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TEMA 7: Sistemas de ecuaciones
7.1 Ecuaciones con dos incógnitas . SolucionesEjemplo1. Encuentra soluciones para la siguiente ecuación de primer grado con dos incógnitas: 2x � y � 5
a. �x, y� � �0, 5� es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � 0 � 5 � 55 � 5
b. �x, y� � �1, 3� es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � 1 � 3 � 52 � 3 � 5
c. �x, y� � �2, 1� es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � 2 � 1 � 54 � 1 � 5
d. �x, y� � �3,�1� es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � 3 � ��1� � 56 � 1 � 5
e. �x, y� � �4,�3� es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � 4 � ��3� � 58 � 3 � 5
f. �x, y� � ��2, 6� no es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � ��2� � 6 � 5�4 � 6 � 52 � 5
g. �x, y� � ��1, 4� no es soluciónSi sustituimos en la ecuación nos queda:2 � ��1� � 4 � 5�2 � 4 � 52 � 5
2. Representa sobre unos ejes de coordenadas los puntos anteriores y luego traza la recta quepasa por la mayoría de ellos.
1
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
3. Dada la recta siguientes 3x � 4y � 12. Se pide:a. Despeja la y en función de la x.b. A partir de la expresión obtenida en el apartado anterior, calcula una tabla con cuatro
valores:c. Representa los puntos obtenidos en el apartado anterior y traza la recta
correspondiente.d. Despeja la x en función de la y.e. A partir de la expresión obtenida en el apartado anterior, calcula una tabla con cuatro
valores:f. Representa los puntos obtenidos en el apartado anterior y traza la recta
correspondiente.a 3x � 4y � 12
4y � 12 � 3x
y � 12 � 3x4
b x �3 �1 1 3
y 5. 25 3. 75 2. 25 0. 75
� x � �3 � y �12 � 3 � ��3�
4� 21
4� 5. 25
� x � �1 � y �12 � 3 � ��1�
4� 15
4� 3. 75
� x � 1 � y � 12 � 3 � 14
� 94
� 2. 25
� x � 3 � y � 12 � 3 � 34
� 34
� 0. 75
c 3x � 4y � 12
2
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
d 3x � 4y � 123x � 12 � 4y
x �12 � 4y
3ef
"Una recta queda unívocamente determinada cuando conocemos dos de suspuntos"Por lo tanto, las tablas de valores para pintar rectas contarán con sólo dos valores.Tareas 14-12-16: todos los ejercicios de la página 124
7.2 Sistemas de ecuaciones linealesTareas 14-12-16: todos los ejercicios de la página 125
7.3 Sistemas equivalentesTareas 15-12-16: todos los ejercicios de la página 126
7.4 Número de soluciones de un sistema linealTareas 15-12-16: todos los ejercicios de la página 127
7.5 Métodos de resolución de sistemas linealesEjemploResuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
2x � 3y � �6
7x � 5y � 35
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Elegimos la x, y tomamos la 1º ecuación:2x � 3y � �62x � �6 � 3y
x ��6 � 3y
2Se sustituye este valor de x en la segunda ecuación:
7�6 � 3y
2� 5y � 35
�42 � 21y2
� 5y � 35
�42 � 21y � 10y � 70
3
�31y � 70 � 42
y � 112�31
Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:
x ��6 � 3 � 112
�312
��6 � 336
312
�
�186 � 336312
� 15031
� 2 � 7531
La solución del sistema es 7531
,� 11231
Tareas 16-12-16: todos los ejercicios de la página 128
MÉTODO DE IGUALACIÓN
2x � 3y � �6
7x � 5y � 35
Elegimos despejar la x en las dos ecuaciones:
2x � �6 � 3y
7x � 5y � 35
x ��6 � 3y
2
x �5y � 35
7Igualamos las dos expresiones obtenidas para x:�6 � 3y
2�
5y � 357
�42 � 21y � 10y � 70�21y � 10y � 70 � 42
y � � 11231
Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:
x ��6 � 3 � 112
�312
��6 � 336
312
�
�186 � 336312
� 15031
� 2 � 7531
La solución del sistema es 7531
,� 11231
Tareas 16-12-16: todos los ejercicios de la página 129
MÉTODO DE REDUCCIÓN
2x � 3y � �6
7x � 5y � 35
Elegimos la x, para:� multiplicar la primera ecuación por 7 (coeficiente de la x en la segunda ecuación)� multiplicar la segunda ecuación por 2 (coeficiente de la x en la primera ecuación)
�2x � 3y � �6�7
�7x � 5y � 35�2
14x �21y � �42
restamos en columna 14x �10y � 70
0 31y � �112
y � �11231
Ahora, tenemos que despejar la x: tendremos que sustituir el valor de y en una de las dos ecuacionespara hallarla.
