tema 5 (i)
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Interpolación
Tema 5 (I)
Interpolación
● Concepto y Teorema de la Aproximación
Consiste en la obtención de nuevos puntos intermedios para una función a partir de un conjunto limitado de puntos conocidos.
Más allá del concepto puramente analítico, las aplicaciones de la interpolación en informática son inmensas utilizándose por ejemplo en compresión de vídeo, cambio de frecuencia de muestreo en sonido, cambio de tamaño de imágenes, animación de parámetros en realidad virtual, etc.
Interpolación de una función
A partir de un conjunto de n puntos (xk,yk) llamamos interpolación f(x) a la función que verifica: f(xk)=yk para k=1,…,n
Interpolación de una función
Interpolación de una función
La interpolación más sencilla sería conectar dos puntos con una recta, se trataría de una interpolación lineal y es poco precisa.
La interpolación mediante un polinomio será más precisa al poder ajustar sus curvas a la función que se pretende interpolar.
Teorema de la Aproximación de Weiestrass
Sea f(x) definida y continua en [a,b]. Para todo ε>0 existe un polinomio P(x) tal que
|f(x)-P(x)|<ε para todo xє[a,b] El teorema nos garantiza que siempre existirá
un polinomio con el que poder interpolar cualquier función, con la precisión que queramos. El problema es encontrarlo.
Interpolación
● Concepto y Teorema de la Aproximación
● Interpolación de Lagrange
Polinomios de Lagrange
Para que un polinomio tenga una raíz en xi debe tener un factor (x-xi) que se haga 0 al sustituir x por xi.
El polinomio con raíces en x0,x1,…,xn debe tener la forma P(x)= (x-x0)(x-x1)…(x-xn)
Polinomios de Lagrange
Dado los valores x0,x1,…,xn llamamos a Ln,k(x) polinomio de Lagrage de grado n para k al polinomio que tiene n raíces en x0,…,xk-1,xk+1,…,xn y cumple que Ln,k(xk)=1
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110
110,
nkkkkkk
nkkkn
xxxxxxxx
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Polinomio de Interpolación de Lagrange
Se llama polinomio de interpolación de Lagrange de grado n a
donde
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110
110,
nkkkkkk
nkkkn
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Polinomio de Interpolación de Lagrange
Por ejemplo, conocidos 2 valores: x0 y x1, y sus valores en f(x): f(x0) y f(x1) podemos interpolar f(x) mediante el polinomio de interpolación de Lagrange de grado 1 P1(x)
Es una interpolación lineal.
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01
01,1
xx
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01
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xx
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xx
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10
10,1
xx
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Polinomio de Interpolación de Lagrange
Con 3 valores: x0, x1, x2, f(x0), f(x1) y f(x2) la interpolación de Lagrange de grado 2 P2(x)
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2
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201
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102,2
xxxx
xxxxxL
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1202
102
xxxx
xxxxxf
Polinomio de Interpolación de Lagrange
Comparación P1(x) con P2(x): Los L2,k(x) incorporan una raíz más que los L1,k(X) y el polinomio P1(x) suma un término más que P2(x)
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2101
201
2010
2102
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xxxx
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102
xxxx
xxxxxf
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01
01
10
101
xx
xxxf
xx
xxxfxP
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Calcula con un polinomio de interpolación de Lagrange de grado 1 (lineal) la función f(x)=(x/2)(x-2) para x=5/2 conocidos los valores f(2)=1 y f(3)=3/2 xi f(xi)
x0=2 1
x1=3 3/2
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110
110,
nkkkkkk
nkkkn
xxxxxxxx
xxxxxxxxxL
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Calcula con un polinomio de interpolación de Lagrange de grado 1 (lineal) la función f(x)=(x/2)(x-2) para x=5/2 conocidos los valores f(2)=1 y f(3)=3/2
