geometría métrica

1

L L

h

L/2

D

Guía Nº 4

Geometría Métrica

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo se cumple:

a2 + b2 = c2

Este teorema permite obtener algebraicamente la medida de un lado de un triángulo

rectángulo conocidos los otros dos lados, para evitar cálculo existen tríos pitagóricos, es decir

números que cumplen con el teorema de Pitágoras.

Aplicaciones:

D L 2 L

h 32

Tríos Pitagóricos: son tríos de números que satisfacen al Teorema de Pitágoras.

3, 4, 5 32 + 42 = 52 5, 12, 13 52 + 122 = 132

6, 8, 10 10, 24, 26

9, 12, 15 15, 36, 39

3k, 4k, 5k 5k, 12k, 13k

Casos especiales:

i) ii)

2a n 1

L

32

L

L

2

a

n·a

60º

30º

2

P = 3·L P = 4 · L P = 2L + 2 a

L

aLL

L

L

P = 5L P = 6L

TRIÁNGULOEQUILÁTERO

CUADRADORECTÁNGULO

PENTÁGONOREGULAR

HEXÁGONO REGULAR

OD

r

A

B

Perímetro: es la medida del contorno o borde de una figura.

- El perímetro de un polígono cualquiera es la suma de sus lados.

- En el caso de un polígono regular (iguales lados) se debe multiplicar la medida del lado

por el número de lados.

Ejemplos de perímetros:

Perímetro de una circunferencia:

P D 2 r

Longitud del AB = D360º

3

b

h

b

b

h

B

D

d

L

L

A

Área: es la medida de la superficie que encierra una figura, las unidades de medida son

cuadrados de área unitaria (cm2, m2, km2, etc.).

TRIÁNGULO

1A bh

2 PARALELOGRAMOA b h

2CUADRADOA L

RECTÁNGULOA L A

TRAPECIO

B bA h

2

B bMediana m

2

El área de cualquier

cuadrilátero de diagonales

perpendiculares es:

D dA=

2

4

O

r

O

r

A

B

A AA A

L1

L2

A A A

A A

A

AA

A

AA

Áreas circulares

2A r 2A r360º

Observación: En un triángulo equilátero el área se obtiene como: 2L

34

.

Criterios de áreas:

i) Para encontrar el área de una figura esta se debe transformar en otra conocida de

acuerdo a la información recibida.

ii) Para encontrar el área de una figura esta se debe dividir en áreas conocidas, de

acuerdo a la información recibida.

Casos de igualdad de áreas:

1 2L //L

Si un triángulo o un paralelogramo Si dos o más triángulo tienen sus

están inscritos en paralelas y tienen bases iguales y colineales y

igual base tiene igual área. comparten el tercer vértice tienen

igual área.

Al trazar la transversal Al trazar las tres transversales

de gravedad se generan 2 de gravedad se forman 6

triángulos de igual área. triángulos de igual área.

5

A B A’ B’

C

C’

a

c

b

c’

a’b’

L1

L2

L3

a c

b d

Geometría de proporciones

Semejanza: Dos figuras se dicen semejantes () si estas tienen igual forma.

Semejanza de triángulos:

'

'

ABC A'B'C' '

a b c

a' b ' c '

Para probar que dos triángulos son semejantes se deben utilizar los postulados de semejanza, a

continuación daremos dos de ellos los más usados.

(A,A) ángulo, ángulo

Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, entonces los triángulos son

semejantes.

(L,L,L) lado, lado, lado

Si dos triángulos tienen sus tres lados correspondientes iguales, entonces los triángulos son

semejantes.

Teorema de Tales.

Si dos rectas no paralelas son cortadas por una familia de paralelas, entonces en las rectas no

paralelas se forman segmentos proporcionales.

Si L1 // L2 // L3, entonces

a c

b d

6

A BE A B E’

A BE

División de trazos:

Un trazo se dice dividido interiormente si hay un punto dentro del trazo que lo divide en dos

segmentos que están en una razón determinada.

Un trazo se dice que esta dividido exteriormente si existe un punto en la prolongación del trazo

que divide al trazo en una razón determinada.

División interior AE m

EB n División exterior

AE' m

BE' n

Si un trazo esta dividido interiormente y exteriormente en la misma razón se dice que esta

dividido armónicamente en dicha razón.

Razón Áurea o Razón de oro, si un trazo esta dividido de menara que el segmento mayor es

media proporcional entre todo el trazo y el segmento menor.

