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TEMA 3. TORSIÓN
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
Analizaremos los esfuerzos y deformaciones en
elementos estructurales de sección transversal circular
sometidos a pares de torsión o momentos torsores T y T’.
INTRODUCCIÓN
En este tema estudiaremos:
Esfuerzos y deformaciones en ejes circulares.
Se demostrará que cuando un eje circulares se somete a torsión,
todas las secciones transversales permanecen planas y sin
distorsión distribución de los esfuerzos cortantes sobre un eje
circular.
Considerando las deformaciones en el rango elástico, se
determinará la distribución de esfuerzos cortantes en un eje circular
y se deducirán las fórmulas para la torsión elástica.
Se aprenderá a encontrar el ángulo de giro de un eje circular.
Problemas que involucran ejes estáticamente indeterminados.
La torsión en elementos no circulares y la distribución de
esfuerzos en elementos huecos no circulares de pared delgada.
* Las fórmulas de torsión NO pueden usarse para determinar los
esfuerzos cerca de secciones donde los pares de carga se aplican.
TORSIÓN
DEFINICIÓN DE TORSIÓN
Es el esfuerzo a que está sometido un elemento de una estructura cuando las cargas que actúan sobre el tienden a RETORCERLO.
Consideremos una barra sujeta rígidamente en un extremo y sometida en el otro a un par T(= Fd) aplicado en un plano perpendicular al eje, se dice que esa barra está sometida a torsión.
El efecto de torsión se presenta en una sección transversal de un elemento estructural cuando la recta de acción de la carga P contenida en el plano de dicha sección no pasa por el centro de gravedad G.
EFECTOS DE LA
TORSIÓN
EFECTOS DE LA TORSIÓN
Los efectos de la aplicación de una carga de torsión
a una barra son:
Producir un desplazamiento angular de la sección
de un extremo respecto al otro, y
Originar tensiones cortantes en cualquier sección
de la barra perpendicular a su eje.
TORSIÓN EN
EDIFICACIONES
TORSIÓN EN EDIFICACIONES
La torsión en planta es el esfuerzo de torsión que sufre la estructura portante de un edificio cuando es sometida a grandes esfuerzos horizontales. (terremotos).
Aparece por la excentricidad entre el centro de rigidez de un piso y el centro de masa de la carga que soportan, es decir: el centro de masa de ese piso y pisos superiores.
TORSIÓN EN EDIFICACIONES
La torsión como esfuerzo se presenta en las estructuras combinado con otros esfuerzos (momento flector (Mf), corte (Q), y axil (N); y por otra parte, no se presenta con tanta frecuencia como estos últimos, pero cuando existe debe ser tenido en cuenta en el diseño.
En el caso de elementos de hormigón armado genera roturas frágiles si no se han previsto armaduras adecuadas, convenientemente dispuestas, que serán las encargadas de dar ductilidad al conjunto.
¿QUÉ ELEMENTO ESTÁ SOMETIDO A TORSIÓN?
2
1
EJEMPLOS. MÉNSULA EN VOLADIZO.
Torsión en una viga. (Momento torsor concentrado)
Si se efectúa una traslación de la carga P al punto B, aparece un momento torsor Mt = Pxz.
Las solicitaciones serán:
- Flexión y corte en AC provocadas por P.
- Torsión en AC provocada por Mt.
- Axil en las columnas AD y CE provocadas por P.
- Flexión en las columnas AD y CE provocada por Mt/2.
EJEMPLOS. LOSA EN VOLADIZO.
Momento torsor distribuido a lo largo de la viga.
Para que exista equilibrio, la losa debe estar empotrada en la viga AB, aparece un momento de empotramiento de la losa y una reacción. La reacción R se transmite a la viga como carga repartida, y el momento de empotramiento se transmite como momento torsor para la viga, distribuido por cada metro de viga.
FALLAS POR TORSIÓN
FALLAS POR TORSIÓN
Torsión de Equilibrio:
Cuando la carga externa no tiene otra alternativa que ser resistida por torsión.
Torsión Secundaria:
Como acción secundaria de los requerimientos de continuidad, es decir, de la compatibilidad de deformaciones entre partes adyacentes de una estructura.