)3()32(
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10
10,1 x
x
xx
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x
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xi f(xi)
x0=2 1
x1=3 3/2
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110
110,
nkkkkkk
nkkkn
xxxxxxxx
xxxxxxxxxL
n
k
knkn xLxfxP0
, )()()(
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Calcula con un polinomio de interpolación de Lagrange de grado 1 (lineal) la función f(x)=(x/2)(x-2) para x=5/2 conocidos los valores f(2)=1 y f(3)=3/2
)3()32(
)3(
)(
)()(
10
10,1 x
x
xx
xxxL
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01
01,1 x
x
xx
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xi f(xi)
x0=2 1
x1=3 3/2
n
k
knkn xLxfxP0
, )()()(
)()()()()( 1,110,101 xLxfxLxfxP
22
)2(3
2
)3(2)(1
xxxxP
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Calcula con un polinomio de interpolación de Lagrange de grado 1 (lineal) la función f(x)=(x/2)(x-2) para x=5/2 conocidos los valores f(2)=1 y f(3)=3/2 xi f(xi)
x0=2 1
x1=3 3/2
22
)2(3
2
)3(2)(1
xxxxP
118,12
5
2
2/5)2/5(
22
5
f
25,14
5)2/5(1P
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Calcula con un polinomio de interpolación de Lagrange de grado 1 (lineal) la función f(x)=(x/2)(x-2) para x=5/2 conocidos los valores f(2)=1 y f(3)=3/2 xi f(xi)
x0=2 1
x1=3 3/2
22
)2(3
2
)3(2)(1
xxxxP
118,12
5
2
2/5)2/5(
22
5
f
25,14
5)2/5(1P
132,0)2/5(1P
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(1)=2 y recalcula con el polinomio de grado 2
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
)())(()(
)())(()()(
110
110,
nkkkkkk
nkkkn
xxxxxxxx
xxxxxxxxxL
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(1)=2 y recalcula con el polinomio de grado 2
)31)(21(
)3)(2(
))((
))(()(
2010
210,2
xx
xxxx
xxxxxL
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)())(()()(
110
110,
nkkkkkk
nkkkn
xxxxxxxx
xxxxxxxxxL
)32)(12(
)3)(1(
))((
))(()(
2101
201,2
xx
xxxx
xxxxxL
)23)(13(
)2)(1(
))((
))(()(
1202
102,2
xx
xxxx
xxxxxL
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
n
k
knkn xLxfxP0
, )()()(
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(1)=2 y recalcula con el polinomio de grado 2
)31)(21(
)3)(2()(0,2
xxxL
)32)(12(
)3)(1()(1,2
xxxL
)23)(13(
)2)(1()(2,2
xxxL
)()()()()()()( 2,221,210,202 xLxfxLxfxLxfxP
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
n
k
knkn xLxfxP0
, )()()(
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(1)=2 y recalcula con el polinomio de grado 2
)()()()()()()( 2,221,210,202 xLxfxLxfxLxfxP
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2 )32)(12(
)3)(1()( 1
xxxf
)31)(21(
)3)(2()()( 02
xxxfxP
)23)(13(
)2)(1()( 2
xxxf
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(1)=2 y recalcula con el polinomio de grado 2
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2 )32)(12(
)3)(1()( 1
xxxf
)31)(21(
)3)(2()()( 02
xxxfxP
)23)(13(
)2)(1()( 2
xxxf
2
)2/1)(2/3(
2
3
1
)2/1)(2/3(
2
)2/1)(2/1(2)2/5(2P
0625,116/1716
9
16
8
16
9
4
3
4
1)2/5(2P
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(1)=2 y recalcula con el polinomio de grado 2
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
0625,116/1716
9
16
8
16
9
4
3
4
1)2/5(2P
118,12
5
2
2/5)2/5(
22
5
f 0555,0)2/5(2P
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(4)=4 y recalcula f(x) en x=5/2 con grado 3
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
x3=4 4
)())(()(
)())(()()(
110
110,
nkkkkkk
nkkkn
xxxxxxxx
xxxxxxxxxL
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(4)=4 y recalcula f(x) en x=5/2 con grado 3
)41)(31)(21(
)4)(3)(2()(0,3
xxxxL xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
x3=4 4
)())(()(
)())(()()(
110
110,
nkkkkkk
nkkkn
xxxxxxxx
xxxxxxxxxL
)42)(32)(12(
)4)(3)(1()(1,3
xxxxL
)43)(23)(13(
)4)(2)(1()(2,3
xxxxL
)34)(24)(14(
)3)(2)(1()(2,3
xxxxL
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(4)=4 y recalcula f(x) en x=5/2 con grado 3
Si sólo queremos aproximar un valor, lo mejor es, en vez de obtener el polinomio, establecer una matriz del cálculo.
