TEMA 3. ÓPTICA PARTE 1 Controversia histórica sobre la naturaleza de la luz: modelos corpuscular y ondulatorio. Dependencia de la velocidad de la luz con el medio. Algunos fenómenos producidos con el cambio de medio: reflexión, refracción, absorción y dispersión.

• Modelo corpuscular y Modelo ondulatorio; caracterización y evidencia experimental en apoyo de cada modelo.

• Reflexión y refracción de la luz; Leyes de Snell. • Índice de refracción. Relativo y Absoluto • Ángulo límite. • Reflexión total. • Lámina de caras plano paralelas • Prisma • Dependencia de la velocidad de la luz en un medio material con la frecuencia; dispersión • Absorción de la luz • Espectros de emisión y de absorción

PARTE 2 Óptica geométrica: comprensión de la visión y formación de imágenes en espejos y lentes delgadas. Pequeñas experiencias con las mismas. Construcción de algún instrumento óptico.

• Propagación rectilínea de la luz. Formación de imágenes por reflexión y refracción. • Dioptrio esférico y dioptrio plano. Formación de imágenes y características. • Espejos. Formación de imágenes y características. Aplicaciones. • Lentes delgadas. Formación de imágenes y características. • Instrumentos ópticos (lupa, cámara fotográfica, proyector, anteojo, microscopio).

PARTE 3 Estudio cualitativo del espectro visible y de los fenómenos de difracción, interferencias y dispersión. Aplicaciones médicas y tecnológicas.

• Diferentes regiones del espectro electromagnético; características y aplicaciones.

NATURALEZA DE LA LUZ Es evidente que un rayo luminoso transporta energía, no hay más que tumbarse al sol o acercar la mano a una bombilla para comprobarlo. Como sabemos las únicas formas de propagar la energía es mediante un corpúsculo o mediante una onda, y así tenemos las dos teorías que se han ido desarrollando a lo largo de la historia. 1. Teoría corpuscular de Newton (1642−1726) Para Newton la luz emite unos pequeños corpúsculos que se propagan en línea recta y a gran velocidad y que pueden ser reflejados por la materia. La teoría de Newton podía explicar fácilmente la propagación rectilínea de la luz y la formación de sombras y penumbras, así como la reflexión de la luz de la misma manera que si se tratara de una pelota que choca contra el suelo. Sin embargo no pudo explicar la refracción de la luz, ya que si fuese como una pelota, al chocar con el agua, donde la velocidad es menor, su componente vertical se vería frenada mientras que no le ocurriría nada a la componente horizontal, y como consecuencia el rayo se alejaría de la normal, cosa que no ocurre:

para explicar lo que realmente ocurre, que es justo lo contrario ya que como sabemos el rayo se acerca a la normal, Newton sugirió que el corpúsculo de luz era atraído por la superficie del agua y que entones su velocidad en el agua era mayor, cosa que no es verdad, pero que dado el prestigio de Newton tuvo una amplia aceptación. 2. Teoría ondulatoria de Huygens (1629−1695) Huygens, contemporáneo de Newton, pensaba que la luz tenía naturaleza ondulatoria, similar al sonido. El problema es que como no se concebía la idea de que una onda se propagara en el vacío se ideo un medio mas sutil que el aire al que se llamó éter y que debería llenar el vacío. Con esta idea Huygens explicó mediante el principio que lleva su nombre las leyes de la reflexión y de la refracción. Se le achacaba que si la luz era como el sonido ¿porqué no bordeaba los objetos, es decir porqué no se producía difracción?. Hoy sabemos que para que se produzca difracción el tamaño de la rendija debe ser de unas dimensiones comparables a la longitud de onda de la luz. En el caso del sonido las dimensiones de los objetos

corrientes son apropiadas, pero como la luz tiene una longitud de onda muy pequeña necesita rendijas pequeñísimas. 3. Young (1773−1829) y Fresnel (1788−1827) Consiguieron fenómenos de interferencias y difracción con rayos luminosos, demostrando que luz mas luz puede dar oscuridad, ambos fenómenos inexplicables desde fuera de un modelo ondulatorio. Por si fuera poco se consiguió polarizar la luz, con lo que además se puso de manifiesto que era una onda transversal. Además Foucault y después Michelson probaron que la velocidad de la luz era mayor en el aire que en el agua, dando la razón a Huygens. Todos estos motivos supusieron el triunfo de la teoría ondulatoria sobre la corpuscular. 4. Maxwel (1831−1879) Maxwel desarrolló su teoría sobre las ondas electromagnéticas, demostrando que eran debidas a la propagación de un campo eléctrico y otro magnético variables que se propagaban perpendicularmente y a la velocidad de la luz.

Ello llevó a pensar que la luz era una onda electromagnética y así se puso de manifiesto cuando Herz obtuvo con un circuito oscilante OEM (ondas de radio) de las mismas características a las de la luz salvo que de una frecuencia mucho menor, lo que probó sin lugar a dudas que la luz era una OEM. Además como las OEM pueden propagarse en el vacío se eliminó definitivamente el problemático concepto del éter. La teoría de la OEM de Maxwel supuso el mazazo definitivo a la teoría corpuscular y así a finales del siglo XIX todo parecía muy claro a favor de una teoría ondulatoria de la luz. 5. Luis de Broglie (1892−1987) Pronto aparecieron nuevos fenómenos como la interpretación de la radiación del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y especialmente el efecto Comptom que eran totalmente inexplicables desde un punto de vista ondulatorio y sí desde un punto de vista corpuscular. Luis de Broglie puso fin a la controversia indicando que, no solo la luz, sino todas las partículas en movimiento tienen asociada una onda ( vm/h=λ ), es decir que la luz

tiene doble naturaleza: de onda y de corpúsculo. Esta suposición quedó plenamente confirmada cuando Thomson y Davisson consiguieron la difracción de electrones, es decir que los electrones, que sin ningún género de dudas son partículas, pueden dar lugar a fenómenos de difracción que son típicos y exclusivos de las ondas. REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA LUZ Cuando una rayo de luz llega a la separación de dos medios transparentes una parte se refleja en el mismo medio y otra parte se refracta y viaja en el segundo medio. Las leyes de la reflexión son:

• El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en el mismo plano • El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión son iguales

Las leyes de la refracción son:

• El rayo incidente, la normal y el rayo refractado están en el mismo plano • El seno del ángulo de incidencia dividido por el seno del ángulo de refracción es

igual a la velocidad de la onda en el primer medio dividido por la que tiene en el segundo. A esta relación se le llama índice de refracción del segundo medio respecto del primero (n21)

212

1 nv

v

senr

seni ==

Del estudio de la refracción de la luz se deduce que:

• La velocidad de la luz es mayor en el vacío que en el resto de los medios • En el vacío la velocidad de la luz es constante y no depende la longitud de onda,

mientras que en el resto de los medios la velocidad depende de la longitud de onda de la luz

• La frecuencia de la luz no varia y es la misma en el vacío que en el resto de los medios

Índice de refracción absoluto de un medio (n): Al definirse el índice de refracción como el cociente entre la velocidad de la onda en el primer medio por la velocidad en el segundo medio, obviamente se requieren dos medios. No obstante, si el primer medio es el vacío (o el aire) podemos definir índice de refracción absoluto como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en ese medio:

mediomedio v

cn =

por tanto, el índice de refracción del vacío ( y aproximadamente el del aire) es n=1. Para el resto de los medios, siempre es mayor que 1, puesto que c siempre es mayor que vmedio. De acuerdo a lo anterior podemos definir Índice de refracción relativo del medio 2 respecto del medio 1 (n21) se define como el cociente entre el incide de refracción absoluto del medio 2 dividido por el del medio 1

2

1

1

2

1

221 v

v

v

cv

c

n

nn ===

de acuerdo con esto, la ley de snell de la refracción puede escribirse de otra forma:

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni ===

o bien escribirse como: senrnsenin 21 =

Longitud de onda e índice de refracción: Resulta evidente, que si la velocidad de la onda varía al cambiar de medio, mientras que su frecuencia permanece invariable, debe cambiar la longitud de onda, así que:

2

1

2

1

2

121

λ

λ

νλ

νλ

v

vn ===

Si el medio 1 es el vacío, n21 será siempre mayor que la unidad, por tanto la longitud de onda en el vacío siempre será mayor que la longitud de onda en el segundo medio.

Todas las expresiones se resumen en: 2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

====

Ángulo límite es aquel ángulo de incidencia que da lugar a un ángulo de refracción de 90º, es decir, que hace que el rayo refractado salga tangente a la superficie de separación de los dos medios, por tanto:

2

1

v

v

senr

seni = Si º90r = ⇒ 1

2

2

1lím n

n

v

vseni ==

Condiciones: Como el valor del seno no puede ser mayor que 1, para que se produzca ángulo límite es preciso que 21 vv < o bien que el índice de refracción absoluto del segundo medio sea menor que el del primero, como ocurre por ejemplo cuando la luz pasa del agua al aire: 21 nn > .