FALLAS POR TORSIÓN
FALLAS POR TORSIÓN
FALLAS POR TORSIÓN
ROTURA POR TORSIÓN
ENSAYO DE TORSIÓN
ENSAYO DE TORSIÓN
ANÁLISIS DE LOS
ESFUERZOS EN UN EJE
El diagrama de cuerpo libre de la
porción BC incluye las fuerzas
cortantes elementales dF,
perpendiculares al radio del eje.
Siendo:
ρ: distancia perpendicular de dF al eje
de la flecha.
o, ya que dF = τdA
ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS ESFUERZOS
POR TORSIÓN
La distribución de esfuerzos cortantes no es uniforme, el
cortante no puede tener lugar únicamente en un plano.
Las condiciones de equilibrio requieren de la existencia de
esfuerzos iguales en las caras formadas por los dos planos que
contienen al eje de la flecha.
Por lo tanto, se demuestra que ocurren esfuerzos en planos
longitudinales así como en los planos perpendiculares al
eje de la flecha.
ANÁLISIS PRELIMINAR DE LOS ESFUERZOS POR TORSIÓN
DEFORMACIONES DE UN
EJE CIRCULAR
Si se aplica un par de torsión T al otro
extremo, el eje se torcerá al girar su
extremo libre a través de un ángulo Ø
llamado ángulo de giro. Donde Ø es
proporcional al por de torsor T y a la
longitud L
DEFORMACIONES DE UN EJE CIRCULAR
Propiedad importante de los ejes
circulares (huecos o sólidos):
cuando un eje circular se somete a
torsión, todas sus secciones
transversales permanecen planas y sin
distorsión.
DEFORMACIONES DE UN EJE CIRCULAR
Aunque las
distintas
secciones
transversales a
lo largo del eje
giran diferentes
cantidades,
cada sección
transversal gira
como una placa
sólida rígida.
Las secciones transversales de un eje
circular permanecen planas y sin
distorsión debido a que un eje circular es
axisimétrico.
La simetría axial del eje y de la carga
requiere que la rotación que hubiera
causado que D llegara a C ahora debe
llevar a que D’ llegue a C’. Por lo tanto C’
y D’ deben estar en la circunferencia de
un círculo, y el arco C’D’ debe ser igual al
arco CD.
CONCLUSIÓN:
DEFORMACIONES DE UN EJE CIRCULAR
C’ y D’ se encuentran en el mismo círculo que C y que D. Por
lo tanto, al ser torcido el eje, el círculo original sólo gira sobre
su propio plano y toda la sección transversal permanece
plana.
El anterior argumento no excluye la posibilidad de que los
distintos círculos concéntricos giren en cantidades diferentes
cuando se tuerce el eje.
CONCLUSIÓN:
Cualquier diámetro de una sección transversal dada
permanece recto y, por lo tanto, que cualquier sección
transversal dada de un eje circular permanece plana y sin
distorsión.
DEFORMACIONES DE UN EJE CIRCULAR
Los pares se aplican de
tal manera que los
extremos mismos del eje
permanezcan planos y
sin distorsión. Esto
puede lograrse
aplicando los pares T y
T’ a placas rígidas, que
permitan que las
deformaciones
resultantes ocurran de
manera uniforme a lo
largo de todo el eje.
DEFORMACIONES DE UN EJE CIRCULAR
Ahora se determinará la distribución de
las deformaciones a cortante en un
eje circular de longitud L y radio c que
ha sido girado en un ángulo Ø.
El elemento se deforma para
convertirse en un rombo.
La deformación en corte γ debe ser
igual al ángulo entre las líneas AB y
A’B. (γ en radianes.)
Para valores pequeños de γ:
AA’ = Lγ.
Pero, por otra parte,
AA’ = ρ Ø
Se deduce que
DEFORMACIONES DE UN EJE CIRCULAR
La deformación unitaria a corte en una flecha circular varía
linealmente con la distancia desde el eje de la flecha.
La deformación a cortante es máxima en la superficie del
eje, donde ρ = c. Se tiene que:
Eliminando Ø puede expresarse la deformación a cortante
γ a una distancia ρ del eje de la flecha como
DEFORMACIONES DE UN EJE CIRCULAR
ESFUERZOS EN EL
RANGO ELÁSTICO
RELACIÓN ENTRE MÓDULO DE ELASTICIDAD NORMAL Y CORTANTE
• Teóricamente, los materiales isotrópicos tienen un valor de Coeficiente de Poisson de 0.25.
