1

Dinámica del sólido rígido

Momento angular de un cuerpo rígido

irωvi ×=

Un sólido rígido es un sistema en el que las distancias y orientaciones relativas entre las partículas que lo componen se mantienen invariables, conservando su forma. Su movimiento se puede descomponer en dos: uno de traslación (movimiento de su centro de masas) y otro de rotación (movimiento circular de las partículas alrededor del llamado eje de rotación).

La partícula en Ai describe un círculo de radio Ri = AiBi, con una velocidad

El momento angular de la partícula respecto al punto O es:

iiii m vrL ×=Su dirección es perpendicular a ri y vi y está en el plano determinado por ri y el eje Z. Con este eje forma un ángulo de π/2-θi. Como ri y viforman un ángulo π/2, el módulo del momento angular es:

iiiiiii vrmsenvrmL ==2π

cuya componente a lo largo del eje Z la podemos poner:

−= iiiiiz cosvrmL θπ2

Z

ω

vi

RiBi

Ai

riθi

π/2O

Liz

Li

iii senrv θω=⇒

( ) iiii Rsenrm ωθ= 2ii Rm ω=

iRω=

2

Ejemplo: Lanzamiento de un balón y una mordaza

3

Momento de inercia

∑=i

izz LL ...233

222

211 +++= RmRmRm ωωω ( )ω...2

33222

211 +++= RmRmRm

ω

= ∑ 2

ii

i Rm

La expresión entre paréntesis se denomina momento de inercia del cuerpo respecto al eje Z y se escribe Iz. Podemos por tanto escribir la expresión para el momento angular como:

ωzz IL =

La componente del momento angular total a lo largo de Z es:

El momento angular total de un cuerpo es:

∑=+++=i

iLLLLL ...321

y no tiene por qué ser paralelo al eje de rotación, ya que los momentos de cada una de las partículas no son, en general, paralelos a dicho eje.Sin embargo, para cualquier cuerpo, sin importar su forma, siempre hay, al menos, tres ejes, mutuamente perpendiculares, para los cuales el momento angular es paralelo al eje de rotación. Estos ejes se llaman ejes principales de inercia y los correspondientes momentos, momentosprincipales de inercia.Si el cuerpo rota alrededor de un eje principal de inercia, la componente del momento angular en ese eje coincide con el momento total. Entonces, y solo entonces, podremos poner:

ωL I=

4

Cálculo del momento de inercia

dmRRmlímIt

i mi

ii

im ∫∑ =

=

∞→→

22

0

En general, podemos considerar que la mayoría de los sólidos rígidos están compuestos de un número muy grande de partículas muy pequeñas. En este caso, el sumatorio que nos da el momento de inercia de un cuerpo debe reemplazarse por una integral:

Si ponemos dm = ρ dV, donde ρ es la densidad del cuerpo y V es el volumen, la ecuación anterior queda:

dVRItV∫= 2ρ

Si el cuerpo es homogéneo, cosa que supondremos la mayoría de las veces,

dVRItV∫= 2ρ

La parte integral es el momento de inercia geométrico, igual para todos los cuerpos con la misma forma y tamaño. Si multiplicamos por la densidad obtenemos el momento de inercia físico, I.A veces, consideraremos cuerpos de dos o de una dimensión, como discos o varillas, en este caso podemos sustituir en la fórmula del momento de inercia, la densidad de volumen por la correspondiente superficial o lineal, y el volumen por superficie y longitud, respectivamente. Es decir,

dSRItS∫= 2σ dlRI

tl∫= 2λ

5

Cálculo del momento de inercia. Ejemplos

dmRdI 2=

Ejemplo 2: Momento de inercia de una varilla de longitud L y masa Mrespecto a un eje perpendicular que pasa por un extremo:

Ejemplo 1: Momento de inercia de un anillo de radio R y masa Mrespecto a su eje de revolución:

dm = λ dl

R

Si tomamos un elemento de masa, dm, como el de la figura, sabemos que su momento de inercia respecto al eje es:

El momento de inercia total será la integral, a toda la longitud, L = 2 π R, de los momentos de inercia elementales:

∫=L

dmRI 2 ∫=L

dlR λ2 ∫=L

dlR λ2 LR λ2= 2RM=

Vemos que, en este caso, el momento de inercia es igual a la masa total por la distancia al eje al cuadrado. Este resultado se puede generalizar para todos los cuerpos cuya distribución de masa sea tal que todas las partículas componentes estén a la misma distancia del eje.

dm = λ dx

xL

Como en el ejemplo anterior, tomamos un elemento de masa, dm. Aquí, su momento de inercia respecto al eje es:

dxxdmxdI λ22 ==De nuevo, integramos para toda la longitud para calcular el momento de inercia total:

∫=L

dxxI0

2λ ∫=L

dxx0

2λL

x

0

3

3

= λ

3

3Lλ= ( ) 2

31 LLλ= 2

31 LM=

6

Cálculo del momento de inercia. Ejemplos Ejemplo 3: Momento de inercia de un disco de radio R y masa M respecto a su eje de revolución:

R

∫=M

dmrI 2

dmrdI 2=

Como ya conocemos el momento de inercia de un anillo, podemos aprovechar el resultado para usarlo aquí. Tomemos pues una masa elemental, dm, como en la figura. Su momento de inercia es:

La superficie del disco la podemos considerar como suma de anillos elementales de distinto radio. Luego el momento de inercia total será la suma de los correspondientes momentos de inercia elementales, es decir,

dm = 2πr dr σ

R

r Como la masa del disco es M = σ π R2, el momento de inercia lo podemos poner como:

24

21

42 RMRI == σπ

σπ drrr 22= drr 32 σπ=

∫=R

drr0

32 σπ4

24Rσπ=

7

Cálculo del momento de inercia. Dos teoremas

( )dVyxdIZ22 += ρ

Teorema de los Ejes Perpendiculares

XY

Z

dm = ρ dV

y x

zR

R

O

Teorema de los Ejes Paralelos (Teorema de Steiner)

Consideremos un elemento cualquiera, dm, de un cuerpo (figura superior). El momento de inercia de dm, respecto al eje Z es:

dVydIdVxdI YX22 ; ρρ ==

Si consideramos que el cuerpo es plano (tiene dos coordenadas, x e y), los momentos de inercia respecto a los ejes X e Y los podemos poner como:

Vemos entonces que, integrando a todo el cuerpo, se cumple:

( )planos!cuerposparasoloOjo,¡YXZ III +=

Tomemos ahora un elemento arbitrario, dm, del cuerpo representado en la figura inferior. Vemos en esa figura que

X

Z

dm

x

yR

R

CDM

a

ZCDM

XCDM YCDM

Y

O

RCDM

222 yxRCDM +=

( ) 222222 2 aayyxayxR +++=++= 22 2 aayRCDM ++=

El momento de inercia del cuerpo, respecto al eje Z, es:

∫=tm

Z dmRI 2 ( ) =++= ∫tm

CDM dmaayR 22 2

8

Cálculo del momento de inercia. Dos teoremas ( )∫ ++=tm

CDM dmaayR 22 2 ∫∫∫ ++=ttt mmm

CDM dmadmyadmR 22 2

CDM

t

Zm

CDM IdmR =∫ 2

22 amdma tmt

=∫

02 =∫tm

dmya

Vemos que el primer término es la expresión para el momento de inercia del cuerpo respecto al eje, paralelo al Z, que pasa por el centro de masas:

El último término es, simplemente, el producto de la masa total por la distancia entre ejes:

Deducir el segundo término entraña alguna dificultad. Recordando la expresión para obtener la posición del CDM, aplicado a la coordenada y, y calculando el límite para el caso de un cuerpo homogéneo, tendremos:

=

∑

∞→→

t

iii

imCDM m

ymlímyi 0

t

m

m

dmyt

∫=

En nuestro caso, la coordenada y está referida al sistema centrado en CDM por tanto la expresión anterior, es decir, el CDM referido al CDM es cero. Consecuentemente, la integral del numerador es cero y lo es también el término citado:

9

Cálculo del momento de inercia. Dos teoremas

2amII tZZ CDM+=

Finalmente, podemos escribir el teorema de los ejes paralelos diciendo que: ”El momento de inercia de un cuerpo, respecto a un eje cualquiera, es igual a la suma del momento de inercia respecto a un eje, paralelo al primero, que pasa por el CDM más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes”. De una manera más concisa:

Ejemplo 4: Momento de inercia de un anillo de masa M y radio R respecto a un eje colineal con uno de sus diámetros (por ejemplo, el eje Y).Para apreciar la utilidad de estos teoremas, primero obtendremos el momento de inercia por integración:

Y

X

R

r dm

θ

En la figura, tomando un diferencial de la masa, su momento de inercia, será:

dmrdIY2=

El momento de inercia total nos lo da la integral de esta expresión para toda la masa, utilizando la variable de integración mas adecuada:

223

212

21 RMRRRIY === λππλ

dmcosRdmrIMM

Y θ222 ∫∫ ==

∫∫∫ ===ππ

θθλθλθλθ2

0

232

0

2222 dcosRdRcosRdlcosRIL

Y

Como dm = λ dl y dl = R dθ, lo anterior se puede poner como:

Finalmente, resolviendo,

10

Cálculo del momento de inercia. Dos teoremas Utilizaremos ahora el teorema de los ejes perpendiculares para calcular el mismo momento de inercia. Hemos visto antes que el momento de inercia de un anillo respecto al eje de revolución, Z, es M R2. Si tomamos los ejes X e Y como en la figura, el teorema de los ejes perpendiculares nos dice que:

YXZ III +=Como los momentos de inercia respecto a los ejes X e Y son iguales, tenemos finalmente:

22

212 RMIIRM YY =⇒=

Vemos la sencillez de estos cálculos comparándolos con los de la integración directa.

XY

Z

Ejemplo 5: Momento de inercia de un disco de radio R y masa M, respecto a un eje, W, paralelo a un diámetro y que pasa por la mitad del radio perpendicular a dicho eje (ver figura).

Y

X

WSabemos que el momento de este disco respecto a su eje de revolución es:

2

21 RMIZ =

Aplicando ahora el teorema de los ejes perpendiculares, obtenemos el momento de inercia respecto al eje Y:

YX IIRM +=221

Como el eje Y pasa por el CDM, podemos aplicar el teorema de los ejes paralelos: 2

2

241

+=RMRMIW

YI2= 2

41 RMIY =⇒

2

21 RMIW =⇒

11

Cálculo del momento de inercia. Más ejemplos

Ejemplo 7: Momento de inercia de un cilindro de radio R, altura H y masa M, respecto a su eje de revolución.Podemos considerar al cilindro como una superposición de discos de grosor elemental. Su momento de inercia será entonces igual a la suma de todos los momentos de inercia de sus componentes elementales.Como conocemos el momento de inercia de un disco respecto a ese eje, tendremos:

∫=a

Z dmxI0

2

dmRdIZ2

21

= ∫=⇒M

Z dmRI 2

21 2

21 RM=

Ejemplo 6: Momento de inercia de una placa rectangular de masa M y lados de longitud a y b, respecto a un eje que pasa por un lado de longitud b.

Si dividimos el rectángulo en varillas de longitud b con masa dm, el momento de inercia respecto a Z de cada una de ellas es x2 dm, Luego el momento total será la integral de todos ellos, es decir,

∫=a

dxbx0

2σa

xb0

3

3

= σ 3

31 abσ= 2

31 aM=

a

b

Z

Podíamos haber dividido la placa en varillas de longitud a. En este caso, el momento de inercia elemental de cada una de ellas es (1/3)a2 dm, con lo que el momento total será:

∫=M

Z dmaI 2

31

∫=M

dma231 2

31 aM=

dmx

H

R

Z

dm

R

12

Cálculo del momento de inercia. Más ejemplos

dmRdIZ2

' 41

=

Ejemplo 8: Momento de inercia de un cilindro de radio R, Longitud L y masa M, respecto a un eje perpendicular al eje de revolución que pasa por el CDM.

