tema 6 continuidad

LIMITES

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LIMITES

LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

En este concepto analizaremos dos partes dentro de los limites. Imaginaros que trabajamos con la siguiente función:

𝑓(𝑥) = 𝑥! + 1

Si damos valores a 𝑥 próximos a 2 por la izquierda, las imágenes se acercan cada vez mas a 5;

𝑥 1,9 1,99 1,999 → 2 𝑓(𝑥) 4,61 4,9601 4,996001 → 5

Ahora vamos a hacer el mismo procedimiento, pero acercándonos a 2por la derecha:

𝑥 2,1 2,01 2,001 → 2 𝑓(𝑥) 5,41 5,0401 5,004001 → 5

Como hemos podido comprobar acercándonos a 2 tanto por la derecha como por la izquierda el valor al que llegamos es de 5, esto quiere decir que el valor del limite de la función 𝑓(𝑥) =𝑥! + 1 cuando 𝑥 tiende a 2,es de 5.

Lo que acabamos de hacer se llama LIMITES LATERALES y es un concepto que esta dentro de lo que llamamos LIMITE.

𝑙𝑖𝑚"→!

(𝑥! + 1) = 5

Es muy importante destacar que, a la hora de calcular el limite de una función en un punto 𝑥 =𝑎 , no es importante realmente el valor de la función en ese punto en concreto, sino a su alrededor.

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CALCULO DE LIMITES EN UN PUNTO

El calculo de limites de funciones en puntos en concreto puede ser muy fácil o difícil, según los casos. Te voy a enseñar algunos casos para que veas varios procedimientos:

• 𝑙𝑖𝑚"→$

𝑥! →La función es continua en todo su dominio y por tanto en 𝑥 = 3 también.

Entonces; 𝑙𝑖𝑚"→$

𝑥! = 3! = 9

• 𝑙𝑖𝑚"→%

%""&%

→ La función es continua en 𝑥 = 5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝑙𝑖𝑚"→!

5𝑥𝑥 − 5

=102 − 5

=10−3

• 𝑙𝑖𝑚"→'

√3𝑥 + 4 → La función es continua en el punto donde tienes que calcular el limite,

entonces;

𝑙𝑖𝑚"→'

√3𝑥 + 4 = A3(7) + 4 = √25 = 5

• C𝑓((𝑥) = 2𝑥 − 5

𝑓!(𝑥) = −𝑥 + 2𝑥 < 3𝑥 ≥ 3 → 𝑄𝑢𝑖𝑒𝑟𝑜𝑞𝑢𝑒𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚

"→(𝑓(𝑥) 𝑦 𝑙𝑖𝑚

"→'𝑓(𝑥)

Como la función no tiene problemas en los puntos donde quiero que calcules los limites solo tienes que saber con que función calcular el limites:

𝑙𝑖𝑚"&(

𝑓((𝑥) = 𝑙𝑖𝑚"→(

2𝑥 − 5 = −3

𝑙𝑖𝑚"&'

𝑓!(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚"→(

−𝑥 + 2 = −5

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LIMITES EN EL INFINITO O MENOS INFINITO

Una reflexión importante antes de empezar: cuando calcules el limite en el infinito o menos infinito de una función polinómica el protagonismo lo tienes el termino de mayor grado.

Creo que con un par de ejemplos lo entenderás todo mucho mejor:

𝑙𝑖𝑚"→)

−𝑥! + 3𝑥 + 5 → 𝑙𝑖𝑚"→)

−𝑥! = −∞

𝑙𝑖𝑚"→)

13𝑥

=1∞= 0

Cuando x tiende a menos infinito te voy a enseñar como se hace el procedimiento:

𝑙𝑖𝑚"→&)

5𝑥$ + 7𝑥 = 𝑙𝑖𝑚"→)

5(−𝑥)$ + 7(−𝑥) = 𝑙𝑖𝑚"→)

−5𝑥$ − 7𝑥 → 𝑙𝑖𝑚"→)