AB esta divido áureamente si: 2AB AEAE AB EB

AE EB

Teorema de Euclides

Si en un triángulo rectángulo se dibuja la altura desde el ángulo recto, entonces se generan las

siguientes relaciones:

A

q

Teorema de los catetos c

a2 = p · c

b2 = q · c b p

Teorema de la altura

h2 = p · q

C a B

Teorema de la bisectriz:

Sea ABC un triángulo cualquiera y CD bisectriz, entonces:

AC AD

CB DB

A B

C

D

7

Observación:

Al trazar las transversales de gravedad en cualquier triángulo estas se intersectan de

manera que generan dos segmentos que están en la razón 2 : 1

Proporcionalidad en una circunferencia:

Dos cuerdas.

a

d a · b = c · d

b c

b

Dos secantes que se intersectan.

a

a · b = c · d

c

d

Una tangente y una secante.

a

a2 = b · c

b

c

2p

p

8

A

B

C

a

b

c

Observaciones:

i) Si dos figuras son semejantes, entonces todos sus elementos lineales correspondientes

están en la misma razón.

ii) Si dos figuras son semejantes, entonces sus áreas están en una razón igual al cuadrado

de la razón en que están sus elementos lineales correspondientes.

Trigonometría

Como basta saber que en dos triángulos rectángulos dos ángulos agudos sean iguales

para concluir que dichos triángulos son semejantes y por tanto las razones entre sus lados son

iguales, entonces podemos establecer que existe una relación directa entre la razón entre los

lados de un triángulo rectángulo y un ángulo agudo de él.

Razones trigonométricas:

Sea triángulo ABC rectángulo en C, luego:

Seno; a cateto opuesto

senc hipotenusa

Coseno; b cateto adyacente

cosc hipotenusa

Tangente; a cateto opuesto

tgb cateto adyacente

También existen las recíprocas, estas son:

Cosecante; c hipotenusa 1

csca cateto opuesto sen

Secante; c hipotenusa 1

secb cateto adyacente cos

Cotangente; b cateto adyacente 1

ctga cateto opuesto tg

Identidades trigonométricas:

Es una igualdad que se verifica para cualquier ángulo, las

identidades elementales a saber son:

i) sen cos(90º )

ii) cos sen(90º )

iii) sen

tgcos

iv) 2 2sen cos 1

9

cara

arista

vértice

Ecuaciones trigonométricas:

Son aquellas en que la incógnita es un ángulo afectado por una

razón trigonométrica, para despejarlas se debe llevar a una sola función para determinar el

ángulo (incógnita) que la satisface, en los aso de PSU sólo se consideran ángulos desde 0º a 90º.

Valores notables:

0º 30º 45º 60º 90º

Seno 0 1

2

2

2

3

2 1

Coseno 1 3

2

2

2

1

2 0

Tangente 0 3

3 1 3

VOLÚMENES, ISOMETRÍAS e SIMETRÍAS

Cuerpo: es una figura de tres dimensiones, esta limitado por superficies planas o curvas.

Prisma: cuerpo formado por dos caras paralelas congruentes y poligonales, llamadas bases.

Todas las caras laterales son paralelogramos.

base

base

Volumen: es la cantidad de cubos de volumen unitario que caben exactamente en un cuerpo.

El volumen de todo prisma es área basal · altura

El área de todo prisma es la suma de las áreas de todas sus caras.

Algunos prismas son; el cubo, el paralelepípedo recto, etc.

10

base

h

CUBO PARALELEPÍPEDO RECTO

L h

a

L L

L

Vol. = L3 Vol. = L · a · h

Área = 6L2 Área = 2La + 2ah + 2Lh

PIRÁMIDE

Vol. = 1

3área basal · h

h: altura

Cuerpos redondos estos cuerpos están limitados por superficies curvas, los cuerpos redondos

más conocidos son el cilindro, el cono y la esfera.

CILINDRO CONO ESFERA

r

r

r

Vol. = r2h Vol. =1

3 r2h Vol. =

4

3 r3

Área = 2 r2 + 2 rh Área = r2 + área del manto Área = 4 r2

Manto: superficie curva que limita a un cuerpo redondo.

Transformaciones isométricas: son todas aquellas transformaciones en que la figura original

es congruente con la figura final.

11

Traslación: es cuando cada punto de la figura se traslada de acuerdo a un vector traslación.

Rotación: es cuando la figura es girada una cantidad de grados en torno a un punto, se dice que

el giro es positivo cuando se hace en el sentido contrario a los punteros del reloj.

Reflexión: es cuando la figura es reflejada con respecto a un eje, los puntos homólogos o

correspondientes equidistan del eje de reflexión.

figura original

figura final

figura original

figura final

centro derotación

figura original figura final

eje dereflexión

12

A

B

CA’

B’

C’

O

Eje de simetría: es la recta que divide a una figura en dos partes congruentes, al doblar una

figura por esta línea las dos partes coinciden al enfrentarlas, esta simetría recibe el nombre de

simetría axial.

Centro de simetría: es el punto medio del segmento formado por el punto original y el

transformado, en el caso de una figura, es el punto que equidista de todos los puntos originales y

los transformados correspondientes. Se dice que una figura tiene centro de simetría, si existe un

punto por el cual se rota la figura una

magnitud angular y la figura resultante

coincide con la figura original.

La figura nos muestra a el centro de

simetría O, O es el punto medio de AA’,

BB’ y CC’.

