tema 9 comparació de les mitjanes de dues …tema 9 selecció del mètode per a calcular se com hem...

TEMA 9

Comparació de les mitjanes de dues poblacions

Estadística Grau de Nutrició

Humana i Dietètica. Tema 9

Dep. Estadística i Inv. Operativa

Univ. de València



Comparació de dues poblacionsEn el tema anterior hem considerat l’anàlisi d’una mostra de dadesquantitatives per a fer inferència al respecte de la mitjana de la població de laqual s’havia obtés la mostra.

En moltes situacions pràctiques la investigació involucra la comparació dedues o més mostres obtingudes de diferents poblacions.

En aquest tema introduirem mètodes per a la comparació de dues mostresque ens permetran realitzar inferència al respecte d’alguns aspectesrellevants de les poblacions de les quals provenen.

En la primera part, considerem que les dues mostres s’han obtés de formaaleatòria i independent de les seues respectives poblacions. Les dades de laprimera mostra no influeixen en l’elecció de les dades de la segona(MOSTRES INDEPENDENTS).

En la segona part, considerem que per cada observació que s’ha pres de laprimera mostra, s’ha elegit una altra d’alguna forma relacionada ambl’anterior. Obtenint així un conjunt de parells, formats pels elements de laprimera i segona mostra (MOSTRES APARELLADES).



Esquema de la comparació

Població 1 Mostra 1 Població 2

m1 mitjana de la

variable Y sobre la

població 1

m2 mitjana de la

variable Y sobre tota

la població 2

Mostra 2

Y : Variable quantitativa d'interès

Objectiu: Comparar les mitjanes poblacionals m1 i m2 o, equivalentment, estudiar la diferència m1 – m2.

Dues mostres independentsVolem comparar el valor d’una mateixa variable en dos grups (poblacions) diferents. Les unitats experimentals de les dues mostres no tenen cap relació entre elles, i direm per tant que son mostres independents.Exemple:Volem estudiar l’efecte d’un medicament sobre la tensió arterial d’una població de pacients. Seleccionem una mostra aleatòria de pacients als quals donarem un placebo i una altra als que donarem el medicament. Les dues mostres són independents (independents dins de les mostres i entre sí).

Dues mostres aparelladesVolem estudiar l’efecte d’un tractament comparant la variable d’interès abans i després de seguir-ho. Tenim un conjunt d’unitats experimentals amb un parell d’observacions relacionades, cadascuna d’una mostra.Exemple:Volem estudiar l’efecte d’una dieta. Agafem una mostra de individus amb sobrepès als quals pesem al principi tenint així una mostra amb els pesos dels individus sense dieta. Després de seguir la dieta, tornem a pesar als mateixos i obtenim una altra mostra. Les dues mostres seleccionades són mostres dependents, ja que cada valor de la segona mostra depèn del valor corresponent de la primera mostra, al tractar-se del mateix individu.

El tema té dues parts diferenciades, segons la procedència de les dues mostres que estem analitzant.



Mostres independents i preguntes interessants

m1

s1

m2

s2

1

11

12

1n

y

y

y

Població 2Població 1

1 1y s

2 2y sEntre quins valors, amb una confiança alta, estarà la diferència de les mitjanes poblacionals?

Interval de confiança per a µ1-µ2

Són les dades compatibles amb la hipòtesi que les mitjanes de les dues poblacions són iguals?

Contrast d’hipòtesis on

H0: µ1= µ2

2

21

22

2n

y

y

y



Homes Dones

Mitjana 45,8 40,6

SD 2,8 2,9

EXEMPLE 9.1: HEMATÒCRIT EN HOMES I DONES

El nivell de l’hematòcrit és una mesura de la concentració de cèl·lules roges en la sang. A

continuació, es mostren les distribucions de freqüències relatives dels valors de l’hematòcrit

per a dues mostres de joves de 17 anys, 489 homes i 469 dones, a més de les mitjanes i

desviacions típiques d’ambdues mostres.

Siguen Y1 = nivell d’hematòcrit en homes de 17 anys.

Y2 = nivell d’hematòcrit en dones de 17 anys.

Objectiu: Estudiar les possibles diferències d’hematòcrit en les dues poblacions (m1 i m2).

Els homes tendeixen a assolir nivells majors

que les dones, encara que les dues

distribucions s’hi superposen. Tenen la DT

quasi igual i forma semblant.

Estudi de camp

Hematòcrit (%)

Hematòcrit (%)

(a) Homes

(b) Dones



Consum de sucre (mg)

Consum de sucre (mg)

control pargilina

Mitjana 14,9 46,5

SD 5,4 11,7

EXEMPLE 9.2: LA PARGILINA I EL CONSUM DE SUCRE

Es va fer un estudi per a determinar l’efecte de la droga psicoactiva pargilina sobre la conducta

alimentària de la moscarda negra Phormia regina. La variable resposta era la quantitat de solució

de sucre que una mosca bevia en 30 minuts. S’hi van utilitzar dos grups separats de mosques: un

grup de 905 mosques injectades amb pargilina, i un grup control de 900 mosques injectades amb

una solució salina. Considerem:

X = quantitat de solució de sucre que una mosca injectada amb pargilina beu en 30 minuts.

