1

Tema II (Capítulos: 1,2,3 Física, Tipler/Mosca ;

1.6, 2, 3 y 9 Física, Bauer /Westfall; 2 Laboratorio de Física, Hidalgo et al.)

El primer paso para comprender el Universo fue aprender a describir el movimiento, el cual se produce en el tiempo y en el espacio. Hasta los comienzos del siglo XX, se concebían el tiempo y el espacio como algo independiente de la materia y del observador, como algo absoluto, inmutable y preexistente a toda la materia. Tanto el espacio como el tiempo, ambos en conjunto, se entendían como un inmenso contenedor de todo lo existente, como un gran escenario inmutable en el que se desplazan los móviles, se transfieren las formas de la energía y donde imperan, de forma absoluta, las leyes invariantes de la Física. Hoy entendemos que el tiempo y el espacio no son independientes de la materia. El tiempo va indisolublemente unido a los estados materiales, y puede medirse mediante una estructura métrica. Si el universo fuera estático podría fijarse un sistema referencial de coordenadas y medir respecto a él la posición absoluta e inmutable de cualquiera de los objetos. Pero el que el universo sea algo dinámico, en movimiento evolutivo continuo, hace que la realización de dos o más medidas espaciales (x, y, z) de un mismo punto nos muestren valores diferentes. Es preciso describir esta variabilidad de los estados de los puntos del espacio como dependientes de un parámetro t que denominamos tiempo físico y que varía en el campo continuo infinito de los números reales. x = x(t), y = y(t), z = z(t) Esto nos indica que para cada valor de la variable t existe una medida, un estado, o una estructura y nos permite ordenar los estados con respecto a los valores del tiempo físico t.

Tema II (Cinemática)

Modelo clásico de espacio y tiempo. Marcos de referencia.

Vectores.

Movimiento en una dimensión: Vectores desplazamiento, velocidad y aceleración. Movimiento con aceleración constante. Ecuaciones cinemáticas. Movimiento en dos dimensiones: Movimiento de proyectiles. Movimiento circular. Interpretación de gráficos de posición y velocidad en función del tiempo. Movimiento relativo. Principio de relatividad de Galileo: Sistemas inerciales. Sistemas no inerciales.

2

El análisis relativista del tiempo, realizado desde los trabajos teóricos de Alberto Einstein, ha obligado a rechazar la idea de tiempo absoluto y a considerar, como un todo, el espacio-tiempo. Con su introducción como variable física respecto de la cual se ordenan los estados físicos, se desprende que solamente tiene sentido hablar de tiempo respecto a un sistema físico que atraviesa diferentes estados y, a través de él, respecto de un sistema de coordenadas que define los estados físicos del sistema. Cambiando de sistema de coordenadas se cambia, por tanto, de ordenación con respecto a t. Esto es lo que se da en llamar relatividad del tiempo. Esto nos conduce de forma natural al resultado de que la estructura métrica del tiempo es relativa a un sistema físico determinado, en un sistema de coordenadas arbitrario. El espacio (clásico) Para ubicar cualquier objeto necesitamos un marco de referencia. Asumimos que: el espacio tiene existencia independientemente de los objetos; tiene tres dimensiones; en él se aplica la geometría euclidiana. El sistema de coordenadas cartesiano es un modelo que divide el espacio en un retículo tridimensional sin límites. Es uniforme y los objetos no lo alteran. Un segundo marco de referencia que se mueva con velocidad constante (sistema inercial) con respecto al primero es igualmente válido para describir el movimiento. El tiempo (clásico) La materia, en su movimiento, manifiesta ciclos. La magnitud que esta propiedad genera se le llama tiempo. Los cambios que observamos en la naturaleza se desarrollan en el tiempo, el cual permite ordenar los sucesos en secuencias, estableciendo un pasado, un presente y un futuro, y da lugar al Principio de causalidad (el efecto nunca precede a la causa), uno de los axiomas del método científico. Es el tiempo absoluto del transcurrir uniforme de la mecánica clásica de Galileo y Newton, el llamado tiempo absoluto newtoniano. La actual forma de medir el tiempo (patrón) se basa en la elección de un fenómeno que se puede repetir idéntica e indefinidamente en la naturaleza. Unidad: segundo (s) Definición: el segundo unidad de tiempo del Sistema Internacional de unidades, SI, es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación asociada a la transición hiperfina del estado fundamental del átomo de Cesio 133. Reproducción: el patrón nacional de tiempo reproduce el segundo del SI usando técnicas de espectroscopía de radio frecuencia de súper alta resolución de haces atómicos de Cesio 133.

