PLAN DE CONTINUIDAD PEDAGÓGICA-PARTE 6-MATEMÁTICA-6ºA Y B VECTORES

Se llama vector a un segmento de recta en el espacio que parte de un punto hacia otro, es decir, que tiene dirección y sentido. El término vector proviene del latín vector, vectoris, cuyo significado es ‘el que conduce’, o ‘el que transporta’. Los vectores se representan gráficamente con una flecha.

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Características de los vectores

Los componentes de los vectores que definen sus características son los siguientes:

Módulo o magnitud: se refiere a la longitud o amplitud del vector o segmento de recta. Dirección: se refiere a la inclinación que posee el vector con respecto a un eje horizontal

imaginario, con el cual forma un ángulo. Sentido: se refiere a la orientación del vector, indicado por la cabeza de la flecha del

vector.

Vector equipolente

Dos o más vectores son equipolentes cuando las magnitudes físicas que representan tienen el mismo valor y producen

los mismos efectos. En general, para que dos o más vectores sean equipolentes basta que tengan el mismo módulo,

dirección y sentido.

Sí miramos bien, podemos notar que los dos

vectores tienen la misma dirección, misma

magnitud y mismo sentido. Desde que parte

contamos tres unidades para la derecha y dos para

arriba o viceversa, entonces decimos que

Vectores fijos: Son aquellos que expresan un punto de origen además de un extremo, el cual está determinado en un punto fijo del espacio. Suelen usarse, por ejemplo, para expresar la fuerza aplicada sobre dicho punto. Para representarlos, se dice que el punto de origen es A y el extremo es B. Por ejemplo:

Vectores libres:

Son aquellos que están totalmente especificados

mediante su magnitud, su dirección y su sentido,

sin que sea necesario indicar un punto de

aplicación o un origen en particular. Como

representante de un vector libre escogemos

aquel vector cuyo origen o punto de aplicación

coincide con el origen de coordenadas.

( )

EJEMPLO: Encuentre el vector equipolente al origen de El vector , siendo 1 1A ; y

3 5B ; Luego, dibújelos en el siguiente sistema de ejes coordenados.

Vector director o vector libre

nos dice que va desde A hasta B

Para encontrar AB , restamos las coordenadas de B-A

( ( ) ), se restan coordenada con

( ) coordenada

Vector equipolente al origen

Suma y resta de vectores

La suma y resta de dos vectores y da como resultado otro vector, es decir,

Para la suma y resta de vectores se aplican distintos métodos dependiendo si los éstos tienen o no la misma dirección. Los principales métodos son: el método directo, el del triángulo y el paralelogramo.

Para sumar dos vectores y se suma con el vector , es decir, se suman las componentes de cada vector:

( )

Ejemplo: Sean ( ) y ( ), calcula el vector + .

( ( ) ) ( )

Aclaración:

( ) NO es lo mismo que ( )

ES PUNTO ES VECTOR LIBRE

Lo usamos para hacer las operaciones básicas

(suma, resta, multiplicación, división)

Para restar dos vectores y se suma con el opuesto de vector , es decir:

( )

Las componentes del vector se obtienen restando sus componentes.

( )

Ejemplo: Sea ( ) y ( ), calcula el vector .

( ( ) ) ( )

Sea ( ) y ( ), calcula el vector

( ) ( )

Multiplicación de vectores Hay dos posibilidades en las multiplicaciones: (escalar es lo mismo que decir un número cualquiera)

Un escalar por un vector, da como resultado un vector

Producto escalar de dos vectores, su resultado es un escalar

Producto de un escalar por un vector:

Para realizar la multiplicación de un vector por un número, hay que multiplicar ese número por cada una

de las coordenadas del vector.

Sea el vector:

( )

Y lo queremos multiplicar por un número (que pertenece al conjunto de los números reales):

La multiplicación del número por el vector se representa así: ( )

Y se multiplica el número por cada una de las coordenadas del vector:

( ) Es igual que cuando se multiplica un número por un polinomio. Vamos a verlo con un ejemplo. Tenemos el siguiente vector: ( )

Y lo queremos multiplicar por 3:

Para multiplicar el vector por 3, lo representamos así primero: ( )

Multiplicamos el 3 por cada una de las coordenadas del vector y operamos dentro de cada coordenada

para obtener el vector resultante =( ). El vector resultante de la multiplicación del número por el vector será un vector con la misma dirección y

sentido que el vector v, pero su tamaño será tantas veces mayor como el valor del número.

