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TEMA 5 Sólido rígido

1.- Movimiento general del sólido rígido 2.- Segunda ley de Newton en el movimiento de los sólidos rígidos 3.- Energía cinética y trabajo en la rotación. Conservación de la energía 4.- Movimiento de rodadura 5.- Giróscopos

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID FÍSICA I

TEMA 5: SÓLIDO RÍGIDO

1.- Movimiento general del sólido rígido 1.1.- Definición de sólido rígido 1.2.- Movimiento general del sólido rígido: trasla-ciones y rotaciones



Hemos hablado en el tema anterior de la dinámica de un sistema de partículas. Veremos ahora un sistema de partículas muy concreto y habitual: el sólido rígido. Se denomina sólido rígido a un sistema de partículas en el que la distancia entre partículas permanece constante bajo la acción de fuerzas o momentos. es decir, se conserva la forma durante el movimiento.

Dados dos puntos cualesquiera ri y rj del sólido rígido, la condición geométrica de rigidez se expresa como:

( ) cte r r 2ji =−

1.1.- Definición de sólido rígido



Movimiento de traslación, todas las partículas tienen la misma velocidad lineal, por lo que describen trayectorias paralelas, de modo que el sólido siempre estará paralelo respecto a su posición inicial.

Movimiento de rotación alrededor de un eje, cuando todas sus partículas describen circunferencias alrededor de dicho eje y por tanto tienen la misma velocidad angular

1.2.- Movimiento general del sólido rígido: traslaciones y rotaciones

Existen dos tipos sencillos de movimiento en el sólido rígido:



El movimiento más general va a ser la combinación de un movimiento de traslación y uno de rotación

En una noria la rueda tiene movimiento de rotación y las cabinas lo tienen de traslación

Movimiento general ≡ movimiento de traslación + movimiento de rotación La descripción no tiene por que ser única



Movimiento general = Traslación de A + Rotación alrededor de A

Movimiento general = Traslación de A (B) + Rotación alrededor de A (B)

Ej.1

Ej.2

Movimiento general ≡ movimiento de traslación + movimiento de rotación

= +

+ =

= +



2.- Segunda ley de Newton en el movimiento de los sólidos rígidos 2.1.- Análisis de fuerzas. Momento de las fuerzas

2.2.- Momento angular de un sólido rígido. Momento de inercia

• Cálculos de momentos de inercia • Teorema de Steiner • Radio de giro • Ejes principales de inercia

2.3.-Dinámica del sólido rígido. Principio de conservación del momento angular



Como hemos hecho hasta ahora, necesitamos analizar los agentes que van a dan lugar al movimiento de los cuerpos (causas), para ver así el efecto sobre dichos cuerpos. Como sabemos, las causas son las fuerzas actuando sobre los cuerpos. Consideremos un sólido rígido y una situación donde tengamos varias fuerzas aplicadas (en general, sobre diferentes puntos del sólido rígido).

Podríamos hacer un análisis de cada fuerza y del efecto sobre el sólido rígido. Pero nos interesa más hacer (sobre todo por sencillez) un análisis global. ¿Podríamos considerar un vector fuerza resultante que nos describa de la misma forma el movimiento del sólido rígido en cuestión?

Podemos pensar en el vector suma de los vectores individuales. Sin embargo, la operación suma no está definida para vectores que no podamos trasladar todos a un mismo punto. Y los vectores fuerza que estamos considerando no se pueden cambiar de punto de aplicación sin que varíen sus efectos.

2.1.- Análisis de fuerzas. Momentos de las fuerzas



En el caso del movimiento de cuerpos extensos, es necesario analizar no sólo la fuerza o fuerzas netas, sino los momentos de las fuerzas. Estos están relacionados con la eficacia de una fuerza para causar o alterar un movimiento de rotación: la medida cuantitativa de la capacidad de una fuerza para causar o alterar un movimiento de rotación viene dada por el momento de la fuerza con respecto al eje de rotación.

Momento de las fuerzas

→→→= F x rM

• La magnitud de la fuerza

• La dirección

• La posición del punto de aplicación respecto al lugar donde se considera su efecto

El momento viene dado por:

de forma que depende de:



Sólo si las rectas de acción se cortasen todas en un mismo punto (concurrentes), podríamos considerar la suma de los vectores fuerza. Pero por lo general esto no ocurre.