• El máximo valor de ν es 0.5
• No hay cambio de volumen durante el proceso.
• La mayoría de los metales presentan valores entre 0.25 y 0.35.
• Se usa además para relacionar los Módulos Elástico y de Corte.
RELACIÓN ENTRE MÓDULO DE ELASTICIDAD NORMAL Y CORTANTE
RELACIÓN ENTRE MÓDULO DE ELASTICIDAD NORMAL Y CORTANTE
MÓDULO DE ELASTICIDAD DE MATERIALES
El par de torsión T es tal que todos los esfuerzos cortantes en el
eje se encuentran por debajo de la resistencia a la cedencia τy.
Aplicando la ley de Hooke, se escribe:
τ = Gγ
donde G es el módulo de rigidez o módulo de corte del material.
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por G, se escribe
El esfuerzo cortante en la flecha varía linealmente con la
distancia ρ desde el eje de la flecha.
ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO
Aplicando sumatoria de momentos:
Sustituyendo τ de la ecuación en la ecuación , se escribe:
J : Momento polar de inercia de la sección transversal con respecto a
su centro O.
Se tiene entonces que:
o, despejando para τmáx
Sustituyendo τmáx de las últimas ecuaciones:
ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO
En la siguiente figura se muestra en primer lugar la
distribución de esfuerzos en un eje circular de radio c, y
luego la muestra en un eje circular hueco de radio interior
c1 y radio exterior c2.
De lo analizado anteriormente para el segundo caso se
deduce que:
ESFUERZOS EN EL RANGO ELÁSTICO
REGLA DE LA MANO
DERECHA
REGLA DE LA MANO DERECHA
MOMENTO POLAR DE
INERCIA
Análisis de las Partículas
ÁNGULO DE GIRO EN EL
RANGO ELÁSTICO
Igualando y despejando Ø se tiene que
Ø en radianes.
* El ángulo de giro es proporcional al par de torsión T
* Sólo si el eje es homogéneo (G constante) la sección
transversal es uniforme, si está cargado en sus extremos.
ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO El ángulo de giro Ø y la
deformación máxima a cortante se
relacionan como sigue:
Pero, en el rango elástico se
aplica la Ley de Hooke y se tiene
que γmáx=τmáx/G
ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO
Si el eje es sometido a par de torsión en lugares distintos de
los extremos, o si consta de varias porciones con secciones
transversales distintas y posiblemente distintos materiales,
debe dividirse en porciones de similares características
ÁNGULO DE GIRO EN EL RANGO ELÁSTICO
En el caso de un eje con sección transversal circular
variable. El ángulo por el que una cara del disco gira
con respecto a la otra es,
donde J es una función de x.
ÁNGULO DE GIRO EN EL RANO ELÁSTICO
Cuando ambos extremos de un eje giran, sin embargo, el
ángulo de giro del eje es igual al ángulo a través del que un
extremo del eje gira con respecto al otro.
CONVENCIÓN DE SIGNOS
Para el par de torsión interno y para el ángulo de torsión de
un extremo de la flecha con respecto al otro.
(+) si el pulgar se aleja
(-) si el pulgar se cerca
CONVENCIÓN DE SIGNOS
TENSIONES NORMALES
PRODUCIDAS POR LA
TORSIÓN
TENSIONES NORMALES PRODUCIDAS POR
LA TORSIÓN
Esfuerzos normales, cortantes o una combinación de
ambos pueden encontrarse bajo la misma condición de
carga, dependiendo de la orientación del elemento
elegido
Las caras del elemento a están sometidos a esfuerzos de
corte definidos por la fórmula .
Las caras del elemento b, están sujetas a una combinación
de esfuerzos normales y cortantes
TENSIONES NORMALES PRODUCIDAS POR
LA TORSIÓN
El esfuerzo correspondiente se obtiene dividiendo la fuerza F
entre el área A de la cara DC. Observando que A=A0, se escribe:
Sobre la cara izquierda:
Los esfuerzos ejercidos en las caras
BC y BD son los esfuerzos cortantes
τmáx =Tc/J. La magnitud de las fuerzas
cortantes correspondientes es τmáxA0
La fuerza F ejercida sobre DC es una
fuerza de tensión, y su magnitud es
Sobre la cara derecha: σ = - τmáx
TENSIONES NORMALES PRODUCIDAS POR
LA TORSIÓN Los esfuerzos ejercidos sobre las caras de un elemento c a
45º al eje de la flecha son esfuerzos normales iguales a +/-
τmáx.
