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TEMA 6: Ecuaciones 6.1 Ecuaciones. Solución de una ecuación Ejemplo 1. Determina si las siguientes expresiones son ecuaciones: a. 3 x 15 0 Ecuación con la x en el denominador b. a 2 5 8a 3 Ecuación polinómica c. 3 3 No es una ecuación, es una verdad matemática d. 3x 1 7 Ecuación polinómica e. 5 x 2 2x 1 67x 9 Ecuación con radicales f. 2 x 3 3x 2 3x3 56 Ecuación con la x en el exponente 2. Determina si 2 es solución de alguna de estas ecuaciones: a. 4x 8 3 Sustituimos x por el valor 2 4 2 8 3 8 8 3 FALSO Entonces no es solución b. x 1 2 x 2 2x 1 Sustituimos x por el valor 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 4 4 1 CIERTO Entonces es solución Tareas 08-01-16: todos los ejercicios de la página 104 3 Tanteando, halla la solución de las siguientes ecuaciones: a. 4x 8 3 Hacemos x 1 4 1 8 3 4 8 3 4 3 no vale Hacemos x 2 4 2 8 3 8 8 3 0 3 no vale Hacemos x 3 4 3 8 3 12 8 3 4 3 no vale Hacemos x 11 4 4 11 4 8 3 11 8 3 3 3 si vale 4 Encuentra la solución, aproximando hasta las décimas, de las siguientes ecuaciones. Hazlo por tanteo ayudándote de la calculadora. 1

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TEMA 6: Ecuaciones

6.1 Ecuaciones . Solución de una ecuaciónEjemplo1. Determina si las siguientes expresiones son ecuaciones:

a. 3x � 15 � 0

Ecuación con la x en el denominadorb. a2 � 5 � 8a � 3

Ecuación polinómicac. 3 � 3

No es una ecuación, es una verdad matemáticad. 3x � 1 � 7

Ecuación polinómicae. 5 x2 � 2x � 1 � 67x � 9

Ecuación con radicalesf. 2x3�3x2�3x�3 � 56

Ecuación con la x en el exponente2. Determina si �2 es solución de alguna de estas ecuaciones:

a. 4x � 8 � 3Sustituimos x por el valor �24 � ��2� � 8 � 3�8 � 8 � 3 FALSOEntonces no es solución

b. �x � 1�2 � x2 � 2x � 1Sustituimos x por el valor �2��2 � 1�2 � ��2�2 � 2 � ��2� � 112 � 4 � 4 � 1 CIERTOEntonces es solución

Tareas 08-01-16: todos los ejercicios de la página 1043 Tanteando, halla la solución de las siguientes ecuaciones:

a. 4x � 8 � 3� Hacemos x � 1

4 � 1 � 8 � 34 � 8 � 3�4 � 3 no vale

� Hacemos x � 24 � 2 � 8 � 38 � 8 � 30 � 3 no vale

� Hacemos x � 34 � 3 � 8 � 312 � 8 � 34 � 3 no vale

� Hacemos x � 114

4 � 114

� 8 � 3

11 � 8 � 33 � 3 si vale

4 Encuentra la solución, aproximando hasta las décimas, de las siguientes ecuaciones. Hazlo portanteo ayudándote de la calculadora.

1

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a. x4 � 3 � 20500� Hacemos x � 300

3004 � 3 � 8100 000 003� Hacemos x � 11

114 � 3 � 14 644� Hacemos x � 12

124 � 3 � 20 739Entonces estará entre 11 y 12� Hacemos x � 11. 4

11. 44 � 3 � 16893� Hacemos x � 11. 8

11. 84 � 3 � 19391.� Hacemos x � 11. 9

11. 94 � 3 � 20056.La aproximación hasta las décimas es 12.0

Tareas 08-01-16: todos los ejercicios de la página 105

6.2 Ecuaciones de primer gradoEjemplo1. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado aplicando las transformaciones propias de

esta situación:a. 3x � 6 � 5x � 17

3x � 6 � 6 � 5x � 17 � 63x � 5x � 17 � 63x � 5x � 5x � 5x � 17 � 63x � 5x � 17 � 6�2x � 23�2x�2

