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TEMA 3. lgebra (I) Matemticas Aplicadas I
IES Melide 2015/16
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1. Divisin de polinomiosAntes de recorder la diminish de pdinonios , traermos a
Nuestra memoria el cociente de monomios.
EC COCLEME DE UN Moron co EMRE OTRO mono nlo DE GRADO
INFERLOR es Oto monomio can coefiuerte el ( oiente de ( os coefiien -
tes y cuyo grade es La dferenia entire el grado del dividend
Menos el grade dei dinar .
( axml :(bxnl = xnn
Ejemplos : ( 79:(43 )=Iyx "=3(851 :( 44 . f- x
"=2
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TECNICA DIUISIOI POLI non los
1.
Ordenamos ambos poliwonis de maner decrement en so
qrados .
2. En el pdinomo diidendo . al wlocarb para hawk
division, dejamos los hnecos comegnndieiles a los terminus
guefaltan .3. Dividing el moronic de mayor grdo del diidhdo
eke
I mmomio de mayor grdo del dinner .Este es el prime
moromio del Cociente .
4. Multiplicand el moromio obtenido en el pan anterior porCada monomio del diiw
,le Cambium os el sign y se to su .
Manos al dividend.
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5.
Contimamosconesteprocedim.entohastagueeldiidendotengagradoinfeiwddiiWyeseserieLresto.Ljemplo4x5-4xhtt9xs-4tx2t57LxEil4xD@h2x3.Z
x't3-52113-412+5- 213+62+3=52+3+5+35lgg_
C 41=23+3-5
es elpknrnio cocienteRGI = - Fx es el pdinomio
rest.
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La division anterior,
diremos que es una Division ENHRA pines el
resto no es cero .
EC resulted to podemos escribe Como :
145 . 44+193 - 412+5 = 23+3-5 - - 72-2-172 - Zx . I
Recordemos queen toda division, D= d. c tr . Por tan to ,
Dz=c+
Si el rest es cero,
la DNISIOJ es EXACTA.
EJERCLGOS 1,2 , 4 , 5 , 6 pA'
6 ) was 70 4 71
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2. Dividir un polinomio por x - a. Regla de Ruffini
Supongamos que queens dindir 35-43 +72-6+5
entire xt 2 .
Como ambos pdinomics esta'm
ordenadosde manera decrement
respect de Sns grados , cdocamss en fila todoslos coefiientes deCada uno de los monomios . S
.
Jatta algui termini , ponemos 0 .
3 0 - 4 7 - 6 5
-2
En la parte itguierda ponemos - 2 ( Cambiamos de sign el n:
que hay
junto a de x +21 .
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3 0 - 4 7 - 6 5
-2g - 6 12 - 16 18 - 24
03- 6 8 - 9 12
9Bajamos el 3 . Multiplicand el - 2 por 3 y el resulted ponemosdebajo del 0 y Swmamos esa Cohmna .Haumos el mismopaudimieto haste la iltima column a .Ee ultimo mimero es el rest de la diisio y los anterior son losCoefiuentes del cociente empetando desde un grado memos que eldividendy = 34 -63+82- 9+12Rlxl = - 19
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EJERC ( ( 10 2 Pa'
61 Nn 72
Hagamos una division exacta . ( 34 - x ? 62 tmx . to ) :C x +2 )
3 - I - 6 11 - to
- 2 - 6 14 -16 to3 - 7 8 -5 LO
Para que sea exacta , el tdmiw independiente del polinoniodividendtiene que ser mibtiplo de 2 . Llegamos a La sigwente conclusion :Sinn polinomio tiene coefientes enters , para que sea divisible
for x. a es neusario que su termini independiente sea miltiplo de a .
Ee VALOR NUNERL ( o de un pdinomio , PK ) , para X=a , esel miner
que se obtiene al sustituir por a yhaw las opera cines . A ea mi -men se le llama Pca ) .
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Si P(1= 53. 62+7-1, para x= 2 obtenemos :
PC 21=5.23 . 6.22+7.2 - 1=5.8-6.4+7.2 - 1=40 - 24+14-1=29
Si diidimos Pcx ) entre x - 2, obtenemos :
5 - 6 7 - 1 ( ()= 52+4+15z to 8 30 RK ) : 29
5 4 15 9Podemos observer que el rest coincide con el valor numetico de
PG ) en =2.
