tema i estudios de los esfuerzos y deformaciones en la región … · 2016-07-26 · la componente...

Tema IEstudios de los

esfuerzos y deformaciones en la

región elástica

Fuerzas Internas

Las fuerzas internas, se pueden considerarcomo fuerzas de interacción entre las partículasde los materiales . Además se puede imaginarque estas fuerzas quedan expuestas al pasardiferentes planos cortantes a través del cuerpo.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

Fuerzo resultante y momento resultante


Esfuerzo

Las fuerzas internas queactúan en diferentes puntosde un plano cortante sedescriben en función deuna cantidad llamada“esfuerzo” que representala intensidad de las fuerzasinternas por unidad deárea.


Fuerzas que actúan sobre un punto o una porción de área referido al plano

de corte

P


Esfuerzo Promedio

Sea “F” la fuerza resultante del sistema de fuerzasinteriores anteriormente mostrado, se define“esfuerzo promedio” sobre la sección, al cocientede la fuerza F sobre la sección A. Asimismo sedebe considerar una porción ΔA sobre la cualactúa la fuerza ΔF siendo el esfuerzo promedio elcociente de ΔF entre ΔA

AF

AF

mm


Esfuerzo en un punto de la sección ΔA

Si P es un punto perteneciente al área ΔA, sedefine el esfuerzo en este punto como el límite delcociente de ΔF entre ΔA cuando ΔA tiende a cero.

dAFd

AF

As

0

lim


Esfuerzo Normal

La componente vectorial de F sobre la normal a lasección trazada por el centroide se representa porel vector N. A partir de ella se define el esfuerzopromedio sobre toda la superficie como elcociente de N y A, igualmente se hace para unaporción de área ΔA donde actúa la fuerza ΔN quees la componente vectorial de ΔF sobre la normalal plano.

AN

AN

nn


Esfuerzo normal en un punto

Sea P un punto perteneciente al área ΔA, elesfuerzo normal en dicho punto se define como:

dANd

AN

An

0

lim


Dirección normal al plano que pasa por el punto P

Y

n

z

X

knjmiln

kjin

kznjynixnn

ˆˆˆˆ

ˆcosˆcosˆcosˆ

ˆ,cosˆ,cosˆ,cosˆ


knjmiln ˆˆˆˆ

cosˆ ssn n

Como se vio anteriormente, la dirección normalal plano se representa de la siguiente manera:

La componente escalar del esfuerzo normal mediosobre toda la superficie se define como:

La componente escalar del esfuerzo normal enun punto se define como:

nmm ˆ


esfuerzo normal

Donde es el ángulo entre σs y σn

La componente vectorial del esfuerzo normal se haya por medio del teorema de Cauchy

nnnn ssnn ˆˆˆcosˆ

El esfuerzo normal es a tensión si tiene elmismo sentido de la normal (se considerapositivo).

El esfuerzo normal es a compresión si tienesentido contrario al de la normal (se consideranegativo).


esfuerzo normal

Esfuerzo Tangencial

La componente vectorial de la fuerza F endirección de la recta t a la sección trazada por elcentroide se representa con el vector T. Elesfuerzo tangencial promedio sobre la sección Ase define como:

AT

tm

El esfuerzo tangencial promedio sobre laporción de área ΔA

AT

tm


Esfuerzo Tangencial en un punto

Sea P un punto perteneciente a la porción de áreaΔA, se define el esfuerzo tangencial sobre dichopunto como:

dATd

AT

At

0

lim


La dirección tangente viene dada por:

La componente escalar del esfuerzo tangencial viene dada por:

sen

nxsxntˆˆˆˆ

tstˆ

nnttt sstt ˆˆˆˆˆ

La componente vectorial del esfuerzo tangencial en dirección de la recta t se define como:


esfuerzo tangencial


Componentes vectoriales del esfuerzo resultante

Ángulo entre el vector esfuerzo resultante y el vector esfuerzo normal

s

n

arccos


Componentes normal y tangencial del esfuerzo σs

El vector esfuerzoreferido a la sección A, ala porción de área ΔA oal punto P tiene doscomponentes escalares,una componente normaly otra tangencial. Comolas direcciones normal ytangencial sonperpendiculares entre si,podemos decir que:

222tns


Componentes escalares del esfuerzo σs si la sección es un plano

coordenado

Para determinar las componentes cartesianas delesfuerzo σs, es necesario definir un sistema deejes cartesianos. De manera que el plano πcorresponde a un plano coordenado, la normal aeste plano que pasa por el origen es un ejecoordenado;



Cortes del elemento de volumen paralelos a los planos coordenados

Componentes escalares de σ para los diferentes planos coordenados

Plano π Ox Oy Oz Identificación

Oyz σxx xy xz La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X

Oxz yx σyy yz La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje Y

Oxy zx xy σxx La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X


yx

yz

y


Componentes escalares de σ para los diferentes planos coordenados

Para establecer el estado de esfuerzo en unpunto se ha de definir nueve cantidades, sinembargo es posible cierta simplificación, paraesto se busca una relación entre los esfuerzostangenciales que actúan en planosperpendiculares entre si colocados en un cuerpoen equilibrio el cual es un paralelepípedo conaristas Δx, Δy, Δz en dirección de cada eje conlas caras respectivas paralelas a los planoscoordenados. A continuación se hace unejemplo para los esfuerzos cortantes zy y yz,para los demas se sigue el mismoprocedimiento


Estado de esfuerzo

Las fuerzas asociadas con los esfuerzos zy yyz ejercen su acción sobre las carascorrespondientes del paralelepípedo, susvalores corresponden al producto del esfuerzopor el área de la cara.

