tema 2:descripción conjunta de dos variables · 2006. 10. 1. · márgenes de la tabla de...

Estadística: Profesora María Durbán

1

Tema 2:Descripción conjunta de dos variables

2.2 Distribuciones de frecuencias

Distribución conjuntaDistribución marginalDistribución condicionada

2.3 Representaciones gráficas

HistogramaDiagrama de dispersión

2.4 Medidas de dependencia lineal

CovarianzaCorrelación

2.1 Introducción

2.5 Recta de regresión


2








2.1 Introducción



3

2.1 Introducción

En este tema estudiamos una situación muy usual y por tanto de gran interés en la práctica:

Si Y es otra variable definida sobre la misma población que X, ¿será posible determinar si existe alguna relación entre X e Y?

En el tema anterior hemos visto cómo describir una muestra de datos de unavariable mediante:

Representaciones gráficasEstadísticos:

Posición: indican hacia donde tienden a agruparse los datos

Dispersión: indican si las diferentes modalidades que presenta la variableestán muy agrupadas alrededor de cierto valor central

Forma: Determinan si los datos se distribuyen de forma simétrica a un ladoy a otro de un valor central


4









2.1 Introducción



5


Ahora tomamos dos medidas a cada individuo de la muestra.

Las variables pueden ser cuantitativas, discretas o continuas o cualitativas, dando lugar a muchas combinaciones:cualitativa/cualitativa, discreta/continua, continua/continua, etc.

El tipo de análisis dependerá de la combinación que tengamos.

Tomamos una muestra de la población y medimos las variables (X e Y), esa muestra estará dividida en clases para cada una de las variables y existirán elementos que pertenezcan a las distintas combinaciones de las clases.

Llamamos distribución conjunta de frecuencias de dos variables (X e Y) a latabla que representa los valores observados y las frecuencias relativas/absolutasde cada par .


6

Y y1 y2 ..... yj ..... ys

x1 n11 n12 ..... n1j ..... n1sx2 n21 n22 ..... n2j ..... n2s

xi ni1 ni2 ..... nij ..... nisxr nr1 nr2 ..... nrj ..... nrs

X


Consideramos una población de n individuos, donde cada uno de ellos presenta dos características que representamos mediante las variables X e Y.

1 2

1 2

, ,, ,

r

s

X x x xY y y y

→→

K

K

Creamos una tabla de casillas, con r filas y s columnas.La casilla con subíndice ij corresponde a los individuos de la muestra que presentansimultáneamente las modalidades

r s×

,i jx y


7

Y y1 y2 ..... yj ..... ys

x1 n11 n12 ..... n1j ..... n1sx2 n21 n22 ..... n2j ..... n2s

xi ni1 ni2 ..... nij ..... nisxr nr1 nr2 ..... nrj ..... nrs

X


Consideramos una población de n individuos, donde cada uno de ellos presenta dos características que representamos mediante las variables X e Y.

1 2

1 2

, ,, ,

r

s

X x x xY y y y

→→

K

K

Creamos una tabla de casillas, con r filas y s columnas.La casilla con subíndice ij corresponde a los individuos de la muestra que presentansimultáneamente las modalidades

r s×

,i jx y


8

∑=

• =s

jiji nn

1

Frecuencia Absoluta de la clase xi; para i= 1, ,2, ... ,r(Suma de los valores de la fila i-ésima )

∑=

• =r

iijj nn

1

Frecuencia Absoluta de la clase yj; para j= 1, ,2, ... ,s( Suma de los valores de la columna j-ésima)

nij = Frecuencia Absoluta de la clase conjunta (xi,yj).

fij = nijn Frecuencia Relativa

“conjunta”


Consideramos los elementos que presentan la modalidad xi, independientemente de las modalidades que presente la variable Y1

r s

iji j

r s

iji j

n n

f

=

=

∑∑

∑∑

Propiedades


9

Y y1 y2 ..... yj ..... ys Total

x1 n11 n12 ..... n1j ..... n1s n1

x2 n21 n22 ..... n2j ..... n2s n2

xi ni1 ni2 ..... nij ..... nis ni

xr nr1 nr2 ..... nrj ..... nrs nr

Total n 1 n 2 ..... n j ..... n s n

X

n = n



10

Y y1 y2 ..... yj ..... ys Total

x1 n11 n12 ..... n1j ..... n1s n1

x2 n21 n22 ..... n2j ..... n2s n2



Total n 1 n 2 ..... n j ..... n s n

X

n = n


Frecuencia Absoluta de la clase conjunta (xi,yj).


