externas a los equipos del sistema. Son difíciles de caracterizar y combatir (sobre todo en sistemas radio). Tipos:

* Atmosféricas: descargas eléctricas naturales, asociadas con las tormentas.

* Extraterrestre: debido a la energía radiada por cuerpos celestes de alta temperatura (sol, estrellas)

* Industrial: cualquier ruido provocado por elementos desarrollados por el hombre (descargas en líneas de alta tensión, chispas en motores eléctricos,..)

- Fuentes internas: generados por los componentes propios del sist. de comunicaciones (resistencias, transistores, etc...). En muchos casos es la fuente más significativa. Tipos fundamentales:

* Térmico: debido a la agitación térmica de los portadores de carga en los conductores

* Impulsivo o granalla: debido a las corrientes aleatorias de los portadores de los semiconductores.

II.2.6. Ruido y su caracterización. 28ver. 0.b

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- Se puede demostrar mediante estudios termodinámicos que el movimiento aleatorio de los portadores de carga en un conductor producen una corriente de ruido. Esta señal indeseada aleatoria se produce siempre que los portadores estén a temperaturas distintas del cero absoluto (0°K= - 273°C), por lo que el ruido térmico siempre existe.

↔Resistencia con ruido térmico

Resistencia sin ruido

Generador de corriente de ruido

- Por tanto, cuando se hacen análisis de ruido, cualquier resistencia se considera como un generador de ruido térmico:

- Su potencia también se puede cuantificar. En condiciones de adaptación de impedancias entre la fuente de ruido y su impedancia de carga (objetivo de diseño en sistemas de comunicaciones para transferir la máxima potencia), la fuente de ruido generará una potencia de ruido que entrará al siguiente subsistema.

- Además, se puede demostrar que el ruido térmico se produce en las resistencias y no en los elementos reactivos y que se puede caracterizar en el ámbito de los procesos estocásticos como un ruido blanco y gaussiano (luego se verá más en detalle).

Ruido térmico:


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- t: Temperatura absoluta, en grados Kelvin [°K], a la que está la resistencia.

- k: Constante de Boltzmann=1.38۠·10-23 Julios/°K= 1.38·10-23 (W/Hz)/°K

- b: Ancho de banda del sistema excitado (Hz) (sólo la parte positiva del espectro)

- Se suele definir la densidad espectral de potencia η [W/Hz]= k [Julios/°K] t [°K] y por tanto pn [W]= η [W/Hz] b [Hz] = k[Julios/°K] t[°K] b[Hz]

- A temperatura ambiente t0=290 °K y η=kt0= 4·10-21 W/Hz= -174 dBm/Hz

Ruido térmico (cont.).

- Ejemplo: Un receptor de ganancia gp y ancho de banda b se considera excitado por una fuente de señal con su correspondiente resistencia a temperatura t. El receptor se considera que añade otra señal de ruido interno de potencia nint (que podría tener varios orígenes, siendo uno de ellos también ruido térmico). Las potencias de señal y ruido a la salida serán:

ni

so= gp sisi

gp , b, nint

Receptor

ni=ktb

no= gp ni + nint (potencia total de ruido a la salida)

: ruido térmico asociado a la resistencia a la entrada del receptor, que se transfiere a la salida)

(potencia de señal a la salida)

- La potencia de ruido térmico transmitido es pn =ktb, donde:


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- Relación señal ruido a la salida del receptor anterior:

- Sensibilidad del receptor: Mínima potencia de señal que debe haber a la entrada del receptor para que funcione correctamente. Se suele cuantificar como la mínima potencia de señal si,min para que a la salida se tenga una relación señal ruido mínima snro,min.

Ruido térmico (cont.).

Puesto que el ruido es una señal de origen aleatorio que perturba la señal de información en un sistema de comunicaciones, ahora se va a pasar a caracterizar el ruido como un proceso estocástico.


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Caracterización del ruido como un proceso estocástico (p.e.):

- Desde un punto de vista matemático, el ruido n(t) se caracteriza como un proceso estocástico (p.e.)

- Dos puntos de vista:

* Cada realización es una función del tiempo: p.e. es un conjunto de funciones del tiempo con una probabilidad asociada

* Para un instante dado, el ruido es una variable aleatoria

- Además, se supondrá que el proceso estocásticoes estacionario y ergódico.

- En estas condiciones el proceso queda modelado por su a) función densidad de probabilidad en amplitud y su b) densidad espectral de potencia.