El momento de inercia de un disco elemental, como en la figura, respecto a un eje, Z’, colineal con uno de sus diámetros, hemos visto que es:L

R

dm

Z

x

Z’

R Como el eje Z pasa por el CDM, podemos aplicar el teorema de los ejes paralelos para obtener el momento de inercia del disco respecto a este eje:

dmxdIdI ZZ2

' +=

Integrando para todo el cilindro:

∫ +=M

Z dmxdmRI 22

41

dmxdmR 22

41

+=

2

2

322

2

4

34

L

L

L

L

xRxR

−−

+

=

πρπρ

∫∫−−

+=2

2

222

2

22

41

L

L

L

L

dxRxdxRR πρπρ

22

121

41 LMRM += ( )223

121 LRM +=

13

Cálculo del momento de inercia. Más ejemplos

dmrdIZ2=

Ejemplo 9: Momento de inercia de una corteza esférica delgada de radio R y masa M, respecto a un eje que pasa por el CDM.Podemos dividir la corteza en anillos como se aprecia en la figura de abajo. Como ya hemos visto, el momento de inercia de uno de estos anillos es:R

Z

Como es una superficie, la masa del anillo es:

dhrdm σπ2=

Y su momento de inercia queda:

θθσπ dcosRdmrdIZ342 2==

Integrando para toda la corteza:

∫−

=2

2

342

π

π

θθσπ dcosRIZ

342 4σπ R=

Z

r

Rdm

θ

dh

( ) ( )θσθπ dRcosR2= θθσπ dcosR22=

2

2

34

32

π

π

θθσπ−

−=sensenR

( ) 22432 RR σπ= 2

32 RM=

14

Cálculo del momento de inercia. Más ejemplos

dmrdIZ2

32

=

Ejemplo 10: Momento de inercia de una esfera de radio R y masa M, respecto a un eje que pasa por el CDM.

En este caso, vamos a dividir la esfera en cortezas esféricas delgadas. El momento de inercia de una de estas cortezas hemos visto que es:R

Z

dm = 4πr2 dr ρ

R

r

Z

Como dm = 4 π r2 ρ dr, Si sumamos todas las cortezas de distinto radio, es decir, si integramos desde r = 0 hasta r = R, obtendremos el momento de inercia total:

∫=M

Z dmrI 2

32

∫=R

drrr0

22 432 ρπ ∫=

R

drr0

4432 ρπ

Rr

0

5

5432

= ρπ 23

34

52 RR

= ρπ 2

52 RM=

15

Dinámica de rotación de un sólido rígido

τL=

dtd

Hemos visto que, en un sistema de partículas, la relación entre el momento angular total y el momento de las fuerzas aplicadas es:

Esta expresión constituye la ecuación fundamental de la dinámica de rotación.Vamos a suponer que un sólido rígido rota alrededor de un eje principal de inercia. Como en este caso, L = I ω, La expresión anterior la podemos poner de la siguiente manera, siempre que el momento, τ, debido a las fuerzas externas se tome respecto al mismo eje principal de inercia:

( ) τω=

dtId

Si el eje permanece fijo respecto al sistema inercial, cosa que ocurrirá en la mayoría de los casos, la expresión quedaría: ( ) τατω

=⇒= IdtdI

Podemos ver la gran similitud formal que existe entre el movimiento lineal y angular:

( ) ταωωL====⇒ I

dtdI

dtId

dtdangularMovimiento

( ) Favvp====⇒ m

dtdm

dtmd

dtdlinealMovimiento

Si τ = 0, Iω es constante y si I es constante, ω también lo será. Es decir, si no se aplican momentos externos, la velocidad angular permanece constante.

16

Dinámica de rotación de un sólido rígidoEs interesante observar que, en el caso de sólidos no rígidos, la condición Iω = constanteimplica que si I aumenta, ω disminuye y viceversa.