Y = quantitat de solució de sucre que una mosca injectada amb solució salina beu en 30 minuts.

Objectiu: Determinar l’efecte de la droga psicoactiva pargilina sobre la conducta alimentària de la

moscarda negra Phormia regina.

La distribució amb pargilina es troba

desplaçada a la dreta i és més dispersa, té

mitjana i desviació típica (SD) majors que

en el grup control.

Estudi experimental



EXEMPLE 9.3: CREIXEMENT DE L’ENCISAM

Ensalada Bibb

3,06 1,31

2,78 1,17

2,87 1,72

3,52 1,20

3,81 1,55

3,60 1,53

3,30

2,77

3,62

y 3,259 1,413

s 0,400 0,220

La diferència entre les mitjanes de les mostres és:

y1 y2 = 3,259 1,413 = 1,846 g

En un estudi del creixement de l’encisam es van alimentar plantes de dues varietats

diferents durant 16 dies en un entorn controlat. S’hi mostra el pes escorregut total de les

fulles de 9 plantes de la varietat «ensalada» i 6 plantes de la varietat «bibb».

Aquesta diferència entre les mitjanes mostrals és una

estimació puntual de la diferència entre les mitjanes

poblacionals. Podem dir per tant que m1–m2 estarà al

voltant de 1,846 g.

Sabem que l’estimació estarà subjecta a un error de

mostreig que ens indicarà la precisió de l’estimació.

Aquest error depèn, com en el tema anterior, de la

variabilitat en les poblacions i de la grandària de les

dues mostres.

1 2



Error estàndard de la diferència de mitjanes mostrals

El càlcul de l’error estàndard associat a la diferència de mitjanes mostrals

independents: , que representarem per depèn de si es pot

assumir o no la hipòtesi que les desviacions típiques poblacionals, de les dues

poblacions, són o no iguals:

Si σ1 ≠ σ2, aleshores s1 serà una estimació de σ1 i s2 serà una estimació

de σ2, i utilitzarem el mètode de càlcul separat.

Si σ1= σ2= σ, aleshores s1 i s2 són estimacions d’un mateix paràmetre σ, i

poden, per tant, combinar-se per obtindre una millor estimació, utilitzarem en

aquest cas el mètode de càlcul combinat.

1 2( )y ySE 1 2,y y

En les pròximes transparències veurem el càlculs necessaris per a trobar l’error estàndard

en ambdós casos.



Mètode separat per al càlcul del SE

1 2

2 2

1 2( )

1 2

0,15994 0,084350,161

9 6y y

s sSE

n n = = =

Tenim que:1 2 1 2

2 22 21 2

( )

1 2

y y y y

s sSE SE SE

n n = =

Si no és possible assumir la igualtat de les variàncies de les dues poblacions, calculem

l’error estàndard de la diferència de mitjanes mitjançant la següent expressió:

1 2

2 2

1 2( )

1 2

y y

s sSE

n n =

2 2

2 21 1

1 22 2

2 2

estimació de i

estimació de

s

s

ss s

s

1 2( )y ySE

2ySE

1ySE

0,0900,133SE

69n

0,048350,15994s2

BibbEnsalada

1 2



Mètode combinat per al càlcul del SE

1 2( )

1 10,11702 0,180

9 6y ySE

= =

Si és possible assumir la igualtat de les variàncies de les dues poblacions, podem modificar

el càlcul anterior per a combinar les dades de les dues mostres i obtenir així una estimació

de la variància comuna amb més precisió que les donades per i .

2 22 21 1 2 2

1 2

( 1) ( 1) millor estimació de

2c

n s n ss

n ns

=

1 2

2 22

( )

1 2 1 2

1 1c cy y c

s sSE s

n n n n

= =

2 (9 1)0,15994 (6 1)0,04835 1,27949 0,241730,11702

9 6 2 13cs

= = =

2

cs2

1s2

2s

En l’exemple 9.3, suposant que 1 2s s=

Podem observar que els dos mètodes aplicatsal mateix exemple donen resultats diferents.



Resum del càlcul de SE: Mostres Independents

Formulari

Variància combinada

1 2 1 2Si o si el mètode combinat i el separat coincide

és més senzill

ixen,

amb utilitzarla qual ecosa, .l mètode separat

n n s s= =

Error estàndard de

Mètode de càlcul no combinat:

Mètode de càlcul combinat:

1 2( ) :y y

La mostra 1 té grandària n1 , la seua mitjana és i la seua desviació típica és s1.

La mostra 2 té grandària n2 , la seua mitjana és i la seua desviació típica és s2.



Selecció del mètode per a calcular SE

Com hem vist, si sabem que les desviacions típiques de les dues poblacions a analitzar són iguals seleccionem el mètode combinat, i en cas contrari el mètode no combinat.

