tema 8 geometrÍa analÍtica - mÓdulo, direcciÓn y … · distancia de un punto a una recta la...
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MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
TEMA 8 – GEOMETRÍA ANALÍTICA -
1. MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO DE UN VECTOR
Módulo: Es la longitud del segmento AB, se representa así:
Dirección: Es la dirección de la recta que contiene el vector o de
cualquier recta paralela a ella.
Sentido: El que va del origen A al extremo B.
2. OBTENCIÓN DE UN VECTOR A PARTIR DE DOS PUNTOS
Dados dos puntos A(x1, y1) B(x2, y2), para obtener el vector ,
=(x2 - x1, y2 - y1).
Ejemplo: Conociendo A (3,-1) y B (2,5)
= (2-3, 5-(-1)) = (-1,6)
3. MÓDULO DE UN VECTOR (DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS)
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
Ejemplo: Siendo A (3,-1) y B (2,5), calcula la distancia entre ambos puntos.
=
3761(-1))-(53)-(2 2222 6,08 cm
4. PUNTO MEDIO DE DOS PUNTOS
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la
semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.
Ejemplo: Siendo A (1,7) y B (5,-3), calcula los puntos medios.
MAB=
2
37,
2
51 (3,2)
5. PUNTO SIMÉTRICO DE UN PUNTO SOBRE OTRO
Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del
segmento AA'. Por lo que se verificará igualdad:
A’=
2,
2
12
12
yyy
xxx
Ejemplo: Siendo A (7,2) y B (4,4), calcula el punto simétrico de A sobre B
A’=
2
24,
2
74
yx= 28,78 yx =(x=1, y=6)=(1,6)
6. COMPROBACIÓN DE SI TRES PUNTOS ALINEADOS
Los puntos A (x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) están alineados siempre que los
vectores tengan la misma dirección. Esto ocurre cuando sus
coordenadas son proporcionales.
Ejemplo: Calcular el valor de a para que los puntos estén alineados.
7. OPERACIONES CON VECTORES
SUMA: Las componentes del vector resta se obtienen restando
las componentes de los vectores.
RESTA: Las componentes del vector resta se obtienen restando
las componentes de los vectores.
Ejemplo: Dados los siguientes vectores calcula:
PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR
Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K
las componentes del vector.
Ejemplo:
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al
multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.
Ejemplo:
EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR
Ejemplo:
ÁNGULO DE DOS VECTORES
Ejemplo:
PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO
Ejemplo:
Hallar la proyección del vector = (2, 1) sobre el vector = (−3, 4).
8. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE VECTORES
SUMA DE VECTORES
Ahora para representar la suma de vectores gráficamente lo que hay que
hacer es lo siguiente:
1º Represento las coordenadas de u y
uno desde el origen hasta la coordenada.
2º Represento las coordenadas de v y uno
desde el origen hasta la coordenada.
3º Represento las coordenadas de u+v y
uno desde el origen hasta la coordenada.
4º Traslado los vectores u y v, de
manera que se forme un paralelogramo.
Siempre la diagonal del paralelogramo
coincide con la suma de los vectores. La
suma de vectores se conoce como la Ley
del paralelogramo.
RESTA DE VECTORES
Ahora para representar la resta de vectores gráficamente lo que hay que
hacer es lo siguiente:
1º Represento las coordenadas de u y uno
desde el origen hasta la coordenada.
2º Represento las coordenadas de v y uno
desde el origen hasta la coordenada.
3º Represento las coordenadas de u-v y
uno desde el origen hasta la coordenada.
4º Traslado los vectores u y v, de manera
que se forme un paralelogramo. La resta de
vectores, lo que hacemos es unir siempre el
vector que lleva el menos con el otro.
PRODUCTO POR UN ESCALAR
Ahora para representar el productor escalar de un número por un vector,
basta con trasladar el vector u, tantas veces como nos indique (hacía la
derecha si es positivo y hacía la izquierda si es negativo). Aunque basta con
unir el origen con el resultado del vector.
9. ECUACIONES DE LA RECTA
Para poder obtener una ecuación de la recta es necesario tener un
punto P (x1, y1) y un vector .
ECUACIÓN VECTORIAL
(x,y) =(x1, y1) + λ (v1, v2)
ECUACIÓN PARAMÉTRICA
Para poder obtener la paramétrica es necesario igualar la primera
coordenada por un lado y la segunda coordenada por otro lado.
22
11
vpy
vpx
ECUACIÓN CONTINUA
Para poder obtener la continua es necesario despejar λ de la
primera ecuación por un lado y la segunda ecuación por otro lado e
igualamos.
