tema 4_sist_electricos

EUITI- Bilbao Modelado y Simulación de Sistemas

Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática Pag. 32

1. 2. 3.

4. SISTEMAS ELECTRICOS

A continuación se analizarán diversas redes eléctricas pasivas empleadas frecuentemente en los sistemas de regulación automática, empleando amplificadores operacionales como amplificadores de ganancia entre etapas.

4.1. Sistemas de Corriente Continua Los elementos básicos que intervienen en las redes eléctricas pasivas son:

resistencias

condensadores

bobinas

SIMBOLO EC. DIFERENCIAL F.T.

Resistencia

Ri(t)

v(t)

( ) ( )v t R i t= ⋅

( ) ( )V s R I s= ⋅

V(s) I(s)1/R

Condensador

v(t)

i(t)C

( )( ) dv ti t Cdt

= ⋅

( ) ( )I s C s V s= ⋅ ⋅

V(s) I(s)C·s

Bobina

v(t)

i(t) L

( )( ) di tv t Ldt

= ⋅

( ) ( )V s L s I s= ⋅ ⋅

V(s) I(s)1/L·s

UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL

I Amperio (A)

V Voltio (V)

R Ohmnio (Ω)

C Faradio (F)

L Henrio (H)



La función de transferencia de una red eléctrica que incluya combinaciones de estos elementos, puede obtenerse, al igual que en el caso de los sistemas mecánicos, a partir de las ecuaciones diferenciales o a partir del diagrama de bloques.

Ejemplo 4.1: Circuito Serie RLC

R

v (t)CC

v (t)Rv (t)L

i(t) L

v(t)

Ejemplo 4.2.: Etapas RC en Cascada:

Dado el circuito de la figura, obtener la función de transferencia entre la entrada Ei(s) y la salida Eo(s).

R1

v (t)C1C1

v (t)R1

i (t)1e (t)i

R2

v (t)R2

v (t)C2C2 e (t)o

i (t)2i (t)-i (t)1 2

RECORDATORIO DE IMPEDANCIAS COMPLEJAS

A la hora de trabajar con funciones de transferencia de sistemas eléctricos, a menudo es más útil utilizar las ecuaciones transformadas de Laplace directamente.

De esta forma, tomando ( )( )( )E sZ sI s

= y suponiendo condiciones iniciales nulas:

Resistencia: RZ R=

Bobina: LZ L s= ⋅

Condensador: 1·CZ C s

=

El objetivo es conseguir la función de transferencia que relaciona la corriente i(t) con el voltaje de entrada v(t).

El resto de parámetros podrá obtenerse fácilmente a partir de i(t) usando las ecuaciones de cada elemento.



· Circuito Serie

R

e (t)C

C

e (t)R e (t)L

i(t) L

· Circuito paralelo

Ce(t)

i(t)

i (t)R

LR

i (t)L i (t)C

En corriente continua:

- El condensador, en su régimen transitorio, se carga en función de su capacidad y de la tensión aplicada entre sus bornes, comportándose en el régimen permanente como un circuito abierto.

- La bobina, en régimen permanente, se comporta como un cortocircuito, teniéndose únicamente en cuenta su valor óhmico.

En corriente alterna:

- El condensador introduce un desfase de 90º. La corriente se adelanta 1/4 del periodo respecto a la tensión en bornes del condensador. Introduce en el circuito una impedancia denominada capacitancia o reactancia capacitiva. Para una capacidad del condensador suficientemente elevada, a altas frecuencias se puede considerar que se comporta como un cortocircuito.

90º

VC

IC

1 donde 2CZ fj C

ω πω

= =

- La bobina introduce un desfase de 90º. La corriente se atrasa 1/4 del periodo respecto a la tensión en bornes de la bobina. Introduce en el circuito una impedancia denominada inductancia o reactancia inductiva. Para un valor de inductancia suficientemente elevado, a altas frecuencias se puede considerar que se comporta como un circuito abierto.