−5𝑥$ = −∞

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INDETERMINACIONES

Recuerda antes de empezar la siguiente información que es MUY IMPORTANTE:

(+∞) + (+∞) = +∞

(−∞) + (−∞) = −∞

𝑘 + (+∞) = +∞

𝑘 + (−∞) = −∞

(+∞) ∙ (+∞) = (−∞) ∙ (−∞) = +∞

(+∞) ∙ (−∞) = (−∞) ∙ (+∞) = −∞

𝑘 ∙ (+∞) = +∞𝑐𝑜𝑛𝑘 > 0

𝑘 ∙ (−∞) = −∞𝑐𝑜𝑛𝑘 > 0

𝑘 ∙ (+∞) = −∞𝑐𝑜𝑛𝑘 < 0

𝑘 ∙ (−∞) = +∞𝑐𝑜𝑛𝑘 < 0

𝑘∞= 0

+∞𝑘

= +∞𝑐𝑜𝑛𝑘 > 0

+∞𝑘

= −∞𝑐𝑜𝑛𝑘 < 0

𝑘&) = 0𝑐𝑜𝑛𝑘 > 0

𝑘) = ∞𝑐𝑜𝑛𝑘 > 0𝑦𝑘 ≠ 1

Después de ver que operaciones se puede hacer, comprobemos algunas indeterminaciones:

LIMITES


INDETERMINACIÓN DEL TIPO 𝑲𝟎

.

Cuando tengamos las indeterminaciones de este tipo tenemos que calcular los limites laterales en la 𝑥 que nos diga el limite principal.

𝑙𝑖𝑚"→(

2𝑥 − 1𝑥 − 1

Lo que tenemos que hacer primero es sustituir el valor de 𝑥 = 1 en la función !"&("&(

. Si hacemos

esto ocurrirá lo siguiente:

𝑙𝑖𝑚"→(

2𝑥 − 1𝑥 − 1

=10→ 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛.

Calculamos ahora los limites laterales de la siguiente manera:

𝑙𝑖𝑚"→(!

2𝑥 − 1𝑥 − 1

𝑦 𝑙𝑖𝑚"→("

2𝑥 − 1𝑥 − 1

Ahora para calcular los limites lateral, tenemos que coger el valor mas cercano a 1 tanto por la izquierda como por la derecha. Es decir,

𝑙𝑖𝑚"→(!

2𝑥 − 1𝑥 − 1

=2(1,1) − 1(1,1) − 1

= 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

= +∞

𝑙𝑖𝑚"→("

2𝑥 − 1𝑥 − 1

=2(0,9) − 1(0,9) − 1

= 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑁𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

= −∞

Como los limites laterales no coinciden eso quiere decir que no existe el limite en 𝑥 = 1

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INDETERMINACIÓN DEL TIPO 𝟎𝟎.

Estas indeterminaciones se resuelven factorizando tanto denominador como numerador y después simplificación la expresión. En algunos casos, incluso, tendremos que aplicar el proceso del conjugado para poder simplificar.

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐

𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝒙

Lo primero que tenemos que hacer es sustituir el valor de 𝑥por 2

𝑙𝑖𝑚"→!

𝑥! − 4𝑥! − 2𝑥

=(2)! − 4

(2)! − 2(2)=00𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Ahora lo que tenemos que hacer es factorizar el numerador y denominador para poder simplificarlos:

𝑥! − 4𝑥! − 2𝑥

=(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)𝑥(𝑥 − 2)

=(𝑥 + 2)𝑥

Una vez tenemos la expresión simplificada volvemos a calcular el limite:

𝑙𝑖𝑚"→!

(𝑥 + 2)𝑥

=((2) + 2)

2=42= 2

Finalmente podemos decir que el limite de la función es 2.

𝑙𝑖𝑚"→.

√𝑥 − 2𝑥 − 4

Lo primero que hacemos es sustituir el valor de 𝑥𝑝𝑜𝑟4, entonces:

𝑙𝑖𝑚"→.