� 23�2

x � 23�2

b. 3x � 6 � 5x � 173�x � 2� � 5x � 173�x � 2�

3� 5x � 17

3x � 2 � 5x

3� 17

32. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:

a. 4x � 6 � 84x � 8 � 64x � 14

x � 144

� 72

b. 6 � 3�x � 5� � 9 � 2�7x � 8�, Solution is: 2817

6 � 3x � 15 � 9 � 14x � 1621 � 9 � 16 � 14x � 3x28 � 17x

x � 2817

c. 3x � 54

� 7 � x3

� 1 � 6x � 86

, Solution is: 3925

�3x � 5�312

��7 � x�4

12� 12

12�

2�6x � 8�12

�3x � 5�3 � �7 � x�4 � 12 � 2�6x � 8�9x � 15 � 28 � 4x � 12 � 12x � 16

2

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13x � 12x � �4 � 15 � 2825x � 39

x � 3925

Tareas 13-01-16: todos los ejercicios de la página 107

6.3 Ecuaciones de segundo gradoEjemplo1. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado calculando por separado el discriminante:

a. x2 � 174

x � 154

� 0

4 x2 � 174

x � 154

� 0

4x2 � 17x � 15 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 4

b � 17

c � �15

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�17 � 172 � 4 � 4 � ��15�2 � 4

��17 � 529

8� �17 � 23

8�

�17 � 238

� 34

�17 � 238

� � 5

� � 172 � 4 � 4 � ��15� � 529 � 0 �tenemos dos soluciones distintas529 � 23

b. 0 � x2 � 28x � 196

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � 28

c � 196

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�28 � 282 � 4 � 1 � 1962 � 1

��28 � 0

2� �28

2� � 14

� � 282 � 4 � 1 � 196 � 0 � 0 �entonces tenemos una solución única doblec. 0 � x2 � 4x � 13

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �4

c � 13

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���4� � ��4�2 � 4 � 1 � 13

2 � 1�

4 � �362

no tiene solución pues no podemos calcular raíces de números negativos� � ��4�2 � 4 � 1 � 13 � � 36 � 0 �entonces no tiene solución

Tareas 14-01-16: todos los ejercicios de la página 1082 Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas, y calcula su discriminante:

a. 45x2 � 5 � 045x2 � 5

x2 � 545

x2 � 19

x � � 19

� � 13

3

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Ecuación de 2º grado incompleta con

a � 45

b � 0

c � �5

� � b2 � 4ac � 02 � 4 � 45 � ��5� � 900 � 0 �tienes dos soluciones distintasb. 6x � 27x2 � 0

x�6 � 27x� � 0"El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero "

x � 0

6 � 27x � 0 � 6 � 27x � x � 627

� 29

Ecuación de 2º grado incompleta con

a � �27

b � 6

c � 0

� � b2 � 4ac � 62 � 4 � ��27� � 0 � 36 � 0 � tienes dos soluciones distintasTareas 14-01-16: todos los ejercicios de la página 1093 Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado:

a. x � 14

x � 14

� �x � 1�2 � 1516

� �x � 1�2 � 4x

x2 � 14

2� x2 � 2 � x � 1 � 12 � 15

16� x2 � 2 � x � 1 � 12 � 4x

x2 � 116

� x2 � 2x � 1 � 1516

� x2 � 2x � 1 � 4x

x2 � 116

� 2x � 1516

� 2x

x2 � 116

� 2x � 1516

� 2x � 0

x2 � 1616

� 0

x2 � 1 � 0x2 � 1x � � 1 � �1

Tareas 15-01-16: todos los ejercicios de las páginas 110 y 111.