2x � 3 � 11231
� �6
62x � �186 � 336
4
x � 15062
� 7531
La solución del sistema es 7531
,� 11231
7531
� 2. 419 4
� 11231
� � 3. 612 9
Tareas 16-12-16: todos los ejercicios de la página 130
MÉTODO DE GRÁFICO
2x � 3y � �6
7x � 5y � 35
Tenemos que representar las dos rectas sobre los mismos ejes de coordenadasHabrá que calcular sendas tablas de valores para cada una de las rectas (Dado que una recta quedaunívocamente determinada por dos de sus puntos , en dicha tabla , sólo daremos dos puntos .)� 2x � 3y � �6
Despejamos la x en función de la y:
x ��6 � 3y
2y �1 1
x�6 � 3 � ��1�
2� � 3
2�6 � 3 � 1
2� � 9
2� 7x � 5y � 35
Despejamos la y en función de la x:
y � 7x � 355
x �1 1
y7 � ��1� � 35
5� � 42
57 � 1 � 35
5� � 28
5Representamos los puntos obtenidos para luego unirlos por las rectas correspondientes:
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
Tareas 16-12-16: todos los ejercicios de la página 131
7.6 Sistemas de ecuaciones no linealesEjemploResuelve los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales:
5
1.5x � y � 8
x2 � xy � �2
Utilizamos el método de sustitución.Despejamos la y en la primera ecuación:5x � 8 � ySustituimos este valor de y en la segunda ecuación.x2 � x�5x � 8� � �2x2 � 5x2 � 8x � �26x2 � 8x � 2 � 02�3x2 � 4x � 1� � 0El producto de números es cero si uno de ellos es cero .3x2 � 4x � 1 � 0
Ecuación de 2º grado completa con
a � 3
b � �4
c � 1
x ��b � b2 � 4ac
2a�
���4� � ��4�2 � 4 � 3 � 1
2 � 3�
4 � 46
� 4 � 26
�
�
4 � 26
� 66
� 1
4 � 26
� 26
� 13
Sustituimos estos valores de x para encontrar los correspondientes valores de y:� si x � 1 � y � 5 � 1 � 8 � 5 � 8 � �3
� si x � 13
� y � 5 � 13
� 8 � 5 � 243
� �193
Las soluciones son �1,�3� y 13
,� 193
La representación gráfica sería:
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
2.x2 � xy � 28
xy � y2 � 21
Aplicamos el método de sustitución: despejaremos la y en la primera ecuación:xy � 28 � x2
y � 28 � x2
xSustituimos este valor de y en la segunda ecuación:
6
x 28 � x2
x � 28 � x2
x2� 21
28 � x2 ��28 � x2�2
x2 � 21 m. c. m.� x2
�28 � x2�x2
x2 ��28 � x2�2
x2 � 21 � x2
x2
Como tenemos una igualdad donde todos los denominadores son iguales los podemossuprimir .28x2 � x4 � x4 � 56x2 � 784 � 21x2
�28x2 � 21x2 � �784�49x2 � �784
x2 � �784�49
� 16
x � � 16 � �4Sustituimos estos valores de x para hallar los correspondientes valores de y:
� si x � 4 � y � 28 � 42
4� 3
� si x � �4 � y �28 � ��4�2
�4� � 3
Las soluciones del sistema son �4, 3� y ��4,�3�La representación gráfica sería:
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
Tareas 21-12-2016: todos los ejercicios de la página 132
7.7 Resolución de problemas mediante sistemasEjemplo1. La razón de las edades de dos personas es de 2
3. Sabiendo que se llevan quince años, ¿Cuál
es la edad de cada una de ellas?Llamamos:
x es la edad de la persona menor
y es la edad de la persona mayor
Tenemos que:
� La razón de las edades de dos personas es de 23
� xy � 2
3� se llevan quince años� x � 15 � y
Entonces tenemos el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
7
xy � 2
3x � 15 � y
Se resuelve por el método de sustituición:x
x � 15� 2
32x � 30 � 3x30 � xSustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y:y � 30 � 15 � 45La solución del sistema es �30, 45�Las edades de las personas son 30 y 45 años
2. El perímetro de un rectángulos es de 14 cm, y su diagonal mide 5 cm. Halla sus lados.Gráficamente será:
Tenemos que:� perímetro de un rectángulos es de 14 cm� 2x � 2y � 14� su diagonal mide 5 cm� 52 � x2 � y2 Teorema de Pitágoras
Nos queda el sistema:
x � y � 7
x2 � y2 � 25
Aplicamos el método de sustitución:Despejamos x la primera ecuación:x � 7 � ySustituimos este valor de x en la segunda ecuación.�7 � y�2 � y2 � 2549 � 14y � y2 � y2 � 25 � 02y2 � 14y � 24 � 0y2 � 7y � 12 � 0, Solution is: 4, 3
Ecuación de 2º grado completa con
a � 1
b � �7
c � 12
y ��b � b2 � 4ac
2a�
���7� � ��7�2 � 4 � 1 � 12
2 � 1�
7 � 12
� 7 � 12
�
8
�
7 � 12
� 82
� 4
7 � 12
� 62
� 3
Sustituimos estos valores de x para encontrar los correspondientes valores de x:� si y � 4 � x � 7 � 4 � 3� si y � 3 � x � 7 � 3 � 4
Las soluciones del sistema son �4, 3� y �3, 4�Los lados del rectángulo son 3cm y 4cm
Tareas 15-02-16; todas las tareas de la página 133
EJERCICIOS Y PROBLEMAS1.
d2x � 3y � �4
x � 8y � �2
Como se trata de dos rectas, habremos de confeccionar dos tablas de dos valores cada unapues cada una de las ecuaciones es una recta.� 2x � 3y � �4
Despejamos la y en función de la x:�3y � �4 � 2x
y � �4 � 2x�3
� 4 � 2x3
x 1 4
y 4 � 2 � 13
� 2 4 � 2 � 43
� 4�puntos �1, 2�, �4, 4�
� x � 8y � �2Despejamos la x en función de la y:x � �2 � 8y
x �2 � 8 � 0 � � 2 �2 � 8 � ��1� � 6
y 0 �1�puntos ��2, 0�, �6,�1�
Así la representación gráfica será:
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
9
Las rectas se cortan en un puntoTareas 09-01-17; todos los ejercicios que faltan del 1.2
d2x � 16 � 2y
2y � 3x � 16
Elegimos en la primera ecuación la x, para despejarla:2x � 2y � 16
x �2y � 16
2� y � 8
Sustituimos este valor de x en la segunda ecuación.2y � 3�y � 8� � 162y � 3y � 24 � 16�y � 16 � 24
y � �8�1
� 8
Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:x � 8 � 8 � 0La solución del sistema es �0, 8�
Tareas 09-01-17: todos los ejercicios que faltan del 23
d3x � 4y � �4
2x � y � �1
Elegimos la y, para despejarla en las dos ecuaciones.
�4y � �4 � 3x
y � �1 � 2x
y � �4 � 3x�4
���4 � 3x�
�4� 4 � 3x
4y � �1 � 2x
Entonces nos queda que:
�1 � 2x � 4 � 3x4
4��1 � 2x� � 4 � 3x�4 � 8x � 4 � 3x�4 � 4 � 3x � 8x
x � �811
Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y:
y � �1 � 2 � �811
� �1 � 1611
� �11 � 1611
� 511
La solución del sistema es �811
, 511
Tareas 09-01-17: todos los ejercicios que faltan del 34
10
d3x � 2y � 3
x � y � 76
Elegimos la x para conseguir en las dos ecuaciones el mismo coeficiente.
