Tema IEstudios de los
esfuerzos y deformaciones en la
región elástica
Fuerzas Internas
Las fuerzas internas, se pueden considerarcomo fuerzas de interacción entre las partículasde los materiales . Además se puede imaginarque estas fuerzas quedan expuestas al pasardiferentes planos cortantes a través del cuerpo.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Fuerzo resultante y momento resultante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo
Las fuerzas internas queactúan en diferentes puntosde un plano cortante sedescriben en función deuna cantidad llamada“esfuerzo” que representala intensidad de las fuerzasinternas por unidad deárea.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Fuerzas que actúan sobre un punto o una porción de área referido al plano
de corte
P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo Promedio
Sea “F” la fuerza resultante del sistema de fuerzasinteriores anteriormente mostrado, se define“esfuerzo promedio” sobre la sección, al cocientede la fuerza F sobre la sección A. Asimismo sedebe considerar una porción ΔA sobre la cualactúa la fuerza ΔF siendo el esfuerzo promedio elcociente de ΔF entre ΔA
AF
AF
mm
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo en un punto de la sección ΔA
Si P es un punto perteneciente al área ΔA, sedefine el esfuerzo en este punto como el límite delcociente de ΔF entre ΔA cuando ΔA tiende a cero.
dAFd
AF
As
0
lim
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo Normal
La componente vectorial de F sobre la normal a lasección trazada por el centroide se representa porel vector N. A partir de ella se define el esfuerzopromedio sobre toda la superficie como elcociente de N y A, igualmente se hace para unaporción de área ΔA donde actúa la fuerza ΔN quees la componente vectorial de ΔF sobre la normalal plano.
AN
AN
nn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal en un punto
Sea P un punto perteneciente al área ΔA, elesfuerzo normal en dicho punto se define como:
dANd
AN
An
0
lim
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Dirección normal al plano que pasa por el punto P
Y
n
z
X
knjmiln
kjin
kznjynixnn
ˆˆˆˆ
ˆcosˆcosˆcosˆ
ˆ,cosˆ,cosˆ,cosˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
knjmiln ˆˆˆˆ
cosˆ ssn n
Como se vio anteriormente, la dirección normalal plano se representa de la siguiente manera:
La componente escalar del esfuerzo normal mediosobre toda la superficie se define como:
La componente escalar del esfuerzo normal enun punto se define como:
nmm ˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzo normal
Donde es el ángulo entre σs y σn
La componente vectorial del esfuerzo normal se haya por medio del teorema de Cauchy
nnnn ssnn ˆˆˆcosˆ
El esfuerzo normal es a tensión si tiene elmismo sentido de la normal (se considerapositivo).
El esfuerzo normal es a compresión si tienesentido contrario al de la normal (se consideranegativo).
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzo normal
Esfuerzo Tangencial
La componente vectorial de la fuerza F endirección de la recta t a la sección trazada por elcentroide se representa con el vector T. Elesfuerzo tangencial promedio sobre la sección Ase define como:
AT
tm
El esfuerzo tangencial promedio sobre laporción de área ΔA
AT
tm
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo Tangencial en un punto
Sea P un punto perteneciente a la porción de áreaΔA, se define el esfuerzo tangencial sobre dichopunto como:
dATd
AT
At
0
lim
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La dirección tangente viene dada por:
La componente escalar del esfuerzo tangencial viene dada por:
sen
nxsxntˆˆˆˆ
tstˆ
nnttt sstt ˆˆˆˆˆ
La componente vectorial del esfuerzo tangencial en dirección de la recta t se define como:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzo tangencial
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes vectoriales del esfuerzo resultante
Ángulo entre el vector esfuerzo resultante y el vector esfuerzo normal
s
n
arccos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes normal y tangencial del esfuerzo σs
El vector esfuerzoreferido a la sección A, ala porción de área ΔA oal punto P tiene doscomponentes escalares,una componente normaly otra tangencial. Comolas direcciones normal ytangencial sonperpendiculares entre si,podemos decir que:
222tns
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes escalares del esfuerzo σs si la sección es un plano
coordenado
Para determinar las componentes cartesianas delesfuerzo σs, es necesario definir un sistema deejes cartesianos. De manera que el plano πcorresponde a un plano coordenado, la normal aeste plano que pasa por el origen es un ejecoordenado;
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cortes del elemento de volumen paralelos a los planos coordenados
Componentes escalares de σ para los diferentes planos coordenados
Plano π Ox Oy Oz Identificación
Oyz σxx xy xz La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X
Oxz yx σyy yz La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje Y
Oxy zx xy σxx La normal dirigida hacia el exterior es paralela al eje X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
yx
yz
y
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes escalares de σ para los diferentes planos coordenados
Para establecer el estado de esfuerzo en unpunto se ha de definir nueve cantidades, sinembargo es posible cierta simplificación, paraesto se busca una relación entre los esfuerzostangenciales que actúan en planosperpendiculares entre si colocados en un cuerpoen equilibrio el cual es un paralelepípedo conaristas Δx, Δy, Δz en dirección de cada eje conlas caras respectivas paralelas a los planoscoordenados. A continuación se hace unejemplo para los esfuerzos cortantes zy y yz,para los demas se sigue el mismoprocedimiento
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estado de esfuerzo
Las fuerzas asociadas con los esfuerzos zy yyz ejercen su acción sobre las carascorrespondientes del paralelepípedo, susvalores corresponden al producto del esfuerzopor el área de la cara.
F1 = zyΔxΔy F2 = yzΔxΔzigualmente para F3 y F4
yz
zy
zy
yz
F1
F2
F3
F4
Y
X
Z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformaciónestado de esfuerzo
El paralelepípedo es una porción del cuerpoen equilibrio, por lo que la sumatoria defuerzas verticales y la sumatoria de fuerzashorizontales debe ser cero.