1
1
v
px
2
2
v
py
2
2
1
1
v
py
v
px
ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA
Para poder obtener la general o implícita es necesario multiplicar
en cruz y juntar los términos posibles. Ax+By+C=0
A partir de la general, podemos saber el vector =(-B,A) ó
=(B,-A), la pendiente B
Am y la ordenada
B
Cn .
ECUACIÓN EXPLÍCITA
Para poder obtener la explícita es necesario despejar “y”:
B
Cx
B
Ay ,siendo la pendiente
B
Am y la ordenada
B
Cn
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
Para obtener la ecuación punto pendiente es necesario sustituir en la
ecuación siguiente un punto P(X0, Y0) y una pendiente m.
y-y0= m (x-x0)
EJEMPLO DE ECUACIONES DE LA RECTA
Dados los puntos A (3,-1) y B (2,5) calcula las ecuaciones de la recta.
= (2-3, 5-(-1)) = (-1,6)
A (3,-1)
ECUACIÓN VECTORIAL
(x,y) =(3,-1) + λ (-1,6)
ECUACIÓN PARAMÉTRICA
Para poder obtener la paramétrica es necesario igualar la primera
coordenada por un lado y la segunda coordenada por otro lado.
61
3
y
x
ECUACIÓN CONTINUA
Para poder obtener la continua es necesario despejar λ de la
primera ecuación por un lado y la segunda ecuación por otro lado e
igualamos.
1
3
x
6
1
y
6
1
1
3
yx
ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA
Para poder obtener la general o implícita es necesario multiplicar
en cruz y juntar los términos posibles. Ax+By+C=0
6
1
1
3
yx 6(x-3) = -1 (y+1); 6x-18=-y-1; 6x+y-17=0
ECUACIÓN EXPLÍCITA
Para poder obtener la explícita es necesario despejar “y”:
B
Cx
B
Ay 6x+y-17=0 y=-6x+17
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE
Para obtener la ecuación punto pendiente es necesario sustituir en
la ecuación siguiente un punto P(X0, Y0) y una pendiente m.
y-y0= m (x-x0)
m=-6 A (3,-1)
y+1= -6 (x-3)
10. RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y SABEMOS EL VECTOR
Se resuelven directamente las ecuaciones de la recta ya que sabemos lo
que necesitamos.
11. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
Es necesario obtener el vector AB, y utilizar el punto A. Una vez
calculado el vector ya podemos obtener las ecuaciones de la recta.
12. RECTA QUE ES PARALELA A OTRA RECTA R Y QUE PASA POR UN
PUNTO
Ejemplo: Dada la ecuación de la recta r: y=-2x+4 y el punto P (2,5), obtén
la ecuación paralela a ella que pasa por ese punto.
Lo que hay que saber es que si la ecuación es paralela va a tener la misma
pendiente, es decir, solo necesito saber la ordenada. Por ello yo sé que la
recta va a ser del tipo y=-2x+n. Lo que hay que hacer es sustituir el
punto en la recta esa.
5=-2(2)+n 5=-4+n n=9
Con lo que la ecuación de la recta que buscamos es: y=-2x+9
13. RECTA QUE ES PERPENDICULAR A OTRA RECTA R Y QUE PASA POR
UN PUNTO
Ejemplo: Dada la ecuación de la recta r: y=2x-7 y el punto P (4,-2), obtén
la ecuación perpendicular a ella que pasa por ese punto.
Lo que hay que saber es que si la ecuación es perpendicular hay que
calcular la pendiente, con la siguiente fórmula: m· m’=-1.
2 · m’ =-1 m’=2
1
Por ello yo sé que la recta va a ser del tipo y=2
1 x+n. Lo que hay que
hacer es sustituir el punto en la recta esa.
-2=2
1 (4)+n -2=-2+n n=0
Con lo que la ecuación de la recta que buscamos es: y=2
1 x
14. HALLAR EL VALOR DE K PARA QUE R SEA PERPENDICULAR A R’
Ejemplo: Dada la ecuación de la recta r: 2x-ky+11=0 y la recta s:
5x+2y=0 calcula k para que ambas ecuaciones de la recta sean
perpendiculares.
Obtenemos las pendientes de ambas rectas: mr= k
2 y ms=
2
5
Ahora sustituimos en la fórmula y obtenemos k: m· m’=-1.
k
2 ·
2
5 =-1 k=5
15. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
MÉTODO 1 (ECUACIONES EN GENERAL)
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
SOLUCIÓN
NUMÉRICA
SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADO (SCD)
SECANTES EN ESE
PUNTO
INFINITAS
SOLUCIONES
(0=0)
SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO (SCI)
COINCIDENTES
NO TIENE
SOLUCIÓN (0=Nº)
SISTEMA INCOMPATIBLE
(SI)
PARALELAS
Ejemplo: Dadas las rectas r: 3x-5y+17=0 y s:7x+3y-63=0
Resolviendo este sistema de ecuaciones por el método que queramos,
obtenemos x=6 e y=7, con lo que el punto donde se cortan es el punto
P (6,7).