)41)(31)(21(
)4)(3)(2()(0,3
xxxxL xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
x3=4 4
x4=5 125
8
)42)(32)(12(
)4)(3)(1()(1,3
xxxxL
)43)(23)(13(
)4)(2)(1()(2,3
xxxxL
)34)(24)(14(
)3)(2)(1()(2,3
xxxxL
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(4)=4 y recalcula f(x) en x=5/2 con grado 3
)34)(24)(14(
)3)(2)(1(44
)43)(23)(13(
)4)(2)(1(2/33
)42)(32)(12(
)4)(3)(1(12
)41)(31)(21(
)4)(3)(2(21
)()(
3
2
1
0
,3
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xLxfx iii xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
x3=4 4
)()()()()()()()( 3,332,321,310,30 xLxfxLxfxLxfxLxf
3
0
,3 )()(i
ik xLxf
)(3 xP
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
12
3
6
8/34
)34)(24)(14(
)3)(2)(1(44
32
27
2
8/9
2
3
)43)(23)(13(
)4)(2)(1(2/33
16
9
2
8/91
)42)(32)(12(
)4)(3)(1(12
24
3
6
8/32
)41)(31)(21(
)4)(3)(2(21
)2/5()()()(
3
2
1
0
.3,3
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
LxfxLxfx iiiii
32
33
96
24
96
81
96
54
96
12)2/5()()2/5(
3
0
.33
i
ii LxfP
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Añade el valor f(4)=4 y recalcula f(x) en x=5/2 con grado 3
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
x3=4 4
118,12
5)2/5(f 0868,0)2/5(3P
03125,132
33)2/5()()2/5(
3
0
.33
i
ii LxfP
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
… con grado 4
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
x3=4 4
x4=5 125
8
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
… con grado 4
)45)(35)(25)(15(
)4)(3)(2)(1(
8
1255
)54)(34)(24)(14(
)5)(3)(2)(1(44
)53)(43)(23)(13(
)5)(4)(2)(1(2/33
)52)(42)(32)(12(
)5)(4)(3)(1(12
)51)(41)(31)(21(
)5)(4)(3)(2(21
)()(
4
3
2
1
0
,4
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xLxfx iii
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
x3=4 4
x4=5 125
8
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
1024
375
24
16/9
8
125
)45)(35)(25)(15(
)4)(3)(2)(1(
8
1255
8
5
6
16/154
)54)(34)(24)(14(
)5)(3)(2)(1(44
128
135
4
16/45
2
3
)53)(43)(23)(13(
)5)(4)(2)(1(2/33
32
15
6
16/451
)52)(42)(32)(12(
)5)(4)(3)(1(12
192
15
24
16/152
)51)(41)(31)(21(
)5)(4)(3)(2(21
)2/5()()()( .4,4
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
LxfxLxfx iiiii
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
… con grado 4
xi f(xi)
x0=1 2
x1=2 1
x2=3 3/2
x3=4 4
x4=5 125
8
118,1)2/5(f 0684,0)2/5(3P
1024
375
8
5
128
135
32
15
192
15)2/5(4P
1865,13072
3645
3072
1125192032401440240
Ejemplo de Interpolación de Lagrange
Los grados 3 y 4 no mejoran el error del grado 2 en x=5/2:
0868,0)2/5(3P 0684,0)2/5(4P
0555,0)2/5(2P132,0)2/5(1P
Error de Interpolación de Lagrange
Si f(x) es una función interpolada con un polinomio Pn(x) de Lagrange, entonces:
donde ε es un número desconocido perteneciente al menor intervalo que contenga a x0, x1,…, xn y x
es decir,
)())(()!1(
)()()( 10
)1(
n
n
n xxxxxxn
fxPxf
)],(),,([ xxmáxxxmín ii
Interpolación de Lagrange
Problemas: – No necesariamente gana precisión
aumentando de orden.
– Es complicado su cálculo manual.
Interpolación
● Concepto y Teorema de la Aproximación
● Interpolación de Lagrange
● Tablas de interpolación
Tablas de Interpolación En el ejemplo hemos visto ,
calculando f(x)=(x/2)(x-2), que podemos aplicar tablas para calcular el valor de la interpolación en un x concreto, en el ejemplo x=5/2.
Cada vez que añadimos un punto (un grado
más al polinomio de interpolación) podemos crear una nueva columna en la tabla a partir de la columna anterior, salvo el último elemento de la columna, el de la nueva fila, que se calcula completamente.