F1 + F3 = 0 F1 = -F3
F2 + F4 = 0 F2 = - F4
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformaciónestado de esfuerzo
Las fuerzas F1 y F3 forman un par,igualmente las fuerzas F2 y F4, para que elparalelepípedo esté en equilibrio los dospares deben producir momentos iguales y designo contrario, la suma de ambos debe sernula:
zyΔxΔyΔz - yzΔxΔyΔz = 0
de donde zy = yz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
estado de esfuerzo
Se sigue el mismo procedimiento para losdemás esfuerzos cortantes, entonces se afirmalo siguiente
xy = yx xz = zx yz = zy
El estado de esfuerzos para un puntocualquiera de un sólido sometido a cargas sedefine entonces con seis componentes
σx, σy, σ z, xy, xz, yz
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
estado de esfuerzo
Convención de signos
Planos: Se considera que un plano coordenadoes positivo si su normal (saliente del elemento devolumen) apunta en la dirección positiva de uneje coordenado. En caso contrario el plano seráconsiderado negativo.
Esfuerzos normales: Un esfuerzo normal seconsidera positivo si es de tracción y negativo sies de compresión.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos tangenciales: un esfuerzo tangenciales positivo si, actuando en un plano positivo (onegativo), apunta en la dirección positiva (onegativa) de un eje coordenado. Por el contrarioun esfuerzo tangencial será negativo si, actuandoen un plano positivo ( o negativo), apunta en ladirección negativa (o positiva) de un ejecoordenado.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
convención de signos
Estado de esfuerzo en el punto P
Conocidos los esfuerzos en planos paralelos a losplanos coordenados que pasan por un puntointerior P en un cuerpo en equilibrio se deseaconocer el vector esfuerzo que actúa en esepunto, referido a un plano que es perpendicular ala dirección definida por el vector y que pasa pordicho punto:
222
ˆˆˆ
zyxss
zyxs
SSS
kSjSiS
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo vectorial resultante en el punto P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ABC BOC BOA AOCA A1 A2 A3
Cosenos directores que definen la línea de acción del esfuerzo resultante sobre el punto P
s
xss
Slx
,cos
s
zss
Snz
,cos
s
yss
Smy
,cos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si las dimensiones del tetraedro fueranconstantes y finitas, además de las fuerzassobre las caras habría que considerar el pesodel material encerrado en su volumen, sinembargo, en el límite, el peso del material esdespreciable, por eso no aparece en el siguientesistema de fuerzas equivalentes
00
00
00
321
321
321
AAAASF
AAAASF
AAAASF
zyzxzzz
yyxyyy
zxyxxxx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
AAn
AAm
AAl
3
2
1
cos
cos
cos
Y
n
z
X
R
R
X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
a
b
co
e
o a
eα
α
β
β
A1
A2
A
n
Componentes cartesianas del esfuerzo resultante en el punto P
nmlS
nmlS
nmlS
zzyzxzz
zyyyxyy
zxyxxxx
nml
S
SS
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
z
y
x
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
nijs ˆ
Esfuerzos y fuerzas en las caras del tetraedro elemental
ABC BOC BOA AOC Dirección
A A1 A2 A3
Sx σxx yx zxOx
Sy xyσyy zy
Oy
Sz xz yzσzz Oz
SxA - σxxA1 - yxA2 - zxA3Ox
SyA - xyA1- σyyA2 - zyA3
Oy
SzA - xzA1 - yzA2- σzzA3 Oz
Cara
Área
Componentes de esfuerzo
Componentes de fuerza
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tensor de esfuerzos de Cauchy (estado de esfuerzo en el punto P)
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal sobre el punto P referido al plano en cuestión
nSmSlS
knjmilkSjSiSn
zyxn
zyxsn
ˆˆˆˆˆˆˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
mnnllmnml yzxzxyzyxn 2222
Si en la ecuación anterior sustituimos los valores de:
nmlS
nmlS
nmlS
zzyzxzz
zyyyxyy
zxyxxxx
Obtendríamos:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión
(vectorial)
kji
knnmlmmnml
ilnml
knSjmSilS
tztytxt
nzyzxznzyyxy
nzxyxxt
nznynxt
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆ
ˆˆˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo tangencial en el punto P referido al plano en cuestión (escalar)
22
222
nst
tztytxtt
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2222
222
2 nmnlmlnml
nmlnmlnml
yzxzxyzyx
zzyzxyzyyxxzxyxt
Esfuerzos Principales
Para cualquier estado de esfuerzos en un punto Pde un cuerpo, existen tres planos que pasan porese punto sobre los cuales los esfuerzostangenciales o cortantes son nulos y los únicosesfuerzos que actúan sobre ellos son esfuerzosnormales. Estos planos son los “planosprincipales” y los esfuerzos normales a esosplanos se les llama “esfuerzos principales”
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principales
El procedimiento es maximizar la ecuacióndel esfuerzo normal, haciendo uso delmétodo de Lagrange donde la condición es:
Solamente l y m pueden ser consideradascomo variables independientes de talmanera que:
1222 nml
221 mlSmSlS zyxn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principales
Los valores extremos sobre los ejes principalesse designan como una condición estacionaria yesta dada por:
0
0
nmSnS
m
nlSnS
l
zyn
zxn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principales
De lo anterior se obtiene la siguiente relaciónentre las componentes del esfuerzo resultantey los cosenos directores
nS
mS
lS zyx
La proporcionalidad de la ecuación anterior generael siguiente postulado: “cuando sobre un plano setiene un valor extremo o principal del esfuerzonormal, sobre este plano (Plano Principal) elesfuerzo cortante es nulo”.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principales
De la proporcionalidad anterior salen las siguientes ecuaciones
nSmSlS iziyix ;;La condición para que este sistema de ecuacioneslineales homogéneas no presente solucionestriviales, es el que determinante de suscoeficientes sea igual a cero
0
izzyzx
yziyxy
xzxyix
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos principales
0322
13 III iii
El desarrollo del determinante proporciona unaecuación característica de tercer grado
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuación característica
Como los esfuerzos principales sonindependientes de la orientación del sistema dereferencia, los coeficientes de la expresiónanterior tienen que ser también independientesde la orientación del sistema de referencia; lasexpresiones de éste tipo se denominaninvariantes. Los coeficientes I1, I2, I3, sedenominan invariantes de los esfuerzos.