Solución: SECANTES EN EL PUNTO P(6,7)
MÉTODO 2 (ECUACIONES EN GENERAL)
Sabiendo que la recta r: Ax+By+C=0 y s: A’x+B’y+C’=0
'A
A≠
'B
B
SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADO (SCD)
SECANTES EN ESE
PUNTO
'A
A=
'B
B=
'C
C
SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO (SCI)
COINCIDENTES
'A
A=
'B
B
SISTEMA INCOMPATIBLE (SI) PARALELAS
Ejemplo: Dadas las rectas r: 3x-5y+17=0 y s:6x-10y-63=0
'A
A=
'B
B≠
'C
C
6
3=
10
5
≠
63
17
PARALELAS
MÉTODO 3(ECUACIONES EN EXPLÍCITA)
Sabiendo que la recta r: y=mx+n y s: y=m’x+n’ =0
m ≠ 'm SISTEMA COMPATIBLE
DETERMINADO (SCD)
SECANTES EN ESE
PUNTO
m = 'm
n=n’
SISTEMA COMPATIBLE
INDETERMINADO (SCI)
COINCIDENTES
m = 'm
n≠n’
SISTEMA INCOMPATIBLE (SI) PARALELAS
Ejemplo: Dadas las rectas r: y=10x+17=0 y s: y=10x+17
m=m; 10=10
n=n; 17=17
COINCIDENTES
16. CALCULAR EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO MEDIANTE LA FÓRMULA DE
HERÓN
Mediante la fórmula de Herón, podemos calcular el área de cualquier triángulo,
conociendo tres puntos.
Área = ))·()·(·( cpbpapp siendo p el semiperímetro
Ejemplo: Dadas los puntos A(-2,2) B (1,6) C(6,-6), calcula el área formada por
estos tres puntos.
c= =(3,4) | |= 5 cm
a= =(5,-12)| |= 13 cm
b= =(8,-8) | |= 11,31 cm
Perímetro=29,31 cm
Semiperímetro=2
31,29=14,655 cm
))·()·(·( cpbpappA228)5655,14)·(31,11655,14)·(13655,14·(655,14 cm
17. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento
perpendicular a la recta, trazada desde el punto.
Ejemplo: Calcula la distancia del punto P (2,-1) a la recta r de ecuación
3x+4y=0.
18. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
Si A=A’ y B=B’
La distancia entre dos rectas también se puede expresar del siguiente modo:
Calcular la distancia entre las rectas:
Si A≠A’ y B≠B’
19. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Conociendo el centro de la circunferencia y el radio, o conociendo el centro
de la circunferencia y un punto de la circunferencia, podemos obtener la
ecuación de la circunferencia, cuya fórmula es ésta:
222 )()( rbyax
Desarrollando obtenemos la
ecuación general de la
circunferencia:
Ax2+By2+Cx+Dy+E=0
Ejemplo: Conociendo el centro de la circunferencia C(-2,3) y el punto X (4,7),
calcula la ecuación general de la circunferencia.
Calculamos el módulo de = 5246 22
222 )()( rbyax 222 )52()3()2( yx si desarrollamos
obtenemos la ecuación general de la circunferencia: x2+y2+4x-6y-39=0
Ejemplo: Conociendo el centro de la circunferencia C (5,2) y el radio que es 6
cm, calcula la ecuación general de la circunferencia.
222 )()( rbyax 222 6)2()5( yx si desarrollamos obtenemos
la ecuación general de la circunferencia: x2+y2-10x-4y-7=0
Ejemplo: Conociendo la ecuación general de la circunferencia x2+y2-10x-4y-7=0,
calcula el centro y el radio de la misma.
En primer lugar, ordeno las “x” por un lado y las “y” por otro lado, el término
independiente, es decir, el número lo pasamos a la derecha: x2-10x+y2-4y=7
Ahora tenemos que colocar las “x” y las “y” como identidades notables por lo
que tengo que adivinar qué número falta con las “x” y cual con las “y”, para ello
es tan fácil como dividir la “x” y la “y” entre dos y elevarlo al cuadrado, y esos
mismos números lo sumamos a la derecha.
x2-10x +52 +y2-4y+22=7 +52 +22
x2-10x+25+y2-4y+4=7+25+4 222 6)2()5( yx