Crear la columna L2,i(x) para el polinomio P2(x) a partir de la columna L1,i(x) del polinomio P1(x):
Tablas de Interpolación
)(
)()(
)(
)()(
)(
01
01
10
10
1
xx
xxxf
xx
xxxf
xP
)(
)()(
)(
)()(
)()(
01
011
10
100
,1
xx
xxxfx
xx
xxxfx
xLxfx iii
Crear la columna L2,i(x) para el polinomio P2(x) a partir de la columna L1,i(x) del polinomio P1(x):
Tablas de Interpolación
)(
)()(
)(
)()(
)(
01
01
10
10
1
xx
xxxf
xx
xxxf
xP
)(
)()(
)(
)()(
)()(
01
011
10
100
,1
xx
xxxfx
xx
xxxfx
xLxfx iii
))((
))(()(
1202
102
xxxx
xxxxxf
))((
))(()(
))((
))(()()(
2101
201
2010
2102
xxxx
xxxxxf
xxxx
xxxxxfxP
Tablas de Interpolación Crear la columna L2,i(x) para el polinomio P2(x)
a partir de la columna L1,i(x) del polinomio P1(x):
))((
))(()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)()()(
1202
1022
21
21,1
01
011
20
20,1
10
100
,2,1
xxxx
xxxxxfx
xx
xxxL
xx
xxxfx
xx
xxxL
xx
xxxfx
xLxLxfx iiii
Tablas de Interpolación Calcular los L3,i(x) para el polinomio P3(x): Si el calculo lo hacemos para un x en concreto, los
Ln,i se pueden calcular de los anteriores sin arrastrar la variable x, y el calculo se simplifica.
))((
))(()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)()()(
1202
1022
21
21,1
01
011
20
20,1
10
100
,2,1
xxxx
xxxxxfx
xx
xxxL
xx
xxxfx
xx
xxxL
xx
xxxfx
xLxLxfx iiii
)()(
)()()(
)(
)()(
))((
))(()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)()()()(
2303
2033
32
32,2
1202
1022
31
31,2
21
21,1
01
011
30
30,2
20
20,1
10
100
,3,2,1
xxxx
xxxxxfx
xx
xxxL
xxxx
xxxxxfx
xx
xxxL
xx
xxxL
xx
xxxfx
xx
xxxL
xx
xxxL
xx
xxxfx
xLxLxLxfx iiiii
Tablas de Interpolación Calcular los L3,i(x) para el polinomio P3(x):.
)()()()()()()()()( 3,332,321,310,303 xLxfxLxfxLxfxLxfxP
)()(
)()()(
)(
)()(
))((
))(()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)(
)()(
)()()()(
2303
2033
32
32,2
1202
1022
31
31,2
21
21,1
01
011
30
30,2
20
20,1
10
100
,3,2,1
xxxx
xxxxxfx
xx
xxxL
xxxx
xxxxxfx
xx
xxxL
xx
xxxL
xx
xxxfx
xx
xxxL
xx
xxxL
xx
xxxfx
xLxLxLxfx iiiii
Ejemplo de Tabla de Interpolación Calcula f(x)=(x/2)(x-2) en x=5/2 a partir del polinomio
de interpolación de grado 1 para x0=1 y x1=2
)()()()()( 1,110,101 xLxfxLxfxP
)()(
)()()(
)(
)()(
))((
))(()(
)(
)()(
)(
)()(
2
312
)(
)()(
)(
)()(
2
121
)()()2/5()(
2303
2033
32
32,2
1202
1022
31
31,2
21
21,1
30
30,2
20
20,1
,3,2,1
xxxx
xxxxxfx
xx
xxxL
xxxx
xxxxxfx
xx
xxxL
xx
xxxL
xx
xxxL
xx
xxxL
xLxLLxfx iiiii
Ejemplo de Tabla de Interpolación Calcula f(x)=(x/2)(x-2) en x=5/2 a partir del polinomio
de interpolación de grado 1 para x0=1 y x1=2
2/1)2/3(1)2/1(2)(1 xP
)()(
)()()(
)(
)()(
))((
))(()(
)(
)()(
)(
)()(
2
312
)(
)()(
)(
)()(
2
121
)()()2/5()(
2303
2033
32
32,2
1202
1022
31
31,2
21
21,1
30
30,2
20
20,1
,3,2,1
xxxx
xxxxxfx
xx
xxxL
xxxx
xxxxxfx
xx
xxxL
xx
xxxL
xx
xxxL
xx
xxxL
xLxLLxfx iiiii
Ejemplo de Tabla de Interpolación Calcula f(x)=(x/2)(x-2) en x=5/2 a partir de los valores
para x0=1, x1=2 y x2=3
2/1)(1 xP 2,221,210,202 )()()()( LxfLxfLxfxP