Quan no ho sabem, una regla empírica per a determinar si emprem un mètode o l’altre és la següent:

• Si les desviacions típiques mostrals de les dues poblacions són molt diferents, suposarem que les desviacions típiques poblacionals també són diferents. En la pràctica, considerarem que són diferents si:

min

2 Mètode separatmàxs

s

• Si les desviacions típiques mostrals de les dues poblacions són paregudes, suposarem que les desviacions típiques poblacionals també ho són. En la pràctica considerarem que són similars si:

combinat Mètode 2min

s

smàx

La regla empírica ens diu en l’exemple 9.3 que emprem el Mètode Combinat ja que:smàx =0.400 < 2smín=20.220



Resolució amb SPSS de l’exemple 9.3

Amb més esforç de càlcul, l’elecció

del mètode es pren mitjançant un

contrast d’hipòtesis, anomenat

“Prova de Levene”.

0 1 2

1 1 2

:

:

H

H

s s

s s

=

SPSS sempre resol la prova de Levene i nosaltres

hem de prendre la decisió del mètode a emprar.

Prueba de muestras independientes

4,999 ,044 10,237 13 ,000 1,84556 ,18029 1,45606 2,23505

11,484 12,716 ,000 1,84556 ,16071 1,49757 2,19354

Se han asumido

varianzas iguales

No se han asumido

varianzas iguales

Pes escorregut

F Sig.

Prueba de Levene

para la igualdad de

varianzas

t gl Sig. (bilateral)

Diferenc ia

de medias

Error típ. de

la diferencia Inferior Superior

95% Intervalo de

confianza para la

diferenc ia

Prueba T para la igualdad de medias

Un valor P per davall de 0,05 ens indica que hauríem de suposar desviacions típiques diferents i

emprar el mètode separat.

En aquest cas el resultat per a la

igualtat de mitjanes és el mateix.

Per a l’exemple 9.3



EXEMPLE 9.4: EFECTES DEL TOLUÈ EN EL CERVELL

L’abús de substàncies que contenen toluè (com perexemple, la cola) pot produir símptomes neurològicsdiversos. En una investigació sobre el mecanismed’aquests efectes tòxics, es varen mesurar lesconcentracions de diversos productes químics als cervellsde rates que havien estat exposades a una atmosfera detoluè i també de rates que no hi havien estat exposades.Les concentracions de norepinefrina (NE) a la regiómedul·lar del cervell en sis rates exposades i en cincrates control són les següents:

Toluè Control

543 535

523 385

431 502

635 412

564 387

549

y 540,8 444,2

s 66,1 69,6

n 6 5

Y1= [] de norepinefrina (NE) a la regió medul·lar del cervell en rates exposades.

Y2= [] concentracions de norepinefrina (NE) a la regió medul·lar del cervell en rates NO exposades (CONTROL).

1 1 1~ ( , )Y N m s

2 2 2~ ( , )Y N m s

Com en aquest cas tenim que smàx/smín= 69,6/66,1 = 1,05 < 2, no rebutgem la hipòtesi d’igualtat

de variàncies de les dues poblacions (s12 = s2

2), i per tant, fem servir el mètode combinat per al

càlcul de l’error estàndard de la diferència de les mitjanes mostrals:2 2 2 2

2 1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1) (6 1)66,1 (5 1)69,6 5 4369,21 4 4844,164580,30

2 6 5 2 9c

n s n ss

n n

= = = =

1 2

2

( )

1 2

1 1 1 14580,30 40,99

6 5y y cSE s

n n

= = =



Interval de confiança per a la diferència de mitjanes poblacionals

Una forma de comparar dues mostres és construir un interval de confiança per a la diferència de mitjanes de les dues poblacions, és a dir, un interval de

confiança per a m1–m2.

1 1 2( )IC m m

L’expressió d’aquest interval de confiança és completament anàloga a l’obtinguda per a una mostra, és a dir:

1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 1 2 , 2 ( ) 1 2 , 2 ( )( ) [( ) , ( ) ]n n y y n n y yIC y y t SE y y t SE m m =

L’error estàndard SE, depèn del mètode de càlcul adient a cada cas (combinat o separat). Podem veure que el quantil t de la distribució t es determina amb n1+n2-2 graus de llibertat.

1 2.95 1 2 1 2 0.05 ( )

0.05 1 2

( ) : ( )

és el quantil d'ordre 0.05 d'una distribució amb + 2 .

y yIC y y t SE

t t n n gl

m m

Els intervals de confiança amb altres coeficients (com ara 90%, 99%, etc…)es construeixen de forma semblant canviant els quantils corresponents(t0.10, t0.01, etc…).



OBTENCIÓ D’UN INTERVAL DE CONFIANÇA EN L’EXEMPLE 9.4

1 2( ) 40,99y ySE =

Ja havíem calculat el valor de l’error estàndard per a la diferència demitjanes, utilitzant, en aquest cas, el mètode combinat.

El nombre de graus de llibertat serà 6+5-2 = 9

Buscant en la taula de la t, obtenim el

quantil t0.05 = 2,262

1 2 1 2 1 2 1 21 2 0.05, 2 ( ) 1 2 0.05, 2 (.95 1 )2 [( ) ,( ) ]

[96,6 2,262 40,99 ,

( )

[3,9 , 189,3 96,6 2,262 40, 9] ]9

n n y y n n y yy y t SE y y t SEIC m m = =

= =

Per tant, la diferència mitjana entre les concentracions de NE en rates exposades i no exposades a toluè està entre 3,9 i 189,3, és a dir, les rates exposades a toluè superen en mitjana a les no exposades entre 3,9 i 189,3 unitats.