ZZ τdtdL

=Si un cuerpo no rota alrededor de un eje principal de inercia, aún se cumple que:

y si la orientación del eje es fija, respecto al sistema inercial: ZZ τdtdI =

ω

Cuando el eje no está fijo respecto al sistema inercial, podemos hacer los cálculos respecto al CDM:

CDMCDM dtdI τω

=CDMCDM

dtd τL

=

17

Energía de rotación de un sólido rígido

La energía cinética del elemento de masa, dmi, de un sólido es:

2, 21

iiic vdmdE =

Energía cinética

y la energía cinética de todo el cuerpo, teniendo en cuenta que vi = ri ω :

( )∫=tm

iic rdmE 2

21 ω

Donde se ha hecho uso de la definición del momento de inercia, I. La expresión es válida para rotación alrededor de cualquier eje. Si el eje es principal de inercia, como L = I ω, podemos poner también:

ILEc 2

2

=

Consideremos ahora el caso general en el que podemos descomponer el movimiento de un sólido rígido en traslación del CDM más rotación alrededor de un eje que pasa por dicho CDM. La energía cinética total será la debida al primer movimiento más la debida al segundo, es decir:

22

21

21 ωCDMCDMtc IvmE +=

∫=tm

ii dmr 22

21ω 2

21 ωI=

18

Energía de rotación de un sólido rígido

22

21

21 ωCDMCDMc IvmE +=

Ejemplo 11: Energía cinética de un cuerpo de masa m que gira sobre símismo con velocidad angular ω y cuyo CDM gira, con la misma velocidad, ω, respecto a un punto, O, distante una distancia d de dicho CDM.

O

Suponemos conocidos los momentos de inercia del cuerpo respecto a O. Su energía cinética total es:

Sacando factor común,

( ) 22

21 ωCDMc IdmE +=

y, aplicando el teorema de Steiner a la expresión entre paréntesis, tenemos finalmente:

2

21 ωOc IE =

Ejemplo 12: Energía cinética de una barra de masa m y longitud L que gira respecto a un extremo.Según hemos visto en el ejemplo anterior, la energía cinética será simplemente la de rotación alrededor del centro de giro, es decir, del extremo:

2

21 ωOc IE =

222

21

21 ωω CDMIdm +=

22

3121 ωLm= 22

61 ωLm=

O

19

Trabajo de rotación de un sólido rígido

exticfc WEE =− ,,

La distancia entre partículas de un sólido rígido permanece constante por lo que no hay variación de la energía potencial interna. Podemos expresar entonces la conservación de la energía como:

Si las fuerzas externas son conservativas, tenemos:

fextpiextpext EEW ,,,, −= iextpicfextpfc EEEE ,,,,,, +=+⇒

Llamando E a la energía total del cuerpo, nos queda:

constanteEIvmE extpCDMCDM =++= ,22

21

21 ω

Si existen fuerzas que no son conservativas, la expresión para el trabajo externo será:

',,,, WEEW fextpiextpext +−=Donde W’ es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, como el rozamiento, por ejemplo. Ahora la expresión anterior se puede poner:

',,,,,, WEEEE iextpicfextpfc =+−+Consideremos ahora un sólido que gira alrededor de un eje, perpendicular al plano, que pasa por el punto O de la figura y sobre el que actúa una fuerza F aplicada en P. Cuando el sólido gira un ángulo dθ, el trabajo realizado por F es:

FPP'⋅=dW

O

P

P’r

F

dθ

α(π/2)-α

−= απ2

' cosFPP αsenFPP'= Fsendr αθ=

20

Trabajo de rotación de un sólido rígido

Como r F sen α es el momento de la fuerza respecto a O, resulta finalmente:

θdτdW =

=

==

dtddtdII

ωθ

ωατ

∫=⇒f

i

dτWθ

θ

θSi el momento τ permanece constante,

( )ifW θθτ −=Cuando el cuerpo gira con una aceleración α se cumple:

donde, de nuevo, recordando la expresión para la energía cinética de rotación, hemos obtenido la expresión para la conservación de la energía.