Como vemos, para un ángulo de incidencia igual al cociente de la velocidad de propagación ente los dos medios el rayo de refractado saldrá tangente a la superficie separación entre ambos medios, pero si el ángulo de incidencia en aun mayor entonces el rayo no llegará a cambiar de medio porque se reflejará, diciéndose que se produjo reflexión total. E1A.S2008 Un teléfono móvil opera con OEM de frecuencia ν=9.108 Hz a) Determina la longitud de onda y el número de onda en el aire. b) Si la onda entra en un medio en el que su velocidad de propagación es 3c/4, razona qué valores tienen la frecuencia, la longitud de onda y el índice de refracción del medio. c) Si la onda incide en el medio con un ángulo de 30º, dibuja los fenómenos que tienen lugar. d) Explica que entiendes por ángulo límite y calcula su valor. DATOS: c=3.108 m/s ; naire=1 a) En primer lugar calculamos la velocidad de la luz en el aire. Teniendo en cuenta que su índice de refracción absoluto es 1, por tanto, si

naire=1=airev

c ⇒ vaire = c = 3.108 m/s

La velocidad del rayo viene dada por: νλv mediomedio ⋅= La frecuencia no varía al

cambiar de medio, por tanto las únicas variables dependientes son la velocidad que tiene en un medio concreto y la longitud de onda que tiene en ese medio.

ν⋅= aireaire λv ⇒ 88 109103 ⋅⋅λ=⋅ ⇒ m33,0=λ

el número de ondas:

1m333,0

11~ −==λ

=ν

b)

Al cambiar de medio la frecuencia permanece inalterable, pero sí que cambia la velocidad de propagación y su longitud de onda, por tanto:

ν⋅= 22 λv ⇒ 82

8

1094

1033 ⋅⋅λ=⋅⋅ ⇒ m25,02 =λ

el índice de refracción absoluto del medio es, por definición el referido al vacío:

33,14/c3

c

v

cn

22 ===

el índice de refracción relativo es: (en este caso tiene también el mismo valor, ya que el primer medio es el vacío (n1=1)

33,11

33,1

n

nn

1

221 ===

c) Cuando la onda incide con un ángulo de 30º: • una parte se reflejará saliendo reflejada con un ángulo igual al de incidencia, es

decir de 30º • otra se refractará, y el ángulo de refracción, de acuerdo con la ley de snell será:

2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

==== ⇒ 33,1c

senr

30sen

4c3

==

(podríamos utilizar cualquiera de las combinaciones, pero es mejor utilizar que seni/senr=v1/v2 porque son los datos)

º22r =

d) El ángulo límite es aquel ángulo de incidencia que da lugar a un ángulo de refracción de 90º, es decir, que hace que el rayo refractado salga tangente a la superficie de separación de los dos medios, por tanto, según la ley de snell:

2

1

v

v

senr

seni = ⇒ 2

1lim

v

v

90sen

seni= ⇒

2

1lim v

vseni =

evidentemente, si la velocidad en el primer medio es mayor que la velocidad en el segundo medio nunca habrá ángulo límite porque el seno de un ángulo no puede ser mayor que la unidad, por tanto no habrá ángulo límite en este caso. Ahora bien, si el rayo tuviera la dirección contraria, es decir si pasara el medio al aire entonces sí. En este otro caso el ángulo límite sería de 48,59º

Fibra óptica: Es una de las aplicaciones más importantes de las reflexión total. Está formada por un cable, dentro del cual hay dos materiales: un núcleo de cristal de óxido de silicio, cuyo índice de refracción es muy elevado, recubierto por un manto de plástico cuyo índice de refracción es pequeño. De esta manera la onda luminosa que entra por un extremo en el núcleo queda “atrapada” dentro porque al chocar con la envoltura se produce reflexión total (aunque el ángulo de incidencia sea pequeño, ya que n2/n1~0) y de esa manera se conduce hasta el otro extremo.

La transmisión por fibra óptica se hace cambiando las señales eléctricas en pulsos de luz, mediante un codificador, y enviando los pulsos hacia el núcleo de una fibra óptica. Una vez que llegan al extremo opuesto, los pulsos los recibe un decodificador que los cambia de nuevo a señales eléctricas como las originales.

De esta forma se pueden mandar señales luminosas sin pérdidas a largas distancias. Las ventajas de la fibra óptica son (1) que es más barata que los cables de cobre y (2) que además no produce interferencias, por lo que es muy apropiada para la transmisión de datos. Lámina de caras plano−paralelas. Cuando un rayo atraviesa una lámina de caras paralelas no experimenta ningún cambio de dirección, aunque sí que se desplaza:

Después de dibujar la marcha de un rayo vamos a resolver las siguientes cuestiones: 1. ¿Qué relación guardan los distintos ángulos de incidencia y de refracción? Si escribimos la ley de snell para la primera y para la segunda refracción:

2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

==== y para la segunda refracción ´n

´n

´senr

´seni

1

2=

0 0v

lim1

2

2

1lim i

ni sen

nv≈⇒≈==

Teniendo en cuenta que, como es lógico, n1´=n2 y que n2´=n1, y que de la figura se deduce que los ángulos r

) y ´i

) son iguales (por ser ángulos de lados paralelos), resulta

que la ley de snell para la segunda refracción puede escribirse como:

2

1

n

n

´senr

senr =

Si le damos la vuelta a la expresión y comparamos con la ley de snell para la primera refracción, se deduce que los ángulos i

) y ´r

) también son iguales, es decir, que el rayo

no varía en dirección, aunque como vemos sí que sufre un desplazamiento. 2. ¿Qué espacio recorre en rayo dentro de la lámina en función del ángulo de incidencia y los índices de refracción del primer medio, sabiendo el espesor de la lámina. Suponiendo que el espesor de la lámina es h, el camino recorrido AB dentro de la misma se calcula fácilmente teniendo en cuenta (fíjate en el triángulo en verde)

AB

hrcos = ⇒⇒⇒⇒

rcos

hAB =

3. ¿Cuál es el desplazamiento (d) que sufre el rayo? (fíjate en el triángulo en amarillo)

AB

dsen =β y como los ángulos opuestos por el vértice son iguales: ir =+β tenemos:

rcos

)ri(senh)ri(senABd

−⋅=−⋅=

E2A.S2006 Un rayo de luz monocromática incide en una de las caras de una lámina de vidrio, de caras planas y paralelas, con un ángulo de incidencia de 30º. La lámina está situada en el aire, su espesor es de 5 cm y su índice de refracción 1,5. a) Dibuje el camino seguido por el rayo y calcule el ángulo que forma el rayo que emerge de la lámina con la normal. b) Calcule la longitud recorrida por el rayo en el interior de la lámina a) Como sabemos, cuando un rayo incide sobre una superficie translúcida parte se refracta y parte se refleja, de manera que el resultado sería algo así como el siguiente, donde los rayos reflejados se han dibujado en color rojo :

Teniendo en cuenta que, como hemos demostrado anteriormente, el rayo solamente sufre un desplazamiento, pero no varía en dirección; el ángulo de incidencia en la lámina es igual al ángulo de refracción de salida, resulta que r´=30º. b) Aplicando la ley de snell, el ángulo de la primera refracción es:

2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

==== ⇒ 1

5,1

senr

30sen = ⇒ º5,19r =

y el camino AB recorrido por el rayo en el interior de la lámina es:

cm3,55,19cos

5

rcos

hAB ===

Prisma óptico: es un cristal de láminas no paralelas que forman un ángulo α

1. Relación entre el ángulo del prisma, el ángulo de refracción y el segundo de incidencia:- Si nos fijamos en el triángulo dibujado en verde y recordamos que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º:

180´)i90()r90( =−+α+− ⇒ ´ir +=α

2. Desviación (δ) que sufre el rayo tras atravesar el prisma. Si nos fijamos en el triángulo en amarillo que se forma al prolongar la dirección del rayo que incide y el que sale del prisma:

180´)i´r()180()ri( =−+δ−+− ⇒ ´rríi −−+=δ

Ejemplo: Sobre un prisma de ángulo 60º, incide un rayo luminoso monocromático que forma un ángulo de 41,3º con la normal a la cara AB. Sabiendo que en el interior del prisma el rayo es paralelo a la cara AC: a) Calcula el índice de refracción del prisma b) Realiza el esquema gráfico de la trayectoria seguida a través del prisma c) Determina el ángulo de desviación del rayo al atravesar el prisma d) Explica si la frecuencia y la longitud de onda correspondiente al rayo luminoso son distintas o no dentro y fuera del prisma. a) Como vemos en la figura, en ángulo de la primera refracción es de 30º, ya que los ángulos de lados perpendiculares son iguales:

así que aplicando la ley de snell:

2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

==== ⇒ 1

n

30sen

3,41sen 2= ⇒ 32,1n2 =

b)

puesto que el rayo es paralelo a la base del prisma, los ángulos r

) y ´i

) son iguales de

30º, y también son iguales entre sí los ángulos los ´r)

y i)

y valen 41,3º

c) Si tenemos en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 y nos fijamos en el que está dibujado en color verde:

180)303,41()180()303,41( =−+δ−+− ⇒ º6,22=δ d) La frecuencia del rayo de luz es la misma en cualquier medio, pero puesto que varía el índice de refracción varía la velocidad y por lo tanto la longitud de onda. Como el índice de refracción es igual al cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en el prisma y vale 1,32:

32,1v

cn

prisma

vacío

prismaprisma =

νλνλ

== ⇒ 32,1vacío

prisma

λ=λ

al mismo resultado llegaríamos teniendo en cuenta, como siempre, que:

2

1

1

221

2

1

n

nn

v

v

senr

seni

λλ

==== ⇒ prisma

vacío

30sen

3,41sen

λλ

= ⇒ 32,1vacío

prisma

λ=λ

La longitud de onda del rayo monocromático se hace 1,32 veces menor a la que tenía en el vacío. Lógico, pues si la velocidad de la luz en cualquier medo es menor que en el aire su longitud de onda también debe ser menor, dado que la frecuencia siempre es la misma.

DISPERSIÓN. DEPENDENCIA DE LA VELOCIDAD CON LA FREC UENCIA Newton observó que cuando la luz blanca (policromática) atraviesa un prisma se descompone en colores, a los que llamó espectro. Estos colores ya no se descomponen más (son nomocromáticos), pero si se juntan de nuevo se obtiene la luz blanca.

• La luz monocromática está formada por ondas de una sola frecuencia. A cada color le corresponde una frecuencia característica, por ejemplo:

Infra−Rojo < Hz108,3 14⋅ Rojo Hz109,4108,3 1414 ⋅−⋅ Naranja Hz101,5109,4 1414 ⋅−⋅ Amarillo Hz103,5101,5 1414 ⋅−⋅ Verde Hz101,6103,5 1414 ⋅−⋅ Azul Hz100,7101,6 1414 ⋅−⋅ Violeta Hz100,8100,7 1414 ⋅−⋅ Ultra−Violeta > Hz100,8 14⋅

• La descomposición de la luz se debe a que cada color que forman la luz blanca se desvía un ángulo distinto en el prisma. Es decir, todas las frecuencias (colores) que componen la luz blanca inciden con el mismo ángulo de incidencia, pero al penetrar en el prisma cada color tiene un índice de refracción distinto y por eso se separan.

• Si para un mismo ángulo de incidencia cada color tiene un ángulo de refracción distinto al entrar en el prisma eso implica que cada color tiene un índice de refracción diferente y que viaja a una velocidad diferente en el prisma.

2

12

2 1

n

v

c

senr

i sen

λλ

===

• Como en el prisma cada color tiene una velocidad distinta, mientras que la

frecuencia de cada color permanece invariable, eso implica que cada color cambia la longitud de onda al pasar de un medio a otro (ya que v=λ.

ν)

2

1221

2 1

nn

v

c

senr

seni

λλ

====

Como la velocidad de la luz es máxima en el vacío, la longitud de onda en el vacío siempre será mayor que la longitud de onda en el segundo medio.

Resumiendo: La dispersión de la luz es la separación de un rayo de luz en los colores o frecuencias que lo componen al cambiar de medio, debido a que cada color presenta distinto índice de refracción y eso hace que cada uno tenga una desviación diferente. Cada frecuencia (color) ⇒ ≠ r

) (desviación) ⇒ ≠ n y ≠ velocidad

El arco iris se forma por la dispersión de la luz solar en las gotas de agua suspendidas por el aire tras la lluvia. Para verlo tenemos que tener el sol a la espalda Ejemplo: ¿Qué luz se desvía más en el prisma óptico: la luz roja o la luz azul?. Di cual de ellas tiene mayor índice de refracción en el prisma y cual de ellas se propaga en su interior con mayor velocidad. Dato: El índice de refracción color rojo es menor que el índice de refracción del color azul. Como podemos ver en la figura, la luz que sufre mayor desviación, respecto del rayo incidente, es la luz azul, que es la que tiene menor longitud de onda. No obstante, el ángulo de refracción mayor lo tiene el rojo, “porque los ángulos se miden sobre la normal al plano”.

Para demostrarlo escribiremos las leyes de la refracción para cada color:

rojo

rojorojo

rojorojo ´1

n

v

c

senr

seni

λλ

===

azul

azulazul

azulazul ´1

n

v

c

senr

seni

λλ

===

si dividimos miembro a miembro:

1nvsenr

azulnrojovrojosenrrojoazulazul <==

Si tenemos en cuenta que el índice de refracción del rojo es menor que el del azul, se deduce que todos los numeradores son menores que los denominadores, así pues:

• El índice de refracción del rojo es menor • El ángulo de refracción del azul es menor (se desvía más) • La velocidad del azul es menor

λ n para el vidrio v Rojo 6,40⋅10−7m 1.50917 1,988⋅108m/s Azul 4,86⋅10−7m 1.51690 1,978⋅108m/s

ABSORCIÓN DE LA LUZ Como sabemos, cuando la luz incide sobre un cuerpo, este se calienta. Eso ocurre porque parte de la luz se refleja y otra parte se absorbe y esa diferencia de energía es la que se transforma en calor. Sin embargo la absorción por los cuerpos de las frecuencias de luz es selectiva, de manera que absorben algunos de los colores monocromáticos que componen la luz blanca y reflejan el resto. Precisamente esos colores que reflejan son el color del que vemos los objetos.

Este tomate absorbe todos los colores monocromáticos menos el rojo, que es el que refleja y por tanto el color del que lo vemos. Los objetos que vemos blancos emiten casi el 100% de la luz que reciben mientras que los que vemos negros la absorben casi completamente, por esa razón se calientan más cuando están expuestos a la luz.

ESPECTROS DE EMISIÓN Y DE ABSORCIÓN Un espectroscopio es un aparato capaz de separar la luz en los colores monocromáticos que la componen. Así que un espectroscopio simple no es mas que un prisma. El espectro de la luz blanca es continuo porque al descomponerse contiene la totalidad de los colores desde el rojo al violeta, mientras que si solo hay unos pocos se llama espectro discontinuo.

Un espectro de emisión es el espectro de la luz que emite un cuerpo, mientras que si hacemos pasar la luz blanca a través del cuerpo y analizamos la luz que deja pasar, el espectro se llama de absorción. Ambos son complementarios, quiere decir que los colores que le faltan a uno son justamente los que tiene el otro.

El conjunto de líneas espectrales que se obtiene para un elemento concreto es siempre el mismo, incluso si el elemento forma parte de un compuesto complejo, es decir que cada elemento produce su propio espectro diferente al de cualquier otro elemento, y por lo tanto el espectro de un elemento es como si fuera su huella digital.

PROPAGACIÓN RECTILÍNEA DE LA LUZ. FORMACIÓN DE IMÁGENES POR REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN

Conceptos previos y convenio de signos Si la luz solar penetra por una pequeña abertura en un local oscuro, las partículas de polvo iluminadas al paso de la luz ponen de manifiesto que ésta se propaga en línea recta.

• De acuerdo con el principio de Fermat, el camino que la luz sigue entre dos puntos es aquel en el que emplee el menor tiempo posible.

• Los rayos de luz son líneas perpendiculares a la superficie de onda, es decir, son

líneas rectas que nos indican la dirección en que se propaga la luz.

• Los rayos de luz tienen una trayectoria rectilínea siempre que el medio sea homogéneo e isótropo, es decir, que tenga las mismas propiedades en todos los puntos.

• La trayectoria que siguen los rayos de luz es reversible, lo que quiere decir que

si la luz se propagara en sentido inverso recorrería el mismo camino. La consecuencia de la propagación rectilínea de la luz es la formación de sombras cuando el foco es puntual y de sombras y penumbras si no es puntual. Fuente luminosa puntual: es aquella que se supone que es ínfimamente pequeña por consiguiente cualquier cuerpo opaco colocado entre la misma y una pantalla, además de quedar en sombra parte del cuerpo, formará en la pantalla una sombra de igual forma al cuerpo (si es una esfera formará un circulo) y tamaño proporcional a las distancia.

