tema 2 - deformaciones y desplazamientos

Análisis Estructural I

Tema 2 - Deformaciones y desplazamientos Ing. Raúl Kaufmann

1

Posición inicial

Posición final

Posición final

Posición inicial

J

δ

ϕ

ϕ

tJ

ϕ

δvverticales

hδ+

Desplazamientos angulares

+

+

Desplazamientos lineales

horizontales

1 . DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS

Todas las estructuras se deforman, al ser cargadas, y el cambio de configuración geométrica hace que sus puntos experimenten pequeños desplazamientos. En la mayoría de los casos esa deformación no es apreciable a simple vista, y entonces el observador la pasa por alto y asume que la estructura es completamente rígida; pero en la realidad todos los materiales se deforman, en mayor o menor medida. Cuando se analiza una estructura siempre resulta necesario prestar atención a las deformaciones. A veces se piensa, erróneamente, que es suficiente obtener los esfuerzos internos y conocer las tensiones que se producen en los distintos puntos del sistema para que el estudio quede completado. Pero eso es solamente una parte del problema: hace falta también estudiar lo que sucede con las deformaciones, para comprobar si se hallan o no dentro de límites aceptables. De hecho, con frecuencia es necesario dar a una pieza una sección mayor que la obtenida al estudiar las tensiones, con el objeto de volverla menos deformable. En tales casos, el dimensionamiento resulta definido por la rigidez, no por la resistencia. Consideremos la viga en voladizo representada en la figura 1. Después de determinar sus esfuerzos internos (momento flector, esfuerzo de corte), se ha adoptado una sección para que esos esfuerzos sean resistidos con el debido margen de seguridad. El problema tensional ha sido solucionado, por lo tanto; pero ¿qué sucede con las deformaciones de esta estructura? La barra, inicialmente recta, se deforma cuando actúan cargas sobre ella. Esas cargas mueven los puntos en que están aplicadas, haciéndolos descender, y como consecuencia la pieza se curva, modificando levemente su geometría original. A la posición final del eje de la barra se la llama “línea elástica”, o más brevemente, “elástica”. También se la suele denominar “deformada”. La elástica mostrada en la figura 1 está dibujada en forma muy exagerada, para poder ser apreciada claramente. Esto es usual; los desplazamientos siempre tienen un orden de magnitud mucho menor que las dimensiones de la estructura, de modo que no pueden ser representados en la misma escala. Como consecuencia, las pendientes de la curva no se corresponden con la realidad; los ángulos resultan amplificados excesivamente. Es preciso recordar esto, al observar una elástica; las tangentes no giran decenas de grados, como representa la figura, sino sólo pequeñas fracciones de grado. La curvatura de la pieza provoca el desplazamiento de sus puntos, que comienzan a descender. En este caso, el extremo derecho de la barra es el que más va a bajar; de modo que controlando el movimiento de ese punto nos aseguramos que la deformación de todo el sistema resulte aceptable. Por lo tanto, además de analizar las tensiones, debemos calcular el descenso del extremo del voladizo (la “flecha” ) para comprobar si su valor es el esperado. Si no lo es, habrá que aumentar la sección para incrementar la rigidez y rebajar así las deformaciones. Al observar un sector cualquiera de la ménsula anterior, y en él una sección J (figura 2), veremos que esa sección efectúa dos

movimientos: un descenso δδδδ y una rotación ϕϕϕϕ .

La tangente al eje, tJ , gira lo mismo que la sección, ya que los lados de los dos ángulos resultantes son siempre perpendiculares.

Por lo tanto, cuando hablemos de la rotación ϕϕϕϕ que se produce en un cierto punto, haremos referencia al giro de la tangente y al de la sección, indistintamente. Adoptaremos la siguiente convención de signos para los corrimientos de los puntos de una estructura:

Figura 1

Figura 2



2

t

ϕ

δδ

δ δ δ=

t

ϕ

ϕ

= ϕ ϕ

Posición final

Posición inicial

t

t

∆ϕ

ϕϕ

K

Elástica

Elástica

Los movimientos mencionados constituyen corrimientos totales, absolutos. Pero también puede interesar el desplazamiento relativo entre dos puntos de la estructura, o sea lo que se mueve uno respecto del otro. Consideremos dos secciones diferentes, C y D, de la barra anterior, y sus respectivos corrimientos (figura 3):

La diferencia entre los descensos de las dos secciones es el descenso relativo de ambas, y es designado como δδδδCD:

δδδδCD = δδδδD − − − − δδδδC

La diferencia entre los giros de las dos secciones es el giro relativo de ambas, y es designado como ϕϕϕϕCD: ϕϕϕϕCD = ϕϕϕϕD − − − − ϕϕϕϕC

Como puede deducirse fácilmente, el giro relativo de dos secciones resulta igual al ángulo que forman sus tangentes respectivas.