Así, las fuerzas aplicadas a los sólidos rígidos no pueden cambiar su punto de aplicación fuera de su recta de acción sin que varíen sus efectos sobre los mismos, ya que matemáticamente son vectores de tipo deslizante.

Es preciso pues encontrar un procedimiento para poder desplazar este tipo de vectores sin que se alteren su efectos sobre los sólidos.



Supongamos que queremos desplazar una fuerza aplicada en A al punto O:

Por ejemplo, si queremos hacer la traslación al C.M. de cada una de las fuerzas externas tendremos que introducir adicionalmente un momento de un par por cada fuerza. (La traslación puede ser al C.M. o a cualquier otro punto)

• Se puede sumar y restar el vector F (vectores iguales y opuestos) en O

• Los tres vectores se podrán reemplazar por el vector fuerza equivalente y el vector par sin que cambien los efectos

El efecto de cambiar la fuerza de punto de aplicación supone introducir adicionalmente un momento de un par

Sistema Fuerza-Par



• Se pueden combinar (sumar) las fuerzas por un lado y los pares por otro, resultando una fuerza resultante R y un par resultante MO

R

( )∑ ×=∑= FrMFR RO

Si tenemos un conjunto de fuerzas actuando sobre el sistema:

En general, un sistema de fuerzas sobre un sólido rígido (vectores deslizantes), puede ser reemplazado por un conjunto de Sistemas

Fuerza-Par que actúan en un punto O.



Caso de la fuerza peso_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _______ El mismo análisis que hemos efectuado hasta ahora debemos hacerlo con la fuerza peso, actuando sobre cada una de las partículas de nuestro sólido. En este caso es posible demostrar que el efecto es equivalente a trasladar toda la masa (peso) del sistema a un punto común, denominado centro de gravedad, que en el caso de cuerpos de pequeñas dimensiones coincide con el C.M.

→

=

→→∑= iN

1iiC.M. w x'rM

En efecto, consideremos un cuerpo sometido a su propio peso. Si trasladamos las fuerzas sobre cada partícula al C.M. tendremos que introducir los momentos correspondientes, cuya suma total será

El efecto de la gravedad (peso) sobre cada partícula nos da una fuerza:

→

=

→

=

→→

=

→→

=

→→→

∑=∑

=∑

=∑

= gx 'rmg'x rmgx m'r wx'rM

N

1iii

N

1iii

N

1iii

N

1iiiC.M.

→→

==

→

=

→→=

∑=∑=∑= gmgmgm wWN

1ii

N

1ii

N

1ii

→→= g. mw ii

→= gmi



Por lo que habíamos visto al considerar el C.M.:

0'rm N

1iii =∑

=

→

0MC.M. =→

Por lo tanto, en el caso del peso, al trasladar todos los vectores al C.M., el momento que resulta es nulo, por lo que el sistema fuerza-par equivalente se reduce a considerar únicamente la resultante de las fuerzas (el peso total) aplicada en dicho punto.

→= gm



http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/solido/intro_solido.html

Movimiento sólido rígido ≡ movimiento del C.M. (traslación) + movimiento de rotación en torno al C.M. (rotación)

De esta forma, debemos considerar el efecto de la resultante de las fuerzas aplicada al C.M. (traslación del C.M.), más la rotación del sólido rígido respecto al C.M.

F

mg ≡ F

mg ≡ F

mg

M

≡

M

C.M. C.M. C.M. C.M.

R

Una vez que ya sabemos trasladar los vectores fuerza, veamos como trabajaremos con el sólido rígido. Consideremos, por ejemplo, un sólido rígido sobre el que actúa una fuerza externa además de su peso (que está siempre aplicado en el C.M.). Como ya sabemos hacer, trasladando la fuerza al C.M. tendremos:



http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/solido/intro_solido.html

• En el C.M. debemos considerar siempre la resultante de las fuerzas

• Podemos considerar las rotaciones en torno al punto O

Para ver los giros en el sistema, no necesariamente debemos pensar siempre en el giro respecto al C.M. En muchas ocasiones analizaremos los giros (momentos) respecto a otros puntos del S.R. En ese caso, lo que debemos hacer es calcular el momento de las fuerzas resultante en dicho punto.

Rx ≡ mg

C.M.