Fuente luminosa no puntual extensa: es aquella que tiene dimensiones geométricas a considerar. Ahora gracias a que la fuente no es solo un punto, es un cuerpo con dimensiones a tener en cuenta, cuando colocamos por ejemplo una esfera entre pantalla y fuente se nos forman dos conos. De este modo se nos forman tres zonas: la sombra propiamente dicha, la zona totalmente iluminada que recibe todos los rayos de luz y la penumbra o faja angular comprendida entre las dos anteriores zonas.

Cámara oscura: este es el fundamento de la cámara fotográfica. Si en una caja cerrada hacemos un orificio pequeño y colocamos un cuerpo luminoso delante, dentro de la caja aparecerá la imagen del mismo invertida. Teniendo en cuenta la propagación rectilínea de la luz, los rayos inclinados que llegan al orificio continúan su recorrido rectilíneo formando una imagen invertida como se ve en la figura. El orificio de las cámaras oscuras debe ser pequeñísimo para dar imágenes nítidas, pero así se reduce la luminosidad de la imagen formada.

Formación de imágenes: A) Por reflexión: Son las imágenes que se forman en el mismo medio donde está el objeto. Son las imágenes que se obtienen en los espejos (esféricos o planos). A) Por refracción: Son las imágenes que se forman después de que los rayos de luz provenientes del objeto atraviesen un medio de distinto índice de refracción al del medio donde está el objeto. Son las imágenes que se obtienen en los dioptrios (esféricos o planos) y en las lentes .

Dioptrio esférico Un Dioptrio es el sistema formado por la superficie de separación de dos medios de distinto índice de refracción. El caso mas general es el del dioptrio esférico, que naturalmente es aquel en que la superficie de separación entre los medios es esférica, de radio R.

Convenciones y definiciones:

• Los rayos se mueven de izquierda a derecha • s1 o s = La distancia del objeto al dioptrio. s2 o s´ = distancia del dioptrio a la imagen. • Los ángulos de incidencia y refracción son positivos cuando se miden sobre la

normal por el camino mas corto. • Centro de curvatura (C). Es el centro de la esfera. En la figura es el punto C. Los

rayos que pasan por él no se desvían. • Centro del dioptrio o Polo (O). Es el vértice del casquete sobre el eje óptico,

donde se sitúa el origen del sistema de coordenadas. Las distancias medidas hacia la derecha se consideran positivas y las que se miden hacia la izquierda negativas. (En la figura, por ejemplo, s1=−3 y s2=+6 )

• Eje óptico. Es la recta que pasa por el centro de curvatura y por el polo. • Foco Objeto (F1 o F). Es un punto del eje principal del que parten todos los rayos

que luego salen paralelos al eje. La distancia de ese punto al polo se llama distancia focal objeto (f1 o f)

• Foco Imagen (F2 o F´). Es un punto del eje principal en el que confluyen todos los

rayos que llegan paralelos al eje. La distancia al polo se llama distancia focal (f2 o f´)

• Rayos paraxiales son los rayos que forman con el eje óptico ángulos muy pequeños. • Imagen real: es la imagen que se forma por intercesión de dos rayos procedentes

del objeto. No pueden verse y para verlas hay que proyectarlas sobre un plano. • Imagen virtual: es la imagen que se forma por intercesión de la prolongación de

los rayos que salen del objeto. No se pueden proyectar en un plano, pero pueden verse.

Las imágenes en un dioptrio se obtienen trazando dos rayos:

• uno que incide paralelamente al eje óptico (rojo en la fig.) y que, de acuerdo a la definición de foco imagen, se refracta pasando por el foco imagen

• otro que pase por el foco objeto que se refractará saliendo paralelo al eje óptico (en color rosa).

• uno que pase por el centro de curvatura no se desvía. Lógico porque si pasa por el centro tiene la dirección de la normal, es decir ángulo de incidencia 0 y según las leyes de la refracción de Snell le corresponde ángulo de refracción cero.

• En el punto de corte se forma la imagen real si los rayos se cortan o virtual si se cortan la prolongación de los rayos. En el punto de corte se forma la imagen real.

La ecuación general del dioptrio para rayos paraxiales es la siguiente:

R

nn

s

n

s

n 12

1

1

2

2 −=−

A partir de esta ecuación pueden obtenerse fácilmente las ecuaciones de los focos objeto e imagen, ya que:

• Si ponemos el objeto justo en el foco objeto, s1=f1 todos los rayos saldrían paralelos al eje y formarían la imagen en el infinito, es decir que s2=∝

R

nn

f

nn 12

1

12 −=−

∞ ⇒

12

11 nn

Rnf

−−

=

• Si ponemos el objeto en el infinito, s1=∝, todos los

rayos incidirán paralelos y confluirán en el foco imagen donde formarán la imagen: s2=f2

R

nnn

f

n 121

2

2 −=

∞− ⇒

12

22 nn

Rnf

−=

• Sumando las distancias focales objeto e imagen se obtiene el radio: Rff 21 =+ El aumento de la imagen se deduce fácilmente a partir de la ley de snell y de la figura, ya que si trazamos un rayo que pase por el polo y nos fijamos en los triángulos en amarillo, y que si los rayos son paraxiales la hipotenusa es prácticamente igual a s1 y s2:

1

2

n

n

senr

seni = ⇒ 1

2

2

2

1

1

n

n

s

ys

y

= ⇒ 12

2112 sn

sn yy

⋅⋅

=

Dioptrio plano: El dioptrio plano puede considerarse como un dioptrio esférico de radio infinito y por tanto su expresión se deduce fácilmente sin más que hacer ∞=R :

∞−

=− 12

1

1

2

2 nn

s

n

s

n ⇒⇒⇒⇒

1

1

2

2

s

n

s

n=

La refracción de la luz en la superficie de un dioptrio plano origina que un observador que mire un objeto sumergido a una distancia s1 (dist.real) vea la imagen virtual del objeto a una distancia de la superficie del agua s2 (dist.aparente) menor que la real, dando la impresión de que está más cerca. Esto es así porque el índice de refracción del agua (de donde parte el rayo) es mayor que el del aire. No obstante, el tamaño de la imagen es igual al del objeto: y2 = y1, lo que se deduce fácilmente sin más que sustituir en la expresión que relaciona el tamaño de las imágenes que para el dioptrio plano n1s2/n2s1=1.

1s1n

2

2

s

n=

ATENCIÓN: Recuerda que el ojo lo que ve es la luz que reflejan los objetos, por eso, cuida mucho al dibujar el sentido del rayo. Siempre sale del objeto y va hacia el ojo.

Al contrario ocurre cuando un buzo mira desde debajo del agua a un avión que lo verá más alejado de lo que realmente está.

Ejemplo: Un hombre está sentado, como se muestra en la figura, y sobre la mesa hay una taza, de la que no puede ver el fondo. ¿Cómo podría saber, sin levantarse, si en su interior hay una moneda? Es muy sencillo, solo tendría que llenar la taza de agua.

Cuando la taza está vacía, como los rayos se propagan rectilíneamente no puede ver el fondo, sin embargo al llenarla de agua, que tiene un índice de refracción mayor que el del aire (1,33), los rayos se doblan, acercándose a la normal. Como el cerebro está acostumbrado a ver en línea recta, lo que verá es la imagen virtual que se obtiene prolongando la dirección de incidencia hasta que corte a la vertical.

ESPEJOS. FORMACIÓN DE IMÁGENES Y CARACTERÍSTICAS Un espejo es una superficie perfectamente pulida y opaca que es capaz de reflejar todos los rayos. Los elementos de un espejo esférico son los mismos que los de un dioptrio, aunque en el caso de los espejos el foco imagen y el foco objeto coinciden y la distancia focal es la mitad del radio: 2/Rf =

Las imágenes en los espejos se obtienen trazando dos rayos:

• uno que incide paralelamente al eje óptico (rojo en la fig.) y que, de acuerdo a la definición de foco, se refleja pasando por el foco.

• otro que pase por el foco objeto que se reflejará saliendo paralelo al eje óptico (en color rosa).

• O bien, otro que pase por centro de curvatura no se desviará (porque incide con i=0 → r=0) y se refleja siguiendo el mismo camino a la inversa. (en color verde).

• En el punto de corte de cualquiera de estos rayos forma la imagen, que será real si los rayos se cortan o virtual si se cortan la prolongación de los rayos. Según la posición del objeto la imagen puede ser:

Si el objeto está mas lejos que el centro de curvatura se obtiene una imagen real, invertida y menor

Si el objeto está en el centro de curvatura se obtiene una imagen real, invertida y del mismo tamaño

Si el objeto está entre el centro de curvatura y el foco se obtiene una imagen real, invertida y mayor

Si el objeto está en el foco, no se forma imagen, ya que los rayos se cortarían en el infinito.