))()((
))()(()(
)(
)()(
8
3
2
33
)(
)()(
4
3
2
312
)(
)()(
8
1
2
121
)()2/5()2/5()(
23103
21033
32
32,2
31
31,2
30
30,2
,3,2,1
xxxxxx
xxxxxxxfx
xx
xxxL
xx
xxxL
xx
xxxL
xLLLxfx iiiii
Ejemplo de Tabla de Interpolación Calcula f(x)=(x/2)(x-2) en x=5/2 a partir de los valores
para x0=1, x1=2 y x2=3/2
2/1)(1 xP 16/17)8/3)(2/3()4/3(1)8/1(2)(2 xP
Ejemplo de Tabla de Interpolación Calcula f(x)=(x/2)(x-2) en x=5/2 a partir de los valores
para x0=1, x1=2 , x2=3 y x3=4
)()()()()()()()()( 3,332,321,310,303 xLxfxLxfxLxfxLxfxP
))()((
))()(()(
)(
)()(
8
3
2
33
)(
)()(
4
3
2
312
)(
)()(
8
1
2
121
)()2/5()2/5()(
23103
21033
32
32,2
31
31,2
30
30,2
,3,2,1
xxxxxx
xxxxxxxfx
xx
xxxL
xx
xxxL
xx
xxxL
xLLLxfx iiiii
Ejemplo de Tabla de Interpolación Calcula f(x)=(x/2)(x-2) en x=5/2 a partir de los valores
para x0=1, x1=2 , x2=3 y x3=4
16/14
16/98/32/33
16/94/32/312
16/18/12/121
)2/5()2/5()2/5()(
3
,3,2,1
x
LLLxfx iiiii
16/17)8/3)(2/3()4/3(1)8/1(2)(2 xP
32/33)16/1(4)16/9)(2/3()16/9(1)16/1(2)(3 xP
2/1)2/3(1)2/1(2)(1 xP
Tablas de Interpolación Otras construcciones de tablas son posibles
(Neville, Aitken, etc.) Algoritmo de Neville: Sea pi,j(x) el valor en x del polinomio de grado j-i
que pasa por los puntos (xk,yk) con k=i,i+1,…,j pi,j(x) satisface la siguiente relación de recurrencia: de forma que p0,n(x) es el valor de Pn(x) en x.
niyxp iii 0)(,
ji
jiijij
jixx
xpxxxpxxxp
)()()()()(
,11,
,
Tabla de Interpolación de Neville Por ejemplo, p1,2(x) será
niyxp iii 0)(,
ji
jiijij
jixx
xpxxxpxxxp
)()()()()(
,11,
,
Tabla de Interpolación de Neville Por ejemplo, p1,2(x) será
niyxp iii 0)(,
ji
jiijij
jixx
xpxxxpxxxp
)()()()()(
,11,
,
21
2,211,12
2,1
)()()()()(
xx
xpxxxpxxxp
Tabla de Interpolación de Neville Por ejemplo, p1,2(x) será
21
2,211,12
2,1
)()()()()(
xx
xpxxxpxxxp
21
2112 )()(
xx
yxxyxx
niyxp iii 0)(,
ji
jiijij
jixx
xpxxxpxxxp
)()()()()(
,11,
,
Tabla de Interpolación de Neville Por ejemplo, p1,2(x) será Como se puede ver,
se trata de una recta pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2)
21
2,211,12
2,1
)()()()()(
xx
xpxxxpxxxp
21
2112 )()(
xx
yxxyxx
Pirámide de Neville Los valores de Pn(x) están en la diagonal superior:
33,33
22,22
11,11
00,00
)(
)(
)(
)(
)(
yxpx
yxpx
yxpx
yxpx
xfyx iii
)(
)(
)(
3,2
2,1
1,0
xp
xp
xp
)(
)(
3,1
2,0
xp
xp)(3,0 xp
ji
jiijij
jixx
xpxxxpxxxp
)()()()()(
,11,
,
Pirámide de Neville Para f(x)=(x/2)(x-2) en x=5/2 con x0=1 y x1=2
33,33
22,22
11,11
00,00
)(
)(
)(
)(
)(
yxpx
yxpx
yxpx
yxpx
xfyx iii
)(
)(
)(
3,2
2,1
1,0
xp
xp
xp
)(
)(
3,1
2,0
xp
xp)(3,0 xp
ji
jiijij
jixx
xpxxxpxxxp
)()()()()(
,11,
,
Pirámide de Neville Para f(x)=(x/2)(x-2) en x=5/2 con x0=1 y x1=2
33,33
22,22
1,11
0,00
)(
)(
1)(2
2)(1
)(
yxpx
yxpx
xpx
xpx
xfyx iii
)(
)(
2
1)(
3,2
2,1
1,0
xp
xp
xp
)(
)(
3,1
2,0
xp
xp
)(3,0 xp
ji
jiijij
jixx
xpxxxpxxxp
)()()()()(
,11,
,
2
1)(1 xP
Para f(x)=(x/2)(x-2), x=5/2, x0=1, x1=2 y x2=3
2
1)(1 xP
Pirámide de Neville
)(
16
17)(
