tema i.6 - velocidad de una onda longitudinal

TEMA I.6Velocidad de una Onda Longitudinal

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui

Departamento de AstronomıaUniversidad de Guanajuato

DA-UG (Mexico)

[email protected]

Division de Ciencias Naturales y Exactas,Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA I.6: Velocidad de una Onda Longitudinal J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 13

Velocidad de una Onda Longitudinal

Consideramos un fluido de densidad ρ dentro de un tubo con areatransversal A.

En el estado de equilibrio, el fluido esta sometido a una presion uniforme p(ver Figura I.6.1a).

Cuando un piston se mueve a una velocidad νy , se inicia un movimientoondulatorio (onda de compresion) que se propaga a una velocidad ν.

En el tiempo t, el piston se ha movido hasta una posicion νy t y la fronteraentre la masa en movimiento y la masa en reposo ha avanzado hasta unaposicion ν t (ver Figura I.6.1b).

La cantidad de fluido en movimiento es: ρ ν t A

Y la cantidad de movimiento longitudinal es: ρ ν t Aνy



Figura I.6.1: Propagacion de una onda longitudinal en un fluido confinado en untubo. (a) Fluido en equilibrio. (b) Parte del fluido en movimiento.



Para determinar el aumento de presion en el fluido en movimiento,consideramos el modulo de compresibilidad:

B = − ∆p

∆V /V

El modulo de compresibilidad permite determinar cuanto aumento lapresion debido a un cambio del volumen (es negativo porque unadisminucion de volumen = un aumento de la presion. Dicho de otro modo,si ∆V < 0, ∆p > 0).

El volumen original del fluido en movimiento, V = νtA, ha disminuido unacantidad ∆V = -νy tA

⇒ B =−∆p

−Aνy t/Aνt⇒ ∆p = B

νyν



La presion en el fluido en movimiento ha aumentado a p + ∆p. La fuerzaejercida sobre esta parte del fluido es: (p + ∆p)A. La fuerza neta es portanto: A∆p = B

νyν A.

Segun el teorema de impulso = cantidad de movimiento:

BνyνAt = ρνtAνy

de la ecuacion anterior deducimos la velocidad de la onda de compresion:

ν =

√B

ρ

La velocidad aumenta con el modulo de compresibilidad (la fuerza deregreso al equilibrio) y disminuye con la densidad (la inercia).



Ejercicio: El sonido se propaga a 340 m/s en el aire y a 1500 m/s en elagua. Un sonido de frecuencia 256 Hz se produce bajo el agua. En el aireν sera (a) la misma, pero λ sera mas corta, (b) mas elevada, pero λsera la misma, (c) mas baja, pero λ sera mas larga, (d) mas baja, y λsera mas corta, (e) la misma, y λ tambien sera la misma.

Ejercicio: Un helicoptero que vuelatal como se muestra en la figuraregistra la explosion de una carga deprofundidad bajo la superficie delagua ¿Cual de los tres caminos A, B,o C sera el camino por el cual elsonido llegara en menos tiempo?



Esto se aplica tambien para solidos y lıquidos.

Para una onda en una barra solida, por ejemplo, hay una expansion lateral.Esto cambia un poco la rapidez de la onda:

ν =

√Y

ρ

donde Y es el modulo de Young.

En todas estas ecuaciones, el numerador es una propiedad elastica delmedio y el denominador es una propiedad proporcional a la inercia delmedio.



Figura I.6.2: Lista de la rapidez del sonido en varios medios materiales.



Ejemplo: Sonido en varilla de plomo

Modulo de Young: Y = 1.6×1010 Pa y la densidad: ρ = 11.3×103 kg/m3

La velocidad del sonido:

ν =

√Y

ρ=

√1.6× 1010 Pa

11.3× 103 kg/m3= 1.2× 103 m

s



Ejercicio: Se golpea un extremo de una varilla de cobre de 180.00 m. Unapersona en el otro extremo escucha dos sonidos causados por dos ondaslongitudinales, una que viaja por la varilla y otra que viaja por el aire.Calcule el intervalo de tiempo entre los sonidos. Para el cobre Y =1.1×1011 Pa y ρ = 8900 kg/m3. La rapidez del sonido en el aire es de 344m/s.

Ejercicio: Una barra metalica de 60.0 m tiene una densidad de 5000kg/m3. Las ondas longitudinales tardan 1×10−2 s en llegar de un extremoal otro. Calcule el modulo de Young del metal.



Ejemplo: Longitud de onda de un SONAR

SONAR: sistema para detectar objetos submarinosEl sistema emite ondas sonoras y mide el tiempo que tarda la ondareflejada (eco) en regresar al detector.

El modulo de volumen (o recıproco del modulo de compresibilidad) es: k =45.8× 10−11 Pa−1

Notese que [Pa] = fuerza/area = kg ·m/s2

m2 = kgm·s2 . Ası que: B =

145.8 × 1011 Pa

La densidad del agua a 20 oC : ρ = 1.0× 103 kg/m3



Figura I.6.3: Un sistema de sonar usa ondas sonoras submarinas para detectar yencontrar objetos bajo el agua.



La velocidad de una onda sonora en el agua es:

ν =√

Bρ =

√1

45.8×1011 Pa

1.00×103 kg/m3 = 1480 ms

Esto es 4 veces la rapidez del sonido en el aire (a temperatura ordinaria).

Para una frecuencia f = 262 Hz , la longitud de onda es λ = νf = 1480m/s

262 s−1

= 5.65 m. En el aire, la longitud de onda sera: λ = 1.31 m

Los delfines emiten ondas de alta frecuencias f = 0.1 MHz = 100000 Hz ,que da una longitud de onda de λ = 1.48 cm. Con este sonar, los delfinespueden detectar objetos de tamano de λ (pero no mucho menores).

En la visualizacion ultrasonica, las ondas sonoras usadas tienen unafrecuencia de f = 5 MHz = 5× 106 Hz , esto permite distinguir rasgos detamano con una λ = 0.3 mm.


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