Si el objeto está entre el foco y el espejo se obtiene una imagen virtual, derecha y mayor

Espejos convexos (también llamados espejos divergentes) la focal y el centro de curvatura están detrás de la parte reflexiva. Siempre forman imágenes: * virtuales porque los rayos siempre divergen y en consecuencia solo pueden cortarse sus prolongaciones (porque no pueden pasar por el foco y el centro de curvatura, ya que están al otro lado del espejo). * derechas porque el objeto y la imagen están a ambos lados del espejo * menores porque siempre s1 > s2

En un espejo convexo la imagen siempre es virtual, derecha y menor.

La ecuación de los espejos puede obtenerse a partir del la ecuación del dioptrio esférico, si tenemos en cuenta que la reflexión es como un caso particular de refracción en el que el rayo rebota sobre el mismo medio, así que 12 nn −= y teniendo en cuenta que en los espejos 2/Rf =

12 nn −=

R

nn

s

n

s

n 12

1

1

2

2 −=−

R

nn

s

n

s

n 11

1

1

2

1 −−=−

− ⇒

R

2

s

1

s

1

12

=+ ⇒ f

1

s

1

s

1

12

=+

El aumento de la imagen se deduce fácilmente también a partir del aumento de la imagen para el dioptrio: 12 nn −=

12

2112 sn

snyy

⋅⋅

= ⇒ 1

212 s

sy y −=

Quiere decir que la imagen será derecha cuando s1 y s2 tengan distinto signo. Eso ocurre cuando objeto e imagen estén a ambos lados del espejo, que es lo que pasa siempre en los espejos convexos y en los cóncavos cuando el objeto está entre el foco y el espejo Espejos planos: Pueden considerarse como un caso particular de los esféricos, donde el radio es infinito. Para obtener la imagen en un espejo plano:

• Se traza un rayo paralelo al eje y se prolonga. Seguirá paralelo puesto que el foco está en el infinito

• Se traza un rayo cualquiera, que obviamente se reflejará en el espejo de manera que el ángulo de reflexión sea igual al de incidencia. Luego se prolonga y en la intercesión se obtiene un punto de la imagen, que naturalmente es virtual y derecha.

• Haciendo lo mismo se obtienen el resto de los puntos

Como los ángulos de incidencia y de reflexión son iguales, los triángulos en amarillo también lo son y por tanto la imagen se forma a la misma distancia que está el objeto, es decir que: 12 ss −= (el signo menos indica que la imagen se forma al otro lado del espejo). De todas formas, la ecuación para el espejo plano es fácil de deducir, sin más que tener en cuenta que para ellos el foco está en el infinito:

f

1

s

1

s

1

12

=+ ⇒ ∞

=+ 1

s

1

s

1

12

⇒ 12 ss −=

y la imagen es del mismo tamaño que el objeto, ya que:

1

212 s

sy y −= como 12 ss −= ⇒ 12 yy =

Los espejos son superficies perfectamente pulidas, mientras que cualquier otra superficie es rugosa (aunque sea microscópicamente rugosa) y no puede formar imágenes porque, aunque se sigan cumpliendo las leyes de la reflexión, debido a su rugosidad los rayos reflejados no tienen todos la misma dirección y el resultado es una reflexión difusa.

Aplicaciones de los espejos: Además de facilitar el aseo se utilizan en la construcción de muchos instrumentos ópticos, como por ejemplo el periscopio de los submarinos, que está formado por dos espejos formando ángulo de 45º Como en un espejo convexo, la imagen es siempre virtual, derecha y más pequeña que el objeto, se suelen utilizar en los retrovisores de coches y motos, debido a que proporcionan un mayor campo de visión. También, se colocan grandes espejos convexos en las esquinas de algunos cruces de poca visibilidad o en algunas tiendas. Por el contrario un espejo cóncavo que tenga una distancia focal muy grande, de manera al mirarnos siempre nos coloquemos entre el foco y el espejo servirá para vernos aumentados y se venden como espejos para afeitarse. Ejemplo: E5A.S2007 Es corriente utilizar espejos convexos como retrovisores en coches y camiones o en vigilancia de almacenes, con objeto de proporcionar mayor ángulo de visión con un espejo e tamaño razonable. a) Explique con ayuda de un esquema las características de la imagen formada en este tipo de espejos. b) En estos espejos se suele indicar: “Atención los objetos están mas cerca de lo que parece” ¿Porqué parecen estar más alejados? a) como puede verse en el esquema, la imagen es siempre derecha, mas pequeña (por aumentan el campo visual) y virtual.

Además, la imagen que viene dada por:

1

212 s

sy y −=

• y2 es positiva ⇒ es una imagen derecha (ya siempre y1 es positiva, s1 negativa y

s2 es positiva) • la imagen es menor ya que en valor absoluto s2<s1 ⇒ que y2<y1

b) El hecho de que los objetos nos parezcan más alejados es precisamente por el reducido tamaño con que los vemos.

LENTES. FORMACIÓN DE IMÁGENES Y CARACTERÍSTICAS Una lente es un sistema transparente formado por dos superficies esféricas, aunque una de ellas puede ser plana. Por tanto puede considerarse como dos dioptrios unidos.

Elementos de una lente:

• Centros de curvatura (C1, C2). Son los centros de las esferas que forman la lente. • Centro óptico (O). Es el centro geométrico de la lente sobre el eje óptico, donde

se sitúa el origen del sistema de coordenadas. Las distancias medidas hacia la derecha se consideran positivas y las que se miden hacia la izquierda negativas. Los rayos que pasan por él no se desvían.

• Eje óptico. Es la recta que pasa por el centro óptico y los centros de curvatura. • Foco Objeto (F1). Es un punto del eje principal del que parten todos los rayos que

luego salen paralelos al eje. La distancia de ese punto al polo se llama distancia focal objeto (f1)

• Foco Imagen (F2). Es un punto del eje principal en el que confluyen todos los rayos que llegan paralelos al eje. La distancia al polo se llama distancia focal (f2)

• Lente delgada: Se considera a aquella que tiene un espesor despreciable comparado con los radios de curvatura de las lentes. En una lente delgada la distancia del foco objeto e imagen coinciden, así que 21 ff −= . El signo menos quiere decir que cada foco está a un lado de la lente.

• Potencia de la lente (P): Se define como el inverso de la distancia focal: 2f

1P =

Su unidad es la dioptría (D). Por tanto, una dioptría es la potencia de una lente de distancia focal igual a 1 metro.

• Lente convergente: Es aquella cuya distancia focal imagen es positiva ( f2 está a la derecha). En esta lente los rayos que inciden paralelos, después de atravesar la lente convergen en el foco imagen:

• Lente divergente: Es aquella cuya distancia focal imagen es negativa (f2 está a la

izquierda). En esta lente los rayos que inciden paralelos, después de atravesar la lente divergen (se abren) ya que convergen en el foco imagen que está a la izquierda:

Para obtener las imágenes producidas por las lentes se siguen los mismos criterios que el dioptrio y los espejos, es decir teniendo en cuenta que: • Si un rayo incide un rayo paralelo al eje óptico después de atravesar la lente pasa

por el foco imagen • Si un rayo procede del foco objeto después de atravesar la lente sale paralelo al

eje óptico. • Cualquier rayo que pase por centro óptico no se desviará y después de atravesar

la lente sigue el mismo camino (en color verde) • En el punto de corte de cualquiera de estos rayos forma la imagen, que será real

si los rayos se cortan o virtual si se cortan la prolongación de los rayos. Según la posición del objeto la imagen puede ser:

Si el objeto está mas lejos que el doble de la distancia focal se obtiene una imagen real, invertida y menor

Si el objeto está a una distancia igual al doble de la distancia focal se obtiene una imagen real, invertida y del mismo tamaño

Si el objeto está entre el doble de la distancia focal y el foco se obtiene una imagen real, invertida y mayor

Si el objeto está en el foco, no se forma imagen, ya que los rayos se cortarían en el infinito.

Si el objeto está entre el foco y la lente se obtiene una imagen virtual, derecha y mayor. LUPA.

En una lente divergente la imagen siempre es virtual, derecha y menor.

