TEMA 9 FUNCIONES ELEMENTALES

PUNTO 1 PUNTOS DE corte con los ejes y signo de

una función

• si en una función hay una simetría = es mas simple. ( solo habría que estudiar la mitad.

del eje de ordenadas .•Hay simetrías respecto: al origen de coordenadas.

SIM. RESPECTO AL EJE DE ORDENADAS

Es simétrica si: f(-X) = f(X) Simetría par.

EJEMPLO: f(X) = X² es par: → f(-X) = (-X)² = X² = f(X) FUNCION PAR

Y

X

[a,f(a)][-a, f(-a)]

o

SIM. RESPECTO AL ORIGEN DE COORD.

Simetría respecto al origen de coordenadas: f(-X) = -f(X) Simetría impar

EJEMPLO: f(X) = 1/X es impar. f(-X) = 1/-X = -1/X = -f (X) Sim. Impar

[-a,f(-a)]

[a,f(a)]

CARACTERÍSTICAS:

-DOMINIO: Todos los números reales.

-ASÍNTOTAS:

- no hay asíntota vertical (porque el dominio es todo R)

- no hay asíntota horizontal (porque siempre tienden a mas o a menos infinito)

- no hay asíntota oblicua si son de grado mayor que uno. (explicar )

-Es simétrica respecto a un eje vertical.

-Se expresa f(x)=ax2+bx+c

-Representación:

1.Vertice: -b

2a

2.Concavidad: a>0 es cóncava.

a<0 es convexa.

3.Corte eje x: igualando función a cero.

4.Corte eje y: y=c al ser f(0)=c

Una función racional es aquella que se obtiene al dividir dos polinomios. Si P y Q son funciones polinomiales, f es la función definida por:

DominioEl dominio lo forman todos los

números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

DiscontinuidadesLa función racional presenta

discontinuidad en los puntos que he quitado del dominio. Tendré que

estudiar los límites en esos puntos para saber qué tipo de discontinuidad tienen.

ASÍNTOTAS: las funciones racionales, pueden tener asíntotas de los

tres tipos posibles: vertical, horizontal y oblicua.Para hallar las asíntotas verticales, es necesario

calcular el límite de aquellos valores que hemos sacado del dominio. Si da ∞ tendré asíntota vertical

Por otro lado la asíntotas horizontales las hallaremos calculando el límite cuando “x” tiende a +∞ y a - ∞. De tal manera, que si el límite da como resultado un numero natural(k) habrá pues, una asíntota horizontal. Y las asíntotas oblicuas con el método ya estudiado

Las funciones racionales van a presentar asíntotas horizontales si el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador

Las funciones racionales van a presentar asíntotas oblicuas si el grado del numerador es de ungrado más que el grado del denominador

Si existen los límites: :

                                           

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua. Ejemplo:

                                                       

                                              es la asíntota oblicua.

y ax b y ax b

y ax b

Son las que contienen la variable “x” dentro de un signo radical.

Si el índice de la raíz es par, no son verdaderas funciones pues a cada valor de “x” del dominio corresponden dos valores de “y”, para que sean verdaderas funciones vamos a considerar que nos quedamos sólo con el resultado positivo de la raiz:

Si el índice de la raíz es impar, no hay ningún problema de este tipo

ax b 0 b

Dom(y) ,a

b,0a

0, b

•Se trata de una “función” continua cuyo dominio es la solución de la inecuación:

que es:

•Es simétrica con relación al eje X

•Corta al eje X en

y al eje Y no lo corta si “b” es negativo, pero si “b” es positivo lo corta en :

Esto sólo para el caso de polinomio de grado 1 dentro de la raíz

y 2x 4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 5 10

2x 4

2x 4

•Es continua•Corta al eje X en (2, 0)•No corta al eje YEs creciente y convexa

Dom(y) 2,

Ejemplo

* La función periódica: es la función en la que se repite de la misma forma un trozo de la función cada cierto tiempo fijo.

T

Una función periódica se estudia a trozos en un intervalo de amplitud “T”.

T

Una función periódica cumple la siguiente fórmula:

f ( x + T ) = f ( x )Siendo T el periodo

Las funciones periódicas no tienen límite en el infinito porque no se acercan a un valor concreto ni se van a infinito, siguen variando siempre de la misma manera

FUNCIÓN EXPONENCIAL

f(x)=ax

DOMINIO Y CONTINUIDAD TR y son continuas en él PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES eje y: punto (0,1), aº=1 eje x: no tiene solución, ax =0 SIGNO + en todo su dominio COMPORTAMIENTO EN varía dependiendo del EL INFINITO valor de la base

FUNCIÓN LOGARÍTMICA logax=y ay=x

DOMINIO Y CONTINUIDAD dominio (0,+&) PUNTOS DE CORTES CON LOS EJES eje x: punto (1,0)

COMPORTAMIENTO EN similar a las EL INFINITO exponenciales

Página web genial de exponencial, logarítmicas etc

http://personal.telefonica.terra.es/web/pq/funexp/index.htm

F(x)=sen x Sen (x+2π)= sen x periódica: T=2 π

• Representación: intervalo [0,2 π]

• Es continua

• Dominio: todo R

• Recorrido: [-1,1]

• Al ser periódica, no existe lim sen x

+/- ∞

• Función con simetría impar: sen(-x)= - sen x

Cos x = sen (x+ π /2) Su gráfica es como la del seno, pero desplazada π /2 unidades hacia su izquierda.

• Dominio: todo R

• Es continua

• Recorrido: [-1,1]

• Periódica: T = 2 π No existe lim cos x

+/- ∞• Función con simetría par: cos (-x)=cos x

Tg x = sen x / cos x.

• Indefinida cuando: cos x = 0, en los valores de la forma Xk= π /2 + k· π

• Dominio ( si k es un numero entero): Todo R – {Xk}

• Recorrido: Todo R

• Asintotas verticales: x = Xk= π /2 + k· π

• Periodo: T= π porque tg (x+ π) = sen(x+ π) / cos(x+ π)= - sen x/ - cos x= tg x

• Función impar: tg(-x)= - tg x

y= cosec x = 1/sen x Función cosecante:

Dominio: Dom(cosec(x))= R- {Kπ} / K Є Z

y= sec x = 1/cos x Función secante:Dominio: Dom(sec(x))=R- {(2K+1) π} /K Є Z Recorrido: R - (-1, 1) Paridad: sec x = sec(-x) [par]

Periodo: T=2 π Asintotas verticales en x= {(2K+1) π }

2

2/ K Є Z

Recorrido: R - (-1, 1) Paridad: cosec x = -cosec(-x) [impar]

Periodo: T=2 π Asintotas verticales en x=k π / K Є Z

y= ctg x = 1/tg x Función cotangente:

Dominio: Dom(ctg(x))= R-{K π } / K Є Z Recorrido: R Paridad: ctg x = - ctg(-x) [función impar]

periodo: T= π

Asíntotas verticales en rectas x=K π / K Є Z