Ry

mg

C.M.

mg

mg

C.M. Rx

Ry Fuerzas

(traslaciones)

Momentos

(rotaciones)

O

O

Ejemplo:



En todo caso, siempre es posible seguir escribiendo el movimiento genérico como:

≡ C.M.

O C.M.

+

Movimiento sólido rígido ≡ movimiento del C.M. (traslación) + movimiento de rotación en torno al C.M. (rotación)



→→= CMam F

(CM)(CM)

ML→

•→

=

Describe los mov. de traslación del C.M. (y por tanto de todo el sistema)

Describe la rotación del sistema respecto al C.M.

El análisis que hemos efectuado es en realidad equivalente a lo ya obtenido en el tema 4 (dinámica de los sistemas de partículas), cuando veíamos como ecuaciones aplicables al sistema:

El movimiento de traslación del C.M. ya está estudiado, pues se trata en realidad del movimiento de una partícula que concentra toda la masa del sistema y sobre la que actúa una fuerza igual a la resultante de las fuerzas externas

dinámica de la partícula

Nos queda por estudiar la rotación del sólido rígido



Cuestión 5.1

¿Cuál será la cantidad de movimiento de un disco homogéneo de masa M y radio R que gira en torno a su eje con velocidad angular ω? Justificar la respuesta.



— Consideremos una única partícula que gira en torno a un eje

Como ya sabemos, se puede definir una

velocidad angular que describa este giro.

eje de giro

→r

→v

→

ωm

— Consideremos ahora una placa con un espesor muy pequeño (despreciable) que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por su centro y evaluemos L.

Necesitamos evaluar el momento angular del sólido rígido, girando en torno a

un eje. Más en concreto . •

→

L

1.2.- Momento angular de un sólido rígido. Momentos de inercia

L tiene la dirección y sentido de ω

)rx x m(rv x mrL→→→→→→

ω==

→→ω= 2 mrL



Sumando para todas las partículas:

→

ω

ir→ mi

iv→ →→→

= iiii v x mrL

(ω es la misma para todas las partículas)

Se define así una nueva magnitud física, el momento de inercia I (con respecto a un cierto eje de rotación):

∑==

N

1i

2iirmI

I

(las distancias ri están medidas respecto al eje de giro)

→→ω= 2

iii r mL

→→

==

→

=

→→ω=ω∑=∑ ω=∑= I)rm(rm LL

N

1i

2ii

N

1i

2ii

N

1ii



Por la definición de momento de inercia se tienen las siguientes propiedades:

• Es una magnitud escalar

• Depende de la distribución de las masas

• Va a jugar el mismo papel en la rotación que la masa en el movimiento de traslación

• Depende del eje de rotación

• En el SI la unidad es el kg.m2

∫= ρdVrI 2que, en función de la densidad, podemos rescribir como:

En el caso de un cuerpo extenso, lo que tendremos será: ∫= dmrI 2

Cálculos de momentos de inercia



Ejemplo. Calculemos el momento de inercia de un cilindro homogéneo con respecto a uno de sus ejes de simetría, el eje longitudinal z que pasa por su centro de masas.

El elemento de volumen que nos interesa tomar en este caso es el volumen de la corteza cilíndrica (representada en azul en la figura) de espesor dR que se encuentra a una distancia R del eje de giro, y viene dado por:

h

R1



Sustituyendo en la expresión del momento de inercia:

Integrando:

Finalmente, sustituyendo la densidad en la expresión anterior, el momento de inercia del cilindro con respecto al eje z es:

∫ πρ=∫ρ= 11 R0

3R0

2 dRhR2dVRI

41

R

0

4R

4h2

4Rh2I

1 πρ=πρ=

21mR

21I =



Cuestión 5.2

Calcular el momento de inercia de un disco delgado (espesor muy pequeño) y homogéneo, de masa M y radio R, entorno a un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro.

R

M



Momentos de Inercia de algunos sólidos

l/2 R

2mR52I =

2ml121I =

2mRI = 2mR21I =

R

R

Anillo circular delgado Disco delgado Cilindro delgado

Placa plana Esfera

)bm(a121I 22 +=



De momento hemos calculado el momento de inercia I respecto a ejes de gran simetría, donde realizar la integral es sencillo

¿Cómo calcular el momento de inercia respecto de otros ejes?