Fent operacions ...

CONCLUSIÓ



Exemple 9.5: Construcció d’un Interval de Confiança (1)

Una tècnica habitual en alguns estudis sobre el potencial cancerigen d’algunes substàncies consisteix

en pintar amb aquestes substàncies la pell de ratolins i investigar-ne l’efecte causat. Amb aquesta

tècnica va sorgir, no obstant això, el dubte sobre si els ratolins podrien rebre dosis addicionals de les

substàncies en estudi quan llepen o mosseguen la pell dels seus companys de gàbia. Per a estudiar

aquesta qüestió, es va aplicar el compost benzopirè a l’esquena de deu ratolins: cinc d’ells es van

col·locar en gàbies individuals, i els altres cinc es van posar tots junts a la mateixa gàbia. Després de

48 hores, es va determinar la concentració del compost al teixit estomacal de cada ratolí.

Els resultats (en nmol/g) van ser els següents:

En gàbies individuals: 3,3 2,4 2,5 3,3 2,4

En gàbia conjunta: 3,9 4,1 4,8 3,9 3,4

Construïu intervals de confiança al 95% i al 80% per a l’excés de dosi obtinguda en els ratolins allotjats

conjuntament respecte als ratolins allotjats en gàbies individuals.

Siga m1 = [] del benzopirè al teixit estomacal dels ratolins en gàbies individuals

i m2 = [] del benzopirè al teixit estomacal dels ratolins en gàbies conjuntes

Per a la mostra de n1=5 ratolins en gàbies individuals, tenim:

2 1

2 2

1 2( )

1 2

0,227 0,2570,311

5 5y y

s sSE

n n = = =

2

1 12,78 0,227y s= =

Per a la mostra de n2=5 ratolins en gàbia conjunta, tenim: 2

2 24,02 0,257y s= =

En aquest cas, com la grandària mostral és la mateixa a les dues mostres, l’error estàndard

obtingut amb el mètode combinat i separat coincideixen.



Exemple 9.5: Construcció d’un Interval de Confiança (2)

1 2 2 1 1 2 2 10.95 2 1 2 1 0.05, 2 ( ) 2 1 0.05, 2 ( )( ) [( ) ,( ) ]

[(4,02 2 78) 2,306 0,311 (4,02 2 78) 2,306 0,311] [0,523 ,1,957]

n n y y n n y yIC y y t SE y y t SE

- , , - ,

m m = =

= =

L’interval de confiança al 80% per a l’excés de dosi obtinguda en els ratolins allotjats en una gàbia respecte als ratolins allotjats en gàbies

individuals (m2 m1) seria:

1 2 2 1 1 2 2 10.80 2 1 2 1 0.20, 2 ( ) 2 1 0.20, 2 ( )( ) [( ) ,( ) ]

[(4,02 2 78) 1,397 0 311 (4,02 2 78) 1,397 0,311] [0,805 ,1,675]

n n y y n n y yIC y y t SE y y t SE

- , . , - ,

m m = =

= =

L’interval de confiança al 95% per a l’excés de dosi obtinguda en els ratolins allotjats en una gàbia respecte als ratolins allotjats en gàbies

individuals (m2 m1) seria:



Contrast d’hipòtesis per a la diferència de mitjanes: Test t

Als contrasts d’hipòtesis sobre les mitjanes de dues poblacions plantejarem com hipòtesi nul·la la igualtat de les mitjanes de les dues poblacions, i com hipòtesi alternativa la no igualtat. A partir de les dades observades, hem de decidir si les dades son compatibles o no amb l’hipòtesi nul·la.A un contrast no direccional (o bilateral) (o de dues cues), les hipòtesis del contrast seran:

0 1 2

1 1 2

:

:

H

H

m m

m m

=

o equivalentment

0 1 2

1 1 2

: 0

: 0

H

H

m m

m m

=

L’estadístic del test t és:

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) ( )

( ) 0s

y y y y

y y y yt

SE SE

= =

Que sota H0 segueix una distribució tamb n1+n2-2 gl.

Utilitzant el valor de ts amb la seua distribució de referència, obtindrem el valor P associat a les dades.

Formulari

Test t:

Hipòtesis:

Estadístic del test:

p-valor: àrea de la cua sota la corba de la distribució t-Student amb graus de

llibertat, en la direcció (o direccions) especificada (especificades) per la hipòtesi alternativa

.

Decisió: Rebutjar quan - sent el nivell de significativitat del test.



EXEMPLE 9.4 (cont.1)

La diferència que s’ha observat entre lesmitjanes mostrals, indica un fenomenbiològic real (l’efecte del toluè), o reflecteixtan sols la variabilitat a causa de l’atzar?