Teselaciones

Una pieza es teselante cuando es posible

acoplarla entre sí con otras idénticas a ella sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el

plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación.

Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para

recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras,

tapices, etc. El artista holandés M.C. Escher se divirtió teselando el plano con figuras de distintas

formas, que recuerdan pájaros, peces, animales....

Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. Los

matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones

poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales.

Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la

teselación es regular.

Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos

equiláteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y la configuración hexagonal,

como la de los paneles.

13

Ejemplos:

Teselación regular con triángulos equiláteros.

Teselación regular con cuadrados.

Teselación regular con hexágono regulares.

Observación: Los polígonos regulares que teselan el plano son aquellos que tienen por medida de

su ángulo interior a un divisor de 360º.

También existen teselaciones con figuras que no son regulares, a saber:

i) Todo triángulo tesela el plano.

ii) Consecuencia de lo anterior, todo paralelogramo tesela el plano.

14

También pueden teselar dos figuras distintas, en especial combinaciones de polígonos

regulares, en estos casos hay que verificar que en un nudo debe generarse 360º.

Ejemplos:

En este caso aparece una teselación formada por un

octógono regular y un cuadrado, si notamos que el ángulo

interior de un octógono es 135º y 90º el cuadrado, por

tanto; 135º + 135º + 90º = 360º.

En este caso tenemos una teselación formada por

cuadrados y triángulos equiláteros, como esta indicado

en la figura en el nudo marcado tenemos; 90º + 90º +

60º + 60º + 60º = 360º. Este ejemplo nos muestra

también que si un pentágono regular no tesela el plano,

existen varios pentágonos no regulares que teselan el

plano, el pentágono achurado en la figura sería uno de

los que teselan.

Otro caso de teselaciones es cuando a una figura que tesela el plano se la transforma

generando otra que también tesela el plano. De este caso derivan muchas figuras conocidas, para

representar este caso mostraremos algunas transformaciones simples.

En este caso hemos tomado un cuadrado que se

sabe que tesela el plano, al cual se le recorta un

triángulo el cual se desplaza hasta el lado

opuesto, así se genera la baldosa o tesela, que

cubre el plano, en este caso decimos que la

teselación es por traslación.

15

AC

B

D

10

8

En este otro caso hemos tomado el mismo cuadrado pero el triángulo recortado lo hemos rotado,

lo cual nos genera una baldosa que teselará el plano por rotación.

Estas son las situaciones más simples de

teselación, resumiendo nos podemos encontrar

teselaciones con un pieza y estas pueden ser

polígonos regulares o polígonos no reglares, en las

cuales hay que tener presente que en un nudo debe

generarse los 360º, y el caso de transformar una

pieza en otra que tesela.

1. El triángulo ABC de la figura 1, es rectángulo en C, si BC = 3DC, entonces AD =

A) 9

B) 65

C) 68

D) 73

E) 80 fig. 1

2. Un triángulo equilátero tiene por medida de una de sus medianas 4 cm., entonces su área

es

A) 3

B) 2 3

C) 4 3

D) 8 3

E) 16 3

16

3 2

45º

7

x

A M

O

T

E

30º

60º

2 3

3. El valor de x, en la figura 2 es

A) 3

B) 4

C) 5

D) 5,5

E) 6 fig. 2

4. En la figura 3, los triángulos AMO y TEA son rectángulos, si E es punto medio de AM,

entonces el área del triángulo ATE es

A) 3

B) 2 3

C) 2

D) 4

E) 4 3 fig. 3

5. Considerando un triángulo rectángulo de catetos a y b, si la hipotenusa es c y su área es k,

entonces a + b =

A) 4kc2

B) 2

4k

c

C) 2c

4k

D) c 2 k

E) 2c 4k

6. En un triángulo rectángulo un cateto es el triple del otro, si el menor de sus lados mide 4

cm., entonces su perímetro es

A) 16 cm.

B) 16 + 4 5 cm.

C) 16 + 4 10 cm.

D) 16 + 8 10 cm.

E) 16 + 4 17 cm.

17

A C

B

Ma

a

V A

LE N

R

T E

LA

R

O

7. Sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC de la figura 4 se ha dibujado una

semicircunferencia de diámetro AB, el arco menor AB tiene centro en C y radio igual al

cateto AC. ¿Cuánto mide el área sombreada?

A) 2a

8

B) 2a

4

C) 2a

4

D) 2a

4

E) 2a

2 fig. 4

8. En la figura 5, VALE es paralelogramo, el triángulo VAR es equilátero, si AL = RE = 5 cm.,

entonces el área del cuadrilátero VANE es

A) Falta información

B) 75

316

C) 75

34

D) 25

34

E) 75

16 fig. 5

9. El rectángulo TELA de la figura 6 tiene área 36 cm2. Si en el lado RO del rectángulo TROL

esta el punto E, entonces el área achurada mide

A) 18 cm2

B) 12 cm2

C) 9 cm2

D) 6 cm2

E) no se puede determinar fig. 6

18

45º

4

2

6

P E

CO R

U A

24 cm.