3,1
2,0
xp
xp)(3,0 xp
16
17)(2 xP
)(
2
3)(3
1)(2
2)(1
)(
3,33
2,22
1,11
0,00
xpx
xpx
xpx
xpx
xfyx iii
)(
4
5)(
2
1)(
3,2
2,1
1,0
xp
xp
xp
ji
jiijij
jixx
xpxxxpxxxp
)()()()()(
,11,
,
Pirámide de Neville Para f(x)=(x/2)(x-2), x=5/2, x0=1, x1=2, x2=3 y x3=4
4)(4
2
3)(3
1)(2
2)(1
)(
3,33
2,22
1,11
0,00
xpx
xpx
xpx
xpx
xfyx iii
4
1)(
4
5)(
2
1)(
3,2
2,1
1,0
xp
xp
xp
1)(
16
17)(
3,1
2,0
xp
xp
32
33)(3,0 xp
32
33)(3 xP
ji
jiijij
jixx
xpxxxpxxxp
)()()()()(
,11,
,
2
1)(1 xP
16
17)(2 xP
Interpolación
● Concepto y Teorema de la Aproximación
● Interpolación de Lagrange
● Tablas de interpolación
● Diferencias divididas
Diferencias divididas
Si con las tablas de los métodos anteriores intentamos obtener una expresión genérica del polinomio Pn(x), es decir, en función de x, esta nos va a resultar compleja y difícil de manejar.
El siguiente método permite obtener la
expresión explícita del polinomio de interpolación, y por eso resulta el más útil cuando luego se pretende derivar, integrar u operar en general con el polinomio.
Diferencias divididas En el método de Diferencias divididas, el polinomio
se obtiene mediante la siguiente expresión:
donde
iki
kiikiikii
ii
iiii
ii
xx
xxfxxfxxf
xx
xfxfxxf
xfxf
],,[],,[],,[
][][],[
)(][
11
1
11
)()](,,,[][)( 1
1
0100 k
n
k
kn xxxxxxxfxfxP
Pirámide de Diferencias divididas Pirámide para calcular Pn(x) para n=3:
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
)(][ ii xfxf
Pirámide para calcular Pn(x) para n=3:
Pirámide de Diferencias divididas
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
],[
],[
],[
32
21
10
xxf
xxf
xxf
],[ 1 ii xxf
ii
iiii
xx
xfxfxxf
1
11
][][],[
Pirámide para calcular Pn(x) para n=3:
Pirámide de Diferencias divididas
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
],[
],[
],[
32
21
10
xxf
xxf
xxf
],[ 1 ii xxf01
0110
)()(],[
xx
xfxfxxf
ii
iiii
xx
xfxfxxf
1
11
][][],[
Pirámide para calcular Pn(x) para n=3:
Pirámide de Diferencias divididas
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
],[
],[
],[
32
21
10
xxf
xxf
xxf
],[ 1 ii xxf01
0110
)()(],[
xx
xfxfxxf
12
1221
)()(],[
xx
xfxfxxf
ii
iiii
xx
xfxfxxf
1
11
][][],[
Pirámide para calcular Pn(x) para n=3:
Pirámide de Diferencias divididas
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
],[
],[
],[
32
21
10
xxf
xxf
xxf
],[ 1 ii xxf01
0110
)()(],[
xx
xfxfxxf
12
1221
)()(],[
xx
xfxfxxf
23
2332
)()(],[
xx
xfxfxxf
ii
iiii
xx
xfxfxxf
1
11
][][],[
Pirámide para calcular Pn(x) para n=3:
Pirámide de Diferencias divididas
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
],[
],[
],[
32
21
10
xxf
xxf
xxf
],[ 1 ii xxf ],,[... 3 ii xxf ],,[ 12 iii xxxf
iki
kiikiikii
xx
xxfxxfxxf
],,[],,[],,[ 11
Pirámide para calcular Pn(x) para n=3:
Pirámide de Diferencias divididas
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
],[
],[
],[
32
21
10
xxf
xxf
xxf
],,[
],,[
321
210
xxxf
xxxf
],[ 1 ii xxf ii xxf ,,[... 3 ],,[ 12 iii xxxf
02
1021210