En estas expresiones, los δδδδ y los ϕϕϕϕ deben incorporarse con su correspondiente signo. Cuando la estructura presenta dos barras unidas por una rótula, en esa unión se producen dos rotaciones diferentes, a un lado y a otro, y entonces allí se tiene un giro relativo en un mismo punto. En la viga Gerber mostrada en la figura 4, por ejemplo, la elástica presenta una discontinuidad en el punto K, con dos tangentes diferentes, a izquierda y a derecha de la rótula. No puede hablarse del giro de la sección K, porque en ese lugar hay dos rotaciones distintas:

ϕϕϕϕKi

, inmediatamente a la izquierda de K

(valor negativo, en este caso)

ϕϕϕϕKd

, inmediatamente a la derecha de K

(valor positivo, en este caso) El giro relativo en K es el ángulo definido por las dos tangentes:

∆∆∆∆ϕϕϕϕK =

ϕϕϕϕKd

− − − − ϕϕϕϕKi

Como ϕϕϕϕKi es negativo, aquí el giro relativo resulta ser la suma de los valores absolutos de los dos giros totales.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

En este Tema 2 de nuestro curso estudiaremos cómo calcular los desplazamientos de los puntos de una estructura, una vez determinados los esfuerzos internos que se desarrollan en la misma. Llegaremos a obtener expresiones matemáticas donde el movimiento buscado resulta una función de las solicitaciones M, Q , N que se producen en la estructura. Aquí es necesario aclarar lo siguiente: Si bien para calcular el movimiento de un cierto punto nos servimos de los esfuerzos internos M, Q, N, previamente determinados, debemos recordar que esos esfuerzos no son la causa de ese desplazamiento. La causa son las deformaciones de la pieza. (Los esfuerzos M, Q, N, son simplemente una forma de visualizar el campo tensional que se produce en el interior de la estructura, es decir, una manera de agrupar las tensiones para facilitar su estudio. Y esas tensiones son generadas por las deformaciones; no son la causa de éstas). Por lo tanto, sería incorrecto afirmar que tal barra de un reticulado se alarga porque su esfuerzo axial es de tracción. Lo que sucede en realidad es lo opuesto: desarrolla tensiones de tracción porque se alarga. De la misma forma, si se habla de la flecha de una viga no debe decirse que es debida a los momentos flectores, porque éstos no generan esa flecha. Diremos más bien que ese descenso está en correspondencia con tales momentos, o que se produce cuando se tienen esos momentos.

Figura 3

Figura 4



3

ds

VISTA SECCION

h

2. DEFORMACIONES DE UN SECTOR DE BARRA EN EL PLANO

La figura siguiente muestra, en vista, parte de una barra perteneciente a una estructura plana. Se ha señalado en ella una rebanada de espesor diferencial, ds .

El material de esta pieza verifica la Ley de Hooke. En el cuadro que sigue se han indicado las deformaciones que presenta la rebanada en correspondencia con los esfuerzos internos M, Q y N que se producen en esa sección.

Convención de signos:

serán positivos cuando tengan el sentido indicado en las figuras anteriores, y negativos en caso contrario. Hay entonces una correspondencia entre el signo de cada esfuerzo interno y el de la deformación respectiva.

En cuanto a las deformaciones correspondientes a una variación de temperatura ∆ t :

Llamando

resulta, considerando que ∆ t varía en forma lineal a lo largo de la altura de la sección:

serán positivos cuando tengan el sentido indicado en las figuras anteriores, y negativos en caso contrario.



4

3. DEFORMACIONES DE UN SECTOR DE BARRA EN EL ESPACIO

La figura siguiente muestra parte de una barra perteneciente a una estructura espacial. Se ha señalado en ella una rebanada de espesor diferencial, ds . La terna de ejes x , y , z corresponde a los ejes locales de la sección, con origen en el baricentro de la misma. El eje x coincide con el eje de la barra (o con su tangente, si la misma es curva) , en tanto que y , z , son los ejes principales de la sección. El material de esta pieza verifica la Ley de Hooke. En el cuadro que sigue se han indicado las deformaciones que presenta la rebanada en correspondencia con los esfuerzos internos que se producen en esa sección.