( ) ( ) ( ) ( )L R CE s E s E s E s= + +

1( ) ( )E s Ls R I sCs

= + +

1( )Z s Ls RCs

= + +

( ) ( ) ( ) ( )R L CI s I s I s I s= + +

( ) ( ) ( )( )1/

E s E s E sI sR Ls Cs

= + +

1 1( ) ( )I s Cs E sR Ls

= + +

1( ) 1 1Z sCs

Ls R

=+ +



90º VL

IL

donde 2LZ j L fω ω π= =

Trabajando con las impedancias de cada elemento, muchos circuitos se pueden estudiar como divisores de tensión, de la siguiente forma:

Z1

Z2ei eo

Aplicando esto mismo al circuito RLC anteriormente estudiado:

R

v (t)CC

v (t)Rv (t)L

i(t) L

v(t)

El potenciómetro:

Un potenciómetro es un resistor al que le puede variar el valor de su resistencia mediante un cursor giratorio o desplazable. De esta manera, indirectamente se puede controlar la intensidad de corriente que hay por una línea si se conecta en serie, o la diferencia de potencial de hacerlo en paralelo.

En un potenciómetro rotatorio conectado en paralelo, el voltaje de la salida será proporcional a la posición del eje:

)()( tKte S θ⋅=

siendo KS la constante de proporcionalidad del potenciómetro.

2

1 2

( ) ( )( ) ( ) ( )o

i

E s Z sE s Z s Z s

=+

2

11( )( ) 1 1 1( ) 12( )

Z s Ls REo s CsEi s LCs RCsZ s Ls RCs Cs

= + ⇒ = = + += + +



Para un potenciómetro multivuelta de N vueltas, el desplazamiento total será de N⋅⋅ π2 rad, por lo que la constante de proporcionalidad vendrá dada por la expresión:

NtvK S π2)(

=

4.2. Sistemas eléctricos con Amplificadores Operacionales La función de transferencia de dos elementos en cascada que no se cargan entre sí, se puede obtener fácilmente eliminando las salidas y las entradas intermedias:

21

1 3 2 3t 1 2

3 1 1 22

2

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) G ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )

X sG sX s X s X s X ss G s G sX s X s X s X sG sX s

= ⇒ = = = ⋅ =

Esto es, si la impedancia de entrada de la segunda etapa se puede considerar infinita, la salida de la primera etapa no se ve afectada al ser conectada a esta segunda etapa. En esta situación, la función de transferencia de todo el sistema es el producto de las funciones de transferencia de los elementos individuales.

En general, esto no va a ser así, pero se pueden conseguir características de “no carga” introduciendo entre las etapas un amplificador operacional de aislamiento, que al presentar una impedancia de entrada muy alta, permite considerar la situación de no carga para la etapa precedente.

Así por ejemplo, tomando el circuito anteriormente estudiado de redes RC en cascada:

R1

C1i (t)1e (t)i

R2

C2 e (t)oi (t)2

AMPLIFICADORDE

AISLAMIENTODE

GANANCIA K

V1 V2

se observa como los dos circuitos RC quedan aislados por el amplificador. De esta forma, la función de transferencia de todo el circuito puede ser calculada como el producto de las funciones de transferencia individuales:

( )( )1 2

1 2 1 1 2 2 1 1 2 2

( ) ( )( ) ( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1

V s V sEo s Eo s KKEi s Ei s V s V s RC s R C s RC s R C s

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+ + + +

El diagrama de bloques del sistema sería:

1 /R 1 1 /(C 1·s ) 1 /R 2 1 /(C 2·s )+

- -

+

E i

E oI2

I1 V 1K

V 2

observándose en este diagrama de bloques como ha desaparecido el efecto de realimentación de la segunda etapa sobre la primera.



A modo de resumen, se puede considerar un amplificador operacional en circuito abierto de la siguiente forma:

-

+

e1

e2

eo

Como se observa, el amplificador operacional amplifica, en función de su ganancia K, la diferencia de tensión entre sus entradas.

Donde, aproximadamente K≈105 para tensión continua o frecuencias bajas y K≈1 para tensión alterna de elevada frecuencia (superior a 1MHz).