J A

VI PO

8 cm.E T

A B

CD

E

10. En la figura 7, PECO y CRUA son paralelogramos, luego el perímetro de la zona sombreada

es

A) 4

B) 12

C) 24

D) 12 2

E) falta información fig. 7

11. En un triángulo de lados 5, 12 y 13, si se traza una paralela al lado mayor, esta al cortar a

los otros lados forma otro triángulo cuyo lado menor mide 2,5 entonces el perímetro del

nuevo triángulo mide

A) 6

B) 6,5

C) 12

D) 13

E) 15

12. En el rectángulo JAVI (figura 8) se ha inscrito el trapecio isósceles JAPO, ET es mediana, si

VP = PO = OI, entonces el área del rectángulo JAVI es

A) 192 cm2

B) 144 cm2

C) 120 cm2

D) 72 cm2

E) ninguna de las anteriores fig. 8

13. Las bases de un trapecio isósceles miden 24 cm. y 36 cm., si los otros lados miden 12 cm.

cada uno, ¿cuál es el área del trapecio?

A) 180 2 cm2

B) 180 3 cm2

C) 360 cm2

D) 360 3 cm2

E) 720 cm2

14. En la figura ABCD es cuadrado de lado 4 m., si AE : EB = 3 : 1, entonces el perímetro del

cuadrilátero sombreado mide

A) 14 m.

B) 12 m.

C) 10 m.

D) 9 m.

E) 5 m. fig. 9

19

O

A B

CD

E

A B

CD

E FM N

M N

PQ

R

15. Los lados de un triángulo miden 2 cm. y 4 cm. y 2 5 cm., luego el área de dicho triángulo

es

A) 2 cm2

B) 4 cm2

C) 8 cm2

D) 16 cm2

E) faltan datos para determinarla

16. El área del pentágono cóncavo MNPQR de la figura 10, es 1

213

, si MN = 2MR = 4NP = 8,

entonces el área del triángulo MNQ es

A) 1

213

B) 8

3

C) 2

3

D) 24

E) 8 fig. 10

17. El trapecio ABCD es rectángulo, A, D y E son puntos de tangencia, las suma de las bases es

16 y están en razón 3 : 5, si AD es el diámetro de la circunferencia, entonces el diámetro

mide

A) 6

B) 8

C) 10

D) 4 15

E) 2 15 fig. 11

18. En el trapecio de la figura 12, las bases AB y CD miden 12 cm. y 8 cm. respectivamente, si

E y F son puntos medios de los lados AD y CB, entonces MN =

A) 2 cm.

B) 3 cm.

C) 4 cm.

D) 5 cm.

E) 6 cm. fig.12

20

ORr

A B

M I

CAO

A B

C

M N

30

1210

x

19. En la figura 13, los dos círculos son concéntricos y la cuerda AB es tangente al círculo

menor, para conocer el área del sector sombreado es necesario conocer

(1) r y R

(2) AB

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional fig. 13

20. En la figura 14, MICA es paralelogramo, la razón saber en qué razón están las áreas del

triángulo MIO y el paralelogramo MICA es necesario conocer que

(3) OI = IC

(4) O, A y C son colineales

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adicional fig. 14

21. En la figura 15, MN es paralelo a AB, entonces x =

A) 25

B) 28

C) 30

D) 18

E) 12 fig. 15

21

A B

C

Q

R

P

20

x8

10

A B

C

A’ B’

C’

D

D’

22. En la figura 16 los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes, AD y A’D’ son bisectrices, luego

¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

fig. 16

I) ACB A'C'B'

II) AC AD

A'C' A 'D'

III) ADC A'D'C'

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) I, II y III

E) ninguna

23. En la figura 17, ABC es semejante con QPR , luego x =

A) 20

7

B) 14

C) 16

D) 22

E) 25 fig. 17

24. ¿En qué razón están las áreas de los triángulos de la figura 17?

A) 25 : 2

B) 25 : 7

C) 22 : 1

D) 22 : 4

E) 25 : 4

22

10

6x

A B

O

2

x

C

D

16

4

C O

NI

T

25. ¿Cuál es el valor de x en la figura 18?

A) 10

B) 1,5

C) 7,5

D) 4,5

E) 6,5 fig. 18

26. En la figura 19, CONI es un rectángulo, si OT es perpendicular a CN, entonces es falso

A) CT : TO = 4 : 1

B) CN = 4 17

C) ICN TON

D) NT : TO = 4 : 1

E) OT2 = NT · TC fig. 19

27. El diámetro CD es perpendicular a la cuerda AB, figura 20, si CD = 10, entonces x =

A) 4

B) 6

C) 8

D) 9

E) 10 fig. 20

28. Si un segmento de 24 cm. es dividido interior y exteriormente en la razón 5 es a 1,

entonces la distancia entre los puntos de división interior y exterior es

A) 6 cm.