Ejemplo 13: Un cuerpo de masa m cuelga de una cuerda enrollada en un cilindro de masa m’ y radio R que puede girar libremente. Si el cuerpo parte del reposo y la cuerda no desliza, ¿quévelocidad angular tiene el cilindro cuando el cuerpo ha descendido una altura h?

h

m

m’

mghW =

( ) 222 '21

21

21 ωω RmRm +=

22

21

21 ωImv += ( ) 22

21

21 ωω IRm += ( ) 222 '

21

21

21 ωω RmRm +=

+= '

21

21 22 mmRω ( )'2

42 mmRmgh

+=⇒ ω

dtdtdIW

f

i

t

t

ωω∫=⇒ ∫=

f

i

dIω

ω

ωω 22

21

21

if II ωω −=

21

Equilibrio de un sólido rígido

Hemos visto que el centro de masas de un sistema de partículas puede ser tratado como una partícula con masa igual a la del sistema. Entonces el centro de masas de un sólido rígido estará en equilibrio si la fuerza resultante sobre dicho punto se anula, es decir, si

0=∑i

iF

Esta expresión constituye la condición de equilibrio de un sólido rígido para la traslación.

0=∑i

iτ

Sin embargo, aunque a efectos de traslación podemos tratar al sólido rígido como una partícula, a efectos de rotación no podemos hacerlo porque las fuerzas aplicadas sobre él, aunque su suma sea nula, pueden producir momentos que lo hagan girar. Por lo tanto, la otra condición para el equilibrio para de un sólido rígido será:

Hay que hacer notar que la expresión anterior se cumple para cualquier polo de momentos, ya que si el sólido no gira respecto a un punto del sistema de referencia inercial, no lo harárespecto a ningún otro. Esto es muy conveniente porque podremos elegir el punto respecto al que tomaremos los momentos de manera que se simplifiquen los cálculos.Las expresiones anteriores implican que las fuerzas se deben anular a lo largo de los tres ejes y los momentos se deben anular alrededor de los mismos:

;0;0;0

0;0;0

,,,

,,,

===

===

∑∑∑

∑∑∑

iiz

iiy

iix

iiz

iiy

iix

τττ

FFF

22

Centro de gravedad

A veces, sin embargo, alguna de estas condiciones se cumple a priori. Por ejemplo, una cuenta de un collar insertada en un alambre solo se puede mover a lo largo del alambre y solo puede girar alrededor del mismo. En este caso, si hacemos coincidir el alambre con el eje Z, las condiciones anteriores se cumplen ya para los ejes X e Y con lo que la condición de equilibrio se limita a las expresiones para Z. en estos casos decimos que los cuerpos están sometidos a ligaduras.

CDGi

i ττ =∑

Ligaduras

En casi todos los problemas de equilibrio, una de las fuerzas que intervienen es la fuerza debida a la gravedad, es decir, su peso. En estos problemas debemos entonces calcular el momento de esta fuerza. Aunque el peso está distribuido por todo el cuerpo, podemos concentrarlo en un punto de manera que el momento del peso total aplicado en este punto sea igual a la suma de todos los momentos debidos a los pesos de la partículas constituyentes. A este punto lo llamamos Centro de Gravedad. Veamos dónde se encuentra.

Centro de gravedad

CDGCDGi

ii

iii gmgm rr

=⇒ ∑∑

Despejando la posición del CDG,

CDGi

i

iiii

CDG

gm

gm

=

∑

∑ rr

23

Centro de gravedadAhora bien, en casi todos los problemas que trataremos consideraremos constante el valor de la aceleración gravitatoria, g. en este caso podemos eliminar de la expresión anterior todos los gi y gCDG, quedándonos:

∑∑

=

ii

iii

CDG m

m rr

que es la expresión para el centro de masas, ya conocida. Por lo tanto, mientras no se diga lo contrario (cuando g no sea constante), el CDG coincidirá con el CDM.

Estabilidad del equilibrioAunque se cumplan las condiciones de equilibrio, éste se puede perder con más o menos facilidad. Dependiendo de esto podemos dividir el equilibrio en estable, inestable e indiferente:Cuando el equilibrio es estable, si se separa al cuerpo de su posición aparecen fuerzas y/o momentos que tienden a restablecer el equilibrio.Cuando el equilibrio es inestable, si se separa al cuerpo de esta posición aparecen fuerzas y/o momentos que tienden a separar al cuerpo del equilibrio.Finalmente, si el equilibrio es indiferente, cuando se separa el cuerpo de su posición, éste sigue encontrándose en equilibrio.