Trabajando en lazo cerrado con realimentación negativa:

-

+

Ei

Eo

Z (s)2

Z (s)1

00

I(s)

I(s)

Amplificador Operacional Ideal:

1 2

2 1

0 ( ) ( )· ( ) ( )( ) ( )0 ( ) ( )· ( ) ( ) ( )

ZiZo Ei s Z s I s Z sEo sG s KI I Eo s Z s I s Ei s Z sV V

+ −

+ −

= ∞ = = → → = = − = = = = − =

Función de transferencia en la que puede observarse el comportamiento del circuito como un amplificador inversor de la tensión de entrada.

Conectando el amplificador operacional de otro modo, podría conseguirse un amplificador no inversor:

-

+Ei

Eo

Z (s)2

Z (s)1

00

I(s)

I(s)

Partiendo de la ecuación del amplificador operacional:

1

1 2

( )( ) · · ( ) ( )( ) ( )Z sEo s K V V K Ei s Eo s

Z s Z s+ −

= − = − +

1 1

1 2 1 2

( ) ( ) 1( )· 1 · ( ) ( ) · ( )( ) ( ) ( ) ( )Z s Z sEo s K K Ei s Ei s Eo s

Z s Z s Z s Z s K + = → = + + +

[ ]2 1( ) · ( ) ( )Eo s K E s E s= −

Considerando un amplificador operacional ideal, su impedancia de entrada es infinita, razón por la cual se pueden despreciar las corrientes de entrada al mismo, y se puede considerar la existencia de la masa virtual a la entrada: V+=V-

La realimentación forma un divisor de tensión de manera que:

1

1 2

( )( ) ( )( ) ( )Z sV s Eo s

Z s Z s− =

+



En continua o a frecuencias bajas, podemos considerar la ganancia del amplificador suficientemente elevada, de forma que la función de transferencia del circuito será:

1 2

1 2 1

( ) ( )( ) ( ) · ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( )Z s Z sEo sEi s Eo s G s

Z s Z s Ei s Z s≈ → = = +

+

Ejemplo 4.3.:

Hallar la función de transferencia del siguiente circuito:

R1

C

-

+

Ei

Eo

R2

I1

I2

I3

4.3. Redes de atraso – adelanto Las redes de atraso – adelanto se emplean para el diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia, de forma que se consiga que el comportamiento del sistema sea el deseado.

El término respuesta en frecuencia hace referencia a la respuesta que se obtiene de un sistema cuando éste es excitado por una señal senoidal. Esta entrada senoidal, se varia entre unos ciertos márgenes para estudiar la respuesta del sistema.

Una de las ventajas del estudio de la respuesta en frecuencia de los sistemas es que las pruebas que hay que realizar son relativamente sencillas si se cuenta con el equipo adecuado (generadores de señales senoidales y equipo de medida preciso).

Mediante estas pruebas es posible determinar las funciones de transferencia de sistemas complicados.

Enfocando el diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia, el comportamiento en el régimen transitorio queda determinado de forma indirecta:

La estimación del amortiguamiento del sistema viene dada por:

- El margen de fase

- El margen de ganancia

- La magnitud del pico de resonancia

La estimación de la velocidad de respuesta transitoria y las constantes de error estático viene dada por:

- La frecuencia de cruce de ganancia

- La frecuencia de resonancia

- El ancho de banda



4.3.1.Red de adelanto de fase

Una red de adelanto de fase es aquella que al ser sometida a una excitación de tipo senoidal, proporciona a la salida otra señal senoidal de la misma frecuencia, pero con un adelanto de fase respecto a la excitación, que será función de la frecuencia.

C1

e (t)i

i(t)R1

R2

i (t)1

i (t)2

e (t)o

Denominando Z1 a la impedancia formada por el paralelo de C1 y R1:

1

11 1 1 1

1 1 1 11

1 1 1// // 1 1CRZ Z R R

C s R C R sC s

− = = = + = +

se calcula la función de transferencia del circuito:

11 2 2

1 1

2

( ) ( ) ( ) ( )1

( ) ( )

iRE s Z I s R I s R I s

C R sEo s R I s

= ⋅ + ⋅ = + +

= ⋅

( )2 1 1 2 1 1

1 2 11 1 2 1 2 1 2

1 2

1 1( )( )( ) 1

R C R s R C R sEo sG s R R C sEi s R R R C s R R RR R

+ += = = ⋅

+ + + ++

Denominando 1 1

2

1 2

T RCR

R Rα

= = +

( ) 1( )( ) 1

Eo s TsG sEi s Tsα

+= =

+

T: Fija la frecuencia a la que colocamos la red.