Deformaciones correspondientes a una variación de temperatura: aplicar lo visto en el Punto 2.



5

BA

Diagrama Q

Diagrama M

J

JM

QJ

ds

A B

ϕd

ds

Q

ds

JM

J

=MJ

E I

δ mJQ

G A= κ

ds

ds

A BJ

dϕϕd

Debido a ϕd

mDebido a

dϕ.a

a

δ mδ

4. RELACION ENTRE DEFORMACIONES Y DESPLAZAMIENTOS

Cualquier estructura de barras, como la ménsula que muestra la figura 1, por ejemplo, puede ser considerada como una serie de infinitos segmentos de espesor diferencial ds , colocados uno a continuación del otro. La deformación de cada una de esas rebanadas incide en el corrimiento de los puntos de la estructura. El movimiento total del extremo B, por ejemplo, es el resultado de lo que sucede con ese conjunto de infinitos elementos yuxtapuestos que constituyen la barra, los cuales provocan ese movimiento al deformarse. Veamos a continuación cómo evaluar el aporte de cada rebanada al desplazamiento de B. En la figura 2 se han representado los diagramas de esfuerzos internos generados por la carga que actúa sobre la ménsula. Se ha señalado una de sus secciones, J, y sus respectivos valores de M y Q . Supongamos ahora que solamente la rebanada correspondiente a J es deformable; mientras que todas las restantes son perfectamente rígidas. Según hemos visto anteriormente, la rebanada situada en J se deformará como lo indica la figura 3: con un giro relativo calculable en

función del momento flector en ese punto, y con un desplazamiento trasversal de las dos caras proporcional al esfuerzo de corte en J . Las restantes rebanadas no tendrían deformación, según la hipótesis planteada. De manera que la barra AB se comportaría como se muestra en la figura 4.

El extremo B tendría entonces los siguientes movimientos:

� Un giro igual al de J : dϕ � Un descenso igual a la suma del

provocado por ese giro y el debido al movimiento trasversal en J :

dϕ .a + δm

Estos son los aportes de la deformación que sufre J al corrimiento del extremo B del voladizo. Como en la realidad todas las rebanadas que constituyen la barra se deforman, y no únicamente la que hemos considerado, todas producirán una contribución al giro y al descenso del punto B. Para obtener el movimiento completo de ese punto es necesario, entonces, sumar esos infinitos aportes; es decir, plantear una integral definida para calcular el giro completo de B, y otra para su descenso total. Ambas tendrán como dominio de integración la barra completa, o sea el intervalo AB. Previamente, será necesario expresar M , Q , E , I , etc., como funciones matemáticas de una coordenada s que recorra toda la estructura (figura 5). Las expresiones resultantes serán las siguientes:

B B

A A

B B B B

A A A A

B

mB

Md ds

E I

M Qd L s L s ds ds

E I GA

ϕ = ϕ =

δ = ϕ ( − ) + δ = ( − ) + κ

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

Figura 1

Figura 3

Figura 4

A B

L

s

Figura 5

Figura 2



6

A

Lo visto en este caso es aplicable a cualquier otra estructura donde interese hallar los desplazamientos de un punto cualquiera. Sólo es necesario que se hayan obtenido previamente las funciones matemáticas de sus esfuerzos internos M , Q , N , y además que estén ya definidos material y secciones. No siempre el camino indicado resulta tan simple como en el caso visto. A veces puede complicarse un poco, como se puede comprobar con los ejemplos que siguen. - - - Ejemplo 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo del giro y el descenso del punto B en la siguiente viga Gerber.

C

BA

Ds

Si queremos obtener aquí el movimiento del extremo B siguiendo el método aplicado anteriormente, nos encontramos con el siguiente inconveniente: En el punto C hay una rótula, y por lo tanto existe un giro finito (no diferencial) ∆ϕ

C , que no conocemos.