2C.M.P mdII +=

La componente z de todas las partículas (llamemos z a la dirección del eje de giro) es la misma en las dos situaciones (para los dos ejes de giro)

Para demostrarlo, consideremos un cuerpo cualquiera y consideremos finas láminas o rodajas del mismo (el análisis siguiente se haría para cada una de las láminas):

d

CM P m

Teorema de Steiner Existe una relación entre los momentos de inercia de dos ejes paralelos, uno de los cuales pasa por el C.M. Es el denominado Teorema de Steiner.



En el plano X-Y:

2C.M.P mdII +=

)zy(xmI 2i

2i

N

1i

2iiC.M. ++∑=

=

Por tanto:

C.M.

P

x

mi

yi

xi

b

a

y

]zb)(ya)[(xmI 2i

2i

N

1i

2iiP +−+∑ −=

=

∑+∑ ∑ +∑−−++=== = =

N

1ii

2N

1i

2N

1i

N

1iiiii

2i

2i

2iiP m)b(aymb2xma2)zy(xmI

(proporcionales a la posición del C.M. medida en el sistema C.M.)

d



2mkI =

Siempre es posible expresar el momento de inercia de un cuerpo respecto de cualquier eje de la forma:

siendo k el denominado radio de giro del sólido rígido correspondiente respecto a dicho eje.

De esta forma, el radio de giro se define como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podríamos suponer concentrada toda la masa del cuerpo, de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro.

Se tiene entonces que: m

k

m

≡

Radio de giro

mIk =



Por ejemplo, el radio de giro de una varilla delgada que gira en torno a un eje que pasa por su centro será:

2mL121I =

L289,0L121

m

mL121

k2/1

2

2/12

=

=

=

m L

m 0,289 L

≡



Habíamos visto una situación en la que tiene una dirección bien

determinada, al tener el momento angular Li de todas las partículas la misma

dirección (la del eje de rotación). Esto va a ocurrir siempre si el cuerpo tiene forma simétrica en torno al eje de rotación.

LLN

1ii∑=

=

→→

Las componentes de los Li en el plano perpendicular al eje de giro se van a compensar. Sólo quedan las componentes en la dirección del eje de giro (dirección de ω), que se suman todas ellas:

Ejes principales de inercia

→

=

→→ω=∑= I LL

N

1ii



En caso contrario, el momento resultante puede tener una dirección distinta a la del eje de rotación:

ir→

iv→

Sin embargo, es posible demostrar que en cada cuerpo existen siempre (al menos) tres direcciones mutuamente perpendiculares para las que el momento angular es paralelo al eje de rotación. Se conocen como los tres ejes principales de inercia y los momentos de inercia correspondientes como momentos principales de inercia (I1, I2, I3). (Si el cuerpo tiene algún eje de simetría los ejes principales coinciden con los de simetría).

Ahora no todas las componentes de los Li en el plano perpendicular al eje de giro se van a compensar.

→ω

alelosno son par y L→→ω



Ejes principales de inercia de algunos sólidos



Como sabemos del tema anterior:

Si el cuerpo gira en torno a un eje principal:

De donde, derivando:

Por tanto:

(en un sólido rígido: I = cte)

Segunda ley de Newton aplicada a la rotación

2.3.- Dinámica del sólido rígido. Principio de conservación del momento angular

→→ω= IL

→•

→•

→α=ω= IIL

→→

= αIM CMCM

(CM)(CM)

ML→

•→

=



Resumiendo, las ecuaciones dinámicas del S.R. a aplicar son:

Rotaciones (≡ en torno al C.M.) →→

= αCMCM IM

→→= CMam F Traslaciones (≡ traslación del C.M.)

- Debemos analizar las fuerzas que actúan sobre el sistema (ver cúales son y donde están aplicadas) diagrama de sólido libre (D.S.L.)

- Debemos analizar la posible y y la relación que existe entre ellas →

αC.Ma→



Cuestión 5.3

Una barra delgada y uniforme de longitud L y masa M pivota sobre un extremo. Se coloca en posición horizontal y se deja en libertad. Se supone que no hay rozamiento con el pivote. Determinar:

a) la aceleración angular de la barra inmediatamente después de dejarla en libertad

b) la fuerza ejercida por el pivote sobre la barra en ese instante

M L



Si el momento de las fuerzas exteriores es nulo, el momento angular y la velocidad angular permanecen constantes

se tiene un nuevo principio de conservación:

Principio de conservación del momento angular

A partir de la ecuación dinámica del sólido rígido:

Si 0M =→

cteL =→

Una situación muy común en la que el momento es nulo se tiene cuando la única fuerza que actúa es el peso, que actúa siempre en el C.M., y por tanto:

0F x rM

WR

CM

CM

==

=→→→

→→

cteL =→

→→α= IM

0=α→

cte=ω→



La única fuerza que actúa es el peso, cuyo momento respecto a un eje que pasa por su centro de masa será cero

En este caso las dos fuerzas que actúan, peso y reacción normal, se anulan y tampoco existe momento resultante

Si el sólido no es completamente rígido, puede variar el momento de inercia. En este caso y en ausencia de momentos de fuerzas externas:

- Ejemplo 1

- Ejemplo 2

cteIL =ω=→→

2211 I I ω=ω



Cuestión 5.4

El plato de un tocadiscos está girando libremente a 33 rpm. Una pieza de 20 g cae verticalmente y se adhiere al plato a una distancia de 15 cm de su eje. La velocidad angular por esa causa se reduce a 30 rpm. Calcular el momento de inercia del plato.

33 rpm 30 rpm



3.- Energía cinética y trabajo en la rotación. Conservación de la energía

3.1.- Energía cinética de rotación 3.2.- Trabajo y potencia de un sistema en rotación

3.3.-Conservación de la energía en un sistema en rotación



Vimos, para un sistema de partículas:

Haciendo la suma a todas las partículas:

∑+==

N

1i

2ii

2CM v´m

21 mv

21 Ec

Para un sólido rígido, la energía es la energía debida a la rotación

de las partículas en torno al C.M.:

∑=

N

1i

2iiv´m

21

energía cinética de traslación del C.M. energía cinética interna o de rotación

3.1.- Energía cinética de rotación

22ii

2ii

irot r´m

21 v´m

21 Ec ω==

2CM

N

1i

22ii

N

1i

22ii

N

1i

2iirot I

21)r´m(

21r´m

21 v´m

21 Ec ω=∑ ω=∑ ω=∑=

===

2CM

2CM I

21 mv

21 Ec ω+=



Consideremos un sólido rígido girando sobre un eje. Consideremos sólo el efecto de la rotación.

En realidad nos basta con esta fuerza tangencial para mover el sólido en este movimiento de rotación (F ≡ Ft):

R

Ft O

Si el momento de la fuerza es cte.:

R

dθ

ds dsFdrFdW t==

→→

En su momento vimos que:

Así:

3.2.- Trabajo y potencia de un sistema en rotación

θ= RdFdW t

θ=θ= MdRdFdW ∫ θ= θ

θ21MdW

θ∆=θ−θ= M)M(W 12

arco = radio . ángulo

ds = R . dθ



Si escribimos M=Iα:

Así:

Para la potencia (trabajo por unidad de tiempo) podemos escribir:

∫ θα= θ

θ21

dIW

dtd ω

=α ωω=θω

=θα .d.ddtd .d

)-I(21

2IdI W 2

122

2 2

1

2

1ωω=

ω=ω∫ ω=

ω

ω

ωω

ω=θ

== MdtdM

dtdWP



Fijémonos en la similitud con las expresiones del caso de traslación:

FvP =

)-vm(v21W 2

122=

Traslación Rotación

Causa: F / Efecto: a Causa: M / Efecto: α

masa (inercial) m momento de inercia I

∑ =→→amF

rFW ∆=

∑ α=→→

IM

θ∆= MW

)-I(21W 2

122 ωω=

P=Mω

∫ θ= θ

θ21MdW( ) ∫=∫=→ B

A tBA dsFrdFBAW



EcWWW Totalextint

Total ∆=+=

Veíamos en el tema 4 que el trabajo total en un sistema de partículas incluye dos términos, el trabajo de las fuerzas externas y el de la internas:

donde: ∫=∫

−=∫

−=

→→→→→→→→)r(dfrrdfdrdrfW 121221122112

int

En el caso del sólido rígido, la variación del vector de posición relativo sólo tiene lugar en la dirección perpendicular al mismo, ya que el módulo no cambia, por lo que el trabajo de las fuerzas internas es nulo.