α: fija el adelanto de fase que proporciona la red así como la indeseada amplificación a altas frecuencias.

Se observa como el parámetro α esta acotado: 0<α<1

21

2

1

1

0 0R +0

11 0

1

R

R

R

R

α

α

α

α

↓↓ ⇒ ≈ = ↑↑ ⇒ ≈ ↑↑ ⇒ ≈ = ∞ ↓↓ ⇒ ≈



También se podía haber resuelto el circuito por simplificación del diagrama de bloques:

En general, la compensación por adelanto de fase , acelera la respuesta del sistema (mejora la respuesta transitoria) e incrementa la estabilidad del mismo, pero, en contrapartida, puede empeorar el error en régimen permanente y acentuar los efectos del ruido de alta frecuencia.

4.3.2.Red de atraso de fase

Una red de atraso de fase es aquella que al ser sometida a una excitación de tipo senoidal, proporciona a la salida otra señal senoidal de la misma frecuencia , pero con un retardo en la fase respecto a la excitación, que es función de la frecuencia.

C1

e (t)i

R1

R2

i(t)

e (t)o



( )

1 2 21 1 2 1

1 2 11 22

11

1 1( ) ( )1( )

1( ) 11( ) ( )

Ei s R R I s RC s C s R C sEo sEi s R R C sR REo s R I s C sC s

= + + ⋅ +

+ ⇒ = = + + + += + ⋅

Definiendo: 2 1

1 2

2

T R CR RR

β

=

+ =

Se obtiene la función de transferencia:

( ) 1( )( ) 1

Eo s T sG sEi s T sβ

+ ⋅= =

+ ⋅ ⋅

donde T fija la frecuencia a la que se coloca la red y β fija el retardo de fase, así como la atenuación a altas frecuencias. En la práctica, el parámetro β se encuentra acotado por las limitaciones físicas de la red a valores aproximados de 10>β>1.

Al igual que en casos anteriores, se podría haber obtenido la función de transferencia mediante el diagrama de bloques:

Como ventajas de las redes de atraso cabe destacar el hecho de que no modifica las especificaciones relativas al error en el régimen permanente mientras que presenta la desventaja de ralentizar el transitorio.

En general, la compensación con red de atraso mejora la precisión en el régimen estacionario del sistema y reduce el efecto de los ruidos de alta frecuencia, pero a costa de reducir su velocidad de respuesta.

4.3.3.Red de atraso - adelanto

Si se quiere mejorar tanto la respuesta transitoria como la respuesta en régimen estacionario, debe realizarse de forma simultanea un compensador de adelanto y uno de atraso.

Así, podemos definir una red de atraso-adelanto como aquella que al ser sometida a una excitación de tipo senoidal proporciona a la salida otra señal de la misma frecuencia, pero con un desfase respecto a la excitación que es función de la frecuencia y que varía desde el atraso al adelanto a medida que la frecuencia evolución desde cero hasta infinito.

C2

e (t)i

R1

R2

e (t)oC1



Agrupando las impedancias:

11 1 1

1 1

2 22

//1

1

RZ R CRC

Z RC s

= =+

= + se resuelve el circuito como un divisor de tensión:

( )( )( )( )

1 1 2 22

1 2 1 1 2 2 1 2

1 1( )( ) 1 1

RC s R C sZEo tEi t Z Z RC s R C s RC s

+ += =

+ + + +

Denominando T1=R1C1 y T2=R2C2 y factorizando el denominador en dos términos reales en función del

parámetro β tal que: 11 1 2 2 1 2 2

TRC R C RC Tββ

+ + = + :

( )( )

( )1 2 1 2

12

1 2

1 11 1( )( )

( ) 11 1

s sT s T s T TEo sG s

Ei s T s T s s sT Tββ

β β

+ + + + = = =

+ + + +

Ejemplo 4.4.:

Obtener la función de transferencia del siguiente circuito.

tema 4_sist_electricos

Documents