Allí se tiene una rebanada “especial” con un comportamiento diferente, ya que presenta una rotación ∆ϕ que no es infinitésima, cuyo valor es desconocido. Resulta necesario determinar correctamente ese valor, pues su aporte al movimiento buscado es muy importante, y no puede ser omitido. Para hallarlo, podemos hacer lo siguiente: calcular un corrimiento particular, de valor conocido de antemano, y en

cuya expresión matemática figure ese ∆ϕ como única incógnita. En este caso sabemos que el corrimiento vertical del punto D es nulo, por estar vinculado con un apoyo móvil. Planteamos entonces el descenso de ese punto, y llegamos a una ecuación donde todos los términos resultan calculables, excepto el giro relativo que nos interesa:

C D D

A C AmD C Cd AD s CD d AD s 0 =δ = ϕ ( − ) + ∆ϕ + ϕ ( − ) + δ = → ∆ϕ∫ ∫ ∫ K

Ahora sí estamos en condiciones de obtener los desplazamientos que buscábamos:

C D B

A C D

C D B

A C D

B C

B C

d d d

CB

ϕ = ϕ + ∆ϕ + ϕ + ϕ =

δ = + ∆ϕ + + + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

K

K K K K K

- - - Ejemplo 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo del giro y el descenso del punto B en la siguiente viga con voladizo.

BA

Ds

A diferencia de la viga Gerber anterior, en el extremo inicial de esta barra no hay un empotramiento, sino un apoyo fijo. Por lo tanto, en ese punto se producirá una rotación ϕ

A de la tangente a la barra; rotación de valor

finito que incidirá mucho al calcular el desplazamiento de B, y que será necesario conocer. Se trata de una situación similar a la del ejemplo anterior: hace falta calcular previamente otro corrimiento para poder obtener el que realmente interesa. Si miramos el vínculo del punto A como un empotramiento común, al cual llega una barra con una articulación en su extremo, veremos por qué este caso es parecido al otro : La barra presenta una primera rebanada con posibilidad de tener giros finitos, no infinitésimos. Es lo que sucedía con el punto C de la viga Gerber anterior: hay una rebanada “especial”, distinta de las demás, y por lo tanto es necesario determinar la rotación entre las dos caras de la misma.



7

A B

DC

Puesto que la cara izquierda no puede moverse, y sólo la derecha lo hace, el giro relativo de esa rebanada es simplemente el giro absoluto de la cara derecha, o sea de la tangente a la barra en ese lugar, ϕ

A.

Sabiendo que el corrimiento vertical del punto D es nulo, planteamos:

D D

A AmD A AAD d AD s 0 = δ = ϕ + ϕ ( − ) + δ = → ϕ∫ ∫ K

Y ahora empleamos este resultado para obtener

D B

A D

D B

A D

B A

B A

d d

AB

ϕ = ϕ + ϕ + ϕ =

δ = ϕ + + + =

∫ ∫

∫ ∫

K

K K K K

- - - Ejemplo 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo del giro y el descenso del punto B en la siguiente viga con dos voladizos. En este caso, el extremo izquierdo de la estructura no está vinculado, de modo que tendrá un descenso y una rotación que habrá que calcular previamente. Para ello podemos plantear estas dos ecuaciones, donde aparecen ambas magnitudes como únicas incógnitas: Descenso de C = 0 Descenso de D = 0 Pero en vez de seguir este camino, resulta más práctico considerar el sector CB, en vez de la estructura completa; o sea tomar como inicio del circuito al punto C, no al extremo A. De esa forma, sólo resultará necesario calcular previamente un solo valor, en vez de dos: la rotación en C. Como el descenso de ese punto es nulo, no requiere ninguna ecuación adicional para ser determinado. Por lo tanto, podemos resolver este problema repitiendo exactamente el camino seguido en el ejemplo 2, tomando sólo el sector CB como conjunto de rebanadas deformables. El voladizo AC, aunque no figure en forma explícita, interviene también, porque sus cargas inciden en las reacciones y en los esfuerzos internos de toda la estructura; y por lo tanto influye en el valor de la rotación que se produce en C. Observamos, sin embargo, que con este planteo las deformaciones de sus rebanadas no figuran en las integrales que deben resolverse. ¿Es correcto esto? Sí, lo es: el voladizo AC actúa como acción mecánica sobre el sistema, generando determinadas fuerzas que participan del equilibrio total; pero no interesa si se deforma mucho o poco, al tiempo de definir cómo es la elástica del resto de la estructura. Su curvatura será grande o pequeña, según su rigidez; pero esto no tiene consecuencias en los movimientos de los puntos situados a la derecha de C.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

El procedimiento de cálculo expuesto, basado en consideraciones físicas y geométricas, permite comprender bien cuál es el comportamiento del sistema, en lo atinente a deformaciones y desplazamientos. Para aplicarlo es necesario recorrer la estructura a lo largo de su eje, identificar las situaciones particulares que se encuentran (articulaciones, vínculos exteriores), definir qué sucede con los movimientos de esos puntos, prestar atención al sentido de los desplazamientos para definir los signos de los aportes, etc. Como requiere observar la respuesta física de la estructura a la actuación de las cargas, y visualizar los cambios geométricos de sus distintas partes, lleva a una comprensión correcta del problema real. Sin embargo, resulta poco práctico como procedimiento de cálculo. Por esa razón, cuando se desea calcular desplazamientos en una estructura, se prefiere emplear algún otro método. En lo que sigue estudiaremos uno de ellos, apto para cualquier tipo de estructura.