A la mostra estudiada tenim una diferència en les []-mitjanes de norepinefrina (NE) a la regió medul·lar del cervell de les rates exposades al toluè i les rates control de 96,6 unitats:

1 2 540,8 444,2 96,6y y = =

Ací ens plantegem si la diferència entre les mitjanes poblacionals de les rates amb toluè i les rates control indica un efecte real significatiu, o pel contrari, és fruit únicament de l’atzar i per tant les mitjanes poblacionals poden ser iguals. Per a respondre a aquesta qüestió, anem a plantejar el següent contrast d’hipòtesis

0 1 2

1 1 2

:

:

H

H

m m

m m

=

L’estadístic del test t és:

Sota la H0, la distribució de ts és una t amb n1+n2-2=9 gl.Amb la taula de quantils de la t obtenim

1 2

1 2

( )

540,8 444,22,357

40,99s

y y

y yt

SE

= = =

on hem calculat SE amb el mètode combinat

Per tant, amb un nivell de significativitat = 0,05 podem concloure que el

toluè augmenta la []-NE a la medul·la de les rates.

0.05 0.022,262 2,357 2,821t t= = 0,02 < P < 0,05



EXEMPLE 9.4 (cont.2)

Com es tracta d’un contrast d'hipòtesis bilateral, també podíem haver-ho resolt mitjançant l’interval de confiança calculat en la diapositiva nº 19.

0 1 2

1 1 2

: 0

: 0

H

H

m m

m m

=

Per exemple, fixem =0,05. Havíem calculat l’interval de confiança al 95% per

a la diferència de mitjanes0.95 1 2( ) [3,9 ,189,3]IC m m =

Estadísticos de grupo

6 540,83 66,116 26,992

5 444,20 69,640 31,144

Grup

Toluè

Control

Concentració de

Norepinefrina

N Media

Desviación

típ.

Error típ. de

la media

Prueba de muestras inde pendientes

,550 ,477 2,357 9 ,043 96,633 40,997 3,891 189,376

2,345 8,451 ,045 96,633 41,213 2,472 190,794

Se han asumido

varianzas iguales

No se han asumido

varianzas iguales

Concentrac ió de

Norepinefrina

F Sig.

Prueba de Levene

para la igualdad de

varianzas

t gl Sig. (bilateral)

Diferencia

de medias

Error t íp. de

la diferencia Inferior Superior

95% Intervalo de

confianza para la

diferencia

Prueba T para la igualdad de medias

Com el valor µ0=0 no pertany a aquest interval, Rebutgem la hipòtesi nul·la i per tant rebutgem que les dues mitjanes són iguals amb = 0,05. Podem dir, per tant, que la concentració mitjana de NE de les rates amb toluè és significativament major que les del grup de control.

Eixida del SPSS



Tests unilaterals ( o d’una cua): Test t

En alguns estudis: Se sap des del principi que la desviació respecte a la hipòtesi nul·la H0 només

pot donar-se en una direcció. Aleshores només ens interessa rebutjar H0 si la desviació es dona en un sentit

determinat (el que marca H1). La hipòtesi alternativa H1 és direccional i utilitzarem un test unilateral (o d’una cua) per a presentar les conclusions.

Comprovar la direccionalitat• Si les dades no aporten evidència a favor de H1, No Rebutgem H0 i parem el test.• Si les dades apunten en la mateixa direcció que H1, aleshores fem els càlculs com si fora un test bilateral, però dividim per 2 el valor P que obtenim o que ens dona el SPSS (perquè considerem només una cua).

PROCEDIMENT PER ALS CONTRASTS UNILATERALS

Com ja varem veure al tema anterior, per a resoldre un test direccional hem de fer la següent modificació del procediment general:



EXEMPLE 9.5

Es va estudiar l’eficàcia d’un medicament antineuràlgic en 50 dones que patien rampes uterines després del part. Es van elegir aleatòriament 25 d’aquestes dones i se les va administrar el medicament, i a les 25 restants se les va administrar un placebo, sense coneixement de les pacients. La milloria experimentada es va mesurar en una escala entre 0 (cap milloria en absolut) i 56 (milloria completa durant 8 hores). La següent taula ens proporciona un resum dels resultats obtinguts:

Tractament Nombre de dones Grau de milloriaMitjana Desv. típica

Medicament 25 31,96 12,05Placebo 25 25,32 13,78

a) Contrasteu l’evidència que el medicament és eficaç mitjançant un test t al 5%.b) Calculeu el valor P que correspon a aquestes dades. c) Quina seria la resposta als dos apartats anteriors si s’utilitzara un test no direccional?

a) Volem contrastar si el medicament és eficaç, és a dir, si la milloria mitjana amb el medicament

m1 és major que la milloria mitjana (per l’efecte placebo) m2.

0 1 2

1 1 2

:

:

H

H

m m

m m

=

1 2n n= 1 2

2 2 2 2

1 2( )

1 2

12,05 13,783,661

25 25y y

s sSE

n n = = =

L’estadístic del test t és:1 2

1 2

( )

s

y y

y yt

SE

= amb

1 2

1 2

25

31,96 25,32

n n

y y

= =

= =

Com , les dades apunten en la direcció de la hipòtesi alternativa, i ara hem de

mesurar si aquesta diferència és significativa. 21 yy



EXEMPLE 9.5 (cont.)

b) ts sota la hipòtesi nul·la segueix una t amb n1+n2-2 = 48 gl. Amb les taules trobem t0.10=1,684 < 1,814 < 2,021= t0.05

Per tant,0,05 < P(dues cues) < 0,10 0,025 < P (una cua) < 0,05

1 2

1 2

( )

31,96 25,321,814

3,661s

y y

y yt

SE

= = =

Aleshores, considerant un nivell de significativitat de = 0,05, el valor P associat

a la prova anterior és menor que 0,05. Per tant, podem Rebutjar H0 i afirmar que l’antineuràlgic és eficaç.