Las ecuaciones para las lentes delgadas, para las que 21 ff −= son:

22112 f

1

R

1

R

1)1n(

s

1

s

1 =

−−=−

el aumento de la imagen se deduce fácilmente de la figura (observa los triángulos en amarillo), teniendo en cuenta que como el rayo que pasa por el centro de la lente no sufre desviación los ángulos a ambos lados son iguales por ser opuestos por el vértice, así que:

2

2

1

1

s

y

s

ytg ==α ⇒

1

212 s

syy =

la expresión es parecida a la del aumento de los espejos, solo que el signo menos que tenía para los espejos era consecuencia de que el rayo rebotaba, cosa que aquí no ocurre. Ejemplo:

Una lente convergente forma, de un objeto real, una imagen también real, invertida y aumentada 4 veces. Al desplazar el objeto 3 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene es virtual, derecha y con el mismo aumento en valor absoluto. Determina: a) La distancia focal imagen y la potencia de la lente b) Las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados c) Las respectivas distancias de la imagen d) Las construcciones geométricas correspondientes. d) Evidentemente si en el primer caso la imagen es real, aumentada e invertida, debe estar comprendida entre una distancia F y 2F, mientras que si en el segundo caso es virtual, derecha e invertida estará entre el foco y la lente, así que:

• Al tamaño del objeto (que es el mismo en ambos casos) le llamaremos 1y e 1´y

• Al tamaño de las imágenes las llamaremos 2y e 2´y

• A la distancia inicial del objeto a la lente le llamaremos s1. A la distancia del objeto en el segundo caso a la lente le llamaremos 3ss 11 += (cuidado, que al acercar el objeto a la lente, de acuerdo al criterio de signos, lo que estamos haciendo es aumentar en 3 cm)

a) teniendo en cuenta la relación entre el tamaño del objeto y de la imagen en ambos casos:

caso 1 2

1

1

1

s

y4

s

ytg

−==α ⇒ 12 s4s −= (1)

caso 2 2

1

1

1

s

´y4

3s

´y´tg =

+=α ⇒ )3s(4s 12 += (2)

teniendo en cuenta ahora la relación entre las distancias a la lente con la focal (fórmula

del constructor de lentes: 212 f

1

s

1

s

1 =− ) para ambos casos:

caso 1 212 f

1

s

1

s

1 =− (3)

caso 2 212 f

1

)3s(

1

s

1 =+

− (4)

resolviendo el sistema de 4 ecuaciones tenemos que:

cm6f 2 = ; cm5,7s1 −= cm30s2 = y cm18´s2 −= La potencia de la lente, que es la inversa de la distancia focal será:

dioptrías17,0f

1P

2

==

c) la distancia a la que se forma la imagen en el primer caso es cm30s2 = y la distancia

a que se forma la imagen en el segundo caso es cm18´s2 −= Tanto los valores de s1 y de s1´ concuerdan con la suposición inicial: en el primer caso la imagen está mas a la izquierda del foco (6cm) y en el segundo entre el foco y la lente. Por otro lado, los signos de todas las distancias también concuerdan con lo que cabe esperar de la figura, es decir, positivos los que están a la derecha de la lente y negativos a la izquierda.

INSTRUMENTOS ÓPTICOS Cámara fotográfica: Es básicamente una cámara oscura, que consta de las siguientes partes:

• El tamaño del orificio de entrada de luz se ajusta mediante un diafragma. • Para mejorar la formación de la imagen se coloca en el orificio una lente

convergente. Moviendo la posición de la lente hacia delante y hacia atrás se logra un punto de enfoque en el que la nitidez es máxima. Para eso, el objetivo, que es donde está montada la lente, puede girar hasta obtener una imagen nítida sobre el plano de la película.

• El obturador es una especie de cortina que se abre y cierra y cuya misión regular

la cantidad de luz que está entrando en la cámara y que ilumina a la película. • En el fondo de la cámara, donde se forma la imagen, se coloca una película

fotográfica impregnada de sales de plata que se oscurecen al darle la luz y de esa manera se forma el negativo. (Se llama así porque la imagen obtenida en la película es justo la contraria, ya que los puntos que reciben mas luz se oscurecen más.)

Lupa: Es simplemente una lente convergente. Colocando el objeto entre el foco y la lente se obtiene una imagen virtual aumentada, es decir nos permite observarla con un ángulo de visión mayor:

Proyector: Es un sistema capaz de obtener imágenes reales aumentadas para proyectarlas sobre una pantalla. El problema está en conseguir una iluminación adecuada y eso se consigue mediante una lente convergente llamada condensador.

• La única misión de la lente condensadora es dar luminosidad a la imagen. Para conseguir que al final resulte iluminada uniformemente se coloca muy cerca del objeto, es decir de la diapositiva a proyectar.

• La lente objetivo se coloca exactamente en el foco de la lente condensadora. • La imagen que se recoge en la pantalla es la que forma del objeto la lente

objetivo Microscopio: Es un instrumento que permite obtener imágenes ampliadas combinando dos lentes convergentes, llamadas lente objetivo y lente ocular:

• El objeto a visualizar debe estar cerca del foco del objetivo aunque un poco más alejado, con lo que forma una imagen real y aumentada.

• La imagen creada por el objetivo se forma entre el foco y la lente del ocular y es la que a su vez hace de objeto para que finalmente se cree una imagen virtual y más aumentada.

• En otras palabras, el ocular hace de lupa para aumentar a un más la imagen intermedia creada por el objetivo.

Anteojo: Como el microscopio, está formado por dos lentes llamadas objetivo y ocular, pero su objeto es ver aumentados objetos muy lejanos. En realidad lo que hace es aumentar el campo de visión. A diferencia del microscopio:

• la lente del objetivo tiene una distancia focal mucho mayor que la del ocular:

oculobj ff >

• Como los rayos proceden de objetos muy lejanos inciden casi paralelos en el objetivo, de forma que se juntan en el foco

• las dos lentes están colocadas de tal manera que el foco del objetivo y el foco del ocular coinciden

• Como los rayos que llegan al ocular provienen del foco (se colocó así expresamente) los rayos una vez que atraviesan la lente vuelven a salir paralelos, de manera que el ojo ve la imagen en el infinito con un aumento angular.

El primer anteojo, de Lippershey, y posteriormente mejorado por Galileo utilizaba una lente convergente como objetivo y una divergente como ocular. La imagen que se obtiene es derecha:

Kepler posteriormente construyó otro anteojo de más aumentos sustituyendo la lente divergente por otra también convergente. La imagen se obtiene invertida, aunque como se trataba de observar planetas eso no suponía un problema:

Telescopio: En teoría se pueden conseguir anteojos más potentes empleando lentes mayores, de hecho Newton pasó un tiempo investigando la forma de construir grandes lentes de calidad (para evitar la aberración esférica), hasta que se dio cuenta de que, aunque eso fuera posible, al aumentar el tamaño de la lente los rayos de luz tienen un

mayor recorrido por el vidrio con lo que se hace notable la dispersión y las imágenes aparecen difusas, es lo que se conoce como aberración cromática.

A newton se le ocurrió sustituir la lente convergente por un espejo cóncavo, que sería el encargado de recoger los rayos en un punto (como sabemos f=R/2). Posteriormente un espejo plano los refleja sobre una lente convergente que finalmente los devuelve paralelos a su eje óptico.

como en este caso los rayos procedentes del objeto lejano se convergen por reflexión en un espejo esférico o parabólico a estos telescopios se les llama reflectores, mientras que cuando se convergen con la ayuda de una lente como ocurre en los anteojos se les llama refractores. Una variante del telescopio de Newton es el de Schmidt−Cassegrain donde el espejo plano se sustituye por uno convexo, con lo que se consigue mayor ganancia con aparatos más pequeños:

REGIONES DEL ESPECTRO ELECTROLAGNÉTICO Analogías entre las distintas OEM: 1. Todas las ondas electromagnéticas OEM tienen la misma naturaleza, es decir, son sondas transversales, no mecánicas (no necesitan de un medio material para propagarse) y están constituidas por un campo eléctrico y otro magnético que se propagan perpendicularmente y en fase por el espacio, cada uno de los cuales satisface a la ecuación de una onda viajera:

−λ

π=T

tx2senEE m

m

m

B

Ec =

−λ

π=T

tx2senBB m

2. La dirección de propagación de la OEM viene dada por un vector como el BE

rr∧ . La

velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es una constante y es igual a la relación que existe entre el valor máximo de la intensidad del campo eléctrico y el valor máximo del campo magnético:

s/m1031

B

Ec 8

max

max ⋅=ε⋅µ

==

La permeabilidad magnética (µ) es una constante que depende de las propiedades del medio y representa la capacidad del medio para ser atravesado por un campo magnético. Para el vacío 7

o 104 −⋅π=µ N/A2

La constante dieléctrica (ε) también depende del medio e indica la forma en que el medio se afecta por un campo eléctrico. Para el vacío 12

o 1085,8 −⋅=ε N.m2/C2

3. Todas las OEM son radiadas por cargas aceleradas.

4. Las OEM, como todas las ondas, transportan energía procedente del foco emisor. La energía que transportan es tanto mayor cuanto mayor es la frecuencia de la OEM, ya que como sabemos la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia de la onda. 5. La longitud de onda y la frecuencia está relacionadas por:

ν⋅λ=c Diferencias entre las distintas OEM Todas las diferencias que pueda haber entre unas OEM y otras son consecuencia exclusivamente de su distinta frecuencia (o longitud de onda, ya que ambas están relacionadas). Según la frecuencia las OEM se clasifican en:

Ondas de radio u ondas hertzianas Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 104 y 109 Hz y entre ellas podemos distinguir de menor a mayor frecuencia (o de mayor a menor longitud de onda):

� LF Low Frecuency (onda larga) � MF Médium Frec. (Onda media) � HF High Frec. (Onda corta) � VHF Very High Frecuency � UHF Ultra High Frecuency

Todas estas ondas se generan en circuitos oscilantes y se detectan también mediante circuitos electrónicos. Aplicaciones:

• Se utilizan en sistemas de comunicación de radio y televisión. Las cuatro primeras en radio (la frecuencia modulada utiliza ondas VHF) y las dos últimas en TV.

