•Sistemas de coordenadas

•Ecuación de la recta

Universidad Simón Bolívar, Sede Litoral

Tema 3

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

O

III

III IV

x

y

P(x, y)

abscisa

ordenada

-y

-x

X

Y

FÓRMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA

X

Y

𝑷𝒎(𝑿 ,𝒀 )

Ejemplos:

a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2

d2 = (9 + 3)2 + (-5)2

d2 = 144 + 25

d2 = 169

d = 13 u.d

x1 y1 x2 y2

b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:

-3 + 9 , 4 + -1

2 2Pm =

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

x1 y1 x2 y2

x1 + x2 y1 + y2

2 2Pm = ,

d=√169

𝑃𝑚=(3 ,32)

A

B

Veamos la distancia directamente en el plano:

4

8

2 24 8 16 64

80¿𝟒 √𝟓

Ejercicios:

B(6,-1)y A(-2,3)

B(1,2)y A(-3,6)

B(2,0)y A(-2,3)

B(1,5)y ,3)2

1A(-

1.

2.

3.

4.

5.

Calcule las distancias y puntos medios de:

,0)2B(2y )7,-2A(

d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

x1 + x2 y1 + y2

2 2Pm = ,

Significado de la recta:

La recta es una de las curvas de mayor estudio

realizado en las matemáticas por la enorme cantidad

de aplicaciones que presenta y por estar vinculada a

una ecuación de primer grado o lineal, dentro de sus

aplicaciones se tienen: problemas de costos-

ingresos y ganancia, la oferta y demanda, la

valoración de un activo a lo largo del tiempo, etc.

20 40 60 80

P. E.

¿Qué significan estas señales de tránsito?

Pendiente de una recta l

L1

L2

0 x

y • ¿Cuál de las rectas está más inclinada?

• ¿Cómo medimos esa inclinación?

La pendiente m de la recta l es:La pendiente m de la recta l es:

Cálculo de la pendiente de una rectaSea l una recta no vertical que pasa por los puntos P1(x1;y1) y P2(x2; y2).

X

Y

Ejemplo:

1. Hallar la pendiente entre los puntos:

x1 y1 x2 y2

(-4, -2) y (1, 7) es:

7 – (-2)

1 – (-4)m =

9 5

m =

2. Calcular la pendiente entre los puntos:

(8, 5) y (8, 10) es:x1 y1 x2 y2

Como el denominador es cero, la pendiente NO existe.

Además, la recta que pasa por los puntos (8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y es de la forma: x = 8, la recta NO es función.

10 – 5

8 – 8m =

5 0

m =

Ejemplos

Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos

a)A(-6,1) y B(1,2)

b)C(-1,4) y D(3,1)

c) E(3,2) y F(8,2)

d)G(2,1) y H(2,-3)

mAB = 1/7

mCD = -3/4

mEF = 0

mGH = ¿?

Conclusiones

1. Si m>0 la recta l es creciente

2. Si m<0 la recta l es decreciente

3. Toda recta horizontal tiene m = 0

4. Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

x

y

x

y

x

y

x

y

Geométricamente podemos decir que una línea recta es una sucesión continua e infinita de puntos alineados en una misma dirección; analíticamente, una recta en el plano está representada por una ecuación de primer grado con dos variables, x e y. Además es el lugar geométrico de todos los puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma pendiente.

Ejemplos:

1. 5x + 6y + 8 = 0

2. y = 4x + 7

3. 6x + 4y = 7

La recta

Ecuación de la recta (Punto – Pendiente)

La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x1, y1) es:

(x1, y1) y - y1 = m(x - x1)

X

Y

Ecuación general o implícita de la recta

Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c reales.

Ejemplos:

1. 5x + 6y + 8 = 02. 2x - 4y + 7 = 03. -x + 12y - 9 = 0

Obs. m= b= ab c

b

La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es:

by = mx + b

X

Y

Ecuación explicita de la recta

Es de la forma:

El coeficiente de posición (b), es la ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y. Corresponde al punto de coordenadas (0,b).

y = mx + b

m : pendiente

b : punto de corte con el eje y

1) y= 2x -3 m=2 b=-3

Ejemplo:

2) y= 3x – 4 2

y=3 x – 2 2

m= 32 b=2

Ecuación explicita de la recta

Ejemplos:1. Hallar la ecuación de la recta de pendiente m =

-6, que pasa por el punto (3,-2) es:

y – (-2) = -6 (x – 3) y + 2 = -6x + 18

y = -6x + 16

2. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos

( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:

y – (-3) = (x – 2) 6 – (-3)

5 – 2

y + 3 = (x – 2) 9

3

y + 3 = 3 (x – 2)

y + 3 = 3x – 6

y = 3x – 6 - 3

y = 3x – 9

x1 y1 x2 y2

y – y1 = (x – x1) y2 – y1

x2 – x1

6x + y – 16 = 0

3x – y – 9 = 0

Ejercicios:

1. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6;1) y (1;4).

3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación

x- 9 = 5y+3.

4. Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).

y - y1 = m(x - x1) y = mx + b

recta recta // ecuaciónhorizontal al eje X y = b

recta recta // ecuaciónvertical al eje Y x = a

b

a

y = b

x = a

RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL

1. En las siguientes ecuaciones identificar m y b:

b) y = 4x

c) 6x – y+ 13

= 8

m = -6/-1 = 6

b = -5/-1 = 5

6x – y + 5=0

Luego, m = 6 y b = 5.

2. ¿Cuál será la pendiente y el punto de corte en el eje y en

ecuaciones como: y = 5 y x = 2 ?

a) y = x – 8

Para determinar m y b, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las

fórmulas dadas para m y b:

m = 4 y b = 0

m = 1 y b = -8

Ejemplos:

Obs. m= b= ab c

b

Ejemplos:

3. Dada la gráfica de la recta,

encontrar su ecuación principal.

b = 3.

Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de posición (b) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3.

Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente

5 – 3 1– 0

m = 2

1m = = 2

-1-2

-2

-1

En resumen:

Formas de la ecuación de una recta:

• Forma punto pendiente: y-y1=m(x-x1)

• Forma pendiente ordenada y = mx+b al origen

• Forma general ax + by + c = 0

• Recta vertical x = a

• Recta horizontal y = b

m1 = m2

Rectas paralelas

Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son

paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma

pendiente o si ambas son verticales .

Es decir:

Rectas paralelasSe dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen igual pendiente y distinto coeficiente de posición o puntos de corte con y.

Ejemplo: Determine si L1: y = 5x +3 y L2: y = 5x – 10 son paralelas

(m = 5) (m = 5)

Rectas perpendiculares

Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.

Es decir:

Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.

m1 . m2 = -1

Rectas perpendicularesSe dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.

Ejemplo: Compruebe que L1: y = -5x +3 y L2: y = 2x – 10

Son perpendiculares

2 5

(m = -5 )2

(m = 2 )5

Ejercicios:

Determine la ecuación de la recta que satisfaga:

1. Pasa por (3;-4) y es paralela a y= 3+ 2x.

2. Pasa por (3; -4) y es perpendicular a y = 3 + 2x

Sea la ecuación de una recta y un punto que NO pertenece a ella, entonces:

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Note la perpendicularidad de la recta que representa la distancia

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=

0𝑑=

|𝑎𝑥0+𝑏𝑦 0+𝑐|√𝑎2+𝑏2

EJERCICIOS:

08-3y-4x :Ry A(1,2)

1--2xy :Ry A(-1,2)

03-4y3x :Ry A(0,-2)

12y-3x :Ry ,3)2

1A(-

1.

2.

3.

4.

Calcule las distancias desde el punto A hasta la recta R:

𝑑=|𝑎𝑥0+𝑏𝑦 0+𝑐|

√𝑎2+𝑏2

Sea la ecuación de una recta y otra recta paralela ya que sus pendientes son iguales

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

0byax:R 1 c

0byax:S 2 c

BA

MM SR

22

12Cd

BA

C

0

ByAx

:S

2

C

0

ByAx

:R

1

C

EJERCICIOS:

04y -3x : S

032y-6x :R

1.

2.

3.

Calcule las distancias entre las siguientes rectas si son paralelas:

016y -4x : S

013y-2x :R

08y 3x : S

2-3xy :R

22

12Cd

BA

C

•Sistemas de coordenadas

•Ecuación de la recta

Universidad Simón Bolívar, Sede Litoral

Elaborado por:Dorenis Mota (dorenismota@usb.ve)Ricardo Valles (revalles@usb.ve)