Per tant:

c) Si considerem un test bidireccional0 1 2

1 1 2

:

:

H

H

m m

m m

=

Tenim 0,05 < P < 0,10. Per tant, com el valor P ara és major que = 0,05, no

podem rebutjar la hipòtesi nul·la amb aquest nivell de significació i per tant no hi ha prou evidència a favor de l’eficàcia de l’antineuràlgic.



Condicions per a la validesa del test t i IC

Condicions sobre el disseny de l’experiment• Les dades han de ser mostres aleatòries de poblacions suficientment grans (la grandària mostral no pot superar el 10% de la població).• Les dues mostres han de ser independents entre sí.

Condicions sobre les distribucions de les poblacions• Si les grandàries de les mostres són petites, les distribucions de les poblacions han de ser aproximadament normals i amb la mateixa desviació típica (fent servir per tant el mètode combinat per al càlcul del SE). • Si les grandàries de les mostres son suficientment grans (n1, n2 30), podem utilitzar el test t encara que no tinguem normalitat.

MOSTRES INDEPENDENTS

COMENTARI

Quan alguna de les condicions de validesa es viola, cal utilitzar unaltre test, per exemple el test de Mann-Whitney que no exigeixnormalitat i les mostres poden ser més menudes. D’altra banda, siles mostres són petites cal fer prèviament un contrast de normalitata les dades per veure si es pot emprar el test t, això es pot veureen la Pràctica 4.



Mostres aparellades

• En un disseny aparellat, les observacions (y1i, y2i) es presenten per

parelles; les unitats observacionals d’un parell estan relacionades entre sid’alguna forma. Per tant els dos elements del parell tenen alguna cosa en comú(sexe, nivell d’estudis, edat, besons,…).

• Un cas clar d’aparellament, i en general molt efectiu, consisteix en prendre

dues observacions de la mateixa unitat observacional (abans i després d’algunevent), els elements de cada parell estan “enllaçats” pel fet de ser dades delmateix individu.

• El disseny aparellat, si està ben realitzat, permet disminuir l’error

mostral respecte al corresponent disseny de mostres independents,augmentant d’aquesta manera la precisió de les estimacions sense haverd’augmentar la grandària de les mostres.

Els estudis amb mostres aparellades són molt comuns, quan són possibles, aixòdisminueix l’error estàndard i també la variabilitat intrínseca quan es treballaamb mostres independents.



Mostres aparellades

m1

s1

m2

s211 21

12 22

1 2

( , )

( , )

( , )n n

y y

y y

y y


En aquest cas elproblema es redueix aestudiar la mostra de lesdiferències i aplicar elque ja sabem per a unamostra.

1 11 21

2 12 22

1 2n n n

d y y

d y y

d y y

=

=

=

1 2

2 2

1

1

1

n

d i

i

d

d

d y y

s d ndn

sSE

n

=

=

=

=



Exemple 9.6: Regeneració de cèl·lules nerviosesAlguns tipus de cèl·lules nervioses poden regenerar una part de la cèl·lula que ha estat amputada. En un estudi, es van prendre mides sobre els nervis de la medul·la espinal en mones rhesus. Els nervis del costat esquerre de la medul·la van ser seccionats, mentre que els nervis del costat dret es van mantenir intactes. Durant la regeneració, es mesurà el contingut de fosfat de creatina (FC) en ambdues parts de la medul·la espinal. La taula següent, mostra les dades del costat dret (control) X i les del costat esquerre (regeneratiu)Y. Les unitats de mesura són mg de FC per 100 g de teixit. Anem a construir un interval de confiança al 95% per a la mitjana de la diferència X-Y.

Costat dret( Control)

X16,34,8

10,914,216,39,9

29,222,4

15,507,61

Costat esquerre(Regeneratiu)

Y11,53,6

12,56,3

15,28,1

16,613,1

10,864,49

Animal

12345678

MitjanaDT

d = X–Y4,81,2

–1,67,91,11,8

12,69,3

4,644,89

Mitjana de les diferències 1 215,50 10,86 4,64d y y= = =

SE de la mitjana de

les diferències

4,891,727

8

d

d

d

sSE

n= = =

Aleshores, l’interval de confiança al 95% per a la mitjana de la diferència vindria donat per

.95 1,0.05 1,0.05( ) ,

4,64 2,365 1,727,4,64 2,365 1,727

[0,56 , 8,72]

d n nd dI d t SE d t SEm

= =

= =

=Aquest interval ens mostra què, amb una confiança del 95%, la mitjana corresponent al costat de control és major que la mitjana corresponent al costat regeneratiu (entre 0,56 i 8,72) mg de FC/100 g.

El quantil de la t s’ha obtingut amb 7 gl.