F1 = zyΔxΔy F2 = yzΔxΔzigualmente para F3 y F4

yz

zy

zy

yz

F1

F2

F3

F4

Y

X

Z

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformaciónestado de esfuerzo

El paralelepípedo es una porción del cuerpoen equilibrio, por lo que la sumatoria defuerzas verticales y la sumatoria de fuerzashorizontales debe ser cero.

F1 + F3 = 0 F1 = -F3

F2 + F4 = 0 F2 = - F4

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformaciónestado de esfuerzo

Las fuerzas F1 y F3 forman un par,igualmente las fuerzas F2 y F4, para que elparalelepípedo esté en equilibrio los dospares deben producir momentos iguales y designo contrario, la suma de ambos debe sernula:

zyΔxΔyΔz - yzΔxΔyΔz = 0

de donde zy = yz


estado de esfuerzo

Se sigue el mismo procedimiento para losdemás esfuerzos cortantes, entonces se afirmalo siguiente

xy = yx xz = zx yz = zy

El estado de esfuerzos para un puntocualquiera de un sólido sometido a cargas sedefine entonces con seis componentes

σx, σy, σ z, xy, xz, yz


estado de esfuerzo

Convención de signos

Planos: Se considera que un plano coordenadoes positivo si su normal (saliente del elemento devolumen) apunta en la dirección positiva de uneje coordenado. En caso contrario el plano seráconsiderado negativo.

Esfuerzos normales: Un esfuerzo normal seconsidera positivo si es de tracción y negativo sies de compresión.


Esfuerzos tangenciales: un esfuerzo tangenciales positivo si, actuando en un plano positivo (onegativo), apunta en la dirección positiva (onegativa) de un eje coordenado. Por el contrarioun esfuerzo tangencial será negativo si, actuandoen un plano positivo ( o negativo), apunta en ladirección negativa (o positiva) de un ejecoordenado.


convención de signos

Estado de esfuerzo en el punto P

Conocidos los esfuerzos en planos paralelos a losplanos coordenados que pasan por un puntointerior P en un cuerpo en equilibrio se deseaconocer el vector esfuerzo que actúa en esepunto, referido a un plano que es perpendicular ala dirección definida por el vector y que pasa pordicho punto:

222

ˆˆˆ

zyxss

zyxs

SSS

kSjSiS


Esfuerzo vectorial resultante en el punto P


ABC BOC BOA AOCA A1 A2 A3

Cosenos directores que definen la línea de acción del esfuerzo resultante sobre el punto P

s

xss

Slx

,cos

s

zss

Snz

,cos

s

yss

Smy

,cos


Si las dimensiones del tetraedro fueranconstantes y finitas, además de las fuerzassobre las caras habría que considerar el pesodel material encerrado en su volumen, sinembargo, en el límite, el peso del material esdespreciable, por eso no aparece en el siguientesistema de fuerzas equivalentes

00

00

00

321

321

321

AAAASF

AAAASF

AAAASF

zyzxzzz

yyxyyy

zxyxxxx


AAn

AAm

AAl

3

2

1

cos

cos

cos

Y

n

z

X

R

R

X


a

b

co

e

o a

eα

α

β

β

A1

A2

A

n

Componentes cartesianas del esfuerzo resultante en el punto P

nmlS

nmlS

nmlS

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

nml

S

SS

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x


nijs ˆ

Esfuerzos y fuerzas en las caras del tetraedro elemental

ABC BOC BOA AOC Dirección

A A1 A2 A3

Sx σxx yx zxOx

Sy xyσyy zy

Oy

Sz xz yzσzz Oz

SxA - σxxA1 - yxA2 - zxA3Ox

SyA - xyA1- σyyA2 - zyA3

Oy

SzA - xzA1 - yzA2- σzzA3 Oz

Cara

Área

Componentes de esfuerzo

Componentes de fuerza


Tensor de esfuerzos de Cauchy (estado de esfuerzo en el punto P)

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij


Esfuerzo normal sobre el punto P referido al plano en cuestión

nSmSlS

knjmilkSjSiSn

zyxn

zyxsn

ˆˆˆˆˆˆˆ


mnnllmnml yzxzxyzyxn 2222

Si en la ecuación anterior sustituimos los valores de:

nmlS

nmlS

nmlS

zzyzxzz

zyyyxyy

zxyxxxx

Obtendríamos:


Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión

(vectorial)

kji

knnmlmmnml

ilnml

knSjmSilS

tztytxt

nzyzxznzyyxy

nzxyxxt

nznynxt

ˆˆˆ

ˆˆ

ˆ

ˆˆˆ


Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión (escalar)

22

222

nst

tztytxtt


2222

222

2 nmnlmlnml

nmlnmlnml

yzxzxyzyx

zzyzxyzyyxxzxyxt

Esfuerzos Principales

Para cualquier estado de esfuerzos en un punto Pde un cuerpo, existen tres planos que pasan porese punto sobre los cuales los esfuerzostangenciales o cortantes son nulos y los únicosesfuerzos que actúan sobre ellos son esfuerzosnormales. Estos planos son los “planosprincipales” y los esfuerzos normales a esosplanos se les llama “esfuerzos principales”



esfuerzos principales

El procedimiento es maximizar la ecuacióndel esfuerzo normal, haciendo uso delmétodo de Lagrange donde la condición es:

Solamente l y m pueden ser consideradascomo variables independientes de talmanera que:

1222 nml

221 mlSmSlS zyxn



Los valores extremos sobre los ejes principalesse designan como una condición estacionaria yesta dada por:

0

0

nmSnS

m

nlSnS

l

zyn

zxn



De lo anterior se obtiene la siguiente relaciónentre las componentes del esfuerzo resultantey los cosenos directores

nS

mS

lS zyx

La proporcionalidad de la ecuación anterior generael siguiente postulado: “cuando sobre un plano setiene un valor extremo o principal del esfuerzonormal, sobre este plano (Plano Principal) elesfuerzo cortante es nulo”.