3

Vectores

Escalares magnitud numérica y unidades (presión y temperatura del aula) Vectores módulo y unidades, dirección, sentido ( símbolo ) (desplazamiento de un móvil, empuje sobre un objeto sumergido en agua)

Vector de posición. El sistema de referencia. Coordenadas cartesianas y polares para situar un punto en el plano.

Punto P=(x, y) en coordenadas cartesianas ó P =(r, θ) en coor. polares r =r cos θ i +r sen θ j= x i + y j es el vector de posición de P; x= r cos θ y= r sen θ; paso de polares a cartesianas r2= x2 + y2; tg θ=y/x; paso de cartesianas a polares Componentes de un vector. Vector unitario. Ejemplo.

(79o=1.38 rad)

r

θ

(x, y)

2.5;

4

Vector desplazamiento (cambio de posición de un objeto). Un móvil recorre una trayectoria mientras transcurre el tiempo. (marco de ref. fijo: la Tierra) Examples: 1 A particle moves from x1 =30 cm to x2 = -40 cm. The displacement of this particles is A) 30 cm B) 40 cm C) 70 cm D) -70 cm E) -40 cm

2 Four successive displacements of 3 km, 4 km, 5 km, and 4 km are at right angles to each other as shown in the diagram. The magnitude of the resultant displacement is A) 2 km B) 16 km C) 3 km D) 5 km E) None of these is correct

3 El desplazamiento de un coche que hace un viaje de ida y vuelta entre dos ciudades

A) is always greater than zero. B) is always less than zero. C) is zero. D) can be greater than or less than but not equal to zero. E) can have any value.

Vector desplazamiento: origen en el punto de

partida, extremo en el punto de llegada ∆x =xB-xA Longitud de la trayectoria: trayecto recorrido (línea de puntos)

A

B

ixxxxx )( 1212 −=−=∆→→→

Un deportista da tres vueltas completas a la pista, el vector desplazamiento es CERO

XA

XB

∆X

5

Movimiento en 1 dimensión

Velocidad media

durante el intervalo ∆t 4 A particle moves from x0 = 30 cm to x = –40 cm in 5 s. The average velocity of the particle during this time interval is A) 2 cm/s B) –2 cm/s C) 14 cm/s D) –14 cm/s E) –140 cm/s

Celeridad (rapidez) media (no es un vector)

longitud de la trayectoria / intervalo de tiempo (siempre +)

5 En el ejemplo 2, ¿cuál es la longitud de la trayectoria, después de los 4 desplazamientos? 16 km ¿Cuál es la velocidad media, si en total se emplearon 4 horas? -2j km / 4h = -0.5 km/h j ¿Cuál es la celeridad media? 16 km / 4 h = 4 km/h

Gráficos: x(t)

12 tt

xxv

txv

if

mm −

−=⇒

∆∆

=

→→→

→

tvx m ∆=∆→→

x

6

6 El gráfico muestra cómo depende la posición de una partícula con el tiempo ¿cuál es la velocidad media al cabo de 8 s?

Velocidad instantánea

en t0, siendo ∆t= t− t0

y t t0

tgladependienteΔt

xΔlimv0Δt

==→

→

→

7

7 En el ejemplo 6, ¿cuál es la velocidad instantánea en t= 3 s?

Aceleración media

Aceleración instantánea

Movimiento con aceleración constante. Ecuaciones cinemáticas. Integración

→→→

→→ xva

ttxttx

dtdxv

t ∆−∆+

==

→→

→∆

→→ )()(lim

0 dtvxd→→

=

12 tt

vvmódulo

tva

if

m −

−=⇒

∆∆

=

→→→

→

tav m ∆=∆→→

ttvttv

dtdva

t ∆−∆+

==

→→

→∆

→→ )()(lim

0

dtavd→→

=

200

20

20000

0

00000

00

2)(

)(2

)()()()(

)()(:)0(

)()()(

)(

;