Exemple 9.6: Resolució d’un Contrast d’Hipòtesis

4,642,69

1,727s

d

dt

SE= = =

Volem investigar ara si hi ha diferències significatives en el contingut de FC a la medul·la espinal

entre el teixit control i el regeneratiu. El plantejament estadístic del problema seria:

H0: El valor mitjà de FC és el mateix en el teixit control i en el regeneratiu.

H1: El valor mitjà de FC és diferent en el teixit control i en el regeneratiu.

Siga md = mX – mY la diferència entre les mitjanes poblacionals del dos grups, per simplificar

suposarem que X i Y les hem agafades de manera que . El contrast anterior és

equivalent al contrast: H0: md = 0 vs. H1: md ≠ 0

Per a resoldre’l amb un nivell de significativitat = 0,05, apliquem com abans les tècniques

vistes al Tema 8, ja que tenim dades d’una mostra (la de diferències observades). L’estadístic

del contrast seria:

Siga mX el valor mitjà de FC al teixit control i mY al teixit

regeneratiu, el contrast anterior seria, en termes

d’aquests paràmetres:

que sota H0 segueix una distribució t amb nd-1=8-1=7 gl. Per tant

t0.05 = 2,365 < 2,69 < 2,998 = t0,02 0,02 < P < 0,05

Aleshores, amb les dades anteriors Rebutgem H0 i concloem que existeixen diferències

significatives entre els dos costats, sent major el valor mitjà de FC en el teixit control. Aquesta

conclusió era la mateixa que teníem amb l’interval de confiança al 95% anterior, al qual no pertanyia el valor nul (o de prova) md= 0.

H0: mX = mY

H1: mX ≠ mY

0d x y=



Condicions per a la validesa del test t i IC

Com l’estudi de les mostres aparellades es redueix al d’una mostra (la formada per les diferències) , és aquesta mostra la que ha de complir les condicions donades en el Tema 8.

Cas de no complir alguna, caldria utilitzar un altre test alternatiu com són: El test dels signes o el test de rangs signats de Wilcoxon.

MOSTRES APARELLADES



Mètodes no paramètrics

De vegades l’assumpció de Normalitat de les poblacions no es pot assolir i a més a més podem tindre poques observacions o amb incertesa, amb la impossibilitat d’aplicar el Teorema del Límit Central. Per a resoldre el problema s’han desenvolupat mètodes no paramètrics, els quals no es centren en paràmetres com la mitjana. Alguns noms ja han aparegut en aquest dos últims temes com són: El Test de Mann-Whitney i el Test dels Signes, anem a veure’ls amb l’ajuda d’un programa estadístic.



Test de Mann-WhitneyEs tracta d’un test per a comparar Mostres Independents. Quan no podem admetre la normalitat de les distribucions i alguna de les grandàries mostrals són petites (n<30), no és correcte utilitzar el test de la t. En aquest cas utilitzarem el test de Mann-Whitney per a comparar les dues poblacions.Les hipòtesis del contrast són:

H0: Les distribucions poblacionals d’on venen Y1 i Y2 coincideixen.

H1: Les distribucions poblacionals d’on venen Y1 i Y2 són diferents (hipòtesi no direccional).

H1: La dist. pobl. de Y1 tendeix a produir valors més grans que la de Y2 (hip.dir. dreta).

H1: La dist. pobl. de Y1 tendeix a produir valors més menuts que la de Y2 (hip.dir. esquerra).

2

21

22

2n

y

y

y1

11

12

1n

y

y

y


Els paràmetres poblacionals no

intervenen



Test de Mann-WhitneyEl test de Mann-Whitney no suposa cap distribució concreta en les poblacions d’on provenen les mostres Y1 i Y2, què poden ser tant distribucions discretes com continues, i no és per tant necessari que siga una distribució normal. El seu caràcter no paramètric es deu a que no utilitza les estimacions de cap paràmetre de les poblacions, sinó únicament les posicions relatives de les dades de les mostres.

El test de Mann-Whitney consta del següents passos:

1. Ordenar les dades de les mostres en ordre creixent.

2. Determinar els valors dels comptadors K1 i K2, de la forma següent:

• K1: Per cada observació en Y1, comptem el nombre d’observacions en Y2 què són menors. Cada empat compta 0.5.

• K2: Per cada observació en Y2, comptem el nombre d’observacions en Y1 què són menors. Cada empat compta 0.5.

• Si K1 i K2 s’han calculat bé hauria de complir-se que K1+K2 = n1 n2

3. Calcular el valor de l’estadístic Us=màx(K1,K2). Valors grans de Us representen mostres ben separades.

4. Obtindre el valor P consultant les taules del test de Mann-Whitney agafant n=màx(n1,n2) i n’=mín(n1,n2).



Exemple 9.7: Ventilació del sòlLa ventilació del sòl és una mesura de l’activitat microbiana en el sòl, la qual afecta el creixement de les plantes. En un estudi es van agafar substrats de sòl de dues localitzacions en un bosc:

1) En una àrea oberta en el bosc (localització oberta) .

2) En una zona pròxima que estava plena d’arbres en ple creixement (localització creixement).

