TEMA 6 Inducción electromagnética

6.1 Fem inducida y ley de Faraday.

6.2 Ley de Lenz.

6.3 Auto inductancia y inductancia mutua.

6.4 Energía magnética.

6.5 Transitorios en corriente continua: circuito RL

6.6 Oscilaciones en circuitos LC y RLC sin generador

6.1 Fem inducida y ley de Faraday (1831)

• Experimento a: al mover un circuito en un campo magnético circula una corriente por el circuito

• Experimento b: al mover el imán respecto del circuito también circula una corriente

• Experimento c: al variar la intensidad del campo magnético (usando un electroimán) también se genera una corriente.

B

Fem inducida por el movimiento (relativo) de un circuito en un campo B

vBhBdlvE

b

a

fem

Fem = fuerza por unidad de carga necesaria para que las cargas recorran el circuito. En este circuito la fuerza magnética empuja

las cargas del punto a al punto b.

BvqF

B

BxhdAnBm ˆ

v

dt

dx fem

m EBvhdt

d

En esta experiencia la fuerza electromotriz es de origen magnético. La corriente que se induce genera un campo B que se opone a la disminución del flujo magnético que atraviesa el circuito.

Fem inducida por un campo magnético variable

Un campo magnético variable induce un campo eléctrico (y por lo tanto una fuerza eléctrica que actúa sobre las cargas y produce una corriente).

Ley de Faraday

Cuando cambia el flujo magnético que atraviesa un circuito, se induce en el circuito un campo eléctrico que es no conservativo (E-V), que da lugar a una fem, que a su vez induce una corriente.

dt

dE m

fem

Forma integral de la ley de Faraday

dAn

t

BdAnEldE

C

ˆˆ

dAnBdt

dldE

C

ˆ

t

BE

Forma diferencial

de la ley de Faraday

6.2 Ley de Lenz (1834) • La fem y la corriente inducidas poseen dirección y sentido tal que tienden a

oponerse a la variación que las produce.

• Cuando se produce una variación del flujo magnético que atraviesa un circuito la corriente inducida genera un campo magnético cuyo flujo magnético compensa la variación del flujo externo.

Ejemplos de aplicación de la Ley de Lenz

Cuando circula una corriente el anillo salta. http://www.youtube.com/watch?v=Pl7KyVIJ1iE

Fem auto-inducida • Cuando el circuito esta cerrado circula una corriente estacionaria, que genera un

campo magnético.

• Hay por tanto un flujo de campo magnético que atraviesa la bobina.

• Cuando abrimos el interruptor la corriente varia rápidamente y la fem inducida en la bobina intenta mantener circulando la corriente (se opone al cambio)

• El campo eléctrico entre los bordes el interruptor es suficientemente grande para provocar la ruptura dieléctrica del aire.

• El aire conduce la corriente eléctrica en forma de chispa.

• La corriente que circula por un circuito que contiene una bobina varia en forma continua: no puede cambiar instantaneamente.

Fem de movimiento: Ejemplo 1 • Determinar la carga total que circula por el circuito (que se puede medir con un

integrador de corriente representado por la letra C) cuando la bobina gira 1800 alrededor del eje vertical.

dt

dQRRIE fem

dt

dE m

fem

R

ddQ m

RQ m

NBAdAnBm ˆ

• Al girar la normal cambia de sentido.

NBAinicial

m

final

mm 2 R

NBAQ

2

Fem de movimiento: Ejemplo 2

• Una varilla conductora desliza con velocidad constante a lo largo de dos conductores unidos por una resistencia. Determinar la fem inducida.

dAnBmˆ

vdtlBm

vlBdt

dE m

fem

Fem de movimiento: Ejemplo 3

• Una varilla conductora se mueve con velocidad constante en un campo magnético.

• La fuerza magnética hace que en los extremos de la barra se acumulen cargas de signo opuesto.

• Estas cargas generan un campo eléctrico que, en equilibrio, hace una fuerza igual y opuesta al campo magnético.

m

• La diferencia de potencial entre los extremos de la barra es (si no circula corriente).

BvE

BvlV

Generador de ac

• Una bobina que gira con velocidad angular constante en un campo magnético crea una fem sinusoidal.

dt

dE m

fem

tNBAm cos

• La energía procede de una central hidroeléctrica o turbina de vapor que hace girar a la bobina.

• La energía se envía a un circuito externo mediante un contacto a un anillo deslizante

Corrientes de Foucault (1855)

En un trozo de conductor un campo magnético variable genera un corriente “inducida” que disipa energía.

)(tI Si sacamos el conductor aparece una fuerza magnética que se opone al movimiento (al igual que en el ejemplo de la diapositiva 3).

Para evitar las corrientes de Foucault:

Las corrientes de Foucault también pueden ser útiles. Por ejemplo, para amortiguar oscilaciones y para frenar vagones de tren…

6.3 Auto inductancia

• El flujo magnético que atraviesa un circuito es proporcional a la corriente que circula por el circuito.

LIm L es la auto inductancia del circuito

• Unidad: Henry. 1 H = 1 Wb/A = 1 Tm2/A

• Si el circuito es una bobina de longitud l y N vueltas (n=N/l)

NBAm nIB 0 IAlnm 2

0 AlnL 2

0

• La fem inducida es dt

dIL

dt

dE m

fem

Inductancia mutua • El flujo magnético que atraviesa el circuito 2 es proporcional a la corriente que

circula por el circuito 1.

1122, IMm

• Y vice-versa.

2211, IMm

• Ejemplo: solenoide con N1 y N2 vueltas.

11101 rr si InB

2

1122 rBN

2

121012 rlnnM

• M12 y M21 son los coeficientes de inductancia mutua.

Inductancia mutua: formula de Newmann

111

1212121

CSS

ldAdanAdanB

2

2202

4C

r

ldIA

1 2

12201

4C C

r

ldldI

1 2

12012

4C C

r

ldldM

• La inductancia mutua depende solo de la geometría.

• M12 = M21

6.4 Energía magnética

• Se necesita hacer un cierto trabajo para que una corriente circule por un circuito.

• Además de la energía que se disipa en la resistencia por efecto Joule, hay que hacer trabajo contra la fem inducida que se opone a la variación de la corriente.

• Esta energía es conservativa y se recupera cuando la corriente se apaga.

Idt

dIL

dt

dQE

dt

dWfem

LIm dt

dE m

fem

Trabajo hecho por la batería

dt

dILI

dt

dW

dt

dUm Variación de energía potencial magnética en la bobina

CLIUm 2

2

1

Para un solenoide infinito: AlnL 2

0donde C es una constante arbitraria.

AlB

n

BAlnLIUm

0

22

0

2

0

2

22

1

2

1

nIB 0

0

2

2

Bum

Densidad de energía magnética.

6.5 Transitorios en un circuito RL

dt

dILIRE fem

tLRfeme

R

EI )(1

RL /Constante de tiempo

xdt

xd 2

02

2

6.6 Oscilaciones en un circuito LC

0C

Q

dt

dIL

dt

dQI

02

2

C

Q

dt

QdL Q

LCdt

Qd 12

2

Ecuación de un M.A.S.

tQQ cos 00

tQdt

dQI sin 000

Condiciones iniciales Q=Q0, I=0 =0

LC

10

Frecuencia natural del circuito LC

Oscilaciones amortiguadas en un circuito RLC sin generador

0 RIC

Q

dt

dIL

02

2

C

Q

dt

dQR

dt

QdL

Oscilador armónico amortiguado