0)r(dfW 1212int

S.R. ∫ ==→→

3.2.- Conservación de la energía en un sistema en rotación

)rd( f 1212

→→

⊥



Si todas las fuerzas externas son conservativas:

de forma que la energía mecánica total se conserva:

EcUW extext ∆=∆−= ( ) 0EcUEcU extext =+∆=∆+∆

cte Ec UE extTotal =+=

Totalext EcW ∆=

Por lo tanto, en un sólido rígido sólo producen trabajo las fuerzas externas. De esta forma, en un S.R. tendremos:

Si no todas las fuerzas exteriores son conservativas:

de forma que:

ext (nc)extext (nc)ext (c)ext WUWWW +∆−=+=

EcWUW ext (nc)extext ∆=+∆−= ( )Totalextext (nc) EEcUW ∆=∆+∆=

( )Totalext (nc) EW ∆=



Ejemplo: rueda que se desenrolla sobre sí misma bajo la acción de su peso.

Totalext EcW ∆=

La única fuerza externa que actúa es el peso, aplicada sobre el centro de masas, que da lugar por tanto a un trabajo mghCM

2CM

2CMCM I

21 mv

21 mgh ω+=



Cuestión 5.5

Una barra delgada y uniforme de longitud L y masa M pivota sobre un extremo. Se coloca en posición horizontal y se deja en libertad. Se supone que no hay rozamiento con el pivote. Determinar:

a) la velocidad angular de la barra cuando alcanza su posición vertical; b) la fuerza que ejerce el pivote en ese instante

M L



4.- Movimiento de rodadura

4.1.- Caso ideal (sin deformación en la rueda) 4.2.- Caso real (con deformación en la rueda)



Consideremos una rueda que ruede sin deslizar (rodadura):

r

2πr

Como todo movimiento de un S.R, este movimiento se puede poner como el movimiento del C.M., más el movimiento interno (alrededor del C.M.)

O O

http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/solido/rodadura.html

4.1.- Caso ideal (sin deformación en la rueda)



http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/solido/rodadura.html

Consideremos un giro completo (distancia 2πr). Este desplazamiento tendrá lugar en un tiempo t*

r

2πr

- La velocidad de traslación (C.M.) será:

Podemos relacionar la vO (vC.M. en este caso) y la ω de giro del sistema:

*CMO tr 2

leadotiempo empidacia recorrtandisvv π

===

Ο O



- La velocidad angular de giro será: *t 2

leadotiempo empar recorridcia angulatandis π

==ω

lo que da una velocidad lineal de las partículas del disco (en la superficie) de:

CMO*int vvr

t2.rv =≡

π=ω=

Por lo tanto, si el sistema rueda sin deslizar, tenemos: →

CMv

→

CMv

→

CMv→

CMv→

CMv

1

4

3

2 O≡CM

+

→

CMv

→

CMv

→

CMv

→

CMv1

4

3

2 O≡CM

=

0v1 =→

→

2v

→

4v1

4

3

2

→→

= CM3 v2v

45º

Movimiento total Traslación del C.M. Rotación alrededor del C.M.

Derivando esta expresión: .raa CMO α==Condición de rodadura:

.rvO ω=

.raO α=

O≡CM

→

CMv

(r = cte)



El punto de contacto con el suelo tiene una velocidad neta nula:

Para que se produzca un movimiento de rodadura tiene que haber una fuerza de rozamiento. Consideremos todas las fuerzas presentes:

→→→

−== CMint11 vv; 0v

→

rF

r

P

→F

→gm

→N

O≡CM

→

rFP

→F

→gm

→N

CM

→

− rF→

rF

Trasladando las fuerzas al C.M. (aquellas que no están aplicadas en el C.M.) tendremos que sumar y restar Fr y sumar y restar N

→N

→− N

Si no desliza:

Fr < Fr(est)max = µeN

(fuerza de empuje)



→→α= IMFr

≡ r

P

→R

O≡CM

El sistema es, por tanto, equivalente a una resultante aplicada en el C.M. y un momento (momento del par debido a Fr):

→→→→=+= CMr amFFR

→FrM

El par de fuerzas debido a la reacción normal da lugar a un momento nulo, ya que N y –N están aplicadas en la misma línea de acción. (Además, el peso y la reacción normal son iguales ya que no hay movimiento del CM en la dirección perpendicular *) →

rFP

→F

O≡CM

→

− rF→

rF

donde, por la condición de rodadura: raa OCM α==

CMr maF-F =

0N-mg = (*)

α= IrFr(calculados respecto CM)



