tema 7 - sistemas de ecuaciones
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Sistemas de EcuacionesTRANSCRIPT
Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
TEMA 7 -SISTEMAS DE ECUACIONES
Antonio Enrıquez Padial
16 de abril de 2012
Antonio Enrıquez Padial TEMA 7 -SISTEMAS DE ECUACIONES
Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
1 1.- Conceptos previos. DefinicionesEcuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
2 2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de EcuacionesMetodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
3 3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuacionesResolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Antonio Enrıquez Padial TEMA 7 -SISTEMAS DE ECUACIONES
Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitas
Definicion de ecuacion de primer grado con dos incognitas
Llamamos ecuacion de primer grado con dos incognitas a unaexpresion algebraica del tipo ax + by = c donde a y b son loscoeficientes, c el termino independiente y x e y son las incognitas.
Ejemplo
3x + 4y = 10Este es un ejemplo de ecuacion de primer grado con dos incognitas.
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitas
Definicion de ecuacion de primer grado con dos incognitas
Llamamos ecuacion de primer grado con dos incognitas a unaexpresion algebraica del tipo ax + by = c donde a y b son loscoeficientes, c el termino independiente y x e y son las incognitas.
Ejemplo
3x + 4y = 10Este es un ejemplo de ecuacion de primer grado con dos incognitas.
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitas
Definicion
Llamamos solucion de una ecuacion de primer grado con dosincognitas a un par de numeros que hacen que se cumpla esaecuacion.
Ejemplo
Supongamos una ecuacion de primer grado con dos incognitas, porejemplo, 3x + 4y = 10Una solucion de esa ecuacion va a ser la que se consigue parax = 2 e y = 1Si sustituyo tendrıamos que: 3(2) + 4(1) = 6 + 4 = 10
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitas
Definicion
Llamamos solucion de una ecuacion de primer grado con dosincognitas a un par de numeros que hacen que se cumpla esaecuacion.
Ejemplo
Supongamos una ecuacion de primer grado con dos incognitas, porejemplo, 3x + 4y = 10Una solucion de esa ecuacion va a ser la que se consigue parax = 2 e y = 1Si sustituyo tendrıamos que: 3(2) + 4(1) = 6 + 4 = 10
Antonio Enrıquez Padial TEMA 7 -SISTEMAS DE ECUACIONES
Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones de primer grado
Definicion
Llamamos sistema de ecuaciones de primer grado con dosincognitas, a una expresion algebraica del tipo:{
ax + by = ca′x + b′y = c ′
}
Definicion
Una solucion de un sistema de ecuaciones es un par de numerosque verifican las dos ecuaciones simultaneamente.
Nota
Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones de primer grado
Definicion
Llamamos sistema de ecuaciones de primer grado con dosincognitas, a una expresion algebraica del tipo:{
ax + by = ca′x + b′y = c ′
}
Definicion
Una solucion de un sistema de ecuaciones es un par de numerosque verifican las dos ecuaciones simultaneamente.
Nota
Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones de primer grado
Definicion
Llamamos sistema de ecuaciones de primer grado con dosincognitas, a una expresion algebraica del tipo:{
ax + by = ca′x + b′y = c ′
}
Definicion
Una solucion de un sistema de ecuaciones es un par de numerosque verifican las dos ecuaciones simultaneamente.
Nota
Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones de primer grado
Definicion
Llamamos sistema de ecuaciones de primer grado con dosincognitas, a una expresion algebraica del tipo:{
ax + by = ca′x + b′y = c ′
}
Definicion
Una solucion de un sistema de ecuaciones es un par de numerosque verifican las dos ecuaciones simultaneamente.
Nota
Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones de primer grado
Ejemplo
Supongamos el siguiente sistema:
{2x + y = 9x − y = 3
}Dado este sistema de ecuaciones, tanteando podemos ver que lasposibles soluciones son las siguientes:{
x = 3y = 3
}o
{x = 4y = 1
}Basta con sustituir en el sistema y comprobamos que la solucioncorrecta es x = 4 e y = 1Por tanto la solucion del sistema es x = 4 e y = 1
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones de primer grado
Nota
Un sistema se dice compatible si tiene solucion y se diceincompatible si no la tiene.