√𝑥 − 2𝑥 − 4

=00→ 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠𝑞𝑢𝑒𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑙𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜.

√𝑥 − 2𝑥 − 4

∙√𝑥 + 2√𝑥 + 2

=a√𝑥b

!− 4

(𝑥 − 4)a√𝑥 + 2b=

𝑥 − 4(𝑥 − 4)a√𝑥 + 2b

=1

√𝑥 + 2

Ahora volvemos a aplicar el límite, pero con esta nueva expresión:

𝑙𝑖𝑚"→.

1√𝑥 + 2

=1

√4 + 2=14

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INDETERMINACIÓN DEL TIPO )).

Cuando llegamos a una indeterminación de este tipo, la forma de proceder es la siguiente:

• Lo primero que tenemos que hacer es localizar los términos de 𝑥 de mayor grado tanto en el numerador como denominador.

• Una vez localizados, analizaremos el grado de cada uno de ellos, puesto que el valor del limite dependerá de ello.

𝑎𝑥/

𝑏𝑥0→ d

𝑛 = 𝑚 → 𝑒𝑙𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 →𝑎𝑏

𝑛 < 𝑚 → 𝑒𝑙𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 → 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑛 > 𝑚 → 𝑒𝑙𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒𝑙𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 → ±∞

𝒍𝒊𝒎𝒙→)

𝟑𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟓

Como podemos comprobar el limite de esta función cuando 𝑥 → ∞ es ))

por tanto esto es una

indeterminación.

Lo que tenemos que hacer primero es, localizar la 𝑥 de mayor grado tanto en el denominador como en el numerador.

$"#

."$→ como el grado del numerador es superior al grado del denominador ya sabemos que el

valor del limite será ±∞.¿De que dependerá el signo? Exacto, analizamos cual es el signo de la función cuando sustituimos la 𝑥 por un valor muy grande:

𝑙𝑖𝑚"→)

3𝑥$ + 2𝑥! − 𝑥4𝑥! + 3𝑥 + 5

= 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜

= +∞.

Ya te voy advirtiendo de un pequeño detalle, cuidado con las raíces ya que son mentirosas y nos engañan en cuanto al exponente de la x que tienen dentro.

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INDETERMINACIÓN DEL TIPO ∞−∞

Una forma de resolver esta indeterminación es multiplicando y dividiendo por la expresión

conjugada. Una vez hagamos esto tendremos otra indeterminación del tipo ))

que ya hemos

visto como se resuelve.

Otra forma der resolverla es, desarrollando la expresión inicial para obtener otra

indeterminación que ya hemos visto anteriormente del tipo ))

.

𝑙𝑖𝑚"→)

hA𝑥! + 𝑥 − 𝑥i

Si ahora sustituimos el valor de 𝑥 por ∞, obtendremos la indeterminación ∞−∞.

𝑙𝑖𝑚"→)

hA𝑥! + 𝑥 − 𝑥i = ∞−∞ → 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛.

Ahora lo que tenemos que hacer es multiplicar y dividir por la expresión conjugada.

a√𝑥! + 𝑥 − 𝑥b ∙ a√𝑥! + 𝑥 + 𝑥ba√𝑥! + 𝑥 + 𝑥b

=ha√𝑥! + 𝑥b

!− 𝑥!i

a√𝑥! + 𝑥 + 𝑥b=

𝑥! + 𝑥 − 𝑥!

a√𝑥! + 𝑥 + 𝑥b=

𝑥a√𝑥! + 𝑥 + 𝑥b

Si ahora sustituimos en esta nueva expresión 𝑥 por ∞,

𝑙𝑖𝑚"→)

𝑥a√𝑥! + 𝑥 + 𝑥b

=∞∞→ 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛

Como esta indeterminación ya la hemos analizado en apartados anteriores,

sabemos que su valor será → (!.