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
iki
kiikiikii
xx
xxfxxfxxf
],,[],,[],,[ 11
Pirámide para calcular Pn(x) para n=3:
Pirámide de Diferencias divididas
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
],[
],[
],[
32
21
10
xxf
xxf
xxf
],,[
],,[
321
210
xxxf
xxxf
],[ 1 ii xxf ii xxf ,,[... 3 ],,[ 12 iii xxxf
13
2132321
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
02
1021210
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
iki
kiikiikii
xx
xxfxxfxxf
],,[],,[],,[ 11
Pirámide para calcular Pn(x) para n=3:
Pirámide de Diferencias divididas
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
],[
],[
],[
32
21
10
xxf
xxf
xxf
],,[
],,[
321
210
xxxf
xxxf],,,[ 3210 xxxxf
],[ 1 ii xxf ii xxf ,,[... 3 ],,[ 12 iii xxxf
13
2132321
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
02
1021210
],[],[],,[
xx
xxfxxfxxxf
iki
kiikiikii
xx
xxfxxfxxf
],,[],,[],,[ 11
03
2103213210
],,[],,[],,,[
xx
xxxfxxxfxxxxf
Pirámide para calcular Pn(x) para n=3: Los valores para calcular Pn(x)
son los de la diagonal superior:
Pirámide de Diferencias divididas
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
],[
],[
],[
32
21
10
xxf
xxf
xxf
],,[
],,[
321
210
xxxf
xxxf],,,[ 3210 xxxxf
],[ 1 ii xxf ii xxf ,,[... 3 ],,[ 12 iii xxxf
)()](,,,[][)( 1
1
0100 k
n
k
kn xxxxxxxfxfxP
Pirámide para calcular Pn(x) para n=3: Los valores para calcular Pn(x)
son los de la diagonal superior:
Pirámide de Diferencias divididas
)(
)(
)(
)(
][
33
22
11
00
xfx
xfx
xfx
xfx
xfx ii
],[
],[
],[
32
21
10
xxf
xxf
xxf
],,[
],,[
321
210
xxxf
xxxf],,,[ 3210 xxxxf
],[ 1 ii xxf ii xxf ,,[... 3 ],,[ 12 iii xxxf
)()](,,,[][)( 1
1
0100 k
n
k
kn xxxxxxxfxfxP
))(](,,[)](,[][)( 1021001003 xxxxxxxfxxxxfxfxP
))()(](,,,[ 2103210 xxxxxxxxxxf
Ejemplo 1 de Diferencias divididas Para f(x)=(x/2)(x-2), x=5/2, x0=1, x1=2, x2=3 y x3=4
4
3
2
1
][
3
2
1
0
x
x
x
x
xfx ii
iki
kiikiikii
xx
xxfxxfxxf
],,[],,[],,[ 11
Para f(x)=(x/2)(x-2), x=5/2, x0=1, x1=2, x2=3 y x3=4
44
2
33
12
21
][
3
2
1
0
x
x
x
x
xfx ii
2
5
34
2/34
2
1
23
12/3
112
21
iki
kiikiikii
xx
xxfxxfxxf
],,[],,[],,[ 11
Ejemplo 1 de Diferencias divididas
Para f(x)=(x/2)(x-2), x=5/2, x0=1, x1=2, x2=3 y x3=4
44
2
33
12
21
][
3
2
1
0
x
x
x
x
xfx ii
2
5
34
2/34
2
1
23
12/3
112
21
124
2/12/5
4
3
13
12/1
iki
kiikiikii
xx
xxfxxfxxf
],,[],,[],,[ 11
Ejemplo 1 de Diferencias divididas
Para f(x)=(x/2)(x-2), x=5/2, x0=1, x1=2, x2=3 y x3=4
44
2
33
12
21
][
3
2
1
0
x
x
x
x
xfx ii
2
5
34
2/34
2
1
23
12/3
112
21
124
2/12/5
4
3
13
12/1
12
1
14
4/31
iki
kiikiikii
xx
xxfxxfxxf
],,[],,[],,[ 11
Ejemplo 1 de Diferencias divididas
Para f(x)=(x/2)(x-2), x=5/2, x0=1, x1=2, x2=3 y x3=4
44
2/33
12
21
][
3
2
1
0
x
x
x
x
xfx ii
2/5
2/1
1
],[ 1 ii xxf
1
4/3
],,[ 12 iii xxxf
12/1
],,[ 3 ii xxf
)()](,,,[][)( 1
1
0100 k
n
k
kn xxxxxxxfxfxP
)1(12)(1 xxP
2/1)12/5(2)2/5(1P
Ejemplo 1 de Diferencias divididas
Para f(x)=(x/2)(x-2), x=5/2, x0=1, x1=2, x2=3 y x3=4
44
2/33
12
21
][
3
2
1