222
3
2222
1
2 xyzxzyyzxyzxzxyzyx
yzxzxyzxzyyx
zyx
I
I
I
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes de esfuerzos
Invariantes de esfuerzo
El término I3 es el resultado de resolver eldeterminante del tensor de esfuerzos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
zzyzx
yzyyx
xzxyx
I
3
Según el teorema fundamental del álgebra laecuación característica se puede escribircomo el producto de las diferencias entre laincógnita y las raíces de la ecuación
0321 iii
De lo anterior tendríamos que los invariantes deesfuerzos pueden escribirse de la siguiente forma
3213
1332212
3211
III
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Es sumamente importante ordenar los esfuerzos principales de manera que:
σ1 > σ2> σ3
algebraicamente
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Orden de los esfuerzos principales
Direcciones Principales
Una vez determinados los esfuerzos principalesse deben determinar los cosenos directores de losejes principales (1), (2), (3), con respecto a losejes de referencia X, Y, Z. Para este estudio, lastres direcciones principales se definen por mediode los vectores n1, n2, n3, dirigidos según lanormal a cada unos de los planos principales. Deesta forma se tiene:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cosenos directores para el eje (1)
kNjMiLn
kjin
kzjyixn
ˆˆˆˆ
ˆcosˆcosˆcosˆ
ˆ,1cosˆ,1cosˆ,1cosˆ
1111
1111
1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cosenos directores para el eje (2)
kNjMiLn
kjin
kzjyixn
ˆˆˆˆ
ˆcosˆcosˆcosˆ
ˆ,2cosˆ,2cosˆ,2cosˆ
2222
2222
2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Cosenos directores para el eje (3)
kNjMiLn
kjin
kzjyixn
ˆˆˆˆ
ˆcosˆcosˆcosˆ
ˆ,3cosˆ,3cosˆ,3cosˆ
3333
3333
3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
En resumen tendríamos:
VECTOR EJE X Y Z
n1 1 L1 M1 N1
n2 2 L2 M2 N2
n3 3 L3 M3 N3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Z
X
Y
Cálculo de las direcciones principales
i
yzxz
iyxy
i
xziz
xyzy
i
izyz
zyiy
i KNML
1222 iii NML
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
yzyz
iyxyi
xziz
xyzyi
izyz
zyiyi
C
BA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principales
222
1
iii
i
iiiiiiiii
CBAKdonde
KCNKBMKAL
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principales
222
222222
iii
ii
iii
ii
iii
ii
CBACN
CBABM
CBAAL
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principales
ijsiNNMMLL jijiji 0
Se demuestra asimismo que para dos planosprincipales cualesquiera :
lo cual significa que estos planos sonperpendiculares entre si .
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
calculo de las direcciones principales
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones principales referidas al sistema coordenado ortogonal 1,2,3
nnnN
nnnM
nnnL
ˆˆcos3,cos
ˆˆcos2,cos
ˆˆcos1,cos
3
2
1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo resultante (vectorial y escalar) en el punto P en función de
los esfuerzos principales
kNjMiL
kSjSiS
s
s
ˆˆˆ
ˆˆˆ
321
321
223
222
221 NMLss
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal (vectorial y escalar) en el punto P en función de los
esfuerzos principales
23
22
21
ˆˆˆ
NML
kNjMiL
nn
nnnn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo cortante (vectorial y escalar) en el punto P en función de
los esfuerzos principales
22231
22232
22221
2
223
22
21
223
222
221
2
321ˆˆˆ
NLNMML
NMLNML
kNjMiL
t
nnnt
t
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estado de esfuerzo triaxial, cilíndrico y esférico
Si σ1, σ2, σ3 son distintos, por lo tanto n1, n2, y n3
son únicos y mutuamente perpendiculares (estado triaxial).
Si σ1 = σ2 ≠ σ3, por lo tanto n3 es único y cada dirección perpendicular a n3 es una dirección principal asociado con σ1 = σ2 (estado de esfuerzos cilíndrico).
Si σ1= σ2 = σ3, por lo tanto cada dirección es una dirección principal (estado esférico).