6.4 Resolución de problemas con ecuacionesTareas 18-01-16: todos los ejercicios de las páginas 112 y 113.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS1.

f x � 7 � 2x � 11 pues al restarle 7 nos da 4 cuya raíz es 2

Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 12

4

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d x3 � x2 � x � 15Vamos dando valores a la x hasta acertar:� x � 2 23 � 22 � 2 � 2� x � 5 53 � 52 � 5 � 95� x � 3 33 � 32 � 3 � 15

La solución es x � 3Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 23

f x0.75 � 17Vamos dando valores a la x hasta quedarnos muy próximos a la solución:� x � 4 40.75 � 2. 828 4� x � 10 100.75 � 5. 623 4� x � 20 200.75 � 9. 457 4� x � 40 400.75 � 15. 905� x � 45 450.75 � 17. 374� x � 43 430.75 � 16. 792� x � 44 440.75 � 17. 084

Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 34

d 4�2x � 7� � 3�3x � 1� � 2 � �7 � x�8x � 28 � 9x � 3 � 2 � 7 � x�x � 31 � �5 � x5 � 31 � x � x�26 � 2x

x � �262

� � 13

Comprobación:� 4�2��13� � 7� � 3�3��13� � 1� � 4��26 � 7� � 3��39 � 1� � 4 � ��33� � 3��38� �

� �132 � 114 � � 18� 2 � �7 � ��13�� � 2 � �7 � 13� � 2 � 20 � �18

Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 45

e 2x � 43

� 3 � 4 � x2

m. c. m. �3, 2� � 6

5

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�6 � 3� � �2x � 4�6

��6 � 1� � 3

6�

�6 � 2� � �4 � x�6

Como tenemos una igualdad entre fracciones que tienen todas el mismodenominador se pueden suprimir los denominadores:2�2x � 4� � 6 � 3 � 3�x � 4�4x � 8 � 18 � 3x � 124x � 3x � 6 � 87x � 14

x � 147

� 2

Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 56

d 2x � 12�1 � 3x� � 3

5�x � 2� � 1

4�3 � x� m. c. m. �2, 5, 4� � 20

20 � 2x � 10 � 1 � �1 � 3x� � 4 � 3 � �x � 2� � 5 � 1 � �3 � x�40x � 10 � 30x � 12x � 24 � 15 � 5x�2x � 14 � 15 � 5x�2x � 5x � 15 � 143x � 1

x � 13

Comprobación:

� 2 � 13

� 12�1 � 3 � 1

3� � 3

5� 1

3� 2� � 2

3� 1

2�1 � 1� � 3

5� 1 � 6

3� �

� 23

� 1 � 35

� �53

� 23

� 1 � 1 � 23

�14�3 � 1

3� � 1

4� 9 � 1

3� � 1

4� 8

3� 8

12� 2

3Tareas 20-01-16: todos los ejercicios que faltan del 67

cx�x � 1�

2�

�2x � 1�2

8� 3x � 1

4� 1

8m. c. m. �2, 8, 4� � 8

4x�x � 1� � ��2x�2 � 2 � 2x � 1 � 12� � 2�3x � 1� � 14x2 � 4x � 4x2 � 4x � 1 � 6x � 2 � 18x � 6x � 28x � 6x � 22x � 2

x � 22

� 1

Advertencia: los deberes se entregarán a las 12:50 de la clase del día22-01-16Tareas 21-01-16: todos los ejercicios que faltan del 78

6

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d x � 2x � 74

� 2x � x � 12

m. c. m. �4, 2� � 4

4x � 2x � 7 � 8x � 2x � 24x � 7 � 8x � 2�7 � 2 � 8x � 4x�5 � 4x

x � �54

Comprobación:

��54

�2 � �5

4� 7

4� �5

4�

�104

� 7

4�

�20 � 10 � 2844

�5844

� 2 � �54

�54

� 1

2� �10

4�

�5 � 442

� �104

�942

� �104

�2 � �9

44

�4044

�1844

�5844

Tareas 21-02-16: todos los ejercicios que faltan del 89

d�x � 1�2

16� 1 � x

2�

�x � 1�2

16� 2 � x

4m. c. m. �16, 2, 4� � 16

�x � 1�2 � 8�1 � x� � �x � 1�2 � 4�2 � x�x2 � 2x � 1 � 8 � 8x � x2 � 2x � 1 � 8 � 4x�6x � �6x0 � 0Como la igualdad es cierta para cualquier valor de la x, la ecuación tiene infinitassoluciónes (cualquier valor que le des a la x la cumple)

Tareas 21-02-16: todos los ejercicios que faltan del 910

d x�8x � 1� � �3x � 4�2 � x�7 � x� � 2�x � 4�8x2 � x � ��3x�2 � 2 � 3x � 4 � 42� � 7x � x2 � 2x � 88x2 � x � 9x2 � 24x � 16 � 5x � x2 � 88x2 � x � 9x2 � 24x � 5x � x2 � 16 � 818x � 24

x � 2418

� 43

Tareas 21-02-16: todos los ejercicios que faltan del 10

7

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a. 3x2 � 12x � 0Ecuación de 2º grado incompleta pues c � 03x�x � 4� � 0Un producto es igual a cero si uno de los multiplicandos es cero.� x � 0

Ó� x � 4 � 0

x � 4Tenemos dos soluciones distintas

h 3x2 � 6 � 0Ecuación de 2º grado incompleta pues b � 03x2 � 6

x2 � 63

� 2

x � � 2Tareas 21-01-16: todos los ejercicios que faltan del 11Tareas 22-01-16: 12, 1314

d 5�x � 2�2 � �7x � 3��x � 2� � 05�x2 � 4x � 4� � �7x2 � 14x � 3x � 6� � 05x2 � 20x � 20 � 7x2 � 17x � 6 � 0�2x2 � 3x � 14 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � �2

b � 3

c � 14

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�3 � 32 � 4 � ��2� � 14

2 � ��2��

�3 � 121�4

� �3 � 11�4

�3 � 11�4

� 8�4

� �2

�3 � 11�4

� �14�4

� 72

Tareas 26-01-16: todos los ejercicios que faltan del 1415

d �x � 4�2 � �2x � 1�2 � 8x

8

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x2 � 8x � 16 � �4x2 � 4x � 1� � 8xx2 � 16 � 4x2 � 4x � 1 � 0�3x2 � 4x � 15 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � �3

b � 4

c � 15

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�4 � 42 � 4 � ��3� � 15

2 � ��3��

�4 � 196�6

� �4 � 14�6

�4 � 14�6

� 10�6

� � 53

�4 � 14�6

� �18�6

� 3

Tareas 26-01-16: todos los ejercicios que faltan del 1516

e x � 12

��x � 1�2

4� x � 2

3�

�x � 2�2

6� 1

6m. c. m. �2, 4, 3, 6� � 12

6�x � 1� � 3�x2 � 2x � 1� � 4�x � 2� � 2�x2 � 4x � 4� � 26x � 6 � 3x2 � 6x � 3 � 4x � 8 � 2x2 � 8x � 8 � 2�x2 � 3 � 2 � 0�x2 � 1 � 0Ecuación de 2º grado incompleta pues b � 01 � x2

x � � 1 � �1Tareas 26-01-16: todos los ejercicios que faltan del 1617

d x2 � 43

��2x � 2�2

8� 7x2 � 10

12m. c. m. �3, 8, 12� � 24

8�x2 � 4� � 3�4x2 � 8x � 4� � 2�7x2 � 10�8x2 � 32 � 12x2 � 24x � 12 � 14x2 � 2020x2 � 14x2 � 24x � 20 � 20 � 06x2 � 24x � 0Ecuación de 2º grado incompleta pues c � 06x�x � 4� � 0El producto de dos números es cero si uno de ellos es cero.� x � 0