Las ondas largas, medias y cortas pueden utilizarse para comunicaciones a grandes distancias, ya que la ionosfera (cáscara de iones que rodea a la tierra) las refleja. Las VHF y UHF al tener menor longitud de onda y atraviesan la ionosfera, por tanto solo sirven para comunicarse a pequeñas distancias a menos que se instalen repetidores en torres o satélites.

• Las ondas cortas se utilizan también en medicina contra el reuma para dar masajes celulares. Al aparato vulgarmente se le llama “las corrientes”.

El circuito A es un simple circuito oscilante que es el que genera las OEM. El circuito B funciona por resonancia, lo que se consigue ajustando el condensador C´ hasta que la frecuencia propia del circuito B sea la misma que la del A y ello ocurre cuando:

C´LLC =

Puesto que el campo eléctrico varía en el interior del condensador, donde está el paciente, con una frecuencia muy grande (del orden del 107 Hz) no se producen efectos desagradables para el organismo porque la inercia de los iones y dipolos celulares les impide seguir los cambios tan rápidos del campo. El único efecto es un leve masaje celular que se produce por vibración de los dipolos y las partículas cargadas de las células y que va acompañado de un calentamiento interno.

Microondas y Radar: Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 109 y 1011 Hz. Las microondas se generan con circuitos electrónicos especiales como el magnetrón. Aplicaciones:

• Telefonía móvil y wifii, aunque naturalmente se tienen que utilizar repetidores. • En radar. Un radar básicamente consta de una emisora de ondas, un receptor

para recoger los ecos o reflexiones y un analizador. Como puede verse en la figura el transmisor emite ondas que son reflejadas por el objeto y son recogidas y amplificadas por el receptor y mandadas al dispositivo analizador que nos puede dar inmediatamente datos como la distancia, dirección y velocidad relativa del objeto.

Como las ondas reflejadas son una porción muy pequeña, el receptor debe ser muy sensible. Para que el receptor no capte las ondas que está lanzando el emisor, ambos elementos deben funcionar intermitentemente, es decir, cuando el emisor lanza un pulso al espacio, el receptor no funciona e inmediatamente se hace muy sensible para escuchar el eco de la onda reflejada si la hay.

• Hornos microondas. Tienen como característica que cocinan con rapidez y que

no calientan las paredes metálicas del horno ni los platos. Su funcionamiento es similar al explicado para al aparato de onda corta utilizado en medicina, con la diferencia de que al trabajar con OEM de mayor frecuencia pueden calentar más.

Infrarrojos: Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 1011 y 4.1014 Hz. Se llaman así porque sus frecuencias estás justamente por debajo del rojo del visible. Dentro de los infrarrojos se distingue entre IR lejano, medio y cercano:

los rayos infrarrojos son emitidos por las moléculas en sus vibraciones y rotaciones, así como por los cuerpos calientes. La radiación infrarroja se puede detectar mediante termopilas o películas fotográficas especiales. El ojo naturalmente no los detecta porque sus frecuencias son demasiado pequeñas para excitar el mecanismo de la visión, sin embargo los detectamos en forma de calor y especialmente los de mayor frecuencia. Aplicaciones de los infrarrojos:

• En análisis molecular. Como sabemos, cuando se excitan los electrones de un átomo absorben la energía y saltan a niveles de mayor energía y al volver a los niveles inferiores la radian en forma de OEM dando lugar a los espectros de emisión. Pues de forma parecida les ocurre a las moléculas, las cuales poseen diferentes estados de vibración y dentro de ellos de rotación que también están cuantizados.

Como puede verse, dentro de cada nivel de vibración hay varios niveles de rotación muy juntos. Al pasar la molécula de un estado a otro inferior se radia energía en forma de OEM que corresponde al infrarrojo lejano, incluso microondas para los saltos entre niveles de rotación y al infrarrojo cercano para los saltos entre niveles de vibración.

• Para ver objetos en la oscuridad, siempre que naturalmente estén más calientes

que el medio que los rodea (por ejemplo una persona camuflada en la oscuridad). Como los objetos calientes emiten radiación infrarroja, con una película adecuada puede obtenerse una imagen exactamente de la misma forma a la que se obtiene cuando lo que refleja es luz diurna.

Visible: Son OEM cuyas frecuencias oscilan en el pequeño margen comprendido entre 4.1014 y 8.1014 Hz. Son generadas cuando se excitan los electrones de los átomos y luego regresan a los niveles más bajos de energía. Ya conoces el espectro del hidrógeno. Los saltos que el electrón da desde los niveles superiores hasta el segundo nivel (serie Balmer) corresponden a frecuencias del visible. Las OEM radiadas cuando los saltos son hasta al primer nivel corresponden al UV y los saltos hasta los niveles 3, 4... corresponden a frecuencias más pequeñas, es decir al IR.

Lo especial de esta pequeña banda del espectro electromagnético es que nuestros ojos son sensibles a ellas y podemos verlas de diferentes colores según sea su frecuencia:

Infra−Rojo < Hz108,3 14⋅ Rojo Hz109,4108,3 1414 ⋅−⋅ Naranja Hz101,5109,4 1414 ⋅−⋅ Amarillo Hz103,5101,5 1414 ⋅−⋅ Verde Hz101,6103,5 1414 ⋅−⋅ Azul Hz100,7101,6 1414 ⋅−⋅ Violeta Hz100,8100,7 1414 ⋅−⋅ Ultra−Violeta > Hz100,8 14⋅

Así que entre una onda de radio, un rayo X y otra onda que da al ojo la impresión del color verde no hay ninguna diferencia más que en sus frecuencias. El ojo humano es sensible a unas pocas de ellas de la misma forma que el oído solo es sensible a ondas sonoras comprendidas entre 20 y 20.000 Hz. Un murciélago es capaz de escuchar sonidos por encima de 20.000 Hz y una abeja puede ver OEM del UV, pero nosotros ni una cosa ni otra ¿qué vamos a hacer? Rayos ultravioleta (UV) Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 8.1014 y 1017 Hz. Se llaman así porque sus frecuencias estás justamente por encima del violeta del visible. Estas radiaciones son emitidas por átomos muy excitados en los que tienen lugar saltos de los electrones más internos. El sol es una buena fuente de radiación UV. Son precisamente los rayos UV los que producen el bronceado de la piel, sin embargo las quemaduras se deben a los IR. Pueden detectarse con células fotoeléctricas o con películas fotográficas especiales. Aplicaciones:

• Para esterilizar instrumentos médicos, ya que estas radiaciones eliminan las bacterias.

• Para descubrir falsificaciones en billetes y cuadros. Las pinturas modernas tienen elementos que fluorecen cuando se iluminan con radiación UV. Estas sustancias también las llevan los detergentes y por eso una camisa blanca a la que le quedan restos fluorece con la luz UV de las discotecas.

• En espectroscopia, ya que como hemos dicho, algunas transiciones electrónicas corresponden al UV

• En fotoquímica, para disociar las moléculas y activar las reacciones por radicales libres.

• En circuitos electrónicos que utilizan células fotoeléctricas, como por ejemplo para abrir una puerta al acercarse una persona.

Rayos X: Son OEM cuyas frecuencias oscilan entre aproximadamente los 1017 y 1019 Hz. Se llaman así porque fue el nombre que le puso Roetgen, su descubridor. Según la frecuencia los rayos X se clasifican en blandos y duros Se producen en los tubos de rayos X. Un tubo de rayos X está formado por un filamento que una vez puesto al rojo emite electrones (por efecto termoiónico) y que luego son acelerados por una elevada d.d.p. del orden de 100.000 voltios. De esta forma adquieren una gran energía cinética y cuando chocan con en anticátodo pierden toda esa energía y la radian en forma de OEM, aunque parte de ella se transforma en calor ya que el anticátodo se calienta mucho.

Los rayos X son ionizantes como puede comprobarse con el siguiente experimento: Se coloca una batería de corriente continua a las placas de un condensador entre las que hay un gas, por ejemplo aire. Evidentemente una vez que se carga el condensador deja de pasar corriente.