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Estados de esfuerzos triaxial, cilíndrico y esférico
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Valores extremos del esfuerzo cortante o esfuerzos cortantes
principales
223
22
21
223
222
221
2 NMLNMLt
Poniendo la ecuación anterior en función de L y M solamente se obtiene:
23322
3122
323
22
223
21
22 MLMLt
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
El objetivo es maximizar la ecuación anterior,esto se hace diferenciando con respecto a L yM e igualando a cero
0212
0212
31322
31232
31322
31231
MLMM
MLLL
t
t
t
t
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
esfuerzos cortantes principales
Posibles soluciones del sistema anterior
Caso 1: L=±1 M=0 N=0 Caso 2: L=0 M= ±1 N=0 Caso 3: L=0 M=0 N= ±1 Caso 4: L= ±√2/2 M= ±√2/2 N=0 Caso 5: L= ±√2/2 M=0 N= ±√2/2 Caso 6: L=0 M= ±√2/2 N= ±√2/2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes máximos para los casos anteriores
2:6
2:5
2:4
0:30:20:1
31
32
21
Caso
Caso
Caso
CasoCasoCaso
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes principales
22221
331
232
1
Si los cosenos directores de los tres últimoscasos son sustituidos por turno en laecuación
223
22
21
223
222
221
2 NMLNMLt
Se obtienen los valores máximos delesfuerzo de corte
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si los valores de los cosenos directores para losplanos sobre los cuales actúan los esfuerzos decorte principales son sustituidos en la ecuacióndel esfuerzo normal, se obtendrían los valoresdel esfuerzo normal sobre esos planos:
222
213
312
321
NNN
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La ecuación que se presenta a continuación esmuy importante en las teorías de falla, ya queesta muestra que cuando se alcanza la fluencia,el proceso de deformación plástica que prosiguees netamente de cizallamiento.
212
22
32 MNLNLMt
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Forma general de las componentes escalares del esfuerzo resultante en
un punto P sobre un plano cualquiera
La normal en el punto P a la superficie plana de lasección y los dos ejes perpendiculares entre sítrazados en el plano π, forman un sistema de ejescartesianos ortogonales PX1, PY1, PZ1. Estosejes cambian con la posición del punto P y con lainclinación del plano π.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La dirección y sentido de cada eje conrelación a los ejes de referencia Ox, Oy, Ozestán determinados respectivamente por losvectores unitarios
kzzjyzixzn
kzyjyyixyt
kzxjyxixxt
ˆ,cosˆ,cosˆ,cosˆ
ˆ,cosˆ,cosˆ,cosˆ
ˆ,cosˆ,cosˆ,cosˆ
1111
1112
1111
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes del esfuerzo cortante
O también
knjmiln
knjmilt
knjmilt
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
ˆˆˆˆ
1
2222
1111
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortante
Componentes del esfuerzo cortante
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
El vector esfuerzo resultante tiene dos conjuntosde componentes escalares (Sx, Sy, Sz) son lascomponentes con relación al sistema coordenadode referencia (fijo) Oxyz; (1, 2, σn) son lascomponentes con relación al sistema variablePx1y1z1. Estas últimas se calculan usando lasigualdades siguientes:
ntt snss ˆˆˆ2211
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortante
En función de los elementos del tensor setendría
mnnllmnml
nmmnnllnmllmnnmmll
nmmnnllnmllmnnmmll
yzxzxyzyxn
yzxzyxzyx
yzxzyxzyx
2222
2222222222
1111111111
22
21 t
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortante
Escribiéndolo de forma matricial se tendría:
nml
nmlnmlnml
zyzxz
zyyxy
zxyxx
n
111
111
2
1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
componentes del esfuerzo cortante
Transformación de ejes
'''
''''''
zzCosyzCosxzCoszyCosyyCosxyCoszxCosyxCosxxCos
A tt
nn
Tijij
ss
AA
AAnAnA
ˆ'ˆˆ'ˆ
'
ˆ'ˆˆ'ˆ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
transformación de ejes
321
321
321
333
222
111
'''
'''
'''
nnnmmmlll
nmlnmlnml
zzyzx
yzyyx
xzxyx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos normales después de la transformación de ejes
Resolviendo lo anterior podemos encontrarlos elementos del tensor para la nuevaubicación de los ejes:
333333
23
23
23
22222222
22
22
11111121
21
21
2'
2'
2'
nmnlmlnml
nmnlmlnml
nmnlmlnml
yzxzxyzyxz
yzxzxyzyxy
yzxzxyzyxx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes después de la transformación de ejes
'
'
'
'
'
'
1313
13131313313131
3232
32323232323232
2121
21212121212121
zxxz
yzxyzyxxz
zyxz
yzxyzyxyz
yxxz
yzxyzyxxy
nlln
mnnmlmmlnnmmll
nlln
mnnmlmmlnnmmll
nlln
mnnmlmmlnnmmll
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo normal octaédrico y esfuerzo de corte octaédrico
23
22
21
213
232
221
321
32
31
3
oct
oct
moct
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desviador de esfuerzos y esfuerzo hidrostático
El estado de esfuerzo en un punto interior de uncuerpo, se puede dividir en dos componentes, unestado de esfuerzo que produce distorsión ocambio de forma (desviador de esfuerzo) y unestado de esfuerzo que produce variación devolumen (esfuerzo esférico o hidrostático).
m
m
m
m
m
m
3
2
1
3
2
1
000000
000000
000000
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Componentes del desviador de esfuerzos
32
32
32
2133
''3
3122
''2
3211
''1
m
m
m
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La dirección del esfuerzo principal del desviadorde esfuerzos es la misma que la del esfuerzoprincipal del esfuerzo total, es decir, σ1’’ tiene lamisma dirección de σ1. Puesto que un cuerpoisotrópico incompresible no se deforma por lapresión hidrostática, la deformación dependesolamente del desviador de esfuerzo, sin lacontribución del componente esférico
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Dirección del desviador de esfuerzos
Desviadores de esfuerzo principal
32131
''3
221
''2
''3
''''2
3''
27921271
331
0
IIIII
III
donde
II
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Circulos de Mohr
2322
232
22
n
La ecuación del que representa al círculo de Mohr es la ecuación de una circunferencia del tipo:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Centros y radios de los círculos de Mohr
22221
331
232
1
CCC
22221
331
232
1
RRR
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Observando las ecuaciones de centros y radiosdadas anteriormente podemos afirmar que loscentros de los círculos de Mohr equivalen a losesfuerzos normales, y los radios de dichoscírculos equivalen a los esfuerzo cortantes.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Relación entre radios y centros de Mohr y el estado de esfuerzo
R1
R3
R2
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Círculos de Mohr
Pasos para conseguir σn,σs, y t
Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.
Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por σ1 y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.
Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Se mide el ángulo =arc cos(N) a partir de unavertical trazada por σ3 y hacia la derecha, setraza una recta con este ángulo que corta a lascírculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.
Con centro en C3 se traza el arco S1S2. Los dosarcos se interceptan en el punto “A” cuyascomponentes son los esfuerzos buscados.
Como un chequeo de la precisión en el trabajo,se mide el ángulo β=arccos(M) en cada lado dela vertical trazada por σ2, se cortan los círculosC1 y C3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radioC2T1 se traza el arco T1AT3. Si el diagrama espreciso, los tres arcos deben encontrarse en unpunto común (A).
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Solución gráfica
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Q2
Q3
S1
S2A
n
t
s
Ecuaciones de equilibrio
En esta parte se van a obtener las ecuacionesque deben verificar las fuerzas que actúan sobreun elemento de volumen en el interior de uncuerpo, de manera que este se encuentre enequilibrio. Para hacer este estudio se debentomar un punto P y un punto Q ubicados envértices opuestos del paralelepípedo elemental,como se muestra en la figura.
A
B
C
D
E
FPQ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos sobre las caras que concurren en el punto P
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos que concurren en el punto Q
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
mzmymx
zz
zyzy
zxzx
yzyx
yy
yxyx
xzyx
xyxy
xx
zzx
yzyyx
yzy
zyyz
FFF
dxdydzz
dxdydzz
dxdydzz
ODAB
dxdzdyy
dxdzdyy
dxdzdyy
QDFE
dydzdxx
dydzdxx
dydzdxx
OBCE
dxdydxdyPCHFdxdzdxdzdxdzPADF
dxdzdxdz
dxdydxdzPABC
OZOYOXCARA
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de equilibrio
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
Fzyx
Fzyx
Fzyx
0
0
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si un sistema de fuerzas exteriores actúa sobreun cuerpo que está impedido de moverse por lasrestricciones que imponen las condiciones deborde, o si por un medio físico-químico cualquierase altera su temperatura, bajo estascircunstancias el cuerpo sufre cambios en sugeometría que se llaman comúnmentedeformaciones.
Deformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La teoría que se va a presentar sobre lasdeformaciones esta basada en un conjunto desuposiciones que caracterizan el modelo físicodescrito a partir de los siguientes postulados:
a) El cuerpo tiene una distribución continua dela materia (homogéneo).
b) Cuando aparecen en los cálculos ángulospequeños expresados en radianes, se puedensustituir por el seno o la tangentetrigonométrica respectiva.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
c) Las deformaciones son pequeñas. Losdesarrollos de las relaciones donde intervienen seinterrumpen en los términos de primer gradodespreciándose todos los demás, desde aquellosen donde aparecen cuadrados o productos de lasmismas deformaciones; la teoría basada en estassuposiciones se conoce como la teoríalinealizada de la deformación.
deformaciones en tres dimensionesMecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
d) Los planos y rectas en el cuerpo antes de ladeformación quedan como tales después de lamisma.
e) La teoría es aplicable únicamente a regionespequeñas dentro del cuerpo y el análisis de lasdeformaciones sólo se refiere a las cercaníasinmediatas de un punto determinado.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
XA XAX
Y
YA
YA
B'
A loA' l
B
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones en tres dimensiones
Supongamos que A y B son dos puntos en unmaterial cualquiera, la distancia entre ellos es lo,cuando no se han aplicado fuerzas externas alcuerpo. Ahora, si lo sometemos a fuerzas, elmismo tomará una nueva posición (líneaspunteadas), en la cual AB se movió a A’B’. Ladistancia AA’ ha sido el desplazamiento del puntoA y similarmente BB’ es el desplazamiento de B.
deformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si A’B’ es paralela e igual que AB eldesplazamiento ha sido solamente de traslación;pero si no es paralela, entonces incluye rotacióny traslación.
Si la distancia l entre A’ y B’ no es igual a loentonces ha existido desplazamiento relativo de Bcon respecto a A y por lo tanto ha sucedido unestado de deformación.
deformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La posición de cualquier punto y sudesplazamiento pude ser especificada conrespecto a cualquier sistema de coordenadas X,Y, Z. Así en tres dimensiones el punto A tienecoordenadas XA, YA, ZA de manera que eldesplazamiento de A a A’ puede ser representadopor ΔXA, ΔYA, ΔZA, proyectando eldesplazamiento sobre los ejes X, Y, Zrespectivamente.
deformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La notación que debe usarse es:
ΔX=u ΔY=v ΔZ=w
De manera que las cantidades u, v y w sonusualmente referidas a “desplazamientos”
deformaciones en tres dimensiones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
21
3 4
Para realizar el estudio de las deformaciones se va a considerar el siguiente elemento diferencial de volumen
deformaciones en tres dimensiones
dx
dx
dy dy
Relación entre desplazamientos y deformaciones
Sea u = f(x,y,z) ; v = f’ (x,y,z) ; w = f’’ (x,y,z)dx
dx
dx
u u
u u u
1 2
1 2
1 2
Existe traslación
Existe deformación
X
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
xu
dx
dxxu
iniciallongitudientorgamala
lll
dxxuuuupuntodelentoDesplazami
xdirecciónlaenupuntodelentoDesplazami
xf
0
0
2
)(1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento del punto 1 y el punto 2
vv
1
dy
v1
v
1
dy
dy3
3
v
3
X
Y
Traslación
deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
yv
dy
dyyv
iniciallongitudientorgamala
dyyvvvvpuntodelentoDesplazami
ydirecciónlaenvpuntodelentoDesplazami
y
3
)(1
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento de los puntos 1 y 3
Análogamente en la tercera dimensión se tiene: z = ∂w/∂z.