En los sistemas compatibles podemos distinguir entre los quetienen una unica solucion, que llamaremos sistemascompatibles determinados y los que tienen infinitassoluciones, que llamaremos sistemas compatiblesindeterminados
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Ecuaciones con dos incognitasSistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones de primer grado
Nota
Un sistema se dice compatible si tiene solucion y se diceincompatible si no la tiene.
En los sistemas compatibles podemos distinguir entre los quetienen una unica solucion, que llamaremos sistemascompatibles determinados y los que tienen infinitassoluciones, que llamaremos sistemas compatiblesindeterminados
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
El metodo de sustitucion consiste en lo siguiente:
1 Despejamos una de las incognitas de una de las ecuaciones
2 Sustituimos el valor de esa incognita en la otra ecuacion
3 Al sustituir obtendremos una ecuacion de primer grado conuna sola incognita
4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
El metodo de sustitucion consiste en lo siguiente:
1 Despejamos una de las incognitas de una de las ecuaciones
2 Sustituimos el valor de esa incognita en la otra ecuacion
3 Al sustituir obtendremos una ecuacion de primer grado conuna sola incognita
4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
El metodo de sustitucion consiste en lo siguiente:
1 Despejamos una de las incognitas de una de las ecuaciones
2 Sustituimos el valor de esa incognita en la otra ecuacion
3 Al sustituir obtendremos una ecuacion de primer grado conuna sola incognita
4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
El metodo de sustitucion consiste en lo siguiente:
1 Despejamos una de las incognitas de una de las ecuaciones
2 Sustituimos el valor de esa incognita en la otra ecuacion
3 Al sustituir obtendremos una ecuacion de primer grado conuna sola incognita
4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
El metodo de sustitucion consiste en lo siguiente:
1 Despejamos una de las incognitas de una de las ecuaciones
2 Sustituimos el valor de esa incognita en la otra ecuacion
3 Al sustituir obtendremos una ecuacion de primer grado conuna sola incognita
4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
Sistema resuelto por el metodo de sustitucion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}
2 Despejo y en la primera ecuacion por ser mas facil quedandoque:y = 7 − 2x
3 Sustituyo ese valor de y, en la otra ecuacion:3x + 2(7 − 2x) = 11
4 Resolvemos esta ecuacion de primer grado: 3x + 14 − 4x = 11y tenemos que x = 3
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
Sistema resuelto por el metodo de sustitucion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}2 Despejo y en la primera ecuacion por ser mas facil quedando
que:y = 7 − 2x
3 Sustituyo ese valor de y, en la otra ecuacion:3x + 2(7 − 2x) = 11
4 Resolvemos esta ecuacion de primer grado: 3x + 14 − 4x = 11y tenemos que x = 3
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
Sistema resuelto por el metodo de sustitucion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}2 Despejo y en la primera ecuacion por ser mas facil quedando
que:y = 7 − 2x
3 Sustituyo ese valor de y, en la otra ecuacion:3x + 2(7 − 2x) = 11
4 Resolvemos esta ecuacion de primer grado: 3x + 14 − 4x = 11y tenemos que x = 3
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
Sistema resuelto por el metodo de sustitucion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}2 Despejo y en la primera ecuacion por ser mas facil quedando
que:y = 7 − 2x
3 Sustituyo ese valor de y, en la otra ecuacion:3x + 2(7 − 2x) = 11
4 Resolvemos esta ecuacion de primer grado: 3x + 14 − 4x = 11y tenemos que x = 3
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Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
Sistema resuelto por el metodo de sustitucion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en y = 7 − 2x , y tenemos quey = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1. De donde tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
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Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
Sistema resuelto por el metodo de sustitucion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en y = 7 − 2x , y tenemos quey = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1. De donde tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Sustitucion
Sistema resuelto por el metodo de sustitucion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en y = 7 − 2x , y tenemos quey = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1. De donde tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
El metodo de igualacion consiste en lo siguiente:
1 Despejamos la misma incognita de las dos ecuaciones
2 Igualamos ambas incognitas.
3 Al igualar obtendremos una ecuacion de primer grado con unasola incognita
4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
El metodo de igualacion consiste en lo siguiente:
1 Despejamos la misma incognita de las dos ecuaciones
2 Igualamos ambas incognitas.
3 Al igualar obtendremos una ecuacion de primer grado con unasola incognita
4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
El metodo de igualacion consiste en lo siguiente:
1 Despejamos la misma incognita de las dos ecuaciones
2 Igualamos ambas incognitas.
3 Al igualar obtendremos una ecuacion de primer grado con unasola incognita
4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
El metodo de igualacion consiste en lo siguiente:
1 Despejamos la misma incognita de las dos ecuaciones
2 Igualamos ambas incognitas.
3 Al igualar obtendremos una ecuacion de primer grado con unasola incognita
4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
El metodo de igualacion consiste en lo siguiente:
1 Despejamos la misma incognita de las dos ecuaciones
2 Igualamos ambas incognitas.
3 Al igualar obtendremos una ecuacion de primer grado con unasola incognita
4 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
5 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
Sistema resuelto por el metodo de igualacion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}
2 Despejo y en ambas ecuaciones y nos queda:
{y = 7 − 2x
y =11 − 3x
2
}3 Igualamos ambos valores de y, y tenemos que:
7 − 2x =11 − 3x
24 Resolvemos esta ecuacion de primer grado y tenemos que
2(7 − 2x) = 11 − 3x , de donde se tieneque:14− 4x = 11− 3x , de donde despejando se tiene que x=3
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
Sistema resuelto por el metodo de igualacion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}2 Despejo y en ambas ecuaciones y nos queda:
{y = 7 − 2x
y =11 − 3x
2
}
3 Igualamos ambos valores de y, y tenemos que:
7 − 2x =11 − 3x
24 Resolvemos esta ecuacion de primer grado y tenemos que
2(7 − 2x) = 11 − 3x , de donde se tieneque:14− 4x = 11− 3x , de donde despejando se tiene que x=3
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
Sistema resuelto por el metodo de igualacion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}2 Despejo y en ambas ecuaciones y nos queda:
{y = 7 − 2x
y =11 − 3x
2
}3 Igualamos ambos valores de y, y tenemos que:
7 − 2x =11 − 3x
2
4 Resolvemos esta ecuacion de primer grado y tenemos que2(7 − 2x) = 11 − 3x , de donde se tieneque:14− 4x = 11− 3x , de donde despejando se tiene que x=3
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Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
Sistema resuelto por el metodo de igualacion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}2 Despejo y en ambas ecuaciones y nos queda:
{y = 7 − 2x
y =11 − 3x
2
}3 Igualamos ambos valores de y, y tenemos que:
7 − 2x =11 − 3x
24 Resolvemos esta ecuacion de primer grado y tenemos que
2(7 − 2x) = 11 − 3x , de donde se tieneque:14− 4x = 11− 3x , de donde despejando se tiene que x=3
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Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
Sistema resuelto por el metodo de igualacion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en y = 7 − 2x , y tenemos quey = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1. De donde tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
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Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
Sistema resuelto por el metodo de igualacion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en y = 7 − 2x , y tenemos quey = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1. De donde tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Igualacion
Sistema resuelto por el metodo de igualacion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en y = 7 − 2x , y tenemos quey = 7 − 2(3) = 7 − 6 = 1. De donde tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
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Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
El metodo de reduccion consiste en lo siguiente:
1 Nos fijamos en los coeficientes de las incognitas de las dosecuaciones
2 Intentamos que los coeficientes de alguna de las incognitassean iguales y de signo contrario
3 Cuando en alguna de las incognitas los coeficientes son igualesy de signo contrario, sumamos ambas ecuaciones
4 Obtenemos una ecuacion de primer grado con una solaincognita
5 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
6 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
El metodo de reduccion consiste en lo siguiente:
1 Nos fijamos en los coeficientes de las incognitas de las dosecuaciones
2 Intentamos que los coeficientes de alguna de las incognitassean iguales y de signo contrario
3 Cuando en alguna de las incognitas los coeficientes son igualesy de signo contrario, sumamos ambas ecuaciones
4 Obtenemos una ecuacion de primer grado con una solaincognita
5 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
6 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
El metodo de reduccion consiste en lo siguiente:
1 Nos fijamos en los coeficientes de las incognitas de las dosecuaciones
2 Intentamos que los coeficientes de alguna de las incognitassean iguales y de signo contrario
3 Cuando en alguna de las incognitas los coeficientes son igualesy de signo contrario, sumamos ambas ecuaciones
