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Tema I. Introducción

1.1. La ciencia de la estadística:. El origen de la estadística:

. Ciencia descriptiva

. Evaluación de juegos de azar

Ciro el Grande (560 - 530 A.C.)

Si tengo 1 As y 2 reyes, ¿que descartees mas conveniente (1 As, 2 Reyes, 1+2)?

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1.1. La ciencia de la estadística:. Definición formal e informal. Aplicaciones de la Estadística:

. Resumen de datos

. Análisis de muestras

. Contraste de hipótesis

. Cuantificación de relaciones

. Predicción de variables. El modelo estadístico:

. Paramétrico/No Paramétrico

. Clásico/Bayesiano

Ciencia que permite obtener conclusiones de la investigación empírica basándose en modelos matemáticos

(33 º C en promedio)

Variable estudiada = Efecto Sistemático + Efecto Aleatorio

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1.2. Algunas definiciones:. Población. Variable aleatoria. Distribución de frecuencias

Cuando en una población conocemos los posibles valores o medidas de un atributo y su probabilidad correspondiente

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1.3. La estadística descriptiva:- Tipos de variable:

. Cualitativa

. Rangos

. Numérica

Variables Cualitativas

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. Cualitativa

. Rangos

. Numérica

Posiciones en el Mundial F1

Poles en el Mundial, en los últimos 6 premios:

Alonso: 4, 3, 2, 4, 6, 2

Hamilton: 3, 1, 2, 1, 3, 1

Se pueden utilizar los métodos de las cualitativas y de las numéricas

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. Cualitativa

. Rangos

. Numérica:. Discreta. De intervalo (“cuantitativa”)

Discreta (nº de pelos)

De intervalo (longitud de pelos, en mm)

Las de intervalo pueden tener∞ valores entre cada dos valores cualesquiera

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1.3. La estadística descriptiva:- Descripción de una variable de intervalo en una población:

. Medidas de centralidad:. Media. Moda. Mediana

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12

10

11

14

9

12

10

11

Población de 10 medidas

Tabla de Frecuencias:

Valor 9 10 11 12 13 14

Frecuencia 1 2 3 2 1 1

Media = ∑ (Xi) = 11.3n

Moda = 11

Mediana = 11 (el segundo 11)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

9 10 11 12 13 14

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1.3. La estadística descriptiva:- Descripción de una variable en una población:

. Medidas de dispersión:. Varianza. Desviación típica. Coeficiente de variación

Var = 1,2 y 3

(∑xi)2

∑xi2 - n

σ2 =n

Fórmula práctica:∑(xi

2) = 1297(∑xi) = 113

σ2 = 2,23333

σ = 1,4944

σ2

CV (adimensional) = x 100 = 19,8% μ

Tabla de Frecuencias

Valor 9 10 11 12 13 14

Frecuencia 1 2 3 2 1 1

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1.4. La probabilidad y sus reglas:. Probabilidad . Distribución de probabilidades

Cuando un evento puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes (las 6 caras de un dado), la probabilidad de que ocurra una de ellas (el 6) es 1/N (1/6 en el ejemplo)

Probabilidad en ruleta

Probabilidad en dados

Distribución de probabilidad de tirada de 3 dados

La probabilidad de sacar negro será 4/8 = 0,5

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1.4. La probabilidad y sus reglas:- Propiedades elementales de la probabilidad

. Siempre mayor que 0; P(Ei) ≥ 0

. La suma de probabilidades de todos los eventos posibles es 1:P(E1) + P(E2) + … P(En) = 1

. La probabilidad de que ocurra E1 ó E2 es la sumaP(E1 ó E2) = P(E1) + P(E2)

. La probabilidad de dos sucesos independientes es el productoP(E1 y E2) = P(E1) x P (E2)

¿Probabilidad de 1 ó 3?

1/8 + 1/8 = 0,25

¿Probabilidad de 4 y 2, sucesivamente?

1/8 x 1/8 = 0,015625

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1.4. La probabilidad y sus reglas:- Necesidad de trucos de conteo para estimar probabilidades

. Factoriales de n (ordenaciones posibles sin restricciones)n! = n x (n-1) x (n-2) x …1

. Permutaciones (arreglo ordenado de objetos) n!nPr = n x (n-1) x (n-2) x (n-r+1) =

(n-r)!. Combinaciones (permutaciones sin importar el orden)

Permutaciones de 4 objetos de dos

En algunas permutacionessólo cambia el orden:

n n!r r! (n-r)!=

combinaciones de 4 de dos en dos 4! 4 x 3 x 2! 4 x 3

2! X 2! 2! x 2! 2 x 1 = 2 x 3 = 6= =

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1.4. La probabilidad y sus reglas:- Ejemplos sencillos de estimación de probabilidades:

. Probabilidad empleado < 30

. Probabilidad enfermería

. Probabilidad enfermería y < 30

. Probabilidad <30 siendo enfermero

Trabajo <30 31-35 >35 Tot

Médicos 5 25 75 105Laboratorio 50 35 35 120Enfermería 575 442 203 1220Farmacia 13 8 3 24Otros 135 101 69 305

TOTAL 778 611 385 1774

Nº de empleados por clases de edad en un Hospital

778/1774 = 0,44

1220/1774 = 0,69

575/1774 = 0,32

575/1220 = 0,47

5/105 = 0,05Otra estrategia de obtención de las probabilidades:la probabilidad de ser enfermero y menor de 30

0,69 x 0,44 = 0,30

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1.5. La distribución de probabilidad y la inferencia estadística:- Cálculo de la distribución de probabilidad de tirar una moneda 6 veces:

. Representamos el número de caras que salen: 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6

. Probabilidad de una tirada ½

. Probabilidad de una tirada n veces (½)n

6 6!5 5!x1!= = 6

Nº de tiradas

Nº de caras

c c c c c c Probabilidad = (½)6 = 0,015625

+ + + + + + Probabilidad = (½)6 = 0,015625

+ c c c c cc + c c c cc c + c c cc c c + c c

etc.