𝑙𝑖𝑚"→)

𝑥! − 1𝑥

−𝑥 + 12

Lo primero que hacemos es ver el resultado del limite:

𝑙𝑖𝑚"→)

𝑥! − 1𝑥

−𝑥 + 12

= ∞−∞

Ahora tenemos que simplifica la expresión haciendo el mínimo común múltiplo:

𝑥! − 1𝑥

−𝑥 + 12

=(𝑥! − 1)2 − (𝑥 + 1)𝑥

2𝑥=2𝑥! − 2 − 𝑥! − 𝑥

2𝑥=𝑥! − 𝑥 − 2

2𝑥

Ahora tenemos que volver a aplicar el límite, pero utilizando la nueva expresión:

𝑙𝑖𝑚"→)

𝑥! − 𝑥 − 22𝑥

=∞∞→ 𝐶𝑜𝑚𝑜𝑒𝑙𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑑𝑒𝑙𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟, 𝑒𝑙𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑒𝑠∞

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INDETERMINACIÓN 𝟎 ∙ ∞

Este tipo de indeterminaciones se transforman en otra indeterminación del tipo 22𝑜)

) y estas

indeterminaciones se resuelven tal y como lo hemos visto en apartados anteriores.

En muchas ocasiones vas a tener que trabajar con esta idea para poder hacer el limite:

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) =𝑓(𝑥)1

𝑔(𝑥)=𝑔(𝑥)1

𝑓(𝑥)

Veamos un ejemplo para entenderlo mejor:

𝑙𝑖𝑚"→)

l𝑥$ ∙3𝑥

𝑥. + 1m→ ∞ ∙ 0

En estos casos tenemos que hacer la multiplicación para tener solamente una fracción $"%

"%3(

Una vez tengamos la fracción tenemos que volver a calcular el limite con la nueva función:

𝑙𝑖𝑚"→)

3𝑥.

𝑥. + 1=∞∞

Ahora estamos trabajando con una indeterminación del tipo ))

, y ya hemos visto como se

resuelven este tipo de indeterminaciones:

𝑙𝑖𝑚"→)

3𝑥.

𝑥. + 1→ 3

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INDETERMINACIÓN 𝟏)

Este tipo de indeterminaciones se resuelven aplicando una sencilla formula:

𝑙𝑖𝑚"→"&

[𝑓(𝑥)]4(") = 𝑒780'→'&

4(")∙[;(")&(]

Veamos un simple ejercicio;

𝑙𝑖𝑚"→)

q3𝑥 − 53𝑥 − 2

r!"$

=∞∞

)= 1)

Ahora como hemos llegado a esta indeterminación tenemos que aplicar la fórmula:

𝑙𝑖𝑚"→)

q3𝑥 − 53𝑥 − 2

r!"$

=𝑒 780'→)!"$∙=$"&%$"&!&(> = 𝑒 780'→)

!"$∙=$"&%&$"3!$"&! >

𝑒 780'→)?&@"

$

$"&!A = 𝑒&) =1𝑒)

=1∞= 0

INFORMACION IMPORTANTE:

Las funciones exponenciales no tienen porque tener Asíntotas Horizontales por ambos lados.

El orden para la prioridad en operaciones en cuanto al crecimiento (de mayor a menor):

𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 > 𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 > 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) =𝑓(𝑥)1

𝑔(𝑥)=𝑔(𝑥)1

𝑓(𝑥)

Esto lo utilizamos para poder transformar una indeterminación del tipo infinito por cero

(∞ ∙ 0) en otras indeterminaciones del tipo cero entre cero (22) o infinito entre infinito ()

)).

Para poder aplicar la regla de L’Hopital debemos tener las siguientes indeterminaciones

00,∞∞

Aplicar este teorema significa que tenemos que derivar tanto la parte de arriba de la división como la parte de debajo de la fracción. Una vez hemos derivado ambas partes por separado tenemos que aplicar nuevamente el limite con el que estemos trabajando.

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