B) 10 cm.

C) 12 cm.

D) 20 cm.

E) 24 cm.

23

63

A

B

29. En un triángulo de lados 5, 12 y 13, la bisectriz del mayor ángulo interior agudo divide al

triángulo en dos triángulos de áreas P y Q, si P < Q, entonces P

Q

A) 1

3

B) 5

13

C) 6

13

D) 1

2

E) 7

13

30. Dos circunferencias tienen sus radios en razón 3 es a 2, si la mayor tiene un perímetro de 12 , luego el área de la menor es

A) 36

B) 24

C) 18

D) 12

E) 81

31. Las dos circunferencias de la figura 21 son tangentes a la recta, si A y B son los puntos de

tangencia y la distancia entre los centros es 15, entonces AB =

A) 4

B) 8

C) 12

D) 16

E) 18 fig. 21

24

A B

C

L

O

E

L1

L2

L3

8

12

x

2

3

32. En la figura 22, los triángulos ABC y LOC son rectángulos y semejantes, si sus hipotenusas

son AB y LO, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) E es punto medio de CB y LO.

II) (LO + CO)(LO – CO) = AL · LB

III) El triángulo LEC es equilátero.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo III

E) ninguna fig. 22

33. Si los lados de dos octógonos semejantes están en razón 3 : 5 y el área del menor es 18

cm2, entonces el área del mayor es

A) 5 cm2

B) 15 cm2

C) 30 cm2

D) 50 cm2

E) 75 cm2

34. En la figura 23, L 1 //L 2 //L 3 luego x mide

A) 10

B) 16

C) 18

D) 15,5

E) 20 fig. 23

25

A B

CD M

16

N

P E

LO

CU

A

35. Si la sombra generada por un árbol es 12 m. y por un poste cercano a el es 8 m., entonces

sus alturas pueden ser

árbol poste

A) 36 m. 16 m.

B) 24 m. 8 m.

C) 48 m. 24 m.

D) 15 m. 10 m.

E) 10 m. 6 m.

36. En la figura 24, PELO y CUAL son cuadrados, las medidas de sus lados son 4 cm. y 3 cm.

respectivamente. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)?

I) PL es perpendicular a LU

II) Los perímetros de los triángulos PEL y LUA están en razón 4 : 3

III) El área del triángulo LOP es al área cuadrado CUAL como 16 es a 9

A) Sólo I

B) Sólo I y II

C) Sólo III

D) I, II y III

E) ninguna fig. 24

37. ABCD es paralelogramo, N es el punto de intersección de los segmentos AM y DB, si M es

punto medio de DC y AN = 16 (figura 25), entonces MN =

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) Falta información para determinarlo fig. 25

26

A B

C

T

408

6

24C

D

A

B

A R

TE

M

A B

CD

GE

F

38. En la figura 26 AT es bisectriz del ángulo BAC, luego AB =

A) 30

B) 28

C) 26

D) 24

E) 22 fig. 26

39. En el rectángulo ARTE de la figura 27, RM es perpendicular a la diagonal AT, si RT = 1,3 m.

y TM = 0,5 m., entonces la menor distancia que hay entre el vértice E y la diagonal AT es

A) 12 m.

B) 1,2 m.

C) 0,12 m.

D) 1 m.

E) 0,8 m. fig. 27

40. Los cuadriláteros ABCD y BEFG son rectángulos, el triángulo ABF es isósceles de base AF,

GD es perpendicular a AF, si AD : DC = 1 : 4, entonces ¿en qué razón están las áreas de

los rectángulos ABCD y BEFG? (figura 28)

A) 1 : 16

B) 15 : 16

C) 17 : 16

D) 5 : 4

E) ninguna de las anteriores fig. 28

41. En la figura 29 CD es diámetro de medida 26, entonces el coseno del ABC es

A) 5

13

B) 12

13

C) 1

2 fig. 29

D) 3

2

E) no se puede obtener pues ABC no es rectángulo

27

T E

R

A

42. ¿En qué triángulo el coseno de un ángulo y el seno del mismo ángulo son iguales?

A) en un triángulo de 30º, 60º y 90º

B) en un triángulo rectángulo escaleno

C) en un triángulo equilátero

D) en un triángulo rectángulo isósceles

E) en ningún triángulo

43. En la figura 30, ET es tangente en T a la circunferencia, si TE = 2 · ER y RA = 5, entonces

ER =

A) 5

B) 5

3

C) 3

5

D) 5

4

E) ninguna fig. 30

44. Un segmento está dividido en razón áurea si:

(1) su medida se expresa con una raíz cuadrada de cinco.