Combinaciones de 6 de 5 en 5

Probabilidad = 6 x (½)6 = 0,09375

6 6!6 6!= = 1

Tabla Resumen

Nº caras 0 1 2 3 4 5 6Probabilidad 0.016 0.094 0,234 0,312 0,234 0.094 0.016

+ + c c c c

etc.

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1.5. La distribución de probabilidad y la inferencia estadística:- Cálculo de la distribución de probabilidad de tirar una moneda 6 veces:

. Obtención de la distribución de probabilidad

. Utilización de la inferencia estadística:. ¿Que probable sería que de 6 tiradas se obtuviesen?:

. A) 6 caras

. B) 1 cara

. C) Al menos 2 caras

. D) entre 1 y 5

a) p = 0,016

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,016 0,094 0,234 0,312 0,234 0,094 0,016

0 1 2 3 4 5 6

b) p = 0,094

c) p = 1- (0,016 + 0,094) = 0,89

d) p = 0,968

El test estadístico de una/dos colas

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1.6. El modelo estadístico general para poblaciones:- Estamos interesados en un determinado atributo (estadístico):

. Por ejemplo la media de un carácter (μ)- Conocemos su distribución de probabilidad en la población- Nos hacemos preguntas sobre la probabilidad de que ciertos valores puedan darse

en nuestra población

Estadística Paramétrica

. La función se describe matemáticamente

. La función es integrableDistribución de Probabilidad

hipotética

Valores del estadístico

Prob

abilid

ad

Estadística NO Paramétrica

. La función se genera empíricamente (mediante ordenadores y númerospseudo-aleatorios)

. Se tabulan los resultados empíricos o seevalúa mediante conteo

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Se puede conocer la probabilidad de un área bajo la curva, en relación por ejemplo a su σ

1.7. La distribución normal y la estadística paramétrica:- ESTADÍSTICA PARAMÉTRICA (asumimos una distribución normal)- Una distribución muy frecuente y muy conveniente:

. Función matemática depende de μ y σ

. Es simétrica, con media = moda = mediana

. La función matemática es integrable

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Tema I. Introducción1.7. La distribución normal y la estadística paramétrica:

- Conjunto de distribuciones normales, con μ y σ- La conversión a una sola distribución normal:

distribución normal unitaria (Distribución Z; 0 y 1)- Interpretación de tablas…

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1.8. La inferencia paramétrica para poblaciones:- Conocemos TODOS los valores de la población- Estimación de intervalos de confianza.

Ejemplo de Población ALUMNOS DE UNA CLASE: 10,2 9,7 10 9,6 8,7 11 10,5 10,9 X?

Estadística descriptiva:Media de población conocida (μ) = 10,07 Varianza (σ2) = 0,499Desviación típica (σ) = 0,707

OBTENCIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA

Distribución Z Población Real INT1 INT2

0 ± 15% (65%=0,39) 10,07 ± 0,27 (0,39 x 0,707) 9,8 10,340 ± 30% (80%=0,84) 10,07 ± 0,59 (0,84 x 0,707) 9,5 10,70 ± 47,5% (97,5%=1,96) 10,07 ± 1,38 (1,96 x 0,707) 8,7 11,40 ± 49,5% (99,5%=2,58) 10,07 ± 1,82 (2,58 x 0,707) 8,2 11,9

IC 95%IC 99%

Método General → Media ± z × σ

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Nivel significación 5% (p una cola 0.025)

Si X = 11; H0 = pertenece a la población; H1 =no

(valor – μ)/σ = (11 – 10,07)/0,707 = 1,32 : p en tabla z = 0.09; (0,18 dos colas)

Según NS del 5% se acepta H0

1.8. La inferencia paramétrica para poblaciones:- Realización de un test de hipótesis (la otra cara del mismo fenómeno):

. Dos hipótesis alternativas (H0 y H1)

. Evaluación de la Ho en función de un nivel de significación (5%)

Ejemplo de Población ALUMNOS DE UNA CLASE: 10,2 9,7 10 9,6 8,7 11 10,5 10,9 X?

Si X = 11,9; H0 = pertenece a la población; H1 =no

(valor – μ)/σ = (11,9 – 10,07)/0,707 = 1,32 : p en tabla z = 0.005; (0,01 dos colas)

Se rechaza H1 (p = 0.01; significativo para NS de 0,05)

Método General → Valor – μσ = z

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Referencias Bibliográficas

Daniel, W.W. 1989. Bioestadística. Base para el análisis de las ciencias de la salud. Limusa, México.

Sokal,R.R., Rohlf, F.J. 1995. Biometry. Freeman and co., New York

LIBROS:

PÁGINAS WEB:

http://www.statsoft.com/textbook/sttable.html(tablas en línea para ver probabilidades de la distribución Z)

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T11_Estadistica_Introduccion.htm(algunos conceptos básicos de estadística)

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/excel/excel.htm(programación de cálculos estadísticos en EXCEL)

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