Por tanto:

Veamos qué debe ocurrir para que la rueda se mueva con velocidad lineal cte. En esa situación:

0aa OCM ==ctevv OCM ==

Según las ecuaciones anteriores:

0=α

0Fr =

0FF r ==→→

La condición para que la rueda se mueva con velocidad cte. es que tanto la fuerza externa como la fuerza de rozamiento sean nulas.

rFF =0maF-F CMr ==

0IrFr =α=



En una situación más realista, si hay rozamiento (y por tanto Fr), habrá una aceleración angular no nula (y por tanto una aC.M.):

Aún cuando haya una fuerza de rozamiento, en la situación ideal esta no disipa energía, es decir, su trabajo es nulo, debido a que la Fr está aplicada en el punto de contacto con el suelo, que no se desplaza.

En una rodadura ideal, la fuerza de rozamiento no disipa energía

α= IrFr

Además, el módulo de la fuerza de rozamiento debe obtenerse de las ecuaciones del movimiento, ya que al no haber desplazamiento relativo entre las superficies en contacto, no toma el valor del coeficiente cinético por la normal.



Ejemplo: Considérese un disco homogéneo de masa m y radio r que cae por un plano inclinado (ángulo θ) bajo la acción de su peso (coeficientes de rozamiento por deslizamiento µe y µc).

Determinar en qué condiciones el disco rueda sin deslizar y la aceleración del centro de masas en esa situación.

θ

r

m



Hacemos el D.S.L:

θ

r

m

Fr

N

mg

∑ =→→amF

∑ α=→→

IM

CMr ma-Fsent ) mg =θ

0cosmg.n ) N- =θ

t)

n)

α= IrFr

θ= cosmg.N

La condición de que no deslice supone que:

θµ=µ=< cosmgNFF eemaxr r



Cuestión 5.6

Determinar el ángulo θ para el que empieza a rodar con deslizamiento.

[Determinar dicho ángulo en los casos de que el objeto rodante sea i) un disco homogéneo; ii) un anillo homogéneo].

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/plano_inclinado/plano_inclinado.htm



http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/plano_inclinado/plano_inclinado.htm

Notemos que en la situación de rodadura, se puede considerar que en cada momento la rueda gira en torno a un eje de rotación (denominado eje instantáneo de rotación) que pasa en cada momento por el punto de contacto P.

P

2C.M.P mrII +=

(ya que vCM=vO=ωr) 2P

222P

2CM

22P

2CM

2CM

2CM

I21mr

21I

21mv

21

)mr(I21 mv

21I

21mv

21 Ec

ω=ω−ω+=

=ω−+=ω+=

En efecto, recordemos que la energía cinética total del sistema es:

2CM

2CM I

21mv

21 Ec ω+=

Haciendo uso el teorema de Steiner: 2PC.M. mrII −=

2PI

21 Ec ω=



En la situación real, la rueda (o el suelo) tienen deformación.

4.2.- Caso real (con deformación en la rueda)



En este caso, el análisis de las fuerzas (y momentos) será diferente, porque el punto de pivotación es distinto:

→gm

→F

→

rF

CM ≡ →gm

→F

→N

CM

→

rF

→-N

→

− rF→N→

rF

≡ →R

→N

CM

→

rF

→-N

→

r-F

≡ →R

CM

→FrM

→ NM

P’ →N



Aplicamos las ecuaciones dinámicas del S.R.:

→→α= IM

→→= CMam F

CM (x)r m.aFF =−

0m.amgN CM (y) ==−

IαNd.hFMMM r NFr =−=−=

Condición de rodadura: αraa OCM ==

NμFF emaxestrr ≡<

→gm

→F

→

rF

CM

P’ →N



coeficiente de fricción por rodadura (µrod)

rd ~ mg

hdmg FF r ==

0INd.hFM MM r NFr =α=−=−=

En esta situación, si la rueda se mueve con velocidad constante:

(los dos momentos, opuestos, dan lugar a una aceleración angular nula).

0aCM =ctevCM = 0=α

0m.aFFR CM (x)rx ==−= rFF =

mgdNd.hFr ==

En esta situación la fuerza F a aplicar para que se mueva con velocidad cte es:

→N

CM

→

rF

→-N

→

r-F

d

h0m.amgNR CM (y)y ==−= mgN =



Fijémonos en la diferencia con el rozamiento por deslizamiento:

→F

→F

mg NFF ccr µ=µ== mgmg rdFF rodr µ===

crod µ<µEs ventajoso el que el sistema ruede a que deslice, ya que el rozamiento por rodadura suele ser menor que el rozamiento por deslizamiento:

Deslizamiento (v=cte.) Rodadura (v=cte.)