4 Obtenemos una ecuacion de primer grado con una solaincognita
5 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
6 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
El metodo de reduccion consiste en lo siguiente:
1 Nos fijamos en los coeficientes de las incognitas de las dosecuaciones
2 Intentamos que los coeficientes de alguna de las incognitassean iguales y de signo contrario
3 Cuando en alguna de las incognitas los coeficientes son igualesy de signo contrario, sumamos ambas ecuaciones
4 Obtenemos una ecuacion de primer grado con una solaincognita
5 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
6 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
El metodo de reduccion consiste en lo siguiente:
1 Nos fijamos en los coeficientes de las incognitas de las dosecuaciones
2 Intentamos que los coeficientes de alguna de las incognitassean iguales y de signo contrario
3 Cuando en alguna de las incognitas los coeficientes son igualesy de signo contrario, sumamos ambas ecuaciones
4 Obtenemos una ecuacion de primer grado con una solaincognita
5 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
6 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
Antonio Enrıquez Padial TEMA 7 -SISTEMAS DE ECUACIONES
Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
El metodo de reduccion consiste en lo siguiente:
1 Nos fijamos en los coeficientes de las incognitas de las dosecuaciones
2 Intentamos que los coeficientes de alguna de las incognitassean iguales y de signo contrario
3 Cuando en alguna de las incognitas los coeficientes son igualesy de signo contrario, sumamos ambas ecuaciones
4 Obtenemos una ecuacion de primer grado con una solaincognita
5 Resolvemos la ecuacion y obtenemos el valor de una incognita
6 Con el valor de esa incognita, calculamos el de la otra
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
Sistema resuelto por el metodo de reduccion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}
2 Me fijo en los coeficientes y voy a hacer que el coeficiente dey en la primera ecuacion sea −2, para que sea el mismo queen la ecuacion de abajo pero con el signo contrario
3 Para cambiar ese coeficiente, multiplico la primera ecuacionpor (-2), y nos queda: −4x − 2y = −14
4 En ese momento lo que tenemos es este
sistema:
{−4x − 2y = −14
3x + 2y = 11
}5 Sumamos ambas ecuaciones y nos queda:−x = −3,, de
donde, x = 3
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
Sistema resuelto por el metodo de reduccion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}2 Me fijo en los coeficientes y voy a hacer que el coeficiente de
y en la primera ecuacion sea −2, para que sea el mismo queen la ecuacion de abajo pero con el signo contrario
3 Para cambiar ese coeficiente, multiplico la primera ecuacionpor (-2), y nos queda: −4x − 2y = −14
4 En ese momento lo que tenemos es este
sistema:
{−4x − 2y = −14
3x + 2y = 11
}5 Sumamos ambas ecuaciones y nos queda:−x = −3,, de
donde, x = 3
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
Sistema resuelto por el metodo de reduccion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}2 Me fijo en los coeficientes y voy a hacer que el coeficiente de
y en la primera ecuacion sea −2, para que sea el mismo queen la ecuacion de abajo pero con el signo contrario
3 Para cambiar ese coeficiente, multiplico la primera ecuacionpor (-2), y nos queda: −4x − 2y = −14
4 En ese momento lo que tenemos es este
sistema:
{−4x − 2y = −14
3x + 2y = 11
}5 Sumamos ambas ecuaciones y nos queda:−x = −3,, de
donde, x = 3
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
Sistema resuelto por el metodo de reduccion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}2 Me fijo en los coeficientes y voy a hacer que el coeficiente de
y en la primera ecuacion sea −2, para que sea el mismo queen la ecuacion de abajo pero con el signo contrario
3 Para cambiar ese coeficiente, multiplico la primera ecuacionpor (-2), y nos queda: −4x − 2y = −14
4 En ese momento lo que tenemos es este
sistema:
{−4x − 2y = −14
3x + 2y = 11
}
5 Sumamos ambas ecuaciones y nos queda:−x = −3,, dedonde, x = 3
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
Sistema resuelto por el metodo de reduccion
1 Queremos resolver el siguiente sistema:
{2x + y = 7
3x + 2y = 11
}2 Me fijo en los coeficientes y voy a hacer que el coeficiente de
y en la primera ecuacion sea −2, para que sea el mismo queen la ecuacion de abajo pero con el signo contrario
3 Para cambiar ese coeficiente, multiplico la primera ecuacionpor (-2), y nos queda: −4x − 2y = −14
4 En ese momento lo que tenemos es este
sistema:
{−4x − 2y = −14
3x + 2y = 11
}5 Sumamos ambas ecuaciones y nos queda:−x = −3,, de
donde, x = 3
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
Sistema resuelto por el metodo de reduccion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en 2x + y = 7, y tenemos que 2(3) + y = 7. Dedonde despejando tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
Nota importante
La solucion de un sistema de ecuaciones es la misma sea cual seael metodo por el que se resuelve
