tema i.5 - velocidad de una onda transversal

TEMA I.5Velocidad de una Onda Transversal

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de AstronomıaUniversidad de Guanajuato

DA-UG (Mexico)

[email protected]

Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA I.5: Velocidad de una Onda Transversal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 15

Velocidad de una Onda Transversal

Ejercicio: Definir funciones de onda que contengan:

a) κ y ν,b) λ y f ,c) λ y T ,d) f y ν, ye) ω y ν.



Ejercicio: Demostrar explıcitamente que las siguientes funciones satisfacenla ecuacion de onda:

a) y(x , t) = (x + νt)3;b) y(x , t) = A e iκ(x−νt), en donde A y κ son constantes e i =

√−1;

c) y(x , t) = lnκ(x + νt).

Ejercicio: Demostrar que la funcion y = A sen(κx)cos(ωt) satisface laecuacion de onda.



Derivando la funcion de onda en funcion de t y manteniendo x = cte,deducimos la velocidad transversal de cualquier partıcula en una ondasenosoidal en una cuerda.

νy =

∥∥∥∥∂y∂t∥∥∥∥y

= +ω A sen(κx − ωt)

Esto implica que la velocidad maxima sera: νy = ωA.

Derivando una segunda vez deducimos la aceleracion transversal:

ay (x , y) =∂2y(x , y)

∂t2= −ω2A sen(κx − ωt)

= −ω2y(x , t)

Este resultado es el mismo que el del MAS.



Tambien podemos derivar en funcion de x , y manteniendo t = cte.

Primera derivada ∂y∂x = pendiente de la cuerda.

Segunda derivada ∂2y∂x2 = curvatura de la onda.

La razon de ambas es igual a:

∂2y(x , t)/∂t2

∂2y(x , t)/∂x2=ω2

κ2= ν2

De esta relacion, deducimos la ecuacion de onda:

∂2y(x , t)

∂x2=

1

ν2

∂2y(x , t)

∂t2


Deduccion de la velocidad de una onda transversal

La densidad de masa lineal se denota con µ, y tiene las siguientes unidades[µ] = kg

m .

Consideramos una cuerda perfectamente flexible (ver Figura I.5.1a). En laposicion de equilibrio la tension es FT .

Si aplicamos una fuerza constante Fy al extremo opuesto (en el extremoizquierdo de la cuerda, ver Figura I.5.1b). Una onda se formara, la cualviaja a una velocidad ν (en el sentido x > 0).

Segun el teorema impulso-cantidad de movimiento obtenemos:

Fy t = mνy



Figura I.5.1: Propagacion de una onda transversal en una cuerda. (a) Cuerda enequilibrio; (b) parte de la cuerda en movimiento.



A partir del teorema impulso-cantidad de movimiento se deduce que:

Fy t = m νy

[Fy t] = [m νy ]

[Fy t] = [N · s] = [kgm

s2· s]

[Fy t] = [kg · ms

] = [m · v ]



En el instante t, el punto del extremo izquierdo tiene una altura νy t, y elfrente de la perturbacion (en el punto P) ha avanzado una distancia νt.

La fuerza total para estirar la cuerda (la tension aumenta un poco) tienelas componentes FT y Fy , y una amplitud (F 2

T − F 2y ). Por lo tanto:

FyFT

=νy t

νt≈ Fy = FT

νyν

El impulso transversal es: Fy t = FTνyν t.

La masa desplazada es m = µ · L = µνt ([m] = [kgm ·ms · s] = [kg ]) de

modo que la cantidad de movimiento transversal es mνy = µνtνy .



Igualando esta expresion al impulso transversal obtenemos:

FTνyνt = µνtνy

Deducimos la velocidad de la onda:

ν =

√F

µ

La velocidad de la onda (propagacion de la perturbacion) aumenta con latension (la fuerza que restablece el equilibrio) y disminuye con la masa (lainercia).



Ejemplo: Tension en una cuerda I

La densidad de masa es:

µ = 0.250kg

m

¿Para producir una velocidad ν = 12.0 m/s? ¿Que tension necesitamos?

F = µν2 = 0.250kg

m·(

12.0m

s

)2= 36.0 kg · m

s2= 36.0N



Ejemplo: Tension en una cuerda II

Una cuerda es tensada por un peso de 20.0 kg , dentro de un pozo quetiene 80.0 m de profundidad, y la masa de la cuerda es de 6.0 kg . Elgeologo abajo manda senales por la cuerda hacia su colega arriba a unafrecuencia de f = 2.0 1/s.

Ignorando la variacion de tension a lo largo de la cuerda.

a) ¿Cual es la tension de la cuerda?

F = 20.0 kg · 9.8 m

s2= 196N



Figura I.5.2: Envıo de senales mediante ondas transversales en una cuerda vertical.



b) ¿Cual es la masa por unidad de longitud de la cuerda?

µ =6.0 kg

80.0m= 0.075

kg

m

c) ¿Cual es la velocidad con la que viaja la senal?

ν =

√F

µ=

√196N

0.075 kgm

= 51.1m

s

d) ¿Cual es la longitud de onda? λ = νf = 51.1m/s

2.0 s−1 = 25.6 m

Si consideramos el peso de la cuerda, la rapidez aumentara (FT aumenta)y la longitud de onda aumentara (si no cambia la frecuencia). Podemoscomprobar que la velocidad de la onda arriba es de ν = 58.3 m/s.



Ejercicio: Tension en una cuerda II

Si en FT (0m) = 192 N y en FT (80m) = 255 N. Deducir una ecuacionpara la tension de la siguiente forma FT (x) = a · x + b.


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