Por ejemplo, en el caso de los neumáticos de un automóvil:

µe

0.9

µc

0.8

µrod

0.02



El valor del coeficiente de rodadura es característico de cada sistema, dependiendo de:

• la rigidez o dureza de la rueda y superficie

• el radio de la rueda (a mayor radio menor resistencia)

• el peso o carga al que se somete cada rueda (en esto se diferencia del coeficiente de rozamiento)

• en el caso de ruedas neumáticas o hidráulicas, de su presión (a mayor presión menor resistencia)

• temperatura, el acabado de las superficies en contacto, velocidad relativa, etc.



5.- Giróscopos

5.1.- Definición de giróscopo 5.2.- Precesión y nutación



Una vez que está girando tiende a resistir los cambios en la orientación del eje de rotación. El giróscopo fue inventado para un experimento relacionado con la rotación de la Tierra por León Foucault en 1852.

Hasta ahora se ha supuesto que el eje de rotación de los S.R. estudiados permanece constante. Sin embargo cuando el eje puede variar se constata como se producen algunos fenómenos físicos muy interesantes

El Giróscopo esencialmente es un dispositivo con forma de rueda girando alrededor de un eje, el cual está montado sobre un sistema que permite su orientación.

5.1.- Definición de giróscopo



La ecuación a aplicar será:

Veamos como será el movimiento del giróscopo. (Veamos una situación en la que no gire y otra girando).

t.fuerzas exML→

•→

=

→→

= M dtLd dtM dL

→→=

Veamos los momentos que actúan para deducir así el cambio en L. (Recordemos que el momento angular L tiene dirección perpendicular al plano de giro).



A) Rueda sin girar (Linicial = 0)

Puesto que la rueda no gira inicialmente: Linic = 0

Equilibrio

0M t.fuerzas ex =→

Si sale ligeramente de la situación de equilibrio

Existe un momento de las fuerzas:

→→→= g x mrM t.fuerzas ex

dtM dL→→

=→→Mn de a direcció lleva ldL

z

x

y

z

x

→gm

→N

y

→gm

→r

(El cambio en el momento angular se produce en la dirección del momento de la fuerza que actúe sobre la rueda)


5.2.- Precesión y nutación

Debido a la acción de M:



M se va incrementando y L va aumentando:

Este momento de las fuerzas hace girar el giróscopo en torno al eje y (el L que se produce indica un giro en torno a dicho eje y):

e y // ejM // L→→

La rueda cae



B) Supongamos ahora que la rueda está girando inicialmente en torno a su eje con velocidad angular ω (Linicial ≠ 0)

De nuevo:

Equilibrio Al salir de la situación de equilibrio

dtM dL→→

=→→M // dL

z

x

y

z

x

y

→gm

→r

ω

→inicL

→inicL

→dL


Esto produce un giro (precesión) en torno al eje z.

→inicL



Puesto que dL es perpendicular a Linic, se produce sólo una variación en la dirección del momento angular en el plano horizontal (en la situación dibujada), manteniéndose su módulo aproximadamente constante. El resultado es un movimiento en torno al eje z denominado movimiento de precesión (Ω).

http://www.youtube.com/watch?v=NeXIV-wMVUk&feature=related

Precesión



http://www.youtube.com/watch?v=NeXIV-wMVUk&feature=related

Calculemos el valor de la velocidad de este movimiento de precesión:

→L

→dLdφ

dtd φ

=Ω

LdL d =φ

MdtdL =

arco = radio . ángulo φ= LddL

ω===

φ=Ω

Imgr

LM

MdLLdL

dtd

Ω es inversamente proporcional al momento angular L (que depende del momento de inercia y de la velocidad angular ω)



Nutación

El movimiento de precesión da lugar a un momento angular en la dirección vertical (perpendicular a dicho giro). Se puede obviar si se supone que Ω es pequeño. Si se considera, origina un giro en el plano vertical denominado movimiento de nutación

precesión

nutación

→prec.L

→ruedaL



tema 5 sólido rígido - en...

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