Por ejemplo, si tenemos el vector v y lo multiplicamos por 3, el vector resultante será 3 veces mayor:

Producto de un vector por un vector:

Existen dos maneras equivalentes de obtener el producto escalar de dos vectores y . Estas se

describen a continuación:

1) Si conocemos el módulo de ambos vectores y el ángulo que forman entre ellos, entonces el

producto escalar se obtiene mediante

| | | |

2) Si conocemos los componentes de los vectores ( ) y ( ), entonces el producto

escalar está dado por

Ejemplos

1) Consideremos los vectores ( ) y ( ). Asimismo, el ángulo entre los vectores es .

Para calcular el producto escalar, primero debemos encontrar el módulo de y :

| | √ | | √ √ √ (el módulo se saca igual que en complejos)

De este modo, el producto escalar está dado por

| | | | √ ( ) √ √

2) Repetiremos el ejemplo anterior con ( ) y ( ). Sin embargo, ahora utilizaremos la otra

fórmula:

Notemos que el resultado fue el mismo sin importar la fórmula que utilizáramos.

ACTIVIDAD 01

Grafique los siguientes segmentos , calcule el módulo de cada vector.

a. El vector AB , siendo 1 1A ; y 3 5B ;

b. El vector CD , siendo 3 5C ; y 3 5D ;

c. El vector EF , siendo 1 3E ; y 11 5F ;

d. El vector GH , siendo 6 6G ; y 6 4H ;

e. El vector PQ , siendo 8 3P ; y 0 5Q ;

ACTIVIDAD 02

Encuentre el vector equipolente al origen a cada uno de los vectores dados.

Luego, dibújelos en el siguiente sistema de ejes coordenados.

a. El vector AB , siendo 1 1A ; y 3 3B ;

b. El vector CD , siendo 3 5C ; y 3 3D ;

c. El vector EF , siendo 1 3E ; y 3 1F ;

d. El vector GH , siendo 5 4G ; y 0 3H ;

e. El vector PQ , siendo 7 1P ; y 11 1Q ;

ACTIVIDAD 03

Dados los vectores: 5 2v ; 11

22

w ;

9 8u ;

…se pide calcular:

a. v w b. v w c. 5 4.u .w

d. u v w e. 3 1

2 4.u v f. v w u

ACTIVIDAD 04 ayuda graficar

Consideren los puntos 0 0A ; , 1 1B ; , 1 1C ; y 1 3D ; , se pide:

a. Encuentren un vector con origen en C que sea equivalente a AB

b. ¿Son paralelos CD y AB ?

ACTIVIDAD 05

Decidir si los siguientes pares de vectores son paralelos.

a. 8 24A ; y 1 3B ;

b. 1 1

3 2V ;

y 20 30W ;

c. 23 9

7 11P ;

y 1541 603

35 55Q ;

d. 4 5S ; y 5 4T ;

ACTIVIDAD 06

Calculen en cada caso el ángulo determinado por los siguientes vectores.

Fórmula para calcular ángulos de vectores

Ejemplo: calcular el ángulo que forman los vectores ( ) ( )

( )

| | √ √

| | √( ) √ reemplazando en la fórmula

√ √

ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Para determinar una recta en el plano son necesarios dos puntos o bien un punto y un vector. Un vector director de una recta es cualquier vector que tenga la misma dirección que la recta dada. Como dados dos puntos podemos fácilmente obtener el vector que hay entre ellos y quedarnos con uno de los puntos, supondremos a partir de ahora que tenemos un punto y un vector. Dados un punto ( ) y un vector ( ), podemos describir los puntos ( ) de la recta que pasa por y tiene dirección del vector como: ( ) ( ) ( ) ( ) donde k es un parámetro libre Ejemplo: Escribir la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos ( ) ( ).

( ) ( ) Ecuación vectorial

( ) ( ) ( ) ( )

ACTIVIDAD 07

Graficar con diferentes colores las siguientes rectas.

1 4 1L : x; y k. ;

2 2 6 1 1L : x; y ; s. ;

3 5 2L : x; y r. ;

4 9 5 2 3L : x; y ; t. ;

5 3 6L : x; y m. ;

6 0 4L : x; y c. ;

7 10 4 0 4L : x; y ; n. ;

Contacto del profesor

6ºA 6ºB

Oscar Paes Natalia Lozano

josue14_paes@hotmail.com natalialozano85@gmail.com

Fecha de entrega 14 de junio Link de apoyo: Vectores equipolentes https://www.youtube.com/watch?v=XK8P5BbeEBk Vectores, suma y resta https://www.youtube.com/watch?v=nQnxMF1Jwso Vector director https://www.youtube.com/watch?v=Lz4R2hY6jHk Vectores paralelos https://www.youtube.com/watch?v=r_J5z6gAMzE Vectores multiplicación https://www.youtube.com/watch?v=YHwUHbIHl4Y https://www.youtube.com/watch?v=MbbN38QMIZ0 Ecuación vectorial de la recta https://www.youtube.com/watch?v=suu6pUd0-48