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Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
Sistema resuelto por el metodo de reduccion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en 2x + y = 7, y tenemos que 2(3) + y = 7. Dedonde despejando tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
Nota importante
La solucion de un sistema de ecuaciones es la misma sea cual seael metodo por el que se resuelve
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Indice1.- Conceptos previos. Definiciones
2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
Sistema resuelto por el metodo de reduccion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en 2x + y = 7, y tenemos que 2(3) + y = 7. Dedonde despejando tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
Nota importante
La solucion de un sistema de ecuaciones es la misma sea cual seael metodo por el que se resuelve
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
Sistema resuelto por el metodo de reduccion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en 2x + y = 7, y tenemos que 2(3) + y = 7. Dedonde despejando tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
Nota importante
La solucion de un sistema de ecuaciones es la misma sea cual seael metodo por el que se resuelve
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Metodo de SustitucionMetodo de IgualacionMetodo de Reduccion
Metodo de Reduccion
Sistema resuelto por el metodo de reduccion-Continuacion
1 Ya hemos obtenido el valor de la primera incognita, x = 3.Con este valor sustituimos en cualquier de las ecuaciones yobtenemos el valor de y
2 Sustituimos en 2x + y = 7, y tenemos que 2(3) + y = 7. Dedonde despejando tenemos que y = 1
3 Por tanto, las soluciones de este sistema son: x = 3 e y = 1
Nota importante
La solucion de un sistema de ecuaciones es la misma sea cual seael metodo por el que se resuelve
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Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Pasos a seguir para resolver un problema con sistemas deecuaciones
1 Identificamos las incognitas, x e y
2 Planteamos las ecuaciones a partir del enunciado del problema
3 Resolvemos el sistema por alguno de los metodos aprendidos
4 Comprobamos que los resultados obtenidos sean correctos
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Pasos a seguir para resolver un problema con sistemas deecuaciones
1 Identificamos las incognitas, x e y
2 Planteamos las ecuaciones a partir del enunciado del problema
3 Resolvemos el sistema por alguno de los metodos aprendidos
4 Comprobamos que los resultados obtenidos sean correctos
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Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Pasos a seguir para resolver un problema con sistemas deecuaciones
1 Identificamos las incognitas, x e y
2 Planteamos las ecuaciones a partir del enunciado del problema
3 Resolvemos el sistema por alguno de los metodos aprendidos
4 Comprobamos que los resultados obtenidos sean correctos
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Pasos a seguir para resolver un problema con sistemas deecuaciones
1 Identificamos las incognitas, x e y
2 Planteamos las ecuaciones a partir del enunciado del problema
3 Resolvemos el sistema por alguno de los metodos aprendidos
4 Comprobamos que los resultados obtenidos sean correctos
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Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Resolucion de un problema con sistemas de ecuaciones
En una granja se crıan gallinas y conejos. Si se cuentan lascabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuantos animaleshay de cada clase?
1 Identificamos las incognitas: X=numero conejos; Y=numerogallinas.
2 Planteamos la primera ecuacion: x+y=50
3 Planteamos la segunda ecuacion: 4x+2y=134
4 Planteamos el sistema:
{x + y = 50
4x + 2y = 134
}5 Resolvemos el sistema por el metodo que mas nos guste, en
este caso, por sustitucion:
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Resolucion de un problema con sistemas de ecuaciones
En una granja se crıan gallinas y conejos. Si se cuentan lascabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuantos animaleshay de cada clase?
1 Identificamos las incognitas: X=numero conejos; Y=numerogallinas.
2 Planteamos la primera ecuacion: x+y=50
3 Planteamos la segunda ecuacion: 4x+2y=134
4 Planteamos el sistema:
{x + y = 50
4x + 2y = 134
}5 Resolvemos el sistema por el metodo que mas nos guste, en
este caso, por sustitucion:
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2.- Metodos para la resolucion de Sistemas de Ecuaciones3.- Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
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Resolucion de un problema con sistemas de ecuaciones
En una granja se crıan gallinas y conejos. Si se cuentan lascabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuantos animaleshay de cada clase?
