tema 4. simplificacion

8/15/2019 Tema 4. Simplificacion

1/40

Tema 4. SIMPLIFICACION


2/40

Tema 4. SIMPLIFICACION por Angel Redondo I.E.S Isaac Peral Torrejon de Ardoz 2

SIMPLIFICACIONSimplificación.

Propiedades del álgebra de Boole.

- Conmutativa

- Asociativa

- Distributiva- Complemento

- Elemento neutro

Teoremas.Simplificación algebraica

Simplificación por mapas de Karnaugh

Puertas universales


3/40


4/40


Propiedades (I)

• Propiedad conmutativa

abba

abba

⋅=⋅

+=+

• Propiedad asociativa

c bac bac ba

c bac bac ba

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅

++=++=++

)()(

)()(


5/40


Propiedades (II)

• Propiedad distributiva.

)()()(

)()()(

c abac ba

c abac ba

⋅+⋅=+⋅

+⋅+=⋅+

• Complemento

0

1

=⋅

=+

aa

aa


6/40


Propiedades (III)

• Elemento neutro

aa

aa

=⋅

=+

1

0

00

11

=⋅

=+

a

a


7/40


Teoremas (I)

• Teorema 1.

aaa

aaa

=⋅

=+

• Teorema 2.

abaaabaa=+⋅

=⋅+

)(


8/40


Teoremas (II)

• Teorema 3

babaa

babaa

•=+•

+=•+

)(

• Teorema 4

aa =


9/40


Teoremas (III)

• Teorema 5. Teoremas de DeMorgan

c bac ba

c bac ba

++=⋅⋅

⋅⋅=++

)(

)(


10/40

SIMPLIFICACION

ALGEBRAICA


11/40


Ejemplo 1.

Simplificar la expresión:

C B AC B A +=

Obtenemos como factor común en ambos términosB A

)( C C B A X +=

Según la propiedad complemento 1=+ )( C C

B A1B A =•=


12/40


13/40


14/40


Ejemplo 3 (otra opción)


) )( ( B AB A X ++=

Efectuamos la multiplicación algebraica

BBB A AB A A +++=

B0

BB1

B A A

=•

+ )(

La expresión simplificada es:

BBB0 =++=


15/40


Ejercicio 4


BCD A ACD X +=

Obtenemos factor común ‘CD’

)( B A ACD X +=

Aplicamos propiedad distributiva: A+B


BCD ACDB)CD(A X +=+=


16/40


Ejemplo 5


C ABC A X +=

Obtenemos factor común C A

)( B1C A X +=

Aplicamos elemento neutro: 1


C A X =


17/40


Ejemplo 6


DC B ADC B A X +=

Obtenemos factor común DB A

)( C C DB A X +=

Aplicamos complemento: 1


DB A X =


18/40


Ejemplo 7


)( A AC ABBC C B A X +++=

Obtenemos factor común C B 1

La expresión resultante sería:

BC A AC B X ++= )(

Obtenemos factor común B 1


B1C C B X =+= )(


19/40


Ejemplo 8


)( BC BBC B A X +++=

1 Aplicamos complemento en B y B

La expresión resultante sería:

)( C BBC 1 A X ++=

Cuando en una suma lógica cualquiera de sus entradas

es ‘1’, la salida es ‘1’.

A X =


20/40


Mapas de Karnaugh (I)• Un mapa de Karnaugh es una representación

gráfica de una tabla de verdad, y por lo tantoexiste una asociación unívoca entre ambas.

• La tabla de verdad tiene una fila por cada

mintérmino, mientras que el mapa de Karnaughtiene una celda por cada mintérmino.

• Emplearemos mapas de Karnaugh para la

simplificación de ecuaciones de hasta cuatrovariables.

• El número de celdas del mapa es 2n.

– n = variables.


21/40


Mapas de Karnaugh (II)

• Mapas de Karnaugh de 2 variables.