De la proporcionalidad anterior salen las siguientes ecuaciones

nSmSlS iziyix ;;La condición para que este sistema de ecuacioneslineales homogéneas no presente solucionestriviales, es el que determinante de suscoeficientes sea igual a cero

0

izzyzx

yziyxy

xzxyix



0322

13 III iii

El desarrollo del determinante proporciona unaecuación característica de tercer grado


Ecuación característica

Como los esfuerzos principales sonindependientes de la orientación del sistema dereferencia, los coeficientes de la expresiónanterior tienen que ser también independientesde la orientación del sistema de referencia; lasexpresiones de éste tipo se denominaninvariantes. Los coeficientes I1, I2, I3, sedenominan invariantes de los esfuerzos.

222

3

2222

1

2 xyzxzyyzxyzxzxyzyx

yzxzxyzxzyyx

zyx

I

I

I


Invariantes de esfuerzos

Invariantes de esfuerzo

El término I3 es el resultado de resolver eldeterminante del tensor de esfuerzos


zzyzx

yzyyx

xzxyx

I

3

Según el teorema fundamental del álgebra laecuación característica se puede escribircomo el producto de las diferencias entre laincógnita y las raíces de la ecuación

0321 iii

De lo anterior tendríamos que los invariantes deesfuerzos pueden escribirse de la siguiente forma

3213

1332212

3211

III


Es sumamente importante ordenar los esfuerzos principales de manera que:

σ1 > σ2> σ3

algebraicamente


Orden de los esfuerzos principales

Direcciones Principales

Una vez determinados los esfuerzos principalesse deben determinar los cosenos directores de losejes principales (1), (2), (3), con respecto a losejes de referencia X, Y, Z. Para este estudio, lastres direcciones principales se definen por mediode los vectores n1, n2, n3, dirigidos según lanormal a cada unos de los planos principales. Deesta forma se tiene:


Cosenos directores para el eje (1)

kNjMiLn

kjin

kzjyixn

ˆˆˆˆ

ˆcosˆcosˆcosˆ

ˆ,1cosˆ,1cosˆ,1cosˆ

1111

1111

1



kNjMiLn

kjin

kzjyixn

ˆˆˆˆ

ˆcosˆcosˆcosˆ


2222

2222

2



kNjMiLn

kjin

kzjyixn

ˆˆˆˆ

ˆcosˆcosˆcosˆ


3333

3333

3


En resumen tendríamos:

VECTOR EJE X Y Z

n1 1 L1 M1 N1

n2 2 L2 M2 N2

n3 3 L3 M3 N3



Z

X

Y

Cálculo de las direcciones principales

i

yzxz

iyxy

i

xziz

xyzy

i

izyz

zyiy

i KNML

1222 iii NML


yzyz

iyxyi

xziz

xyzyi

izyz

zyiyi

C

BA


calculo de las direcciones principales

222

1

iii

i

iiiiiiiii

CBAKdonde

KCNKBMKAL



222

222222

iii

ii

iii

ii

iii

ii

CBACN

CBABM

CBAAL



ijsiNNMMLL jijiji 0

Se demuestra asimismo que para dos planosprincipales cualesquiera :

lo cual significa que estos planos sonperpendiculares entre si .



Direcciones principales referidas al sistema coordenado ortogonal 1,2,3

nnnN

nnnM

nnnL

ˆˆcos3,cos

ˆˆcos2,cos

ˆˆcos1,cos

3

2

1


Esfuerzo resultante (vectorial y escalar) en el punto P en función de

los esfuerzos principales

kNjMiL

kSjSiS

s

s

ˆˆˆ

ˆˆˆ

321

321

223

222

221 NMLss


Esfuerzo normal (vectorial y escalar) en el punto P en función de los


23

22

21

ˆˆˆ

NML

kNjMiL

nn

nnnn


Esfuerzo cortante (vectorial y escalar) en el punto P en función de

los esfuerzos principales

22231

22232

22221

2

223

22

21

223

222

221

2

321ˆˆˆ

NLNMML

NMLNML

kNjMiL

t

nnnt

t


Estado de esfuerzo triaxial, cilíndrico y esférico

Si σ1, σ2, σ3 son distintos, por lo tanto n1, n2, y n3

son únicos y mutuamente perpendiculares (estado triaxial).

Si σ1 = σ2 ≠ σ3, por lo tanto n3 es único y cada dirección perpendicular a n3 es una dirección principal asociado con σ1 = σ2 (estado de esfuerzos cilíndrico).

Si σ1= σ2 = σ3, por lo tanto cada dirección es una dirección principal (estado esférico).