�3x � 2y � 3�2
x � y � 76
6
6x � 4y � 6
6x � 6y � 7
Restamos en columna:
6x � 4y � 6
6x � 6y � 7
/ �2y � �1
y � �1�2
� 12
Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:
3x � 2 � 12
� 3
3x � 1 � 33x � 3 � 1
x � 23
La solución del sistema es 23
, 12
Tareas 09-01-17: todos los ejercicios que faltan del 45
b9x � 13y � 54
11x � 7y � 22
Nos fijamos primero en la x, por lo que hacemos lo siguiente:
�9x � 13y � 54�11
�11x � 7y � 22�9�
99x � 143y � 594
99x � 63y � 198
Restamos en columna�
99x � 143y � 594
99x � 63y � 198
/ �80y � 396
y � 396�80
� � 9920
Nos fijamos en segundo lugar en la y, por lo que hacemos lo siguiente:
�9x � 13y � 54�7
�11x � 7y � 22�13�
63x � 91y � 378
143x � 91y � 286
11
Restamos en columna�
63x � 91y � 378
143x � 91y � 286
�80x / � 92
x � 92�80
� � 2320
La solución del sistema es � 2320
,� 9920
Tareas 09-01-17: todos los ejercicios que faltan del 5Tareas 09-01-17: 6 (aviso hay que emplear al menos una vez cada uno de los métodos no gráficos)7
dx � 2y � 5
2x � 4y � �3
Como los coeficientes de las variables son proporcionales (multiplicamos por 2), pero eltérmino independiente no sigue esta regla, las rectas son paralelas. El sistema no tienesolución.Vamos a comprobarlo gráficamente.� x � 2y � 5
Tenemos que construir una tabla de valores con dos valores para representar la rectacorrespondiente.Despejamos x en función de y: x � 5 � 2y
x 5 � 2 � ��1� � 3 5 � 2 � 1 � 7
y -1 1�los puntos �3,�1�, �7, 1�
� 2x � 4y � �3Tenemos que construir una tabla de valores con dos valores para representar la rectacorrespondiente.
Despejamos y en función de x: 2x � 34
� y
x -1 1
y2 � ��1� � 3
4� 1
4� 0. 25 2 � 1 � 3
4� 5
4� 1. 25
�los puntos �1, 14
, 1, 54
La representación gráfica sería:
12
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
Es cierto lo dicho.Tareas 11-01-17: todos los ejercicios que faltan del 710
dx � y � 9
x2 � y2 � 41
Despejamos x en la primera ecuación para sustituir dicho valor en la segunda:x � 9 � y�9 � y�2 � y2 � 4181 � 18y � y2 � y2 � 412y2 � 18y � 40 � 0y2 � 9y � 20 � 0
Ecuación de 2º grado completa con
a � 1
b � �9
c � 20
y ��b � b2 � 4ac
2a�
���9� � ��9�2 � 4 � 1 � 20
2 � 1�
9 � 12
� 9 � 12
�
�
9 � 12
� 102
� 5
9 � 12
� 82
� 4
Sustituir estos valores de y para hallar los correspondientes valores de x:� si y � 5 � x � 9 � 5 � 4� si y � 4 � x � 9 � 4 � 5
La solución del sistema es �4, 5�, �5, 4�Gráficamente es:
13
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
Tareas 18-02-16: todos los ejercicios que faltan del 1011
d3x � 2y � 0
xy � 24
Despejamos x en la primera ecuación:3x � 2y
x �2y3
Sustituimos este valor de x en la 2ª ecuación:2y3
� y � 24
2y2
3� 24
y2 � 24 � 32
� 12 � 3 � 36
y � � 36 � �6Sustituimos estos valores de y para hallar los correspondientes valores de x:
� si y � 6 � x � 2 � 63
� 4
� si y � �6 � x �2 � ��6�
3� � 4
Las soluciones del sistema son �4, 6�, ��4,�6�Gráficamente sería:
14
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
Tareas 19-02-16: todos los ejercicios que faltan del 1112
dx2 � y2 � 17
x2 � y2 � �25
Vamos a reducir las x:
Restamos en todas las columnas�
x2 � y2 � 17
x2 � y2 � �25
/ 2y2 � 42
y2 � 21y � � 21Vamos a averiguar x, también por reducción:
Sumamos en todas las columnas�
x2 � y2 � 17
x2 � y2 � �25
2x2 / � �8
x2 � �82
� �4
No tiene solución pues todo número elevado al cuadrado es positivo o cero.Entonces el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.