Ó� x � 4 � 0

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x � 4Tareas 26-01-16: todos los ejercicios que faltan del 1718

d 15x � 72 � 6x

2x2 � 2 m. c. m�x, 2x2� � 2x2

�2x2 � x� � 152x2 �

�2x2 � 2x2� � �72 � 6x�2x2 �

�2x2 � 1� � 22x2

30x � 72 � 6x � 4x2

0 � 72 � 6x � 30x � 4x2

0 � 72 � 36x � 4x2

0 � �18 � 9x � x2�40 � 18 � 9x � x2

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �9

c � 18

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���9� � ��9�2 � 4 � 1 � 18

2 � 1�

9 � 92

� 9 � 32

9 � 32

� 122

� 6

9 � 32

� 62

� 3

Tareas 26-01-16: todos los ejercicios que faltan del 18Tareas 27-01-16: 19, 2021

El primer número impar es 2x � 1, el siguiente número impar es 2x � 3 y el tercer número impares 2x � 5"tres números impares consecutivos cuya suma es 117" 2x � 1 � 2x � 3 � 2x � 5 � 117Hay que resolver la ecuación planteada:6x � 117 � 9

x � 1086

� 18

Entonces los números impares son

2 � 18 � 1 � 37

39

41

Comprobación: 37 � 39 � 41 � 117Tareas 27-01-16: 22, 2324

Llamamos x al precio inicial.

10

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Los datos que nos dan son:� el precio ha subido un 15% en diciembre:

¿Cuánto costaban los zapatos en diciembre?

x � 15x100

� x � 0. 15x � 1. 15x

� el precio ha bajado un 20% en enero:¿Cuánto costaban los zapatos en enero?

1. 15x � 20 � 1. 15x100

� 1. 15x � 23. 0x100

� 1. 15x � 0. 23x � 0. 92x

� el precio inicial ha disminuido en 6. 96 euros:0. 92x � x � 6. 96

Resolver la ecuación:�x � 0. 92x � �6. 96�0. 08x � �6. 96

x � �6. 96�0. 08

� 87. 0

El precio inicial era 87 eurosTareas 27-01-16: 25, 2627

El primer entero es x, su siguiente es x � 1Tenemos que:� "la suma de sus cuadrados es 145" x2 � �x � 1�2 � 145

Resolver la ecuación:x2 � x2 � 2x � 1 � 1452x2 � 2x � 144 � 02�x2 � x � 72� � 0"El producto de números es cero si uno de ellos es cero"x2 � x � 72 � 0

Ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � 1

c � �72

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�1 � 12 � 4 � 1 � ��72�2 � 1

� �1 � 172

�1 � 172

� 162

� 8

�1 � 172

� �182

� �9

Las soluciones son : �8, 9�,��9,�8�Comprobación:� 82 � 92 � 145� ��9�2 � ��8�2 � 145

Tareas 27-01-16: 28, 29

30

Llamamos x a los años que tienen que transcurrir:Tenemos la tabla siguiente:

11

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edad actual edad después de x años

padre 43 43 � x

hijo mayor 11 11 � x

hijo menor 9 9 � x

Los datos son:"entre los dos hijos igualen la edad del padre" 43 � x � 11 � x � 9 � xResolver la ecuación:43 � 20 � xx � 23Tienen que pasar 23 años

Tareas 27-01-16: 31,3233

Consideramos la tabla siguiente:

aceite de orujo aceite de oliva mezcla

cantidad (l) x 60 60 � x

precio (euros/l) 1. 60 2. 80 2. 50

coste x � 1. 6 60 � 2. 80 � 168. 0 2. 5�60 � x�

El coste de la mezcla tiene que ser igual al coste de los ingredientes:1. 6x � 168 � 2. 5�60 � x�, Solution is: 20. 01. 6x � 168 � 150 � 2. 5x168 � 150 � 2. 5x � 1. 6x18 � 0. 9x

x � 180. 9

� 20. 0

Se necesitan 20 l de aceite de orujoTareas 28-01-16: 34,3536

x son las plazas del autobusLos datos que te dan son:� con todas las plazas ocupadas el precio del billete es 12 euros 12 � x cuesta utilizar el

autobus� 4 plazas libres el viaje cuesta 13.5 euros �x � 4� � 13. 5 cuesta utilizar el autobus