Por lo tanto:
zw
yv
xu
zyx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones en dirección de los ejes coordenados
21
3 4
1'
2'
4'
3'
Lo que realmente ocurre es:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento de la arista 1-2
v
v
1 2
1'
2'
X
Y
dx
=(∂v/∂x)dx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Desplazamiento de la arista 1-3
1
3
dy
Y
X
u 1'
3'(∂u/∂y)dy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
21
3 4
1'
2'
4'3'
Y
X
v
u
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
(∂u/∂y)dy
(∂v/∂x)dx
u+(∂u/∂x)dx
dx+(∂u/∂x)dx
v+(∂v/∂y)dy
dy+(∂v/∂y)dy
(∂v/∂x)dx
(∂u/∂y)dy
La deformación de corte xy sobre un punto esdefinido como el cambio en el valor del ánguloentre los dos elementos originalmenteparalelos al eje X e Y sobre ese punto (12 y13), de manera que en nuestro caso.
2xy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación angular
xventonces
xucomo
xu
xv
dxxudx
dxxv
11
1tan
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación angular
yu
xv
yuentonces
yvcomo
yv
yu
dyyvdy
dyyu
xy
11
1tan
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
De manera similar se hace para yz y para xzentonces tendríamos:
zu
xw
zv
yw
yu
xv
yz
yzxy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones angulares
El alargamiento Δu en la dirección X se dijoque era igual a (∂u/∂x)dx, pero esto sucedeanálogamente en tres dimensiones
1 2
1'
2'
X
Y
Z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
(∂w/∂x)dx
(∂v/∂x)dx
dx+(∂u/∂x)dx
Haciendo superposición en el plano XY, se tiene:
dzzvdy
yvdx
xvv
dzzudy
yudx
xuu
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Haciendo superposición en las tres dimensiones:
dzzwdy
ywdx
xww
dzzvdy
yvdx
xvv
dzzudy
yudx
xuu
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Lo anterior puede ser escrito como el producto de dos matrices
dzdydx
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
wvu
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Matriz de los desplazamientos relativos
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
Dij
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Aplicando la identidad matricial:
jt
ijt
ijij dxDDDDD
21
21
Se obtiene el siguiente resultado
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ZW
ZV
YW
ZU
XW
YW
ZV
YV
YU
XV
XW
ZU
XV
YU
XU
Dij
21
21
21
21
21
21
021
21
210
21
21
210
ZV
YW
ZU
XW
YW
ZV
YU
XV
XW
ZU
XV
YU
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
O también:
0
0
0
21
21
21
21
21
21
xy
xz
yz
zzzyzyzxzx
yzyzyyyxyx
xzxzxyxyxx
ijD
ijijijD
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Donde ij es el tensor de deformación y ωij es el tensor de rotación
Tensor de deformación
ZW
ZV
YW
ZU
XW
YW
ZV
YV
YU
XV
XW
ZU
XV
YU
XU
ij
21
21
21
21
21
21
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tensor de deformación
zzyzx
yzy
yx
xzxyx
ij
22
22
22
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
O también
Tensor de rotación ω
021
21
210
21
21
210
ZV
YW
ZU
XW
YW
ZV
YU
XV
XW
ZU
XV
YU
ij
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación normal unitaria en cualquier dirección
rdx
X
Y
Z
1 dx
1'2 dx+u
2'
dy
3
6
4
dy+v
6'
r'=r+dr
5 dz+w
5'
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Según Pitágoras, para tres dimensiones tenemos:
2222
2222
dzdydxr
wdzvdyudxdrr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si restamos las dos ecuaciones anteriores (la segunda de la primera) obtenemos:
2222 2222 wwdzvvdyuudxdrrdr
2
2
22
2
22
2
22
2
2222 rw
rwdz
rv
rvdy
ru
rudx
rdr
rdr
Dividiendo por 2r
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2
Sabemos que:
rndznrdz
rmdymrdy
rldxlrdx
cos
cos
cos
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2
2
22
2
22
2
22
2
2222 rw
rwnr
rv
rvmr
ru
rulr
rdr
rdr
rwn
rvm
rul
rdr
Despreciando términos cuadráticos por ser muy pequeños se tiene:
Entonces la ecuación quedaría:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
dzzwdy
ywdx
xw
rn
dzzvdy
yvdx
xv
rmdz
zudy
yudx
xu
rl
rdr
Sustituyendo los valores de Δu, Δv, Δw se tiene:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
rnzw
rnrm
yw
rnrl
xw
rn
rnzv
rmrm
yv
rmrl
xv
rm
rnzu
rlrm
yu
rlrl
xu
rl
rdr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Sabiendo que:
zu
xw
zv
yw
yu
xv
zw
yv
xu
xzyzxy
zyx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación normal
nmnlmlnml yzxzxyzyxn 222
Si comparamos esta ecuación con la ecuación delesfuerzo normal
podemos observar la estrecha relación queguardan ambas ecuaciones y por consiguiente seda el siguiente diccionario.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
mnnllmnml yzxzxyzyxn 2222
2
2
2
yzyzzz
xzxzyy
xyxyxx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Correspondencia entre esfuerzos y deformaciones
33
22
11
,,,,2
nmlnml
Correspondencia entre esfuerzos y deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
zzyzx
yzy
yx
xzxyx
22
22
22
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ijij
Correspondencia entre esfuerzos y deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones
Los desplazamientos de un punto en un cuerpodeformado están dados por las trescomponentes u v y w, como funciones continuasde x, y, z y las deformaciones están definidaspor seis componentes x, y, z, xy, xz, yz. Si setienen las tres componentes de losdesplazamientos, todas las componentes de ladeformación pueden ser determinadas medianteel siguiente procedimiento.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Las tres primeras ecuaciones se deducen de lasiguiente manera:
Se parte de las expresiones de lasdeformaciones angulares xy, xz, yz.