1 Identificamos las incognitas: X=numero conejos; Y=numerogallinas.
2 Planteamos la primera ecuacion: x+y=50
3 Planteamos la segunda ecuacion: 4x+2y=134
4 Planteamos el sistema:
{x + y = 50
4x + 2y = 134
}5 Resolvemos el sistema por el metodo que mas nos guste, en
este caso, por sustitucion:
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En una granja se crıan gallinas y conejos. Si se cuentan lascabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuantos animaleshay de cada clase?
1 Identificamos las incognitas: X=numero conejos; Y=numerogallinas.
2 Planteamos la primera ecuacion: x+y=50
3 Planteamos la segunda ecuacion: 4x+2y=134
4 Planteamos el sistema:
{x + y = 50
4x + 2y = 134
}
5 Resolvemos el sistema por el metodo que mas nos guste, eneste caso, por sustitucion:
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Resolucion de un problema con sistemas de ecuaciones
En una granja se crıan gallinas y conejos. Si se cuentan lascabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuantos animaleshay de cada clase?
1 Identificamos las incognitas: X=numero conejos; Y=numerogallinas.
2 Planteamos la primera ecuacion: x+y=50
3 Planteamos la segunda ecuacion: 4x+2y=134
4 Planteamos el sistema:
{x + y = 50
4x + 2y = 134
}5 Resolvemos el sistema por el metodo que mas nos guste, en
este caso, por sustitucion:
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Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Resolucion de un problema con sistemas deecuaciones-Continuacion
1 Si aplicamos sustitucion, despejo x de la primera ecuacion ynos queda que x = 50 − y
2 Sustituimos ese valor de x en la otra ecuacion y tenemos:4(50 − y) + 2y = 134. Resolvemos y tenemos que:200 − 4y + 2y = 134. Resolvemos y tenemos que: 2y = 74, dedonde y = 32. Por tanto el numero de gallinas es 32.
3 Con ese valor de y, calculamos el valor de x, y tenemos quex + 32 = 50, de donde x = 18
4 De donde tenemos que hay 32 gallinas y 18 conejos.
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Resolucion de Problemas con sistemas de ecuaciones
Resolucion de un problema con sistemas deecuaciones-Continuacion
1 Si aplicamos sustitucion, despejo x de la primera ecuacion ynos queda que x = 50 − y
2 Sustituimos ese valor de x en la otra ecuacion y tenemos:4(50 − y) + 2y = 134. Resolvemos y tenemos que:200 − 4y + 2y = 134. Resolvemos y tenemos que: 2y = 74, dedonde y = 32. Por tanto el numero de gallinas es 32.
3 Con ese valor de y, calculamos el valor de x, y tenemos quex + 32 = 50, de donde x = 18
4 De donde tenemos que hay 32 gallinas y 18 conejos.
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Resolucion de un problema con sistemas deecuaciones-Continuacion
1 Si aplicamos sustitucion, despejo x de la primera ecuacion ynos queda que x = 50 − y
2 Sustituimos ese valor de x en la otra ecuacion y tenemos:4(50 − y) + 2y = 134. Resolvemos y tenemos que:200 − 4y + 2y = 134. Resolvemos y tenemos que: 2y = 74, dedonde y = 32. Por tanto el numero de gallinas es 32.
3 Con ese valor de y, calculamos el valor de x, y tenemos quex + 32 = 50, de donde x = 18
4 De donde tenemos que hay 32 gallinas y 18 conejos.
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Resolucion de un problema con sistemas deecuaciones-Continuacion
1 Si aplicamos sustitucion, despejo x de la primera ecuacion ynos queda que x = 50 − y
2 Sustituimos ese valor de x en la otra ecuacion y tenemos:4(50 − y) + 2y = 134. Resolvemos y tenemos que:200 − 4y + 2y = 134. Resolvemos y tenemos que: 2y = 74, dedonde y = 32. Por tanto el numero de gallinas es 32.
3 Con ese valor de y, calculamos el valor de x, y tenemos quex + 32 = 50, de donde x = 18
4 De donde tenemos que hay 32 gallinas y 18 conejos.
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