En ambos casos el coste es el mismo:12x � �x � 4�13. 5, Solution is: 36. 012x � 13. 5x � 5454 � 13. 5x � 12x

x � 541. 5

� 36. 0

El autobus tiene 36 plazasTareas 28-01-16: 37,3839

12

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Llamamos x a la cantidad ingresada en el banco primero.Tenemos los siguientes datos:

� x va a la cuenta que le dan un 4% 4% de x � 4x100

me dan anualmente

� 28000-x va a la cuenta que le dan 3.5% 3. 5% de �28000 � x� �3. 5�28000 � x�

100me dan

anualmente� la primera parte produce anualmente 220 euros más que la

segunda 4x100

� 220 �3. 5�28000 � x�

100Resolvemos la ecuación:

4x100

� 220 �3. 5�28000 � x�

100, Solution is: 16000. 0

4x � 22000 � 98000 � 3. 5x4x � 3. 5x � 120000

x � 1200007. 5

� 16000. 0

28000 � 16000 � 12 000Colocamos en un banco 16000 euros y 12000 euros en el otro.

Tareas 28-01-16: 37,3842

El tiempo que conduce a 80 km/h es xLos datos que tenemos es que:� se para 15 min

� conduce un buen rato a 100 km/hrecorre una distancia de 100�2 � 34

� x�

� recorre 250 km 250 � x � 80 � 100�2 � 34

� x�

� tarda 3 horas contando la paradaestá en movimiento 2 horas y 45 minutos (se para 15minutos)

� e � v � tResolvemos la ecuación:

250 � x � 80 � 100�2 � 34

� x�

250 � x � 80 � 100�2. 75 � x�, Solution is: 1. 25Esta conduciendo a 80 km/h una hora y quince minutos.

Tareas 28-01-16: 40,41Tareas 29-01-16: 43,4445

Realizamos un dibujo de la situación:

13

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Sabemos que el área de un rectángulo es base por la altura:60 � �x � 5��x � 2�, Solution is: 7,�1060 � x � x � x � 2 � 5 � x � 5 � 2Los lados del rectángulo son 7 y 7 � 5 � 12 en cm

Tareas 29-01-16: 46,4748

El resto es 101 en vez de 475.Se cumple que: D � d � c � rLlamamos x al número menorLos datos que tenemos son:� dos números naturales que suma 85el número mayor será 85 � x� al dividir el cuadrado del mayor entre el cuadrado del menor se obtiene 5 de cociente y

101 de resto �85 � x�2 � x2 � 5 � 101Resolvemos la ecuación:

�85 � x�2 � x2 � 5 � 101, Solution is: 26,� 1372

852 � 2 � 85 � x � x2 � x2 � 5 � 101Sòlo nos vale el 26.Los números naturales pedidos son 26 y 85 � 26 � 59

Tareas 29-01-16: 49,50,5251

El grifo uno (rápido) tarda x horas en llenar el depósito.El grifo dos (lento) tarda 2x horas en llenar el depósito.Los datos adicionales son:

� abriendo los dos a la vez, tardan ocho horas en una hora 18

del depósito se

llenará 18

� 1x � 1

2x� en una hora el grifo uno llena 1

xdel depósito.

� en una hora el grifo dos llena 12x

del depósito.

Resolvemos la ecuación:18

� 1x � 1

2x, Solution is: 12

18

� 1x � 1

2xm. c. m. �8, x, 2x� � 8x

�8x � 8� � 18x

��8x � x� � 1

8x�

�8x � 2x� � 18x

Como a ambos lados de la igualdad tenemos el mismo denominador, los puedo suprimir.x � 8 � 4x � 12

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