Es va mesurar la quantitat de CO2 emesa per cada substrat (en mol CO2/g substrat/hr):

creixement oberta

17 20 170 315 22 190 64 22 29 13 16 15 18 14 6

H0: Les àrees creixement i oberta no difereixen respecte a la ventilació del sòl.

H1: Les taxes de ventilació tendeixen a ser majors en l’àrea creixement que en l’oberta.

Ordenem les dades de cada mostra i calculem K1 i K2.

creixement: 17 20 22 64 170 190 315

oberta: 6 13 14 15 16 18 22 29

K1 = 5 + 6 + 6,5 + 8 + 8 + 8 + 8 = 49,5

K2 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 2,5 + 3= 6,5

Observem que K1+K2=56

coincideix amb n1 n2 = 7 8

Com K1 > K2 les dades apunten en la direcció de H1.



Exemple 9.7: Ventilació del sòl (cont.)En aquest cas el valor del estadístic del test Us = màx(49,5; 6,5) = 49,5

Per a determinar el valor P consultem la taula del test de Mann-Whitney amb

n = “grandària mostral màxima” i n’ = “grandària mostral mínima”. En el nostre exemple

n = 8 , n’ = 7.Probabilidad de cola nominal

n n' ,20 ,10 ,05 ,02 ,01 ## ,001

3 2 6

3 8 9

8 2 14 15 16

3 19 21 22 24

4 25 27 28 30 31

5 30 32 34 36 38 40

6 35 38 40 42 44 47 48

7 40 43 46 49 50 54 55

8 45 49 51 55 57 60 62

9 1 9

2 16 17 18

3 22 23 25 26 27

Per tant, 0.005 < P < 0.01 (hem dividit per 2 les capçaleres ja que la taula dóna probabilitats de 2 cues).

En conseqüència Rebutgem H0, és a dir “La taxa de ventilació és significativament major en àrees obertes que en àrees de creixement”.

Valor P donat pel SPSS 0.013 (bilateral) què concorda amb

el calculat a mà.



Test dels signesEl test dels signes s’empra per a mostres aparellades. Igual que el test de Mann-Whitney es traca d’un test no paramètric i no suposa cap distribució concreta en les poblacions d’on provenen les mostres Y1 i Y2, què poden ser tant distribucions discretes com continues i fins i tot dades categòriques ordinals, i no és per tant necessari que siga una distribució normal.

El test dels signes es basa en el signe de les diferències d = Y1 – Y2. La única informació usada pel test és el signe (+ ó -). Si ha algun empat en les parelles, simplement s’ignora. Considerarem que n és el nombre de parelles una vegada eliminats els empats.

Les hipòtesis a contrastar són:

H0: La probabilitat d’obtindre un signe + és similar en la població 1 i en la població 2.

H1: La probabilitat d’obtindre un signe + és diferent en la població 1 i en la població 2.

Primer calculem:

N+ = “nombre de signes +” i N- = “nombre de signes –”. (evidentment n=N+ + N-)

L’estadístic del test és Bs = màx (N+,N-).

Les distribucions de N+ i N- són Bi(n,0.5).

La distribució de Bs està directament relacionada amb la Bi(n,0.5). L’únic que cal tindre en compte és que quan la hipòtesi alternativa és bidireccional al calcular la probabilitat d’una cua, per exemple P(Bs ≥ k) = 2(P(X=k)+P(X=k+1)+...+P(X=n)), on X~Bi(n,0.5). El motiu del factor 2 és perquè quan Bs = k potser per 2 motius, bé N+= k o bé N-= k, amb l’excepció de k=n/2 on només hauríem de sumar-ho una vegada.

Per altra banda si H1 és unidireccional Bs ~ Bi(n,0.5).



Exemple 9.8: Empelts de pellLa pell dels cadàvers pot emprar-se temporalment per als empelts de pacients ambcremaures severes. Com més temps tarda l’empelt en ser rebutjat pel sistema immune,millor és per al pacient. Un equip mèdic investigà l’utilitat de casar a cada pacient respectedel seu HL-A (Antìgen de Leucocit Humà). Cada pacient va rebre 2 empelts, un amb unacompatibilitat HL-A molt alta i l’altre amb poca compatibilitat. Els temps de supervivènciadels empelts van ser:

Compatibilitat HL-A

Molt Alta Molt BaixaSigne de

d =Y1 – Y2Pacient Y1 Y2

1 37 29 +

2 19 13 +

3 57+ 15 +

4 93 26 +

5 16 11 +

6 23 18 +

7 20 26 -

8 63 43 +

9 29 18 +

10 60+ 42 +

11 18 19 -

H0: La distribució del temps de supervivència és la mateixa per als dos tipus de compatibilitat.

H1: Els empelts tendeixen a sobreviure més quan la compatibilitat HL-A és molt alta.

H1 és direccional i les dades apunten en la seua direcció. Bs = N+ per tant Bs~Bi(11,0.5).

El valor de l’estadístic és Bs = 9

El valor P serà:

11 11 1111 11 11

( 9) 0.5 0.5 0.59 10 11

0.02686 0.00537 0.00049 0.03272

P Bs

= =

= =

Amb =0.05 Rebutgem H0

tema 9 comparació de les mitjanes de dues …tema 9 selecció del mètode per a calcular se com hem...

Documents