8

B

s

A K

dsK'

s ,

mδ

δ

d , dϕ ϕ

t

δst

AB

A

B

Z

5 . EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES PARA SISTEMAS DEFORMABLES

Conocemos ya el Principio de los Trabajos Virtuales para sistemas rígidos, un poderoso recurso que permite estudiar situaciones de equilibrio. Veremos ahora este Principio aplicado a sistemas deformables, donde se trata un tema diferente: la relación entre el trabajo que realizan las fuerzas externas actuantes en una estructura y el trabajo interno desarrollado en la misma. Vamos a ocuparnos brevemente de esta otra versión del Principio, aplicándola al caso concreto de las estructuras de barras, que es el ámbito que nos interesa. Consideremos la estructura representada en la figura 1, en la cual actúa un cierto estado de cargas. El material y las secciones de sus diferentes elementos han sido ya adoptados.

A

B

PP

P

s

K

M = M(s)

Q = Q(s)

N = N(s)

K

ds

En la figura 2 se ha representado una rebanada, la correspondiente al punto K, y sus respectivos esfuerzos internos M, Q y N. Esos esfuerzos están expresados como funciones matemáticas de la coordenada s que define la posición del punto K considerado. Esta estructura se encuentra en equilibrio, tanto externo (cargas actuantes y reacciones en los vínculos) como interno (cada porción se encuentra equilibrada). Llamaremos ESTADO DE SOLICITACION ( I ) a la situación en que se encuentra esta estructura. Lo que caracteriza a este Estado es el EQUILIBRIO. Y ahora consideremos la misma estructura, pero en una situación diferente: con un estado de deformación producido por alguna causa, por ejemplo un sistema de cargas cualquiera, o una variación de temperatura. Sin que interese cuál es esa causa, lo que importa aquí es que esas deformaciones son pequeñas, posibles y perfectamente compatibles con los vínculos, externos e internos (figura 3).

El punto K anteriormente considerado pasa a una nueva posición, K’. Y la rebanada correspondiente, por su parte, se deforma como muestra la figura 4.

Llamaremos ESTADO DE DEFORMACION ( II ) a la nueva situación en que se encuentra esta estructura. Lo que caracteriza a este Estado es la COMPATIBILIDAD DE LAS DEFORMACIONES.

La compatibilidad implica que las deformaciones respetan todos los vínculos, tanto exteriores como interiores. Así, las elásticas representadas en la figura 5 no cumplen esta condición: la de la izquierda porque muestra al punto B ascendiendo, cosa que el apoyo móvil no permite; la otra porque presenta dos tangentes en Z, como si allí existiera una rótula, cuando en la realidad no la hay. En consecuencia, ninguna de las dos deformadas de la figura 5 serían aceptables como Estado II.

Figura 1

Figura 5

Figura 2

Figura 3 Figura 4



9

P

EE'

E

E'

E

E"A

B

A

B

Podemos evaluar el trabajo que realizarían las fuerzas actuantes en I al moverse sus respectivos puntos de aplicación como lo hacen en II . Por supuesto, este trabajo no sería real, sino virtual (o sea, imaginado), ya que estaríamos aunando dos situaciones distintas de la estructura, que no guardan ninguna relación entre sí. Llamaremos Trabajo Externo (Te) a ese trabajo virtual. En él intervienen todas las fuerzas activas del Estado I (pero no las reactivas, pues sus puntos de aplicación no se mueven si los vínculos son perfectos). Por lo tanto:

del Estado I

IIITe P .↓

= δ

↑∑

del Estado II La figura 6 aclara cómo determinar el corrimiento que acompaña a una de las fuerzas en el término de la sumatoria que le corresponde.