Estados de esfuerzos triaxial, cilíndrico y esférico


Valores extremos del esfuerzo cortante o esfuerzos cortantes

principales

223

22

21

223

222

221

2 NMLNMLt

Poniendo la ecuación anterior en función de L y M solamente se obtiene:

23322

3122

323

22

223

21

22 MLMLt


El objetivo es maximizar la ecuación anterior,esto se hace diferenciando con respecto a L yM e igualando a cero

0212

0212

31322

31232

31322

31231

MLMM

MLLL

t

t

t

t


esfuerzos cortantes principales

Posibles soluciones del sistema anterior

Caso 1: L=±1 M=0 N=0 Caso 2: L=0 M= ±1 N=0 Caso 3: L=0 M=0 N= ±1 Caso 4: L= ±√2/2 M= ±√2/2 N=0 Caso 5: L= ±√2/2 M=0 N= ±√2/2 Caso 6: L=0 M= ±√2/2 N= ±√2/2


Esfuerzos cortantes máximos para los casos anteriores

2:6

2:5

2:4

0:30:20:1

31

32

21

Caso

Caso

Caso

CasoCasoCaso


Esfuerzos cortantes principales

22221

331

232

1

Si los cosenos directores de los tres últimoscasos son sustituidos por turno en laecuación

223

22

21

223

222

221

2 NMLNMLt

Se obtienen los valores máximos delesfuerzo de corte


Si los valores de los cosenos directores para losplanos sobre los cuales actúan los esfuerzos decorte principales son sustituidos en la ecuacióndel esfuerzo normal, se obtendrían los valoresdel esfuerzo normal sobre esos planos:

222

213

312

321

NNN


La ecuación que se presenta a continuación esmuy importante en las teorías de falla, ya queesta muestra que cuando se alcanza la fluencia,el proceso de deformación plástica que prosiguees netamente de cizallamiento.

212

22

32 MNLNLMt


Forma general de las componentes escalares del esfuerzo resultante en

un punto P sobre un plano cualquiera

La normal en el punto P a la superficie plana de lasección y los dos ejes perpendiculares entre sítrazados en el plano π, forman un sistema de ejescartesianos ortogonales PX1, PY1, PZ1. Estosejes cambian con la posición del punto P y con lainclinación del plano π.


La dirección y sentido de cada eje conrelación a los ejes de referencia Ox, Oy, Ozestán determinados respectivamente por losvectores unitarios

kzzjyzixzn

kzyjyyixyt

kzxjyxixxt




1111

1112

1111


Componentes del esfuerzo cortante

O también

knjmiln

knjmilt

knjmilt

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

1

2222

1111


componentes del esfuerzo cortante

Componentes del esfuerzo cortante


El vector esfuerzo resultante tiene dos conjuntosde componentes escalares (Sx, Sy, Sz) son lascomponentes con relación al sistema coordenadode referencia (fijo) Oxyz; (1, 2, σn) son lascomponentes con relación al sistema variablePx1y1z1. Estas últimas se calculan usando lasigualdades siguientes:

ntt snss ˆˆˆ2211



En función de los elementos del tensor setendría

mnnllmnml

nmmnnllnmllmnnmmll

nmmnnllnmllmnnmmll

yzxzxyzyxn

yzxzyxzyx

yzxzyxzyx

2222

2222222222

1111111111

22

21 t



Escribiéndolo de forma matricial se tendría:

nml

nmlnmlnml

zyzxz

zyyxy

zxyxx

n

111

111

2

1



Transformación de ejes

'''

''''''

zzCosyzCosxzCoszyCosyyCosxyCoszxCosyxCosxxCos

A tt

nn

Tijij

ss

AA

AAnAnA

ˆ'ˆˆ'ˆ

'

ˆ'ˆˆ'ˆ


transformación de ejes

321

321

321

333

222

111

'''

'''

'''

nnnmmmlll

nmlnmlnml

zzyzx

yzyyx

xzxyx

zzyzx

yzyyx

xzxyx


Esfuerzos normales después de la transformación de ejes

Resolviendo lo anterior podemos encontrarlos elementos del tensor para la nuevaubicación de los ejes:

333333

23

23

23

22222222

22

22

11111121

21

21

2'

2'

2'

nmnlmlnml

nmnlmlnml

nmnlmlnml

yzxzxyzyxz

yzxzxyzyxy

yzxzxyzyxx


Esfuerzos cortantes después de la transformación de ejes

'

'

'

'

'

'

1313

13131313313131

3232

32323232323232

2121

21212121212121

zxxz

yzxyzyxxz

zyxz

yzxyzyxyz

yxxz

yzxyzyxxy

nlln

mnnmlmmlnnmmll

nlln

mnnmlmmlnnmmll

nlln

mnnmlmmlnnmmll


Esfuerzo normal octaédrico y esfuerzo de corte octaédrico

23

22

21

213

232

221

321

32

31

3

oct

oct

moct


Desviador de esfuerzos y esfuerzo hidrostático

El estado de esfuerzo en un punto interior de uncuerpo, se puede dividir en dos componentes, unestado de esfuerzo que produce distorsión ocambio de forma (desviador de esfuerzo) y unestado de esfuerzo que produce variación devolumen (esfuerzo esférico o hidrostático).

m

m

m

m

m

m

3

2

1

3

2

1

000000

000000

000000


Componentes del desviador de esfuerzos

32

32

32

2133

''3

3122

''2

3211

''1

m

m

m


La dirección del esfuerzo principal del desviadorde esfuerzos es la misma que la del esfuerzoprincipal del esfuerzo total, es decir, σ1’’ tiene lamisma dirección de σ1. Puesto que un cuerpoisotrópico incompresible no se deforma por lapresión hidrostática, la deformación dependesolamente del desviador de esfuerzo, sin lacontribución del componente esférico


Dirección del desviador de esfuerzos

Desviadores de esfuerzo principal

32131

''3

221

''2

''3

''''2

3''

27921271

331

0

IIIII

III

donde

II


Circulos de Mohr

2322

232

22

n

La ecuación del que representa al círculo de Mohr es la ecuación de una circunferencia del tipo:


Centros y radios de los círculos de Mohr

22221

331

232

1

CCC

22221

331

232

1

RRR


Observando las ecuaciones de centros y radiosdadas anteriormente podemos afirmar que loscentros de los círculos de Mohr equivalen a losesfuerzos normales, y los radios de dichoscírculos equivalen a los esfuerzo cortantes.