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(de Burgos, Pérez, Salazar, “Teoría de la Comunicación”, Publicaciones ETSIT-UPM, 1999)

Caracterización del ruido como un p.e. (cont.): concepto de f.d.p.

- Ejemplos de dos funciones densidad de probabilidad en amplitud (fdp) y su relación con los valores más o menos probables de n(t)


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- a) Función densidad de probabilidad en amplitud (fdp): la función especifica que valores de n(t) son más o menos probables. Por ser el proceso estacionario:

- b) Densidad espectral de potencia (Sn(f)): indica como esta distribuida la potencia de ruido en el espectro. Los procesos estocásticos estacionarios son señales de potencia, ya que tienen energía infinita. Sn(f) se calcula a partir de la función autocorrelación:

* Autocorrelación sólo depende de la diferencia de tiempos:

Caracterización del ruido como un p.e. (cont.):

- Además, por ser el proceso ergódico, los estadísticos del proceso coinciden con los temporales de las realizaciones (ver Ap. D para la definición de ergodicidad).

* Valor medio es independiente de t:

- Esto significa (de manera aproximada) que los parámetros temporales calculados sobre realizaciones dan los mismos valores que los estadísticos. Dicho de otra manera, los estadísticos se pueden calcular a partir de operaciones sobre realizaciones.


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- Parámetros temporales y estadísticos (p.e. estacionario y ergódico) (ver Ap. D):

Valor medio estadístico (independiente de t)

Potencia de ruido estadística (independiente de t )

Valor medio de una realización cualquiera

Potencia de ruido de una realización cualquiera

- Filtrado por sistemas LTI. Si el ruido pasa por un sistema LTI,la densidad espectral de potencia a la salida queda filtrada por:

Función autocorrelaciónpara una señal de potencia

Función autocorrelaciónestadística

Caracterización del ruido como un p.e. (cont.):


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Ruido gaussiano: aquel proceso estocástico que tiene una función densidad de probabilidad (f.d.p.) de tipo gaussiano:

- La f.d.p. está determinada por dos parámetros: σ es la desv. típica y ndc es la media.

-Puesto que se trabaja con ruidos estacionarios y ergódicos, σ2 será la potencia de ruido AC y ndc el valor medio de cualquier realización.

-Si ndc no se define específicamente, se supondrá que ndc=0 y por tanto σ2 =Pot. media del ruido=Pn

- La f.d.p. informa de cómo están distribuidas las amplitudes del p.e. De hecho, para un p.e. gaussiano, con especificar σ2 =Pot. media del ruido=Pn ya se tiene una idea de cómo van a estar distribuidas las amplitudes de una realización cualquiera (ver pag. 32).

- La f.d.p. no da información de la evolución temporal del p.e. Para caracterizar la respuesta temporal hay que acudir a la densidad espectral de potencia (d.e.p) (ver pag. 33).


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- Comparación entre dos procesos estocásticos gaussianos, de distinta σn,


(para procesos estacionarios ergódicos de media nula, Pn= σn2)


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- Comparación entre dos procesos estocásticos gaussianos(no blancos), de idéntica σn, y distinta d.e.p. Sn(f)



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Ruido blanco: aquel proceso estocástico que tiene una densidad espectral de potencia constante en todas las frecuencias:

- η es la densidad espectral de potencia en W/Hz (el factor ½ está relacionado con los cálculos cuando sólo se trabaja con frecuencias positivas)

- Que la autocorrelación sea una función impulso significa que el valor del ruido en un instante t está completamente incorrelado (no aporta ninguna información) sobre el ruido en el instante t+τ.

- El ruido blanco tiene potencia infinita (densidad espectral de potencia cte. para todas las frecuencias): es una herramienta matemática que sirve para modelar el ruido.

TF

- En los sistemas reales siempre hay un sistema de ancho de banda finito que filtra (colorea) el ruido a su entrada y cuya potencia de ruido a la salida es finita.


J.A.R.C

TCO (2007-08)

Sn,out(f)= |H(f)|2 Sn,in(f)

f0

η/2

Resistencia con ruido blanco

Sn,in(f)

f0

LTI H(f)

f0

η/2

Resistencia con ruido blanco

Sn,in(f)

f0

f0

f0

H02 η/2

H0

H0

Bn

Bn

→

→

Filtro paso-bajo equivalente

Filtro paso-banda equivalente

Hequiv(f)

Hequiv(f)

Filtrado de ruido blanco. La salida es ruido coloreado.