0 00

00

tatvxtx

ttattvtxtxdttavdtvxd

tavdtxdv

xtxyvtvtinicialesscondicioneDos

definidaintegralttatvtvdtavd

indefinidaintegralctetatvdtavd

cteadtvda

t

t

t

t

x

x

t

t

v

v

++=

−+−=−→+==

+==

===

−=−→=

+=→=

==

∫ ∫∫

∫∫∫ ∫

→

021

0 0 21

0 02

0 02 2

0 0

( )

( )[ ( )]

( )

( ) 2 [ ( ) ]

t

t

v t v atx t x v t atv v v tx t x v t

v t v a x t x

→

→

= +

= + +

= +

= +

− = −

8

Interpretación de gráficos: x(t), v(t). Ejemplos

Hoja 2, nº10. La posición como función del tiempo. Obtén v y a

a=0

v=cte

Hoja 2,nº9: ¿cuál es la velocidad media en los cuatro intervalos? ( 0, 1/3, −2, 1 ) m/s ¿cuál es la velocidad instantánea en t= 10 s?

9

8 The graph shows the velocity of a particle as a function of time. In the 12 s shown, the particle travels

A) 0 m B) 1200 m C) 640 m D) 440 m E) 200 m

9¿Qué función se está representando en el eje y de (b)?

10 On a graph that shows velocity on the vertical axis and time on the horizontal axis, the area under the curve represents

A) average acceleration. D) average speed (rapidez). B) average velocity. E) no useful physical quantity. C) displacement.

¿Qué gráfico describe un mov. con v + y a − ?

¿Qué representa el área?

∆x

vf

vm=(vi + vf)/2

vi

Cuando a=cte: la velocidad media vm es …

10

11 The relationship between the velocity of a body moving along the x axis and time is given by v = 3t2 – 2t, where the units are SI units. The total distance the body travels between the times t = 2 s and t = 4 s is

A) 12 m B) 60 m C) 48 m D) 34 m E) 44 m

12 The change in velocity for some time interval can be interpreted as A) the area under the v-versus-t curve for that interval. B) the area under the x-versus-t curve for that interval. C) the area under the a-versus-t curve for that interval. D) the slope of the a-versus-t curve. E) None of these is correct.

Caída libre (mov. en 1 dimensión)

(cuando sólo actúa g=cte)

Caso particular de MRUA (ec. vectoriales)

h = h0 + vo·t + ½·g·t²

v= v0 + g t

Si dejamos caer una manzana, el 1er segundo ha caído g/2 m, el 2O, 4 veces g/2m, el 3o, 9 veces g/2m ….. Se verifica que

h1/h2= (t1/t2)2 [es decir, 1/4 =(1/2)2, 1/9=(1/3)2 ….]

Lugar Gravedad (m/s2)

Mercurio 2,8

Venus 8,9

Tierra 9,8

Marte 3,7

Júpiter 22,9

Saturno 9,1

Urano 7,8

Neptuno 11,0

Luna 1,6

11

Ejemplo Se lanza un birrete hacia arriba con 14.7 m/s ¿cuánto tiempo tarda en alcanzar el

punto más alto? ¿ cuál es la altura máxima alcanzada? ¿Cuánto tiempo está en el aire, si se recoge en el mismo punto?

Ejemplo Desde un globo que está a 300 m sobre el suelo y se eleva a 13 m/s, se deja caer una

bolsa de lastre. Encuentra, para la bolsa, la altura máxima que alcanza, su posición y velocidad 5 s después de haberse desprendido y el tiempo que transcurre antes de que choque contra el suelo.

Movimiento en 2 dimensiones Vectores “cinemáticos” en componentes cartesianas: vector de posición r = rx i +ry j, Vector desplazamiento ∆r = (r2x−r1x)i+ (r2y−r1y)i =∆rx i +∆ry j, velocidad v = dr/dt = vx i +vy j, aceleración a= dv/dt = ax i +ay j ejemplo (nº 3 de hoja prob. (profundizar) Un pez se encuentra nadando en un plano horizontal con una velocidad vi = 4 i + 1 j m/s, en un punto del océano donde el desplazamiento respecto de una determinada roca es r =10 i – 4 j. Después de nadar con una aceleración constante durante 20 s, el vector velocidad del pez es vf = 20 i – 5 j m/s. ¿Cuáles son las componentes de la aceleración? ¿Cuál es la dirección de la aceleración con respecto del vector unitario i? Si el pez mantiene una aceleración constante, ¿dónde se encontrará en t = 25 s y en qué dirección se estará moviendo? (Pon el origen de coordenadas en la roca, haz un esquema y recuerda las ecuaciones vectoriales del movimiento uniformemente acelerado).