Relación entre radios y centros de Mohr y el estado de esfuerzo

R1

R3

R2


Círculos de Mohr

Pasos para conseguir σn,σs, y t

Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.

Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por σ1 y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.

Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3


Se mide el ángulo =arc cos(N) a partir de unavertical trazada por σ3 y hacia la derecha, setraza una recta con este ángulo que corta a lascírculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.

Con centro en C3 se traza el arco S1S2. Los dosarcos se interceptan en el punto “A” cuyascomponentes son los esfuerzos buscados.

Como un chequeo de la precisión en el trabajo,se mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado dela vertical trazada por σ2, se cortan los círculosC1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radioC2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama espreciso, los tres arcos deben encontrarse en unpunto común (A).


Solución gráfica


Q2

Q3

S1

S2A

n

t

s

Ecuaciones de equilibrio

En esta parte se van a obtener las ecuacionesque deben verificar las fuerzas que actúan sobreun elemento de volumen en el interior de uncuerpo, de manera que este se encuentre enequilibrio. Para hacer este estudio se debentomar un punto P y un punto Q ubicados envértices opuestos del paralelepípedo elemental,como se muestra en la figura.

A

B

C

D

E

FPQ


Esfuerzos sobre las caras que concurren en el punto P


Esfuerzos que concurren en el punto Q


mzmymx

zz

zyzy

zxzx

yzyx

yy

yxyx

xzyx

xyxy

xx

zzx

yzyyx

yzy

zyyz

FFF

dxdydzz

dxdydzz

dxdydzz

ODAB

dxdzdyy

dxdzdyy

dxdzdyy

QDFE

dydzdxx

dydzdxx

dydzdxx

OBCE

dxdydxdyPCHFdxdzdxdzdxdzPADF

dxdzdxdz

dxdydxdzPABC

OZOYOXCARA


Ecuaciones de equilibrio

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

Fzyx

Fzyx

Fzyx

0

0


Si un sistema de fuerzas exteriores actúa sobreun cuerpo que está impedido de moverse por lasrestricciones que imponen las condiciones deborde, o si por un medio físico-químico cualquierase altera su temperatura, bajo estascircunstancias el cuerpo sufre cambios en sugeometría que se llaman comúnmentedeformaciones.

Deformaciones en tres dimensiones


La teoría que se va a presentar sobre lasdeformaciones esta basada en un conjunto desuposiciones que caracterizan el modelo físicodescrito a partir de los siguientes postulados:

a) El cuerpo tiene una distribución continua dela materia (homogéneo).

b) Cuando aparecen en los cálculos ángulospequeños expresados en radianes, se puedensustituir por el seno o la tangentetrigonométrica respectiva.


deformaciones en tres dimensiones

c) Las deformaciones son pequeñas. Losdesarrollos de las relaciones donde intervienen seinterrumpen en los términos de primer gradodespreciándose todos los demás, desde aquellosen donde aparecen cuadrados o productos de lasmismas deformaciones; la teoría basada en estassuposiciones se conoce como la teoríalinealizada de la deformación.

deformaciones en tres dimensionesMecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

d) Los planos y rectas en el cuerpo antes de ladeformación quedan como tales después de lamisma.

e) La teoría es aplicable únicamente a regionespequeñas dentro del cuerpo y el análisis de lasdeformaciones sólo se refiere a las cercaníasinmediatas de un punto determinado.



XA XAX

Y

YA

YA

B'

A loA' l

B



Supongamos que A y B son dos puntos en unmaterial cualquiera, la distancia entre ellos es lo,cuando no se han aplicado fuerzas externas alcuerpo. Ahora, si lo sometemos a fuerzas, elmismo tomará una nueva posición (líneaspunteadas), en la cual AB se movió a A’B’. Ladistancia AA’ ha sido el desplazamiento del puntoA y similarmente BB’ es el desplazamiento de B.



Si A’B’ es paralela e igual que AB eldesplazamiento ha sido solamente de traslación;pero si no es paralela, entonces incluye rotacióny traslación.

Si la distancia l entre A’ y B’ no es igual a loentonces ha existido desplazamiento relativo de Bcon respecto a A y por lo tanto ha sucedido unestado de deformación.



La posición de cualquier punto y sudesplazamiento pude ser especificada conrespecto a cualquier sistema de coordenadas X,Y, Z. Así en tres dimensiones el punto A tienecoordenadas XA, YA, ZA de manera que eldesplazamiento de A a A’ puede ser representadopor ΔXA, ΔYA, ΔZA, proyectando eldesplazamiento sobre los ejes X, Y, Zrespectivamente.



La notación que debe usarse es:

ΔX=u ΔY=v ΔZ=w

De manera que las cantidades u, v y w sonusualmente referidas a “desplazamientos”



21

3 4

Para realizar el estudio de las deformaciones se va a considerar el siguiente elemento diferencial de volumen


dx

dx

dy dy

Relación entre desplazamientos y deformaciones

Sea u = f(x,y,z) ; v = f’ (x,y,z) ; w = f’’ (x,y,z)dx

dx

dx

u u

u u u

1 2

1 2

1 2

Existe traslación

Existe deformación

X


xu

dx

dxxu

iniciallongitudientorgamala

lll

dxxuuuupuntodelentoDesplazami

xdirecciónlaenupuntodelentoDesplazami

xf

0

0

2

)(1


Desplazamiento del punto 1 y el punto 2

vv

1

dy

v1

v

1

dy

dy3

3

v

3

X

Y

Traslación

deformación


yv

dy

dyyv

iniciallongitudientorgamala

dyyvvvvpuntodelentoDesplazami

ydirecciónlaenvpuntodelentoDesplazami

y

3

)(1


Desplazamiento de los puntos 1 y 3

Análogamente en la tercera dimensión se tiene: z = ∂w/∂z.