H02 η/2

A) Caso paso-bajo

B) Caso paso-bandaLTI H(f)

H0

H0

Sn,out(f)= |H(f)|2 Sn,in(f)


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TCO (2007-08)

- aunque existen otras fuentes de ruido en un sistema de comunicaciones (como se ha visto anteriormente), el ruido térmico siempre está presente, puede ser el más significativo y desde un punto de vista matemático tiene una caracterización muy simple: gaussiano y blanco.

Filtrado de ruido blanco (cont.): ancho de banda equivalente de ruido Bn:

(por el filtro ideal equivalente)

(por el filtro real)

(igualando)

- En un cierto punto de un sistema, el ruido presente siempre aparecerá filtrado por un filtro de forma, en principio, arbitraria

Como resumen, el ruido térmico se puede modelar como un proceso estocástico estacionario, ergódico, de fdp gaussiana, de media nula y de tipo blanco (d.e.p. plana).

- Por eso muchas veces en un primer análisis se supone que el ruido presente en un sistema de comunicaciones es gaussiano y blanco (white gaussian noise: WGN).

- Se define Bn como el ancho de banda de un filtro ideal (respuesta plana) que a su salida tiene la misma potencia de ruido que el real:


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TCO (2007-08)

Ap. C: Respuesta de un LTI de módulo constante y fase lineal a una portadora

modulada en amplitud y/o fase

ff0-f0 0

B

f

f0

-f00

Módulo par

Fase impar

Señal: X(f)Canal: H(f)

(pendiente de la recta en f=fo)

(valor de la fase en f=fo)

Un canal LTI de módulo constante y fase lineal en la banda B de X(f) se puede describir de la siguiente manera:

Ap. C. Respuesta de un LTI ideal a una portadora modulada 42ver. 0.b

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Ap. C (cont):

Módulo: función par

- Al desglosar el módulo y la fase en la banda de interés se tiene:

Fase: función impar

- Realmente, el módulo par y la fase impar debe cumplirse tanto para la TF de la respuesta al impulso del canal como de la señal, por ser ambas funciones reales en el tiempo.

- La fase tiene una forma un por más complicada porque debe conservar la imparidad.

Descripción matemática del canal de módulo constante y fase lineal (cont.) :

- En la práctica, ¿en que situaciones se tiene una canal cuya respuesta es como la anterior?: Para cualquier canal, si B<<fo, se puede hacer un Desarrollo en Serie de Taylor en torno a fo para el módulo (utilizando sólo el término cte.) y la fase (dejando sólo el término cte. y de orden 1):

(aproximación justificada si B/fo <<1)


J.A.R.C

TCO (2007-08)

Ap. C (cont):

Ahora se va a calcular la salida del LTI de módulo constante y fase lineal a la excitación de una portadora modulada en amplitud (caso B):

- Donde se ha definido la función auxiliar G(f):

- Utilizando la forma de H(f) de la pag. anterior, se tiene:

- Para hallar y(t) hay que hacer la TF-1 de Y(f), que implica calcular la TF-1 de la función auxiliar que se ha definido: G(f ± fo). Las operaciones son directas al utilizar las propiedades de la TF:


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Ap. C (cont):

- Por tanto, haciendo la TF-1 de Y(f):

- Ahora se utiliza el valor de A y D:

- Donde se ha definido:* Retardo de fase

* Retardo de grupo

- Conclusión:

Caso de la portadora modulada en amplitud (caso B) (cont.):



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Ap. C (cont):

- La señal de entrada se descompone en dos contribuciones usando cos(a+b)=cosacosb-sinasinb:

- Para obtener la salida, se aplica el principio de superposición de los sistemas LTI y los resultados del caso B) para canales con módulo constante y fase lineal

- Al reagrupar la salida se concluye:


Ahora se va a calcular la salida del LTI de módulo constante y fase lineal a la excitación de una portadora modulada en amplitud y fase (caso C):


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Ap. D (opcional): Definición de ergodicidad

Sea n(t) un proceso estocástico estacionario en sentido amplio:

- Los momentos temporales del proceso estocástico n(t) son variables aleatorias, ya que dependen de la realización escogida para su cálculo.

- Variable aleatoria media temporal:

- Variable aleatoria función autocorrelación temporal:

El proceso estocástico estacionario en sentido amplio n(t) es ergódico si:

(Este es el sentido de las igualdades

de la p. 34)

tema ii. señales, sistemas y...

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