24

Equilibrio. EjemplosEjemplo 14: Una escalera uniforme, de longitud L=6 m de y masa mE=40 kg, se apoya en un suelo rugoso y una pared pulida formando un ángulo θ=60ºcon el suelo. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la escalera y el suelo es µ=0,3 calcular hasta qué punto de la escalera puede ascender un hombre de masa mH=70 kg de masa sin que la escalera se mueva.

O

θ mEgmHg

NP

NS

FR

d

Supongamos que puede subir una distancia d a lo largo de la escalera justo antes de que ésta se mueva. Se tienen que cumplir las condiciones de equilibrio:

;0;0;0 ,,, === ∑∑∑i

ixi

izi

iy τFF

Y

Z

Las fuerzas que afectan a la escalera son las siguientes:

;gEm ;gHm ;SN ;PN RFy los momentos que se tienen que equilibrar, tomándolos respecto a O:

;2

gu EE mL× ;gu HE md × PEL Nu ×

uE es el vector unitario en la dirección de la escalera. La normal del suelo y la fuerza de rozamiento pasan por O y su momento es nulo.

Las condiciones de equilibrio las podemos poner entonces como:

;PR NF = ;gmgmN HES += θθθ senNLcosgmdcosgmL PHE =+2

Gráficamente, el producto vectorial lo podemos realizar deslizando las fuerzas hasta que la distancia de su recta de aplicación hasta O sea la mínima.

25

Equilibrio. Ejemplos

Ejemplo 15: Una caja de 2 m de alto por 1 m de ancho por 1 m de fondo, de masa uniforme, se coloca sobre una plancha rugosa articulada en su parte inferior, como se ve en la figura. La plancha está inclinada un ángulo θque se hace aumentar lentamente. El coeficiente de rozamiento es lo suficientemente grande para evitar que la caja deslice. Hallar el mayor ángulo que puede alcanzarse sin que vuelque la caja.

De las ecuaciones anteriores:

( )θ

θθµ

cosgm

cosgmLsengmgmLd

H

EHE 2−+

=

Finalmente:

( ) ( ) θµθθµ sengmgmLcosgmdcosgmLgmgmN HEHEHEP +=+⇒+=2

( )m

cos

cossen18,3

º608,970

º608,94026º608,9708,9403,06

=⋅

⋅−⋅+⋅⋅=

Las fuerzas que actúan sobre la caja son las siguientes:;m g ;N

mg

N

FR

RFEn este caso es conveniente hacer coincidir uno de los ejes del sistema de referencia con el plano inclinado. Por lo tanto debemos descomponer el peso como vemos en la figura.

mg cos θ

mg sen θ

θ

Para cualquier ángulo suficientemente pequeño para que no vuelque la caja, los momentos están equilibrados. Veámoslo:

O

θθθθ cosgmtgHdsengmHcosgmd

−+=

2222

H

d

26

Equilibrio. EjemplosVemos en la ecuación anterior que, aunque se mantiene la igualdad, el paréntesis se hace cada vez más pequeño al aumentar θ. A partir del momento en que valga cero un aumento de θ haráque el momento debido a la componente paralela al plano aumente, mientras que el debido a la componente normal disminuya. Es decir, a partir de ese instante la caja volcará. Por lo tanto debemos obtener el ángulo para el cual el paréntesis se hace cero:

022

=

− θtgHd

mg

N

FR

mg cos θ

mg sen θ

θ

O

H

d

21

==⇒Hdtgθ "54'33º26=⇒ θ

ObservaciónQuizá pueda resultar extraña la ubicación de la fuerza normal N en el ejemplo anterior ya que estamos acostumbrados a verla dibujada en el centro del cuerpo. Sin embargo en estos casos donde el cuerpo está en equilibrio en un plano inclinado la normal debe ser desplazada a medida que aumenta el ángulo de inclinación. Aunque ya lo demuestra la expresión anterior que iguala los momentos, veamos de donde sale dicha expresión. Supongamos que la normal está a una distancia x del centro de la base, entonces por estar en equilibrio:

θθθ cosgmxdsengmHcosgmd

−+=222

( ) θθθ cosxdsenHcosd 2−+=⇒

θθθθ cosxcosdsenHcosd 2−+=⇒

θθ cosxsenH 2=⇒ θtgHx2

=⇒

x