11

Y y1 y2 ..... yj ..... ys Total

x1 f11 f12 ..... f1j ..... f1s f1x2 f21 f22 ..... f2j ..... f2s f2

xi fi1 fi2 ..... fij ..... fis fi

xr fr1 fr2 ..... frj ..... frs frTotal f 1 f 2 ..... f j ..... f s f

X

f = 1



12

Y y1 y2 ..... yj ..... ys Total




X

f = 1


Frecuencia Absoluta de la clase conjunta (xi,yj). ij

ij

nf

n=


13


Ejemplo: continua/continua

Se ha medido la longitud (X en mm) y el peso (Y en gr) de una muestra de 117 tornillos producidos por una máquina, la información se representa en la siguiente tabla:

1

1

0

0

100-120

117188018Total

3716200180-200

7626014160-180

4004140-160

Total80-10060-8040-60x/y


14


Ejemplo: cualitativa/discreta

La relación entre el tipo de electrodoméstico y el número de fallos en una muestra de 1000aparatos queda representada en la siguiente tabla:

0.250.150.12

0.520.40.121

10.630.37Total

0.15

Pequeño

Electrodoméstico

0.08

Grande

0.23

Total

0

Fallo


15


Distribuciones marginales

Se obtiene al estudiar una variable con independencia de la otra

Su nombre se debe a que la distribución se obtiene sumando en los márgenes de la tabla de distribución conjunta.

ijn

.

i ijj

n n=∑ .

j iji

n n=∑


16





( , )i jf x y

.

( ) ( , )

i i jj

i

f x f x y

f

=∑.

( ) ( , )

j i ji

j

f y f x y

f

=∑


17





( , )i jf x y

.

( ) ( , )

i i jj

i

f x f x y

f

=∑.

( ) ( , )

j i ji

j

f y f x y

f

=∑

Propiedades

. .

. . 1

r s

i ji j

r s

i ji j

n n n

f f

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑


18

Y y1 y2 ..... yj ..... ys Total

x1 n11 n12 ..... n1j ..... n1s n1

x2 n21 n22 ..... n2j ..... n2s n2



Total n 1 n 2 ..... n j ..... n s n

X

n = n


Frecuencia Absoluta de la clase xi; para i= 1, ,2, ... ,r

(Suma de los valores de la fila i-ésima ).

1

s

i ijj

n n=

= ∑


19

Y y1 y2 ..... yj ..... ys Total

x1 n11 n12 ..... n1j ..... n1s n1

x2 n21 n22 ..... n2j ..... n2s n2



Total n 1 n 2 ..... n j ..... n s n

X

n = n


Frecuencia Absoluta de la clase yj; para i= 1, ,2, ... ,s

(Suma de los valores de la columna j-ésima ).

1

r

j iji

n n=

=∑


20

Y y1 y2 ..... yj ..... ys Total




X

f = 1


Si quisiésemos estudiar la variable X y la Y por separado,nos hubiese bastado con utilizar:


21

x1 f1x2 f2

xi fi

xr frTotal 1

X


y1 f 1

y2 f 2

yj f j

ys f s

Total 1

Yif(x ) jf(y )


22



La relación entre el tipo de electrodoméstico y el número de fallos en una muestra de 1000aparatos queda representada en la siguiente tabla:

0.250.150.12

0.520.40.121

10.630.37Total

0.15

Pequeño

Electrodoméstico

0.08

Grande

0.23

Total

0

Fallo


23



La distribución del número de fallos, independientemente del tamaño del electrodomésticosería:

0.252

0.521

1Total

0.230

Falloi.f


24



La distribución del tipo de electrodoméstico, independientemente del número de fallossería:

0.63Grande

1Total

0.37Pequeño

Electrodoméstico.jf


25


Distribuciones condicionadas

De todos los elementos, n, podemos estar interesados, en un momento dado, en un conjunto más pequeño que está formado por aquellos elementos que han presentado la modalidad xi, para algún i=1,….r

La variable Y definida sobre este conjunto se denomina variable condicionada y se suele denotar mediante | iY X x=

La frecuencia relativa de condicionada a representa la proporciónde individuos que presentan de entre los que tienen

jy iX x= jY y= iX x=

.