Por lo tanto:

zw

yv

xu

zyx


Deformaciones en dirección de los ejes coordenados

21

3 4

1'

2'

4'

3'

Lo que realmente ocurre es:


Desplazamiento de la arista 1-2

v

v

1 2

1'

2'

X

Y

dx

=(∂v/∂x)dx


Desplazamiento de la arista 1-3

1

3

dy

Y

X

u 1'

3'(∂u/∂y)dy


21

3 4

1'

2'

4'3'

Y

X

v

u


(∂u/∂y)dy

(∂v/∂x)dx

u+(∂u/∂x)dx

dx+(∂u/∂x)dx

v+(∂v/∂y)dy

dy+(∂v/∂y)dy

(∂v/∂x)dx

(∂u/∂y)dy

La deformación de corte xy sobre un punto esdefinido como el cambio en el valor del ánguloentre los dos elementos originalmenteparalelos al eje X e Y sobre ese punto (12 y13), de manera que en nuestro caso.

2xy


Deformación angular

xventonces

xucomo

xu

xv

dxxudx

dxxv

11

1tan


Deformación angular

yu

xv

yuentonces

yvcomo

yv

yu

dyyvdy

dyyu

xy

11

1tan


De manera similar se hace para yz y para xzentonces tendríamos:

zu

xw

zv

yw

yu

xv

yz

yzxy


Deformaciones angulares

El alargamiento Δu en la dirección X se dijoque era igual a (∂u/∂x)dx, pero esto sucedeanálogamente en tres dimensiones

1 2

1'

2'

X

Y

Z


(∂w/∂x)dx

(∂v/∂x)dx

dx+(∂u/∂x)dx

Haciendo superposición en el plano XY, se tiene:

dzzvdy

yvdx

xvv

dzzudy

yudx

xuu


Haciendo superposición en las tres dimensiones:

dzzwdy

ywdx

xww

dzzvdy

yvdx

xvv

dzzudy

yudx

xuu


Lo anterior puede ser escrito como el producto de dos matrices

dzdydx

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

wvu


Matriz de los desplazamientos relativos

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

Dij


Aplicando la identidad matricial:

jt

ijt

ijij dxDDDDD

21

21

Se obtiene el siguiente resultado


ZW

ZV

YW

ZU

XW

YW

ZV

YV

YU

XV

XW

ZU

XV

YU

XU

Dij

21

21

21

21

21

21

021

21

210

21

21

210

ZV

YW

ZU

XW

YW

ZV

YU

XV

XW

ZU

XV

YU


O también:

0

0

0

21

21

21

21

21

21

xy

xz

yz

zzzyzyzxzx

yzyzyyyxyx

xzxzxyxyxx

ijD

ijijijD


Donde ij es el tensor de deformación y ωij es el tensor de rotación

Tensor de deformación

ZW

ZV

YW

ZU

XW

YW

ZV

YV

YU

XV

XW

ZU

XV

YU

XU

ij

21

21

21

21

21

21


Tensor de deformación

zzyzx

yzy

yx

xzxyx

ij

22

22

22


O también

Tensor de rotación ω

021

21

210

21

21

210

ZV

YW

ZU

XW

YW

ZV

YU

XV

XW

ZU

XV

YU

ij


Deformación normal unitaria en cualquier dirección

rdx

X

Y

Z

1 dx

1'2 dx+u

2'

dy

3

6

4

dy+v

6'

r'=r+dr

5 dz+w

5'


Según Pitágoras, para tres dimensiones tenemos:

2222

2222

dzdydxr

wdzvdyudxdrr


Si restamos las dos ecuaciones anteriores (la segunda de la primera) obtenemos:

2222 2222 wwdzvvdyuudxdrrdr

2

2

22

2

22

2

22

2

2222 rw

rwdz

rv

rvdy

ru

rudx

rdr

rdr

Dividiendo por 2r


2

Sabemos que:

rndznrdz

rmdymrdy

rldxlrdx

cos

cos

cos


2

2

22

2

22

2

22

2

2222 rw

rwnr

rv

rvmr

ru

rulr

rdr

rdr

rwn

rvm

rul

rdr

Despreciando términos cuadráticos por ser muy pequeños se tiene:

Entonces la ecuación quedaría:


dzzwdy

ywdx

xw

rn

dzzvdy

yvdx

xv

rmdz

zudy

yudx

xu

rl

rdr

Sustituyendo los valores de Δu, Δv, Δw se tiene:


rnzw

rnrm

yw

rnrl

xw

rn

rnzv

rmrm

yv

rmrl

xv

rm

rnzu

rlrm

yu

rlrl

xu

rl

rdr


Sabiendo que:

zu

xw

zv

yw

yu

xv

zw

yv

xu

xzyzxy

zyx


Deformación normal

nmnlmlnml yzxzxyzyxn 222

Si comparamos esta ecuación con la ecuación delesfuerzo normal

podemos observar la estrecha relación queguardan ambas ecuaciones y por consiguiente seda el siguiente diccionario.


mnnllmnml yzxzxyzyxn 2222

2

2

2

yzyzzz

xzxzyy

xyxyxx


Correspondencia entre esfuerzos y deformaciones

33

22

11

,,,,2

nmlnml



zzyzx

yzy

yx

xzxyx

22

22

22

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ijij



Ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones

Los desplazamientos de un punto en un cuerpodeformado están dados por las trescomponentes u v y w, como funciones continuasde x, y, z y las deformaciones están definidaspor seis componentes x, y, z, xy, xz, yz. Si setienen las tres componentes de losdesplazamientos, todas las componentes de ladeformación pueden ser determinadas medianteel siguiente procedimiento.