P1 está aplicada en el punto E. En el Estado II este punto se desplaza a una nueva posición E’, de modo que su

corrimiento total es el vector EE’. La componente de este desplazamiento según las dirección de la carga P1 es EE” . A ese movimiento se lo llama “desplazamiento coordinado con esa fuerza”. (Diremos que una fuerza y un desplazamiento son coordinados cuando sus vectores respectivos tienen el mismo

punto de aplicación y la misma dirección. Ello no implica ninguna relación de causalidad entre ambos, ni

coexistencia en el tiempo.)

ESTADO I ESTADO II

Por lo tanto. el trabajo virtual que realiza esa fuerza es P1.EE”. Es negativo en este caso, ya que los sentidos de la

fuerza y del corrimiento son opuestos. Este es el aporte de esa carga al trabajo virtual Te . Ahora consideremos nuevamente la rebanada K. Calculemos el trabajo que desarrollarían sus esfuerzos internos en el estado de solicitación (figura 2) si se tomaran sus deformaciones en el otro estado (figura 4). También aquí ese trabajo es virtual, ya que en la realidad no se produce, debido a que ambos estados son diferentes e independientes. En realidad, en el Estado II la rebanada se desplaza, además de deformarse; pero en ese desplazamiento como rígido, el trabajo resultante es nulo. (Puesto que la rebanada está en equilibrio, según el Principio de los Trabajos Virtuales para sistemas rígidos, sus fuerzas no producen trabajo durante ese movimiento.) Por lo tanto, el trabajo virtual en esa rebanada se debe solamente a su deformación:

Solicitaciones del Estado I

tt dTi M d Q.dm N. s M.d N. s.

↓↓ ↓ ↓ ↓= ϕ + + δ + ϕ + δ

↑ ↑↑↑↑

Deformaciones del Estado II

Y el trabajo interno total se obtiene sumando los aportes de las infinitas rebanadas de toda la estructura:

Solicitaciones del Estado I

Deformaciones del Estado II

El Principio de los Trabajos Virtuales para sistemas deformables establece que el trabajo externo Te es igual al

interno Ti , y puede ser enunciado de esta forma:

Dado un cuerpo deformable en equilibrio bajo un cierto estado de solicitación I , si se considera un estado de

deformación compatible II , se verifica que el trabajo virtual de las fuerzas exteriores de I a través de los

desplazamientos coordinados de II es igual al trabajo virtual realizado por las solicitaciones internas de I a lo

largo de las deformaciones correspondientes producidas en II .

Figura 6

[ ]B

ttA

Ti M.d Q.dm N. s M.d N. s ↓↓

ϕ= + + δ + ϕ + δ ↑ ↑∫



10

s

P

A

q

J

B

∆ t i

t∆ e

d

s

A

B

1 kN

J

d

Es decir:

Fuerzas del Estado I Solicitaciones del Estado I

Desplaz. del Estado II Deformaciones del Estado II

Aquí hemos presentado este Principio pensando en sistemas de barras; pero en realidad su campo de aplicación es mucho más general, pues no está limitado a ese tipo de estructuras.

6 . EL METODO DE LA CARGA VIRTUAL UNITARIA

Este procedimiento, que permite calcular desplazamientos lineales o angulares en cualquier punto de una estructura, se basa en el Principio de los Trabajos Virtuales para sistemas deformables. Lo aplicaremos en sistemas de barras cuyo material sigue la Ley de Hooke. La figura 1 representa un pórtico sometido a la acción de

cargas y a variaciones de temperatura ∆te, en el exterior, y

∆t i en el interior. (La diferencia entre estos dos últimos valores se debe a que la estructura encierra un recinto climatizado, y en consecuencia la variación térmica en el espacio interior puede ser controlada). Este pórtico ya ha sido analizado, y se conocen sus esfuerzos internos M, Q, N, expresados como funciones de una coordenada s adoptada previamente. Se han definido también las secciones y el material de sus distintas barras. Lo que interesa ahora es conocer cuál es el desplazamiento de uno de sus puntos, J , en una cierta dirección d prefijada. Para obtener ese corrimiento plantearemos un sistema auxiliar, consistente en la misma estructura real (con su geometría, sus vínculos, etc.), pero con un nuevo estado de cargas elegido de esta manera: una sola fuerza, de valor unitario, coordinada con el desplazamiento buscado, es decir actuando en el punto J según la dirección d (figura 2). Este segundo sistema es virtual, ya que no existe en la realidad; solamente lo imaginamos. La carga unitaria propuesta producirá esfuerzos internos que designaremos

, , M Q N

para diferenciarlos de los generados en el sistema real. A todos los efectos que se producen en el sistema virtual los señalaremos con un guión arriba de la letra correspondiente, para distinguirlos de los efectos homólogos que se tienen en el sistema real. Todos ellos pueden expresarse como funciones del parámetro s . Ahora aplicamos de esta manera el Principio de los Trabajos Virtuales: Tomamos el sistema virtual propuesto y lo consideramos como un ESTADO DE SOLICITACIÓN. Esto es válido, porque ese sistema está en equilibrio; y esa era la condición que debía cumplir el Estado I.