0
x
x
x
x
xfx ii
2/5
2/1
1
],[ 1 ii xxf
1
4/3
],,[ 12 iii xxxf
12/1
],,[ 3 ii xxf
)()](,,,[][)( 1
1
0100 k
n
k
kn xxxxxxxfxfxP
)2)(1)(4/3()1(12)(2 xxxxP
16/1716/916/8)2/1)(2/3)(4/3(2/1)2/5(2P
)2)(1)(4/3()()( 12 xxxPxP
Ejemplo 1 de Diferencias divididas
Para f(x)=(x/2)(x-2), x=5/2, x0=1, x1=2, x2=3 y x3=4
44
2/33
12
21
][
3
2
1
0
x
x
x
x
xfx ii
2/5
2/1
1
],[ 1 ii xxf
1
4/3
],,[ 12 iii xxxf
12/1
],,[ 3 ii xxf
)()](,,,[][)( 1
1
0100 k
n
k
kn xxxxxxxfxfxP
)3)(2)(1)(12/1()2)(1)(4/3()1(12)(3 xxxxxxxP
32/3332/116/17)2/1)(2/1)(2/3)(12/1(16/17)2/5(3P
)3)(2)(1)(12/1()()( 23 xxxxPxP
Ejemplo 1 de Diferencias divididas
Ejemplo 2 de Diferencias divididas Obtén el polinomio de interpolación de una función
de la que se sabe la siguiente tabla de valores:
13
80
151
)(xfx
Ejemplo 2 de Diferencias divididas Obtén el polinomio de interpolación de una función
de la que se sabe la siguiente tabla de valores:
13
80
151
][ ii xfx
3
7
],[ 1 ii xxf
10
158],[ 10 xxf
03
81],[ 21 xxf
Ejemplo 2 de Diferencias divididas Obtén el polinomio de interpolación de una función
de la que se sabe la siguiente tabla de valores:
13
80
151
][ ii xfx
3
7
],[ 1 ii xxf
1
],,[ 12 iii xxxf
10
158],[ 10 xxf
31
73],,[ 210 xxxf
03
81],[ 21 xxf
Ejemplo 2 de Diferencias divididas Obtén el polinomio de interpolación de una función
de la que se sabe la siguiente tabla de valores:
13
80
151
][ ii xfx
3
7
],[ 1 ii xxf
1
],,[ 12 iii xxxf
10
158],[ 10 xxf
13
73],,[ 210 xxxf
03
81],[ 21 xxf
))(](,,[)](,[][)( 1021001002 xxxxxxxfxxxxfxfxP
86)0)(1(1)1(715)( 2
2 xxxxxxP
Ejemplo 2 de Diferencias divididas Amplía el polinomio de interpolación un grado con
un nuevo valor para x3 y f(x3):
55
13
80
151
][ ii xfx
3
7
],[ 1 ii xxf
1
],,[ 12 iii xxxf
86)( 2
2 xxxP
],,,[ 123 iiii xxxxf
Ejemplo 2 de Diferencias divididas Amplía el polinomio de interpolación un grado con
un nuevo valor para x3 y f(x3):
55
13
80
151
][ ii xfx
2
3
7
],[ 1 ii xxf
1
],,[ 12 iii xxxf
86)( 2
2 xxxP
],,,[ 123 iiii xxxxf
35
15],[ 32 xxf
Ejemplo 2 de Diferencias divididas Amplía el polinomio de interpolación un grado con
un nuevo valor para x3 y f(x3):
55
13
80
151
][ ii xfx
2
3
7
],[ 1 ii xxf
5/1
1
],,[ 12 iii xxxf
86)( 2
2 xxxP
],,,[ 123 iiii xxxxf
05
32],,[ 210 xxxf
Ejemplo 2 de Diferencias divididas Amplía el polinomio de interpolación un grado con
un nuevo valor para x3 y f(x3):
55
13
80
151
][ ii xfx
2
3
7
],[ 1 ii xxf
5/1
1
],,[ 12 iii xxxf
86)( 2
2 xxxP
15/2
],,,[ 123 iiii xxxxf
15
15/1],,,[ 3210 xxxxf
Ejemplo 2 de Diferencias divididas Amplía el polinomio de interpolación un grado con
un nuevo valor para x3 y f(x3):
55
13
80
151
][ ii xfx
2
3
7
],[ 1 ii xxf
5/1
1
],,[ 12 iii xxxf
86)( 2
2 xxxP
15/2
],,,[ 123 iiii xxxxf
))()(](,,,[)()( 210321023 xxxxxxxxxxfxPxP
)3()1(15/286)( 2
3 xxxxxxP
)32(15/286 232 xxxxx
Ejemplo 2 de Diferencias divididas Amplía el polinomio de interpolación un grado con
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