Se derivan cada una de ellas dos veces enrelación a las variables que aparecen comosubíndices.
En los resultados se sustituyen las derivadas∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus respectivasexpresiones x, y, z.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones
yxxy
xzzx
zyyz
xyyx
zxxz
yzzy
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Se parte también de las expresiones de lasdeformaciones angulares xy, xz, yz.
Se deriva cada una de ellas con respecto a lavariable que no aparece en el subíndice.
Se suman los resultados obtenidos. A esta suma se resta cada vez el doble de
cada una de las derivadas, obteniéndose tresexpresiones en donde aparecen en lossegundos miembros las derivadas segundasde las componentes u, v y w.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones
Se deriva cada una de estas tres igualdadesrespectivamente con respecto a la terceravariable x, y o z que no aparecen en lassegundas derivadas.
En los resultados se sustituyen las derivadas∂u/∂x, ∂v/∂y, ∂w/∂z por sus expresiones x,y, z
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones
yxzzxz
xzyxzy
zyxzyx
zxyzxyy
yzxyzxx
xyzxyzz
2
2
2
2
2
2
ecuaciones de compatibilidad para las deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones principales
0
22
22
22
nml
izzy
zyzx
zx
yzyziy
yxyx
xzxz
xyxyix
Para hallar las deformaciones principales sehace el mismo procedimiento que con losesfuerzos principales, esto es debido a laanalogía de las ecuaciones.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
La condición para que el anterior sistema deecuaciones lineales homogéneas presentesoluciones no triviales es el que determinantede sus coeficientes sea igual a cero, es decir:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
deformaciones principales
0
22
22
22
izzyzx
yziy
yx
xzxyix
Ecuación característica
0322
13 JJJ iii
Desarrollar el determinante anteriorproporciona una ecuación característica detercer grado.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes del tensor de las deformaciones
222
3
2222
1
2 xyzxzyyzxyzxzxyzyx
yzxzxyzxzyyx
zyx
J
J
J
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Invariantes del tensor de las deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
zzyzx
yzy
yx
xzxyx
J
22
22
22
3
El invariante J3 es el determinante del tensor de deformación
222222
41
41
41
yzyzxzxzxyxy
4442222
444222
3
222
2
1
xyz
xzy
yzx
yzxzxyzyx
yzxzxyzxzyyx
zyx
J
J
J
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Como
Entonces los invariantes se escriben:
Invariantes de las deformaciones en función de las deformaciones
principales.
3213
3132212
3211
JJJ
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Direcciones principales
Tomando las dos últimas ecuaciones delsistema lineal homogéneo y resolviendo sepueden hallar los cosenos directores:
22
2
2
22
2
2yzxz
iyxy
i
xziz
xyzy
i
izyz
zyiy
i NML
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Si llamamos:
izyz
zyiy
iA
2
2
2
22xz
iz
xyzy
iB
22
2yzxz
iyxy
iC
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
direcciones principales
222
222
222
iii
ii
iii
ii
iii
ii
CBACN
CBABM
CBAAL
Entonces los cosenos directores serían:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformacióndirecciones principales
Estado de deformación en el punto P referido al sistema coordenado
ortogonal
El estado de deformación en el punto P viene dado por:
Deformación resultante. Deformación normal. Deformación angular.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación resultante en el punto P (vectorial y escalar)
kNjMiL
kSjSiS
s
s
ˆˆˆ
ˆˆˆ
321
321
223
222
221 NMLss
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación normal en el punto P (vectorial y escalar)
23
22
21
ˆˆˆ
NML
kNjMiL
nn
nnnn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformación angular en el punto P (vectorial y escalar)
22231
22232
22221
2
222
321
2
2
ˆˆˆ2
NLNMML
kNjMiL
t
nst
nnnt
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones normales máximas
2
22
213
312
321
n
nn
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Deformaciones angulares máximas
22
22222
213
31
max
2321
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Circulo de Mohr para deformaciones
En el circulo de Mohr para el caso dedeformaciones, las coordenadas del punto Acorresponden a las componentes cartesianas( , /2) del vector s. Estas componentesestan relacionadas con las deformacionesprincipales y con los cosenos directores delvector normal.
1222
23
22
21
2223
222
221
NML
NML
NML
n
s
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2313
21
2
2
1232
13
2
2
3121
32
2
2
2
22
N
ML
Al resolver el sistema de ecuaciones anterior se obtiene:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Tomando, por ejemplo, la primera ecuación,podemos observar lo siguiente: como L2≥0 y(1-2)(1-3) > 0 entonces podemos decir que:
02 32
2
Análogamente se hace para las otras dosecuaciones, obteniéndose lo siguiente:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
221
221
2
231
231
2
232
232
2
222
222
222
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Centros de los círculos de Mohr para deformaciones
0,2
0,2
0,2
213
312
321
C
CC
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Radios de los círculos de Mohr para deformaciones
2
22
213
312
321
R
RR
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Círculos de Mohr para deformaciones
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto A
Se dibujan los tres círculos de Mohr, con los centros y radios dados por las ecuaciones anteriores.
Se mide el ángulo =arc cos(L) a partir de una vertical trazada por 1 y hacia la izquierda, se traza una recta con éste ángulo que corta las circunferencias 2 y 3 en Q2 y Q3.