12

Interpretación de gráficos: y(x)

dtvrd→→

=

12

12

tttrrr

tvr m

−=∆−=∆

∆=∆→→→

→→

13

Movimiento de proyectiles

Condiciones iniciales: r0=(x0 y0), v0=(v0x, v0y)

¿Dado v0 , qué orientación θ produce alcance máximo? (θ= 45º)

Si el mono se deja caer cuando se dispara el dardo, éste siempre lo alcanza, con tal de que v0 sea suficientemente grande

El mov. horizontal uniforme y el mov. vertical uniformemen-te acelerado actúan simultánea e independientemente.

14

¿Cómo resuelves? En un salto, una esquiadora abandona la nieve a 11 m/s a 23º por debajo de la horizontal y aterriza más adelante sobre la pendiente de 55º. ¿Dónde, cuándo y a qué velocidad aterriza?

Movimiento relativo. Velocidad relativa

El desplazamiento de una persona (p) respecto de tierra (marco g) rpg es la suma del

desplazamiento de la persona respecto del vagón (marco c) rpc más el desplazamiento

del vagón respecto del terreno rcg:

c y g son marcos inerciales si vcg = cte rpg = rpc + rcg

Rumbo dirección en la que apunta una nave en el medio en que se mueve ( aire,

agua…) (ejemplos 14, 15, hoja 2 )

¡Tomad nota!

O’

O

V1

V2

rpc rcg

Un río tiene 0.76 km de anchura. Las orillas S son rectas y para-lelas. La corriente tiene una velocidad de 3 km/h y es paralela a los muelles. Un barco B tiene una velocidad de 5 km/h en aguas tranquilas. El piloto del barco quiere atravesar el río en línea recta perpendicular a las orillas. ¿Cuál debe ser el rumbo del barco, es decir, en qué dirección debe apuntar la proa del barco?¿Cuánto tarda en atravesar el río?

15

Movimiento circular uniforme

x = R cosθ

y = R senθ

w = dθ/dt =cte = ∆θ/∆t

ur = [cosθ) i + sen(θ) j] dr / dt = ut = [-sen(θ) i + cos(θ) j] y módulo módulo

notemos que dur / dt = wut y dut / dt =− wur

r: es el vector de posición y v la velocidad de la partícula. R: es el radio de giro. w: es la velocidad angular, que es constante en este caso. t: es el tiempo. dv / dt =

¡Tomad nota! ur ut

j

i

r = x i + y j

r = R[cos(θ) i + sen(θ) j] = R ur

v = R w [-sen(θ) i + cos(θ) j] = v ut

v= Rw

θ = θ0 + wt

aC = R w2

a = R w2[- cos(θ) i - sen(θ) j] = aC (-ur)

aC es la aceleración centrípeta

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Movimiento circular uniformemente acelerado

w = dθ/dt ≠ cte θ ≠ w t ; α = dw/ dt = cte(≠0)= ∆w/∆t

w = w0 + α ∆t; θ = θ0 + w0 ∆t +1/2 α ∆t2

α, w, θ pueden ser positivos o negativos.

(ejemplo 7, hoja 2 ) Ejemplo: El volante de una máquina de vapor comienza a girar a partir del reposo con aceleración angular constante de 1.43 s-2 durante 25.9 s y luego continúa girando a velocidad angular constante. Después de estar girando durante 59.5 s, ¿cuál es el ángulo total que ha girado? Sol. ≈ 1720 rad.

Sistemas no inerciales: los marcos de referencia aceleran unos respecto de otros. Ven distintas aceleraciones de los objetos.

El objeto que gira constituye un sistema no inercial respecto de la Tierra. Al igual que un coche que acelera en el que vamos sentados. En un sistema no inercial: ¿Por qué se mueve una pelota que está en el suelo de un vagón de un tren cuando éste arranca? Nadie la empuja….

a = R { w2 [- cosθ i - senθ j] + α [- senθ i + cosθ j] }=

= aC (-ur) + at (ut) at es la aceleración tangencial

at = R α =R dw/dt = d(R w)/dt= dv/dt (¡v módulo!)