Acciones exteriores P : 1 kN en el punto J

Esfuerzos internos: , , M Q N (funciones de la coordenada s )

Al sistema real, por su parte, lo tomaremos como ESTADO DE DEFORMACIÓN. Esto es válido, porque cumple la condición de compatibilidad (estamos seguros de que sus deformaciones son compatibles, porque son las que se producen en la realidad, respetando los vínculos; si fueran imaginadas, habría que demostrar la compatibilidad, pero eso no es necesario cuando se toman las reales).

Desplazamientos: δ , ϕ

Deformaciones: dϕ , dm , δs (asociadas a los esfuerzos M , Q , N )

dϕ t , δs t (asociadas a la variación de temperatura)

Figura 1

IIITe P .↓

= δ

↑∑

Figura 2

[ ]B

ttA

Ti M. Q.dm N. s M.d N. s d↓↓

ϕ ϕ= + + δ + + δ ↑↑∫



11

J

A

s B

1 kNm

Aplicando el Principio en esta forma, resulta, al igualar Trabajo externo y Trabajo interno: B

A

dJ

1 kN. M.d Q.dm N. s M.d N. stt δ = ϕ + + δ + ϕ + δ ∫

Puesto que el material sigue la Ley de Hooke, queda:

B

G

A

dJ

M ds Q ds N ds t ts1 kN. M Q N M. . ds N . t .dst t

E I GA EA h

iκ ∆ − ∆ δ = + + + α + . α ∆ ∫

Para calcular estas integrales deben expresarse todos las magnitudes que intervienen como funciones matemáticas de la variable s . Se trata de integrales definidas cuyo dominio de integración es la estructura completa. Al resolverlas, nos queda en el segundo miembro un valor numérico que, luego de ser dividido por 1 kN, proporciona directamente el valor del desplazamiento buscado. La elección del sistema virtual, con una única carga coordinada con ese corrimiento, permite que sea el único que figure en la expresión, con exclusión de todos los demás. Si el segundo miembro resulta una cantidad positiva, el trabajo expresado por el primer miembro es también positivo, y en consecuencia el movimiento tiene el mismo sentido que la carga unitaria propuesta. Por el contrario, si el segundo miembro es un valor negativo, el sentido del corrimiento es el opuesto al que presenta la carga del sistema virtual. En consecuencia, no tiene importancia la orientación que se asigne a la fuerza unitaria, según su recta de acción, o sea si se dirige hacia un extremo de esa recta o hacia el opuesto; ya que, en ambos casos, el signo del resultado definirá el sentido correcto del movimiento del punto según esa dirección. El procedimiento seguido, llamado Método de la Carga Virtual Unitaria, permite determinar en forma directa el movimiento de un punto cualquiera en una dirección previamente establecida. ¿Cómo emplearlo si se desea el corrimiento total de ese punto, pero se ignora la dirección del mismo? No se sabe cómo disponer la fuerza unitaria, al plantear el sistema virtual. El problema se resuelve fácilmente aplicando el método dos veces, en dos pasos sucesivos: primero empleando un sistema virtual con una carga horizontal, para determinar cuánto se desplaza el punto horizontalmente; y después con otro sistema virtual distinto, ahora con una carga vertical, lo que permitirá obtener cuánto se desplaza verticalmente (figura 3).

J

A

s B

1 kN

J

s

A

B

1 kN

Sumando vectorialmente ambos movimientos se tiene el desplazamiento lineal completo del punto. Si lo que interesa es la rotación de la sección J, no su desplazamiento lineal, simplemente se tiene que proponer el sistema virtual con un momento unitario allí, en vez de una fuerza (figura 4), ya que la acción coordinada con un giro es una cupla.

El trabajo externo es el que realizaría la cupla propuesta a través de la rotación de la sección J. En la expresión matemática anterior se modifica sólo el primer miembro; el otro sigue vigente:

B

J JA

kNm1 . ϕ = → ϕ =∫ L L

Figura 4

Figura 3



12

A B

C D

OBSERVACIONES.