ABABB

ABAB

AA

B0 2

1 3

Valor decimal

Variable menos

significativa

Variable mássignificativa


22/40


23/40


24/40


Mapas de Karnaugh (V)

• Una vez confeccionado el mapa, colocamosen cada celda el estado de la fila (mintérmino)asociada.

• Procedemos a la simplificación: – Agrupamos los unos (según criterios que se

indican a continuación).

– Obtenemos el término correspondiente a cadagrupo.

• Para simplificar, en cada grupo desaparece la variable

que cambia de nivel.


25/40


Mapas de Karnaugh (VI)

• Agrupamos los unos en bloques de.

– 8 unos

– 4 unos

– 2 unos

• Los que no puedan ser agrupados, se consideranunos aislados o independientes.

• Un uno puede formar parte de varios grupos.• Finaliza la agrupación cuando no queda ningún

uno libre.


26/40


Mapas de Karnaugh (VII)

• Agrupaciones de ocho unos:

CD

CD

CD

1

1

1

1

AB

0

8

12

41

1

AB

2

10

14

6

1

1

1

13

11

15

7

1

1

1

AB

1

9

13

5

1

1

AB

CD


27/40


Mapas de Karnaugh (VIII)

• Agrupaciones de cuatro unos:

CD

CD

CD

CD

1

1

1

1

AB

0

8

12

41

1

AB

2

10

14

6

1

1

1

1

AB

3

11

15

7

1

1

1

AB

1

9

13

5

1

1


28/40


Mapas de Karnaugh (IX)

• Agrupaciones de dos unos:

CD

CD

CD

1

1

1

AB

8

12

4

AB

10

14

6

1

1

1

AB

3

11

15

7

1

AB

13

5

1

1 1 10 2 1

9

CD 1 1

1 1


29/40


Mapa de Karnaugh (X)

• Unos independientes

CD

CD

CD

1

1

AB

0

8

12

4

AB

2

10

14

6

1

1

3

11

15

7

1

AB

1

9

13

5

AB

CD


30/40


Mapas de Karnaugh (XI)

• Ejemplo:

CD

CD

CD

1

1

AB

0

8

12

4

1

AB

2

10

14

6

1

3

11

15

7

1

1

AB

1

9

13

5

1

1

AB

CD

BC + AB + ACD + ABCD


31/40


Mapas de Karnaugh (XII)

• Simplificación de tablas de verdad concondiciones de ‘independencia’.

• Condición de independencia en las variables:

0010

1011

011X

110X

100X

SABC


32/40


Mapas de Karnaugh (XIII)

1

11C

ABABAB

11

0010

1011

011X

110X

100X

SABC AB

C

C ABS +=


33/40


Mapas de Karnaugh (XIV)• Condición de independencia en la salida

X001

0010

01111

011

1101

0110

X100

1000

SABC

XC

X1C

ABABABAB

11

C ABS +=

A efectos de simplificación, tomamos las X como ‘1’


34/40


35/40


Puertas universales (II)

• Función NOT con puertas universales.

• Cuando el nivel de las variables de entrada

de las funciones NOR y NAND son iguales,

la salida es su complemento.

A AA A A A


36/40


Puertas universales (III)

• Función OR con puertas universales (I).

• Con puertas NOR.

B AB AsF +=+=)(

A A+B

B


37/40


Puertas universales (IV)

• Función OR con puertas universales (y II)

• Con puertas NAND

B AB AsF +=+=)(

Aplicamos De DeMorgan

B AB AsF =+=)(

A

B

A+B


38/40


Puertas universales (V)

• Función AND con puertas universales (I)

• Con puertas NAND

AB ABsF ==)(

A AB

B


39/40


Puertas universales (VI)

• Función AND con puertas universales (y II).

• Con puertas NOR

AB ABsF ==)(

Aplicamos De DeMorgan

B A ABsF +==)(

A

B

AB


40/40


Puertas Universales (Resumen)

AND

OR

NOT

NAND NOR

A A+BB

B

A A+B

A A A A

A

B

ABA

BAB

tema 4. simplificacion

Documents