(2) si el mayor trozo es media proporcional.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola



E) Se requiere información adicional

45. Si en un triángulo rectángulo se traza la altura desde el ángulo recto y esta divide a la

hipotenusa en dos segmentos en razón 1 : 3, entonces para determinar la hipotenusa si

(1) El cateto mayor mide 12

(2) La altura es múltiplo de 3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




28

46. En un triángulo ABC, AB = 6 y AC = 9. Desde el vértice B se traza una perpendicular a la

bisectriz interna AF. Si N es el punto medio del lado BC, entonces NP =

A) 1

B) 1,5

C) 2

D) 2,5

E) 3

47. En un triángulo ABC se traza la transversal de gravedad BM tal que ABM=50º y

MBC =65º, si AB = 18, entonces BM =

A) 6

B) 8

C) 9

D) 12

E) 6 3

48. En un trapecio rectángulo ABCD, los ángulos en los vértices A y B son rectos, las

bisectrices interiores de los ángulos no rectos se intersectan perpendicularmente en el

punto P, ¿cuál es la medida de AB, si la distancia del punto P a CD es 4?

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 16

49. En un romboide ABCD se traza la bisectriz DM (M en BC). Si AB = 6, entonces la medida

del segmento que une los puntos medios de AM y BD es

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 2 3

50. El segmento AB cuya medida es 36 cm, es dividido exteriormente en la razón 7 : 3, luego

la medida del segmento que une el punto medio de AB y el punto de división exterior es

A) 9 cm

B) 18 cm

C) 27 cm

D) 36 cm

E) 45 cm

29

51. En un triángulo de lados; 36 m, 54 m y 70 m, se traza la bisectriz del ángulo interior

mayor, esta divide al lado mayor en dos segmentos, ¿cuál es la medida del menor de estos

segmentos?

A) 28 m

B) 36 m

C) 42 m

D) 48 m

E) 54 m

52. En un triángulo ABC, las alturas BE y CF miden 5 cm y 4 cm respectivamente, si el lado AB

mide 6 cm, entonces el lado AC mide

A) 2,4 cm

B) 3,0 cm

C) 3,6 cm

D) 4,8 cm

E) 5,0 cm

53. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado inscrito en un triángulo isósceles, si su base mide 12

cm y la altura que llega a lavase mide 8 cm?

A) 9,6 cm

B) 8 cm

C) 6,4 cm

D) 5 cm

E) 4,8 cm

54. En el paralelogramo ABCD de lados AB 12 y AD = 8, la bisectriz del ángulo del vértice A,

intersecta a la diagonal DB en M y al lado CD en N, luego MN : MA =

A) 1 : 2

B) 2 : 3

C) 3 : 4

D) 4 : 5

E) 5 : 6

55. El trazo AB = 60 cm es dividido armónicamente en la razón 2 ; 3, luego la distancia entre

los puntos de división interior y exterior es

A) 24 cm

B) 60 cm

C) 120 cm

D) 144 cm

E) 156 cm

30

V A

NE

S1

S2

S3

A L

T

O

H

K

8cm2

10cm2

56. En el trapezoide ALTO de la figura 31, K y h son los puntos medios, luego el área de AHTK

es

A) 9 cm2

B) 16 cm2

C) 18 cm2

D) 20 cm2

E) no es posible determinar el área de AHTK fig. 31

57. En la figura 32, VANE es un rectángulo, si S1 + S2 = 23 cm2, entonces S3 =

A) 17 cm2

B) 19 cm2

C) 23 cm2

D) 27 cm2

E) 30 cm2 fig. 32

58. En un triángulo ABC se verifica que; ABC BAC 90º . Si se traza la altura CH y

AB = 5u y BH = 4u, entonces CH =

A) 5u

B) 6u

C) 7u

D) 8u

E) 9u

59. En un triángulo rectángulo la suma de las tres alturas es 47 y la hipotenusa mide 25, ¿cuál

es la medida de la menor altura?

A) 8

B) 10

C) 12

D) 12,5

E) 13

31

A B

CD E F

G

A B

C D

E F

A B

CD

5 cm

3 cm

60. Los lados consecutivos de un trapezoide de diagonales perpendiculares miden; 2, 3 y 4,

¿cuánto mide el cuarto lado del trapezoide.

A) 7

B) 3

C) 4

D) 5

E) 11

61. El rectángulo ABCD de la figura 33 tiene 36 cm2 de área, si BF = FG = GE = EA, entonces

el área achurada mide

A) 19 cm2

B) 20 cm2

C) 21 cm2

D) 22 cm2

E) 23 cm2 fig. 33

61. ¿Cuál es la proporción correcta en la figura 34, si 2

AC AE3

y DB 2 DF ?

A) EC CA FD DB

B) EC FD EA FD

C) CE FD AC DC

D) CE DB FD AC fig. 34

E) Ninguna de las anteriores

62. ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD

de la figura 35, en torno al lado BC?

A) 30 cm3

B) 45 cm3

C) 75 cm3

D) 180 cm3

E) 300 cm3 fig. 35

32

45º

A B

O

C

A B

CD

Q

A B

CD

E

F

2

1

63. En la figura 36, ¿cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la cuerda AC = 2

2 y el

ABC es inscrito de 45º?