Las tres primeras ecuaciones se deducen de lasiguiente manera:

Se parte de las expresiones de lasdeformaciones angulares xy, xz, yz.

Se derivan cada una de ellas dos veces enrelación a las variables que aparecen comosubíndices.

En los resultados se sustituyen las derivadas∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus respectivasexpresiones x, y, z.


ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones

yxxy

xzzx

zyyz

xyyx

zxxz

yzzy

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



Se parte también de las expresiones de lasdeformaciones angulares xy, xz, yz.

Se deriva cada una de ellas con respecto a lavariable que no aparece en el subíndice.

Se suman los resultados obtenidos. A esta suma se resta cada vez el doble de

cada una de las derivadas, obteniéndose tresexpresiones en donde aparecen en lossegundos miembros las derivadas segundasde las componentes u, v y w.



Se deriva cada una de estas tres igualdadesrespectivamente con respecto a la terceravariable x, y o z que no aparecen en lassegundas derivadas.

En los resultados se sustituyen las derivadas∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus expresiones x,y, z



yxzzxz

xzyxzy

zyxzyx

zxyzxyy

yzxyzxx

xyzxyzz

2

2

2

2

2

2



Deformaciones principales

0

22

22

22

nml

izzy

zyzx

zx

yzyziy

yxyx

xzxz

xyxyix

Para hallar las deformaciones principales sehace el mismo procedimiento que con losesfuerzos principales, esto es debido a laanalogía de las ecuaciones.


La condición para que el anterior sistema deecuaciones lineales homogéneas presentesoluciones no triviales es el que determinantede sus coeficientes sea igual a cero, es decir:


deformaciones principales

0

22

22

22

izzyzx

yziy

yx

xzxyix

Ecuación característica

0322

13 JJJ iii

Desarrollar el determinante anteriorproporciona una ecuación característica detercer grado.


Invariantes del tensor de las deformaciones

222

3

2222

1

2 xyzxzyyzxyzxzxyzyx

yzxzxyzxzyyx

zyx

J

J

J


Invariantes del tensor de las deformaciones


zzyzx

yzy

yx

xzxyx

J

22

22

22

3

El invariante J3 es el determinante del tensor de deformación

222222

41

41

41

yzyzxzxzxyxy

4442222

444222

3

222

2

1

xyz

xzy

yzx

yzxzxyzyx

yzxzxyzxzyyx

zyx

J

J

J


Como

Entonces los invariantes se escriben:

Invariantes de las deformaciones en función de las deformaciones

principales.

3213

3132212

3211

JJJ


Direcciones principales

Tomando las dos últimas ecuaciones delsistema lineal homogéneo y resolviendo sepueden hallar los cosenos directores:

22

2

2

22

2

2yzxz

iyxy

i

xziz

xyzy

i

izyz

zyiy

i NML


Si llamamos:

izyz

zyiy

iA

2

2

2

22xz

iz

xyzy

iB

22

2yzxz

iyxy

iC


direcciones principales

222

222

222

iii

ii

iii

ii

iii

ii

CBACN

CBABM

CBAAL

Entonces los cosenos directores serían:

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformacióndirecciones principales

Estado de deformación en el punto P referido al sistema coordenado

ortogonal

El estado de deformación en el punto P viene dado por:

Deformación resultante. Deformación normal. Deformación angular.


Deformación resultante en el punto P (vectorial y escalar)

kNjMiL

kSjSiS

s

s

ˆˆˆ

ˆˆˆ

321

321

223

222

221 NMLss


Deformación normal en el punto P (vectorial y escalar)

23

22

21

ˆˆˆ

NML

kNjMiL

nn

nnnn


Deformación angular en el punto P (vectorial y escalar)

22231

22232

22221

2

222

321

2

2

ˆˆˆ2

NLNMML

kNjMiL

t

nst

nnnt


Deformaciones normales máximas

2

22

213

312

321

n

nn


Deformaciones angulares máximas

22

22222

213

31

max

2321


Circulo de Mohr para deformaciones

En el circulo de Mohr para el caso dedeformaciones, las coordenadas del punto Acorresponden a las componentes cartesianas( , /2) del vector s. Estas componentesestan relacionadas con las deformacionesprincipales y con los cosenos directores delvector normal.

1222

23

22

21

2223

222

221

NML

NML

NML

n

s


2313

21

2

2

1232

13

2

2

3121

32

2

2

2

22

N

ML

Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:


Tomando, por ejemplo, la primera ecuación,podemos observar lo siguiente: como L2≥0 y(1-2)(1-3) > 0 entonces podemos decir que:

02 32

2

Análogamente se hace para las otras dosecuaciones, obteniéndose lo siguiente:


221

221

2

231

231

2

232

232

2

222

222

222


Centros de los círculos de Mohr para deformaciones

0,2

0,2

0,2

213

312

321

C

CC


Radios de los círculos de Mohr para deformaciones

2

22

213

312

321

R

RR


Círculos de Mohr para deformaciones


Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto A

Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.

Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por 1 y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.

Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3.


Se mide el ángulo = arc cos(N) a partir de unavertical trazada por 3 y hacia la derecha, setraza una recta con este ángulo que corta a lascírculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.

Con centro en C3 se traza el arco S1S2.

Los dos arcos se interceptan en el punto “A”cuyas componentes son las deformacionesbuscadas.

Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformaciónPasos a seguir para obtener la ubicación del punto A

Como un chequeo de la precisión en el trabajo, semide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de lavertical trazada por σ2, se cortan los círculos C1 yC3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 setraza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, lostres arcos deben encontrarse en un punto común(A).

Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto A



Solución gráfica

Q2

Q3

S1

S2A

n

t

s

Cambio unitario de volumenEl cambio unitario de volumen en un punto deun cuerpo sometido a un estado de esfuerzotriaxial se puede determinar considerando unelemento de volumen. El volumen original quetiene este elemento es Vo = dxdydz y elvolumen fianl esta dado por Vf = Lfx Lfy Lfzdonde:

)1()1(

)1()1(

)1()1(

0

0

0

zzfz

yyfy

xxfx

dxLL

dxLL

dxLL


Las anteriores son las longitudes finales decada arista, de esta forma el volumen finalsería:

dxdydzV zyxf 111

dxdydzVVV zyxf 11110

Por lo tanto el cambio de volumen sería:


cambio unitario de volumen

El cambio unitario de volumen o deformación volumétrica sería:

11110

zyxVV

10

JVV

zyx

Despreciando el producto de cantidades pequeñas:


cambio unitario de volumen

Relación de Poisson

Cuando una pieza se somete a un esfuerzonormal de tensión en una dirección dada, en ladirección del esfuerzo se produce un alargamientoy en cada una de las direcciones perpendicularesaparece una contracción. Si la pieza se somete aun esfuerzo de compresión, sucede lo contrario,hay una contracción en dirección del esfuerzo yun alargamiento en cada una de las direccionesperpendiculares.


A la dirección del esfuerzo se le llama axial, ya las direcciones perpendiculares se lesllama transversales. Se le da el nombre deRelación de Poisson () al cociente de ladeformación unitaria transversal y ladeformación unitaria axial

x

z

x

y

a

t


relación de Poisson

Dando a los alargamientos el signo positivo y alas contracciones un signo negativo tendríamos:

Esfuerzo a tracción en la dirección Ox

Esfuerzo a compresión en la dirección Ox

xzxy

xzxy


relación de Poisson

Módulo de Elasticidad

La relación entre el esfuerzo y la deformación en laregión elástica es una relación lineal. Estaidealización amplia y su generalización aplicable atodos los materiales se conoce como Ley deHooke (σ = E), que significa simplemente que elesfuerzo es directamente proporcional a ladeformación, donde la constante deproporcionalidad (E) es el módulo de elasticidad omódulo de Young.


E


módulo de elasticidad

Módulo de Rigidez

Igualmente que para el módulo de elasticidad,se sabe que existe una relación lineal entre elesfuerzo tangencial o de corte y la deformaciónangular. Se llama Módulo de Rigidez alcociente del esfuerzo de corte y la deformaciónangular (G = /)


12EG

G

módulo de rigidez


Ley de Hooke en tres dimensiones Todo esfuerzo normal actuando en dos caras

opuestas de un elemento cúbico produce unadeformación longitudinal proporcional alesfuerzo aplicado y del mismo signo.

Dicho esfuerzo normal ocasiona al mismotiempo una deformación transversal de signoopuesto al esfuerzo aplicado, y cuya magnitudes una fracción de la deformación longitudinal.

Si en dos caras contiguas de un elementocúbico y en sus caras opuestas actúanesfuerzos tangenciales en equilibrio, se produceuna deformación angular, proporcional alesfuerzo tangencial actuante.


Es decir:


Esfuerzo σx σy σz

Ox σx/E -σy/E -σz/E

Oy -σx/E σy/E -σz/E

Oz -σx/E -σy/E σz/E


A los alargamientos se les ha dado un signopositivo y al acortamiento un signo negativo,entonces se tiene

Ecuaciones de deformaciones en función de esfuerzos

xzxzyxzz

yzyzzxyy

xyxyzyxx

EE

EE

EE

121

121

121


2111

2111

2111

zyxzz

zyxyy

zyxxx

EE

EE

EE


Ecuaciones de esfuerzos en función de deformaciones

yxzz

zxyy

zyxx

E

E

E

1211

1211

1211

Otra forma de escribirlo sería:


Esfuerzos cortantes

12

12

12

yzyzyz

xzxzxz

xyxyxy

EG

EG

EG


Para hallar los esfuerzos principales a partir de las deformaciones principales se procede de la siguiente manera

2111321

EE i

i


Esfuerzos principales en función de las deformaciones principales

Constante de Lame

211

E


Esfuerzos en función de la constante de Lame

11

11

11

21

21

21

JGJE

JGJE

JGJE

zzz

yyy

xxx


Esfuerzos principales en función de la constante de Lame

0

21

21

21

13133

12122

11111

yzxzxy

JGJE

JGJE

JGJE


Relación entre esfuerzos y deformaciones en el circulo de Mohr


RosetasMecánica de materiales – Esfuerzo y deformación

θa

θb

θc

Ecuaciones de rosetas

ccxycycxc

bbxybybxb

aaxyayaxa

cossinsincos

cossinsincos

cossinsincos

22

22

22


tema i estudios de los esfuerzos y deformaciones en la región … · 2016-07-26 · la componente...

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