Este result ado te generalize en lo que se llama TEORENA DEL RESTO .
Ee valor que toma un pdinomio , PCX) , anarcho hacemos xia . es decir ,
Pca ) , coincide can el resto de divider PK ) entre - a .
Es deir . Pca ) =r
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3. Factorizacin de polinomiosEJERCI C ( os 6,7 PA
'
6.
93
Un miner a se llama RAIZ DE UN Poll non Lo Pk ) PCAI = 0 . Asi .
las rains de bn pdinomio son las tolnicnes de ( a eueccio 's PKHO
Si a es raiz de PG ),
enforces I poknmio PK ) es divisible por
X - a y sepuede escribe PKI = ( x - a ) CG ) .
PROCED in , END PARA FACDRIZARPolston
FACTORHAR un pdinomio es descompmerlo en product de pdinomios (factoreddel menu grade posible .Recor demos que las rains enters de un polinomio ( oncoeficien-enters son diisores del tirmino independiente .
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Factor ice mos Pkk 4 - 33 -
32+11-6Las Postles routes enteras son : I , 2, 3
Probe mos, us
and Ruffini , = A .1 - 3 - 311
xI - 2 - 5 6 LO
Por tanto,
= 1 es raiz y ( - 1) es un factor .
Vdvemos a probar
por x= I .
I - 2 - 5 6
#:#X= I mete a so raiz y ( -11 es Jailor . Aharon mis no , ten dria .
Mos que PH = ( - 112 ( xtx - 6)
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Ahora nos Jahan's por faetoritw xtx - 6 . Para ello , podemosresolver la ecnacioh de 2 grado x - 6=0 ysus solutions
serin las raius del polinomio .
Recordemos que si tenemos la euacion de Segundo gradoax2tbx+c= 0
,a 0 . enforces :
=- b X ac
En nnestro cab.
a=S ,b= . I , c= 6 g
= .tn#6eL=stF==nIzyxg.este=E=32 . I t=z1= - 2Por tanto
,PH = x " -33 - 32+10-6=1-114+211-3 )
Asouado a la raiz xi - 2,
T 4 a x=3 *
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Si el polinomio de grado 2 no hubieie tenido roles , to de -
jariamos igual ..
Oto ejemplo : QK ) = 23+42 . 2-4
Posibles rains enteras : 1 ,2,4 .
Empetamos por x= I e iremos pnbando can el rest kata queacubem
: 4 - 2 - 4#f# Por tanto , QH=2 ( x - HKHI 1+2)
- 126 sihubiesemosresin: la euacion de 2 grado , tendria .
0 Mos gueponer el 2 igualmente .
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Si aplicamos el proedimiento a La inverse , podemos inventor
los pdinomios con Las caraeteristicas que deseemos .
Antes de pond ejercicios recordemoslas identidades notables :
( at b)-
= a 2+2 abt b2 CUADRADO DE UNA Suma
( a - b)2
= a?
- 2 ab + b2 CUADRADO DE UNA DLFERENCIA
( Atb ) ( a - b ) = AZ - b2 SUMA POR DLFERENUA
ETERGCIOS I , 2,4 , 5 , 6 Pa'
65 74 4 75
ETERCKWS to Y 11 Patina 93
( OMEWTAR ESTE EJERCL ( co 10
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4. Fracciones algebraicas Son fracciones en las que el numerator y el denominator son
pdinomios .
Por tanto, podemos SINPLIFLCAR FRACCIONES ALSEBRALCAS Para ello ,
factor itamos numerator y denominator y eliminamoslos factories
Comines a ambos.
Ejempw : ,IHg= MIMI=xPodemos tambien SUNAR FRACCLONES ALFEBRAICAS
.
Porcello tendremos
que redncirlas a comin denominator , Samar los numeradoes y
final mete , simplified , site puede .
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Ejempl+x="x#+=YI-5yTamkdn podemos NULTIPLICARLAS o DNIDIRLAS usando el mismo
procedimiento que con frcciones de mimeos .
Vcr EJERCLCLOS RESUELTOS PA'
GINA 77.
ETERQCLOS 1,2 , 3 4 4 PAGINAS 76 Y 77
EJERCLCLOS 16 4 17 PA'
GINA 94