A) 2

4

B) 1

3

C) 1

4

D) 1

2

E) 1 fig. 36

64. En la figura 37, AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectángulo ABCD?

A) 2

B) 6

C) 2 3

D) 3 3

E) 3 2 fig. 37

65. En la figura 38, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado

BE en el rectángulo DBEF mide

A) 5

2

B) 1

5

C) 2

53

D) 2

5

E) 1 fig. 38

33

D Q C

P

BA

M

P

Q

R U

S

T

L1 L2

P A B

CD

M

66. Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura 39, donde PC = 3PB, QD = 2QC y M es el

punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del Δ DMQ es

A) 2k

9

B) 2k

3

C) 24k

9

D) 22k

9

E) 2k

6 fig. 39

67. En la figura 40, sen = 4

7, se puede afirmar que UT = 7 si:

(1) US = 4

(2) L1 // L

2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




fig. 40

68. En la figura 41, ABCD es un cuadrado, P es un punto de la recta AB, M es la intersección de

los segmentos PC y AD. Es posible determinar el área del PBC si:

(1) El lado del cuadrado mide 8 cm.

(2) Se sabe que M es punto medio de AD.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




fig. 41

34

N P

Q

S

M

A B

O

9 cm

O

Q

M

R

P

69. En la figura 42, Q es el punto medio de PN y S es el punto medio de MQ. ¿Cuál es el punto

de la figura 42 que es su propia imagen por la reflexión del eje MQ, como también por la

reflexión del eje NP?

A) S

B) Q

C) P

D) N fig. 42

E) M

70. Si en la circunferencia de diámetro 30 cm de la figura 43, la distancia desde el centro O de

ella, hasta la cuerda AB es de 9 cm, entonces la cuerda AB mide

A) 6 cm

B) 12 cm

C) 18 cm

D) 20 cm

E) 24 cm fig. 43

71. En la figura 44, PQ es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio r. PR es

tangente en P y mide r. Si M es el punto medio de QR, entonces la longitud de PM, en

términos de r, es

A) r

B) r 5

2

C) r 3

2

D) r 2

2 fig. 44

E) 4r

3

35

A B

CD

E F

GH M

N

72. ¿Cuál es el volumen de un prisma de base cuadrada de área 25 cm2 y sus caras laterales

son rectángulo de perímetro 40 cm?

A) 1.000 cm3

B) 500 cm3

C) 400 cm3

D) 300 cm3

E) 200 cm3

73. Una esfera está inscrita en un cubo. ¿Cuál es la razón entre el área de la esfera y el área

del cubo?

A) 2

3

B) 6

C) 4

3

D) 12

E) 8

3

74. En la figura 45, ABCDEFGH es paralelepípedo recto, ¿cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) MN // FB

II) MN // BE

III) AH // BG

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) I, II y III fig. 45

75. La figura 46 muestra un paralelepípedo recto de base cuadrada inscrito en un cilindro, ¿en

qué razón está el volumen del paralelepípedo y el cilindro?

A) 2

B) 4

C) 8

D) 2

E) 8

fig. 46

36

L

LL L

L L

A) B) C)

D) E)

76. Al respecto de polígonos regulares se hacen las siguientes afirmaciones:

I) Los polígonos de una cantidad par de lados tienen por ejes de simetría las

diagonales que son bisectrices y las rectas que pasan por los puntos medios de los

lados opuestos.

II) En los pentágonos no hay eje de simetría que contenga a los puntos medios de los

lados.

III) El hexágono tiene igual cantidad de ejes de simetría que lados.

Es(son) falsa(s):

A) Solo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) I. II y II

E) ninguna

77. ¿Cuál de las alternativas representa mejor la reflexión de la figura principal respecto a L?

78. El punto de coordenadas (1,2) se traslada 5 unidades a la derecha horizontalmente y luego

se le refleja con respecto al origen (0,0), resultando el punto

A) (-6,-2)

B) (-2,-6)

C) (-6,2)

D) (2,-6)

E) (6,2)

37

b

3b

a 2aA

B

C

79. Si un cuadrado cuyos vértices son; (1,1), (1,3), (3,1) y (3,3), se rota 90º respecto al

origen (0,0), entonces las coordenadas de la intersección de las diagonales del cuadrado

transformado son

A) (-2,2)

B) (2,-2)

C) (-3,3)

D) (3,-3)

E) ninguna de las anteriores

80. Si una esfera está inscrita en un cilindro, entonces podemos conocer el volumen de la

esfera si

(1) conocemos el volumen del cilindro

(2) conocemos el radio del cilindro

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




81. Se desea embaldosar un piso cuadrado de un baño, si disponemos de varios tipos de

baldosas cuadradas, ¿cuál debemos escoger para no cortar ninguna de ellas?