El elemento a está en cortante puro
El elemento c está sometido a esfuerzos de tensión en dos
de sus caras, y a un esfuerzo de compresión en las otras
dos.
Todos los esfuerzos involucrados tienen la misma magnitud,
Tc/J.
EJES ESTÁTICAMENTE
INDETERMINADOS
EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS
Estáticamente indeterminado: Si
la ecuación de equilibrio por
momentos, aplicada con respecto
al eje de la flecha, no es suficiente
para determinar los pares de
torsión desconocidos.
∑Mx = 0: T – TA – TB = 0
Es necesario añadir una condición
de compatibilidad:
ØA/B ≈ 0
EJES ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS
Suponiendo que el material se comporta de modo
elástico-lineal, entonces:
Ø = TL/JG
El par interno en el segmento AC es TA, y el par en el
segmento CB es – TB, entonces:
Resolviendo:
DISEÑO DE ELEMENTOS
CIRCULARES
SOMETIDOS A TORSIÓN
DISEÑO DE ELEMENTOS CIRCULARES
SOMETIDOS A TORSIÓN
TORSIÓN DE
ELEMENTOS NO
CIRCULARES
TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
Una barra cuadrada, retiene la misma apariencia sólo si
se gira 90º o 180º. Las diagonales de la sección
transversal cuadrada de la barra y las líneas que unen
los puntos medios de los lados permanecen rectas.
Debido a la falta de simetría axial de la barra, cualquier
otra línea dibujada en su sección transversal se
deformará cuando la barra se tuerza, y la sección
transversal misma se torcerá fuera de su plano original.
TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
La cara del elemento perpendicular al eje y es parte de la
superficie libre de la barra, todos los esfuerzos en esta cara
deben ser cero. Entonces:
τyx = 0 τyz = 0
Por la misma razón, todos los esfuerzos en la cara del elemento
perpendicular al eje z deben ser cero:
τzx = 0 τzy = 0
Por tanto, por simetría
τxy = 0 τxz = 0
CONCLUSIÓN: No hay esfuerzo cortante en las esquinas de la
sección transversal de la barra.
.
TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
La determinación de los esfuerzos se obtiene de la teoría
matemática de la elasticidad para barras rectas con sección
transversal rectangular uniforme.
El máximo esfuerzo cortante ocurre a lo largo de la línea
central de la cara más ancha de la barra y es igual a
El ángulo de giro, por otro lado, puede expresarse por
.
Los coeficientes c1 y c2 dependen sólo de la razón a/b y se
dan en la tabla:
.
TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
TABLA
Los resultados para
flechas que tengan
secciones transversales
triangulares y elípticas
se muestran en la tabla.
La sección transversal
circular es más eficiente
porque presenta un
esfuerzo cortante
máximo más pequeño, y
un ángulo de torsión
más pequeño
.
TORSIÓN DE ELEMENTOS NO CIRCULARES
EJES HUECOS DE
PARED DELGADA
El esfuerzo cortante es independiente de la coordenada x,
pero puede variar a través de la pared
(flujo de corte)
EJES HUECOS DE PARED DELGADA
El esfuerzo cortante en cualquier punto de un
corte transversal del miembro hueco es paralelo
a la superficie de la pared y su valor promedio
calculado a través de la pared satisface la
ecuación:
EJES HUECOS DE PARED DELGADA
El área del elemento es dA=tds, y la
magnitud de la fuerza cortante dF ejercida
sobre el elemento es:
El momento dMO de esta fuerza alrededor
de un punto arbitrario O es:
Pero el producto pds es igual al doble del
área A del triángulo sombreado. Se tiene,
pues, que
EJES HUECOS DE PARED DELGADA
EJES HUECOS DE PARED DELGADA
La integral alrededor de la sección de la pared representa la
suma de los momentos de todas las fuerzas cortantes
elementales ejercidas sobre la sección de pared, esta suma
es igual al par T aplicado al miembro hueco:
Pero el flujo de corte q es una constante, entonces:
El esfuerzo cortante τ en cualquier punto dado de la pared
puede expresarse en términos del par T