( , )( | )

( )

ij i jj i

i i

n f x yf y x

n f x= =

( , )( | ) 1

( )

i jj

j ij i

f x yf y x

f x= =∑

∑


26

x1 f(x1|yj)

x2 f(x2|yj)

xi f(xi|yj)

xr f(xr|yj)

Total 1

X|Y=yj


y1 f(y1|xi)

y2 f(y2|xi)

yj f(yj|xi)

ys f(ys|xi)

Total 1

Y|X=xii jf(x |y ) j if(y |x )


27



¿Cuál es la distribución del número de fallos cuando el electrodoméstico es pequeño?

Fallo|Electrodoméstico=Pequeño

0.250.150.12

0.520.40.121

10.630.37Total

0.15

Pequeño

Electrodoméstico

0.08

Grande

0.23

Total

0

Fallo

2

1

Total

0

Fallo | pequeño ( | )j if y x

0.405


28





0.250.150.12

0.520.40.121

10.630.37Total

0.15

Pequeño

Electrodoméstico

0.08

Grande

0.23

Total

0

Fallo

2

1

Total

0.4050


0.320


29





0.250.150.12

0.520.40.121

10.630.37Total

0.15

Pequeño

Electrodoméstico

0.08

Grande

0.23

Total

0

Fallo

2

0.3201

Total

0.4050


0.275


30


Distribuciones condicionadas

( , )( | )

( )

i jj i

i

f x yf y x

f x=

( | ) ( , )

j i i jf y x f x y> ( , ) ( | ) ( )

i j j i if x y f y x f x=

1( | ) ( , ) 1( )j i i j

j ji

f y x f x yf x

= =∑ ∑


31


Medias y varianzas marginales y condicionadas

Asociados a las distribuciones marginales y condicionadas, podemos definir algunos estadísticos de posición o dispersión, generalizando los que vimos en el tema dedicado al análisis de una variable

Medias y varianzas marginales

y1 f 1

y2 f 2

yj f j

ys f s

Total 1

jf(y )Y

( )

.1

22.

1

s

j jj

s

Y j jj

y f y

s f y y

=

=

=

= −

∑

∑


32


Medias y varianzas marginales y condicionadas

Asociados a las distribuciones marginales y condicionadas, podemos definir algunos estadísticos de posición o dispersión, generalizando los que vimos en el tema dedicado al análisis de una variable

Medias y varianzas condicionadas( | )j if y xY

( )

|1

22| |

1

( | )

( | )

i

i i

s

X x j i jj

s

Y X x j i j X xj

y f y x y

s f y x y y

==

= ==

=

= −

∑

∑

y1 f(y1|xi)y2 f(y2|xi)

yj f(yj|xi)

ys f(ys|xi)

Total 1


33



¿Cuál es el número medio de fallos cuando el electrodoméstico es pequeño?


2

0.3201

1Total

0.4050


0.275

| pequeño1

( | )s

X j i jj

y f y x y==

= ∑

| pequeño 0 0.405 1 0.32 2 0.275 0.87Xy = = × + × + × =


34


Independencia entre variables

Si la variable Y es independiente de X, lo lógico es que la distribución de frecuencias relativas condicionadas sea la misma que la de1|Y X x= 2| , , | rY X x Y X x= =K

.( | ) ( )

j i j jf y x f y f= =

Diremos que Y es independiente de X si:

. . .

.

( , ) ( | ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( | ) ( )

i j j i i i j j i

ij j i jj i j ij

i

f x y f y x f x f x y f y f xn n n n

f y x f y nn n n

= → =

= → = → =

O equivalentemente si:


35


Independencia entre variables

Si la variable Y es independiente de X, lo lógico es que la distribución de frecuencias relativas condicionadas sea la misma que la de1|Y X x= 2| , , | rY X x Y X x= =K

.( | ) ( )

j i j jf y x f y f= =

Diremos que Y es independiente de X si:

. . ..

( , ) ( | ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

i j j i i i j j i

ij j i jii j j i ij

f x y f y x f x f x y f y f xn n n nnf x y f y f x nn n n n

= → =

= → = → =

O equivalentemente si:


36



¿Es el número de fallos independiente del tamaño del electrodoméstico?

0.250.150.12

0.520.40.121

10.630.37Total

0.15

Pequeño

Electrodoméstico

0.08

Grande

0.23

Total

0

Fallo ( , ) ( ) ( ) ,

i j j if x y f y f x i j= ∀

0.15 0.23 0.37 0.0851≠ × =


37









2.1 Introducción



38


Dependerá del tipo de variables con las que estemos trabajando y desi están agrupadas o no.

CualitativasCuantitativas discretas

Cuantitativas continuas Histogramas 3DDiagramas de dispersión

Diagramas de barras 3DDiagramas de barras agrupados


39

Ejemplo: continua/continua

Se ha medido la longitud (X en mm) y el peso (Y en gr) de una muestra de 117 tornillos producidos por una máquina, la información se representa en la siguiente tabla:

1

1

0

0

100-120

117188018Total

3716200180-200

7626014160-180

4004140-160

Total80-10060-8040-60x/y



40


La representación gráfica más útil para mostrar el tipo de relación entre dos variables continuas sin agrupar es el diagrama de dispersión.

Representa cada par de observaciones como un punto del plano cartesiano

( , ) i jx y

Pesa 111 gr.

Mid

e 18

4 m

m.


41


La representación gráfica más útil para mostrar el tipo de relación entre dos variables continuas sin agrupar es el diagrama de dispersión.

Representa cada par de observaciones como un punto del plano cartesiano

Es especialmente útil para identificar la existencia de relación entre las variables.

( , ) i jx y

Parece que el pesoaumenta con laaltura


42

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-10

12

34

5x1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-2-1

01

y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-5-4

-3-2

-10

x2

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4xx

02

46

x3

xx

x x


y y

y y

Relación linealpositiva

Relación linealnegativa

Ausencia de relación

Relación nolineal


43

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-10

12

34

5x1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-2-1

01

y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-5-4

-3-2

-10

x2

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4xx

02

46

x3

xx

x x


y y

y y




Relación nolineal

Para los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y mayores también.

Para los valores de X menores que la media le corresponden valores de Y menores también.


44

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-10

12

34

5x1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-2-1

01

y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-5-4

-3-2

-10

x2

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4xx

02

46

x3

xx

x x


y y

y y




Relación nolineal

Para los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y menores que la media y viceversa.


45

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-10

12

34

5x1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-2-1

01

y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-5-4

-3-2

-10

x2

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4xx

02

46

x3

xx

x x


y y

y y




Relación nolineal

Para los valores de X mayores que la media le corresponden valores de Y mayores y menores que la media


46

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-10

12

34

5x1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-2-1

01

y

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

-5-4

-3-2

-10

x2

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4xx

02

46

x3

xx

x x


y y

y y




Relación nolineal

Existe una relación funcional no lineal entreX e Y.

Hay relación pero no es lineal


47









2.1 Introducción



48


Las dos medidas más utilizadas para cuantificar el grado y el sentido de ladependencia lineal son:

Covarianza

Correlación

Nos indica si la relación entre las variables es positiva o negativa

Su magnitud depende de las unidades

( )( )xy ij i j ij i ji j i j

S f x x y y f x y xy= − − = −∑∑ ∑∑


49



Covarianza

Correlación

Si los datos no están agrupados en una tabla

alta será Covarianza la

signo mismo el tendrán )( e )( positiva, lineal forma de

nteconjuntame varían e Si

⇓

−−

yyxx

yx

i

i( )( )xy i i i ii i

S x x y y x y xy= − − = −∑ ∑


50



Covarianza

Correlación

Mide la magnitud y la dirección de la dependencia lineal

Es adimensional

yx

xyxy ss

Sr =

sean que fuertesmuy por lineales-no relaciones las mide No

atípicas nesobservacio por afectado ve Se

lineales cionestransforma por afectado ve se No

que signo mismo el Tiene xyS


51

Las variables son incorreladas r=0Relación lineal perfecta entre dos variables r=+1 o r=-1Cuanto más cerca esté de +1 o -1 mejor será el grado de relación lineal.