Al iluminar con rayos X entre las placas del condensador se produce una corriente porque se ionizan las moléculas que componen el aire, es decir, se arrancan electrones de las moléculas del gas los cuales se mueven hacia la placa positiva y posteriormente son bombeados por la pila hasta la otra placa, donde al unirse de nuevo al resto positivo de la molécula dan de nuevo moléculas neutras. Aplicaciones:

• En medicina. Los rayos X atraviesan bien las partes blandas del organismo y peor los huesos, de manera que estos pueden hacerse visibles y ver las fracturas.

• En el control de calidad de piezas para detectar fracturas internas. • En las aduanas • En el estudio de la estructura de cristales, ya que las distancias interatómicas son

del orden de la longitud de onda de los rayos X y por tanto producen fenómenos de difracción de los que se pueden obtener datos a cerca de la celdilla unidad del cristal.

Rayos γγγγ

Son las OEM de frecuencias superiores a 1019 Hz y por tanto las de mayor energía. Son de origen nuclear y se generan en las desintegraciones de elementos radioactivos, así como en las reacciones nucleares.

Se detectan con pantallas fluorescentes o películas fotográficas lo mismo que los rayos X, pero además debido a su gran poder de ionización hay una serie de artilugios capaces de medirlas como la cámara de niebla de Wilson, el contador Geiger−Müller, etc. Aplicaciones:

• En medicina para destruir células cancerosas, aunque hay que tener muy localizadas las células porque igualmente destruye las sanas.

• Para inducir mutaciones. Aunque los resultados son impredecibles, a veces se obtienen especies de gran rendimiento.

• En metalurgia para obtener fotografías de piezas fundidas y descubrir posibles defectos en soldaduras, grietas, etc. El funcionamiento es como en los rayos X, pero con la ventaja de que esta radiación, al tener menor longitud de onda, es mucho mas penetrante.

Ejemplo: El campo eléctrico de una onda electromagnética que se mueve en el plano XY viene dado por E(x,t)=Eosen(kx−ωt) donde k es el número de ondas 2π/λ. a) Si el campo eléctrico máximo para esta onda es 10−4 V/m y su frecuencia es de 4,5.1014 Hz obtener la ecuación del campo eléctrico que define a la OEM, razonando el sentido de propagación. b) Obtener la expresión del campo magnético y razona el plano en que se propagará. Datos: c = 3.108 m/s a) Teniendo en cuenta que la velocidad de propagación es c = λ ν tenemos que

m1067,6105,4

103c 714

8−⋅=

⋅⋅=

ν=λ ⇒ 16 m1042,9

2k −⋅=

λπ=

115s1082,2 2T

2 −⋅=νπ=π=ω

La ecuación del campo eléctrico de la OEM es )t1082,2x1042,9(sen10E 1564 ⋅−⋅= − (donde x se mide en metros, t en segundos y E en V/m) El campo viaja hacia la parte positiva del eje X, ya que a medida que aumenta el tiempo para mantener la fase x también debe aumentar.

b) Teniendo en cuenta que una OEM está se debe a la propagación de un campo eléctrico y otro magnético que se propagan en dirección perpendicular, y que la relación entre los valores máximos del campo eléctrico y magnético es la velocidad de la luz, tenemos que:

máx

máx

B

Ec = ⇒ Teslas 1033,3

103

10B 13

8

4

máx−

−

⋅=⋅

=

Por tanto la ecuación del campo magnético que da lugar a la onda electromagnética es

)t1082,2x1042,9(sen1033,3B 15613 ⋅−⋅⋅= − (donde x se mide en metros, t en segundos y B en Teslas) Teniendo en cuenta que la dirección de propagación de la OEM viene dada por un vector como el BE

rr∧ . Si E

rse propaga en el plano XY en dirección +x, teniendo en

cuenta la definición de producto vectorial de dos vectores tenemos que admitir que Br

debe propagarse en el plano XZ

Ejemplo: En un tubo de rayos X se acelera a un electrón mediante una d.d.p. de 105 voltios. ¿Qué energía cinética adquiere? Suponiendo que al chocar contra el anticátodo radia toda la energía adquirida ¿Cuál será la frecuencia de la radiación? (ten en cuenta que ν= hE ) DATOS: Carga del e− 1,6.10−19C ; Constante de Planck h =6,6.10−34 J.s Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es un campo conservativo, y que por tanto se conserva la energía mecánica, podemos poner que 0EcEp =∆+∆ Por otro lado, teniendo en cuenta que por definición, el trabajo que hace el campo para llevar un cuerpo (en este caso una carga) de un punto a otro es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos: VqEpW campo,BA ∆−=∆−=→ , finalmente nos queda que:

0EcVq =∆+∆ sustituyendo: 0EcEc10*106,1 AB519 =−+⋅− −

de donde tenemos que la Energía cinética final es EcB = 1,6.10−14 J Si toda esa energía se radia en forma de una OEM, de acuerdo con la ecuación de Plank, el fotón tendrá una frecuencia:

ν⋅= hE ⇒ Hz104,2106,6

106,1 1934

14

⋅=⋅⋅=ν −

−

que corresponde a un rayo X muy duro.

AMPLIACIÓN: FÓRMULA DEL DIOPTRIO Vamos a deducir la fórmula de la imagen formada por refracción en un dioptrio esférico para el caso de rayos paraxiales.

Del triángulo en amarillo (teniendo en cuenta que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, y que dos ángulos sobre una recta (suplementarios) también suman 180º) tenemos que 180)i180( =−+β+α de donde:

β+α=i De la misma forma, en el triángulo rosa se deduce que 180)180(r =β−+γ+ o lo que es igual:

γ−β=r

La rey de la refracción de Snell para la refracción es 1

2

n

n

r sen

i sen =

Teniendo en cuenta que para ángulos muy pequeños (como es el que forman los rayos paraxiales):

• el seno del ángulo es prácticamente igual al ángulo y viceversa • la hipotenusa del triángulo rectángulo es prácticamente igual al lado contiguo • De acuerdo al criterio de signos los ángulos de incidencia y de refracción son

positivos cuando se miden sobre la normal por al camino más corto. • De acuerdo con el criterio general los ángulos son positivos cuando se miden

desde el eje X en sentido antihorario. En caso contrario son negativos. De acuerdo con esto las anteriores relaciones habrá que escribirlas como: β−α=i γ+β−=r

en la ley de la refracción de Snell podemos escribir:

1

2

2

1

n

n

s

h

R

hR

h

s

h

r sen

i sen =+−

−≈

γ+β−β−α≈

+−=

−

22

11 s

1

R

1 hn

R

1

s

1 hn →

R

nn

s

n

s

n 12

1

1

2

2 −=−

FÓRMULA DEL CONSTRUCTOR DE LENTES Relaciona la curvatura que debe dar a las caras y el índice de refracción de la lente para obtener una determinada potencia. Puede obtenerse a partir de la fórmula del dioptrio esférico:

R

nn

s

n

s

n 12

1

1

2

2 −=−

Supongamos una lente delgada, de índice de refracción n rodeada de aire (n=1) . Sean los radios de curvatura de sus caras R1 y R2.

Podemos considerar que la imagen final es el resultado de una primera refracción en la primera lente seguida de otra segunda refracción en la segunda lente, donde la imagen formada en la primera refracción hace de objeto para la segunda refracción. Para la primera refracción tenemos que n1=1 y que n2=n. Supongamos que el objeto se encuentra a una distancia s de la lente y que la primera imagen se forma a una distancia sPrimeraIm. Sustituyendo nos quedaría:

11ImimeraPr R

1n

s

1

s

n −=−

Ahora la imagen obtenida en la primera refracción hace de objeto para refractarse en la segunda lente. Tenemos ahora que n1=n y que n2=1 y como la primera imagen se formó a una distancia sPrimeraIm resulta que la distancia de “este objeto” a la segunda lente es –sPrimeraIm porque está al otro lado.

2ImimeraPr2 R

n1

s

n

s

1 −=−

−

sumando nos queda que:

−−=−

2112 R

1

R

1)1n(

s

1

s

1

De acuerdo con la definición de foco imagen, un objeto situado en el infinito (o muy alejado para que los rayos sean paraxiales) ( ∞=1s ) dará lugar a una imagen en el foco, es decir que s2

= f2.

−−=

∞−

212 R

1

R

1)1n(

1

f

1 →

−−=

212 R

1

R

1)1n(

f

1

La fórmula del constructor de lentes puede escribirse también como:

212 f

1

s

1

s

1 =−

Como vemos, nos permite conocer la distancia focal (Potencia de la lente) en función de los radios de curvatura y el índice de refracción, o bien en función de la posición del objeto de la imagen final.