15
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
Tareas 11-01-17: todos los ejercicios que faltan del 12Tareas 11-01-17: 13,1415
PLANTEAMIENTO
Llamamosx es el número natural mayor
y es el número natural menor
Los datos son:� su suma es 154� x � y � 154
� su cociente 83
� xy � 8
3RESOLUCIÓN
Tenemos el sistema:
x � y � 154xy � 8
3Aplicamos el método de sustitución.En la primera ecuación despejamos la x:x � 154 � ySustituimos este valor de x en la segunda ecuación:154 � y
y � 83
462 � 3y � 8y
y � 46211
� 42
Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:x � 154 � 42 � 112La solución del sistema es �112, 42�
SOLUCIÓNLos números son 112 y 42
Tareas 11-01-17: 16,1718
16
PLANTEAMIENTO
Llamamosx es el número de alumnos de ESO
y es el número de alumnos de Bachillerato
Los datos que tenemos son:� 42% de la ESO y 52% de Bachillerato son chicas para un total de
196� 42100
x � 52100
y � 196
� los estudiantes de Secundaria son 420� x � y � 420RESOLUCIÓN
Tenemos el sistema42x � 52y � 19600
x � y � 420
Aplicamos el método de igualación. Despejamos en las dos ecuaciones la y:
52y � 19600 � 42x
y � 420 � x
y � 19600 � 42x52
y � 420 � x
Igualamos las dos expresiones de y:19600 � 42x
52� 420 � x
19600 � 42x � 21 840 � 52x19600 � 21840 � �52x � 42x
x � �2240�10
� 224
Sustituimos este valor de x para hallar el correspondiente valor de y:y � 420 � 224 � 196La solución del sistema es �224, 196�
SOLUCIÓNHay 224 en la ESO y 196 en Bachillerato.
Tareas 12-01-17: 19, 2021
PLANTEAMIENTO
Llamamosx es el número mayor
y es el número menor
Tenemos que:� los dos números suma 34� x � y � 34� si al mayor lo dividimos entre 3 y al menor entre cuatro, los resultados obtenidos se
diferencian en 2 unidades� x3
�y4
� 2
RESOLUCIÓN
Tenemos el sistemax � y � 34x3
�y4
� 2
Aplicamos el método de reducción. Elegimos la x, para así multiplicar la segunda ecuación por3.
x � y � 34
x3
�y4
� 2 3
17
Restamos en cada columna�
x � y � 34
x �3y4
� 6
/7y4
� 28
y � 28 � 47
� 4 � 4 � 16
Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:x � 34 � 16 � 18La solución del sistema es �18, 16�
SOLUCIÓNLos números son 18 y 16
Tareas 12-01-16: 22, 2324
PLANTEAMIENTOTenemos la siguiente tabla:
edad actual dentro de quince años
Carmen x x � 15
Maite y y � 15
x � 3y x � 15 � 2�y � 15�
Los datos son:� dentro de quince años será el doble de la que entonces tenga su hija� x � 15 � 2�y � 15�� la edad de Carmen es el triple de la de su hija Maite� x � 3y
RESOLUCIÓN
Tenemos el siguiente sistema:x � 3y
x � 15 � 2�y � 15�
Aplicamos el método de igualación. Despejamos x en las dos ecuaciones.
x � 3y
x � 2�y � 15� � 15
Igualamos las expresiones de x obtenidas.3y � 2�y � 15� � 153y � 2y � 30 � 15y � 15Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:x � 3 � 15 � 45La solución del sistema es �45, 15�
SOLUCIÓNLa edad de la madre es 45 años y 15 años la de la hija.