-1 +10

Relación negativa perfecta

Relación positivaperfectaVariables

incorreladas


1 1xyr− ≤ ≤


52









2.1 Introducción


53


Las técnicas de regresión permiten hacer predicciones sobre los valores de cierta variable Y (dependiente), a partir de los de otra X (independiente), entre las queintuimos que existe una relación.

Nos vamos a limitar al caso de la regresión lineal. Con este tipo de regresión nos conformamos con encontrar relaciones funcionales de tipo lineal, es decir,buscamos cantidades a y b tales que se pueda escribir:

( )h x a bx= +


54

Ejemplo: Pureza del oxígeno en un proceso de destilación

Una planta química produce oxígeno licuando aire y separando sus componentes mediante destilación fraccionada.

La empresa está interesada en saber si se puede determinar la purezadel oxígeno obtenido en este proceso a partir del porcentaje de hidrocarburos presente en el condensador de la unidad de destilación

Condensador



55

Para ver la relación entre dos variables de forma gráfica utilizamos el Diagrama de dispersión




56

Objetivo: Calcular la línea recta que mejor describe los datos.¿Qué criterio utilizamos para seleccionar dicha recta?



57

Método de Mínimos Cuadrados

Consiste en estimar y en la ecuación de manera que lasdistancias verticales entre los puntos y la recta es mínima

a b bxay +=

1y

2y

1x 2x

Recta de regresiónestimada

Valor observado



58



Consiste en estimar y en la ecuación de manera que lasdistancias verticales entre los puntos y la recta es mínima.

El criterio será minimizar:

a b bxay +=

2

1( )

n

i ii

y a bx=

− −∑ Para prescindir del signo

Derivando e igualando a cero:

1

1

2 ( ) 0

2 ( ) 0

n

i iin

i i ii

y a bx

y a bx x

=

=

− − =

− − =

∑

∑2

i i i

y a bxx y x

ax bn n

= +

= +∑ ∑


59



Consiste en estimar y en la ecuación de manera que lasdistancias verticales entre los puntos y la recta es mínima.

El criterio será minimizar:

a b bxay +=

2

1( )

n

i ii

y a bx=

− −∑ Para prescindir del signo

Derivando e igualando a cero:

1

1

2 ( ) 0

2 ( ) 0

n

i iin

i i ii

y a bx

y a bx x

=

=

− − =

− − =

∑

∑2

i i i

y a bxx y x

ax bn n

= +

= +∑ ∑


60

( )

2

La recta pasa por ,( , ) x

x yCov x ya y bx b

s= − =


Consecuencias

2i i i

y a bxx y x

ax bn n

= +

= +∑ ∑

Además:( , )

xyx y

Cov x yrs s

= yxy

x

sb r

s=

Si no hay relación lineal la covarianza es nula La pendiente es 0


61

6.1 Introducción


87.330.9593.651.4094.981.4399.421.5593.411.3291.771.2393.251.2687.590.8790.391.2094.451.3689.851.1196.731.4689.541.0193.741.2990.560.9891.431.1592.521.1589.051.0293.541.1999.010.99

Pureza %

Hidrocarbono%

Pureza %

Hidrocarbono %


62



2

2

20 1.196 92.16

0.681 10.177

10.177 14.95 a 92.16 (14.95)1.196 74.280.681

x xy

xy

x

n x y

S S

sb y bx

s

= = =

= =

= = = = − = − =

( ) 74.28 14.95h x x= +


63



2

2

20 1.196 92.16

0.681 10.177

10.177 14.95 a 92.16 (14.95)1.196 74.280.681

x xy

xy

x

n x y

S S

sb y bx

s

= = =

= =

= = = = − = − =

( ) 74.28 14.95h x x= +

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