(1) aquella que su lado sea divisor del lado del baño

(2) aquella cuyo lado es el más grande

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




82. Si el área del triángulo ABC es 47, entonces el área del triángulo achurado es

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 0,5 fig. 47

38

A

B

CD H E

V A

NE

P

T

O L

GA

I

83. En el triángulo rectángulo ABC de la figura 48, BH es altura, BE es bisectriz del ángulo CBH

y BD es bisectriz del ángulo ABH, si AB = 7 y BC = 24, entonces DE =

A) 4

B) 5

C) 6

D) 8

E) 9 fig. 48

84. En el paralelogramo VANE, P y T son puntos medios de los lados AV y AN respectivamente,

¿qué parte del área de VANE es el área del triángulo achurado?

A) 1

3

B) 1

4

C) 1

5

D) 1

6

E) no se puede determinar fig. 49

85. En la figura 50, la circunferencia está inscrita en el cuadrado de lado a, si las dos

semicircunferencias tienen de diámetro el lado del cuadrado, luego el área achurada es

A) 2a

8

B) 2a

4

C) 2a

12

D) 2a

16

E) 2a fig. 50

86. En la figura 51, OLGA es un cuadrado de lado 2 cm, la suma de las áreas de los triángulos

OLI y IGA es

A) 2 cm2

B) 3 cm2

C) 1,5 cm2

D) 2,5 cm2

E) 4 cm2 fig. 51

39

A B

C

D

A

S

C

QP

R

M

wA C

B

D

87. El triángulo ABC de la figura 52 es isósceles de base AB, BC = CD, si BC CD, entonces el

ángulo BAD mide

A) 15º

B) 30º

C) 40º

D) 45º

E) 60º fig. 52

88. En la figura 53, PQ // RS // AC, si AR = 4, PR = 2 y MS = 1, entonces AM =

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5 fig. 53

89. En el triángulo ABC de la figura 54, el ángulo ABC es , w2

, AD = 3 y AC = 8, luego

BC =

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8 fig. 54

90. En un semicírculo de radio R, se inscribe un triángulo rectángulo ABC (AC diámetro). Al

girar el triángulo ABC alrededor de la hipotenusa genera un sólido, cuyo volumen es igual a

la mitad de la esfera generada por el semicírculo. La razón del área de la esfera y el área

del manto del sólido generado es

A) 2 : 3

B) 4 : 3

C) 2 : 3

D) 2 : 3

E) ninguna de las anteriores

40

AO

B

Q

P

E

A

B

C

D

P

Q

b

x

y

A

B C

D

M N

P E

91. En la circunferencia de centro, de la figura 55, P es punto de tangencia, si AP = 4,

entonces PQ =

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6 fig. 55

92. Los lados del cuadrilátero ABCD de la figura 56 son tangentes a las circunferencias y PQ es

tangente a las dos circunferencias, si AB + CD = 24 y BC + AD = 40, entonces PQ =

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 16 fig. 56

93. El trapecio ABCD (figura 57) es dividido por las paralelas MN y PE en tres trapecios

semejantes, si AD es ocho veces BC, entonces x en términos de b es

A) 1,5·b

B) 2·b

C) 2,5·b

D) 3·b

E) 3,5·b fig. 57

41

24º48º

A B

C

E

12 cm16 cm

A

B

C

DM

A B

CD

E

B C

A

F

ED

94. Si EC = 9, entonces AB = ? (figura 58)

A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

E) 20 fig. 58

95. En la figura 59, si BM = MC, entonces BC =

A) 20 cm

B) 20 3 cm

C) 20 2 cm

D) 30 cm

E) 40 cm fig. 59

96. En el cuadrado ABCD de lado a de la figura 60, si E es punto medio, entonces el área de la

figura sombreada es

A) 2a

2

B) 2a

3

C) 25a

12

D) 23a

8

E) 27a

12 fig. 60

97. En el triángulo de la figura 61, DE // BC, FE // DC, si AF = 4 y FD = 6, entonces DB =

A) 9

B) 12

C) 15

D) 18

E) 21 fig. 61

42

A

B C

D

2

3 - 1A B

C

A B

C

D

715

20

98. En la circunferencia de la figura 62, AB es diámetro y BC es tangente en B, si BAC 30º

y CD = 3 , entonces, ¿cuánto mide el diámetro de la circunferencia?

A) 3 3

B) 6

C) 4 3

D) 8

E) 5 3 fig. 62

99. El área del triángulo de la figura 63 es 3 1

2

, AB = 3 1 , AC = 2 y el ángulo CAB es

agudo. ¿Cuál es la medida del ángulo ACB?

A) 15º

B) 18º

C) 20º

D) 22,5º

E) 30º fig. 63

100. En el triángulo de la figura 64, AB = 20, BC = 7 y CA = 15. Si el lado BC se extiende hasta

D de manera tal que los triángulos DAB y DCA sean semejantes, entonces DC =

A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13 fig. 64

Sixto Maulén y Savane Emegu

2014

geometría métrica

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