Tareas 12-01-17: 25,2627
PLANTEAMIENTO
18
Llamamosx es el precio de los pantalones
y es el precio de los zapatos
Los datos son:� por un pantalón y unos zapatos he pagado 126 euros� x � y � 126� si el precio del pantalón aumentará en un 14% entonces sería el 75% del precio de los
zapatos� x � 14100
x � 75100
y
RESOLUCIÓN
Tenemos el sistemax � 14
100x � 75
100y
x � y � 126�
114100
x � 75100
y
x � y � 126�
114x � 75y
x � y � 126
Aplicamos el método de sustitución. Despejamos la x en la segunda ecuación.x � 126 � ySustituimos este valor de x en la primera ecuación.114�126 � y� � 75y14 364 � 114y � 75y
y � 14364114 � 75
� 76
Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x.x � 126 � 76 � 50La solución del sistema es �50, 76�
SOLUCIÓNLos zapatos cuestan 76 euros y los pantalones 50
Tareas 12-01-17: 28,29ADVERTENCIA : SE HAN DE APLICAR TODOS LOS MÉTODOS ANALÍTICOS AL MENOS DOSVECES30
PLANTEAMIENTO
Tenemos la tabla siguiente:
Entonces para el coche será� 25 � x � 110 � tY para el autobús será� x � 90 � t
RESOLUCIÓN
19
Tenemos que resolver el siguiente sistema:25 � x � 110t
x � 90t
Aplicamos el método de reducción:
Restamos en columna�
25 � x � 110t
x � 90t
25 / � 20t
t � 2520
� 54
� 1. 25
Sustituimos este valor de t para hallar el correspondiente valor de x:x � 90 � 1. 25 � 112. 5La solución del sistema es �112. 5, 1. 25�
SOLUCIÓNLa distancia recorrida es 137.5 km en un tiempo de 1 h 15 min
Tareas 17-01-16: 31,3233
PLANTEAMIENTO
Llamamosx es la distancia entre los pueblos
t es el tiempo que tarda si va vacío
Los datos son:� Cuando va con niños lleva una velocidad media de 60 km/h y tarda un cuarto de hora
más que si va vacío� x � 60 � �t � 0. 25�� Cuando va sin niños lleva una velocidad de 100 km/h� x � 100 � t� espacio � velocidad � tiempo
RESOLUCIÓN
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:x � 60�t � 0. 25�
x � 100t
Aplicamos el método de igualación:60t � 15 � 100t15 � 40t
t � 1540
� 38
� 0. 375
Sustituimos este valor de t para hallar el correspondiente valor de x:x � 100 � 0. 375 � 37. 5
La solución del sistema es 37. 5, 38
SOLUCIÓN
La distancia es 37.5 km y el tiempo es 38
� 60 � 452
�
� 22. 5 � 22 min 30 sTareas 13-01-17: 34,3536
PLANTEAMIENTO
20
Llamamosx es la cifra de las decenas
y es la cifra de las unidades
Los datos nos dicen:� si a un número de dos cifras le restamos el que resulta de invertir el orden de estas
obtenemos el doble de la cifra de las decenas del númeroinicial� 10x � y � �10y � x� � 2x
� sus cifras suman 16� x � y � 16RESOLUCIÓN
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:10x � y � 10y � x � 2x
x � y � 16
Aplicamos el método de sustitución.Despejamos x en la segunda ecuación para sustituirla en la primera:x � 16 � y9�16 � y� � 9y � 2�16 � y�144 � 9y � 9y � 32 � 2y144 � 32 � �2y � 18y
y � 11216
� 7
Sustituimos este valor de y para hallar el correspondiente valor de x:x � 16 � 7 � 9La solución del sistema es �9, 7�
SOLUCIÓNEl número es 97
Tareas 13-01-17: 37,38,40,41,4239
PLANTEAMIENTOTenemos el siguiente triángulo rectángulo:
Los datos son:� la diferencia entre los catetos es de 6 cm� x � 6 � y� el triángulo es rectángulo�Teorema de Pitágoras� x2 � y2 � 302
RESOLUCIÓN
x � 6 � y
x2 � y2 � 900
21
Aplicamos el método de sustitución: cambiamos y por su valor en la segunda ecuación.x2 � �x � 6�2 � 900x2 � �x2 � 12x � 36� � 900x2 � x2 � 12x � 36 � 900 � 02x2 � 12x � 864 � 0x2 � 6x � 432 � 0
Ecuación completa de 2º grado con
a � 1
b � �6
c � �432
x ��b � b2 � 4ac
2a�
���6� � ��6�2 � 4 � 1 � ��432�2 � 1
�6 � 1764
2�
� 6 � 422
�
6 � 422
� 482
� 24
6 � 422
� �362
� �18
Sustituimos estos valores de x para hallar los correspondientes valores de y:� si x � 24 � y � 24 � 6 � 18� si x � �18 � y � �18 � 6 � � 24
La solución del sistema es �24, 18�, ��18,�24�SOLUCIÓN
Los lados miden 24 cm y 18 cm
EXAMEN DEL TEMA 23-01-17
22