Con centro en C1 se traza el arco Q2Q3.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Se mide el ángulo = arc cos(N) a partir de unavertical trazada por 3 y hacia la derecha, setraza una recta con este ángulo que corta a lascírculos 1 y 2 en los puntos S1 y S2.
Con centro en C3 se traza el arco S1S2.
Los dos arcos se interceptan en el punto “A”cuyas componentes son las deformacionesbuscadas.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformaciónPasos a seguir para obtener la ubicación del punto A
Como un chequeo de la precisión en el trabajo, semide el ángulo β=arccos(M) en cada lado de lavertical trazada por σ2, se cortan los círculos C1 yC3 en T1 y T3. Con centro en C2 y radio C2T1 setraza el arco T1AT3. Si el diagrama es preciso, lostres arcos deben encontrarse en un punto común(A).
Pasos a seguir para obtener la ubicación del punto A
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Solución gráfica
Q2
Q3
S1
S2A
n
t
s
Cambio unitario de volumenEl cambio unitario de volumen en un punto deun cuerpo sometido a un estado de esfuerzotriaxial se puede determinar considerando unelemento de volumen. El volumen original quetiene este elemento es Vo = dxdydz y elvolumen fianl esta dado por Vf = Lfx Lfy Lfzdonde:
)1()1(
)1()1(
)1()1(
0
0
0
zzfz
yyfy
xxfx
dxLL
dxLL
dxLL
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Las anteriores son las longitudes finales decada arista, de esta forma el volumen finalsería:
dxdydzV zyxf 111
dxdydzVVV zyxf 11110
Por lo tanto el cambio de volumen sería:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
cambio unitario de volumen
El cambio unitario de volumen o deformación volumétrica sería:
11110
zyxVV
10
JVV
zyx
Despreciando el producto de cantidades pequeñas:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
cambio unitario de volumen
Relación de Poisson
Cuando una pieza se somete a un esfuerzonormal de tensión en una dirección dada, en ladirección del esfuerzo se produce un alargamientoy en cada una de las direcciones perpendicularesaparece una contracción. Si la pieza se somete aun esfuerzo de compresión, sucede lo contrario,hay una contracción en dirección del esfuerzo yun alargamiento en cada una de las direccionesperpendiculares.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
A la dirección del esfuerzo se le llama axial, ya las direcciones perpendiculares se lesllama transversales. Se le da el nombre deRelación de Poisson () al cociente de ladeformación unitaria transversal y ladeformación unitaria axial
x
z
x
y
a
t
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
relación de Poisson
Dando a los alargamientos el signo positivo y alas contracciones un signo negativo tendríamos:
Esfuerzo a tracción en la dirección Ox
Esfuerzo a compresión en la dirección Ox
xzxy
xzxy
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
relación de Poisson
Módulo de Elasticidad
La relación entre el esfuerzo y la deformación en laregión elástica es una relación lineal. Estaidealización amplia y su generalización aplicable atodos los materiales se conoce como Ley deHooke (σ = E), que significa simplemente que elesfuerzo es directamente proporcional a ladeformación, donde la constante deproporcionalidad (E) es el módulo de elasticidad omódulo de Young.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
E
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
módulo de elasticidad
Módulo de Rigidez
Igualmente que para el módulo de elasticidad,se sabe que existe una relación lineal entre elesfuerzo tangencial o de corte y la deformaciónangular. Se llama Módulo de Rigidez alcociente del esfuerzo de corte y la deformaciónangular (G = /)
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
12EG
G
módulo de rigidez
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ley de Hooke en tres dimensiones Todo esfuerzo normal actuando en dos caras
opuestas de un elemento cúbico produce unadeformación longitudinal proporcional alesfuerzo aplicado y del mismo signo.
Dicho esfuerzo normal ocasiona al mismotiempo una deformación transversal de signoopuesto al esfuerzo aplicado, y cuya magnitudes una fracción de la deformación longitudinal.
Si en dos caras contiguas de un elementocúbico y en sus caras opuestas actúanesfuerzos tangenciales en equilibrio, se produceuna deformación angular, proporcional alesfuerzo tangencial actuante.
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Es decir:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzo σx σy σz
Ox σx/E -σy/E -σz/E
Oy -σx/E σy/E -σz/E
Oz -σx/E -σy/E σz/E
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
A los alargamientos se les ha dado un signopositivo y al acortamiento un signo negativo,entonces se tiene
Ecuaciones de deformaciones en función de esfuerzos
xzxzyxzz
yzyzzxyy
xyxyzyxx
EE
EE
EE
121
121
121
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
2111
2111
2111
zyxzz
zyxyy
zyxxx
EE
EE
EE
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Ecuaciones de esfuerzos en función de deformaciones
yxzz
zxyy
zyxx
E
E
E
1211
1211
1211
Otra forma de escribirlo sería:
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos cortantes
12
12
12
yzyzyz
xzxzxz
xyxyxy
EG
EG
EG
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Para hallar los esfuerzos principales a partir de las deformaciones principales se procede de la siguiente manera
2111321
EE i
i
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos principales en función de las deformaciones principales
Constante de Lame
211
E
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos en función de la constante de Lame
11
11
11
21
21
21
JGJE
JGJE
JGJE
zzz
yyy
xxx
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Esfuerzos principales en función de la constante de Lame
0
21
21
21
13133
12122
11111
yzxzxy
JGJE
JGJE
JGJE
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
Relación entre esfuerzos y deformaciones en el circulo de Mohr
Mecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
RosetasMecánica de materiales – Esfuerzo y deformación
θa
θb
θc
Ecuaciones de rosetas
ccxycycxc
bbxybybxb
aaxyayaxa
cossinsincos
cossinsincos
cossinsincos
22
22
22
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