1. Cada nuevo desplazamiento que se quiera calcular obligará a plantear otro sistema virtual, con la carga coordinada que corresponda. El sistema real es siempre el mismo; pero habrá tantos sistemas virtuales como corrimientos deban determinarse.

2. En el caso de las estructuras espaciales, donde los esfuerzos internos son seis, en vez de tres, la expresión del

trabajo interno resulta más larga:

y zty zt

y zt

y zy zzy

dJ

términos con t

M ds M ds M ds1 kN. M M M

G I E I E Ie e e

Q ds Q ds N dsQ NQ

GA GA EAee e

∆

δ = + + +

κκ++ + +

∫ ∫ ∫

∫∫ ∫

En esta expresión la letra e que figura junto a cada símbolo integral está indicando que el dominio de la integral definida es la estructura completa. 3. Salvo casos excepcionales, las deformaciones correspondientes al esfuerzo de corte y al esfuerzo normal

generan aportes mucho menos importantes que las de flexión y torsión. Eso significa que las integrales en que figuran Q y N dan valores que representan un porcentaje muy bajo del total. Por ese motivo, para simplificar el cálculo suele admitirse que se obtenga el corrimiento suprimiendo esas integrales del segundo miembro. Ello implica tomar el resultado de las mismas igual a cero, como si no hubiera deformaciones de cizallamiento ni axiales. Por supuesto, al hacer esto se comete un error; pero ese error resulta aceptable porque no es relevante la modificación del valor final. Así se trabaja, comúnmente, en el caso de vigas simples, ménsulas, vigas Gerber, pórticos, arcos, etc. Es esas estructuras se tienen en cuenta solamente las deformaciones relacionadas con momentos. Claro que, como quedó dicho, hay casos excepcionales donde esta simplificación es inaceptable. Eso sucede cuando las deformaciones de corte o de normal producen aportes que no pueden ser despreciados al compararlos con los de flexión. Por ejemplo, cuando las cargas actúan generando momentos de valores bajos, pero cortes y normales importantes. En la figura 5 se muestra uno de estos casos: la posición de la carga producirá flexiones muy bajas (observar que si estuviera aplicada justo en la esquina C, no se tendría flexión, sino sólo compresión en el poste izquierdo). Por lo tanto, las deformaciones correspondientes a M serán poco importantes; de modo que aquí no sería lícito omitir, a priori, las integrales en que figuran Q y N, porque sus resultados pueden llegar a superar al de la integral de los momentos.

4. En la práctica, el cálculo puede simplificarse notablemente recurriendo a tablas de integración preparadas con este objeto. Trabajando con ellas, no es necesario expresar los esfuerzos internos, o las deformaciones por variación térmica, como funciones matemáticas de una cierta variable, pues sólo se requiere tener trazados los diagramas respectivos. Y, lo que es más importante, se evita recurrir a los procedimientos del análisis matemático para resolver integrales. Una tabla de este tipo suministra el valor de la integral definida del producto de dos funciones f1 y f2 , en un entorno de longitud unitaria :

Toda la información que se requiere, para definir esas funciones, es la forma de sus diagramas respectivos (rectangular, triangular, etc.) y además uno o dos valores específicos (en los extremos del segmento, por ejemplo); con eso es suficiente.

La estructura se subdivide en tantos sectores como sea necesario, para que en cada uno de ellos pueda

utilizarse la tabla.

Figura 5

1 2f .f .ds∫1

0



13

RESULTADOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA

0.5

0.5

α β

βα

α β

0.5 0.5

αβ

0.5

0.5

Observaciones:

1. La tabla considera que el entorno en que se toman las funciones tiene una longitud unitaria. Si la longitud real del segmento es L, el resultado deberá amplificarse L veces.

2. Signo del resultado: Positivo si los dos diagramas tienen sus ordenadas del mismo lado de la línea de referencia. Negativo en caso contrario.

3. Los diagramas curvos representan parábolas cuadráticas. En las últimas cuatro filas de la tabla el diagrama representa medio sector parabólico, y la tangente a la curva

es horizontal:

f 1.f 2 .ds∫1

0

Por lo tanto, no puede emplearse en un caso como éste:



14

BA

Diagrama M

q

A B

1 kN

L

Diagrama M

L

1 kN.L

P

P.Lq.L

2

2

δ =B . IE

- - - Ejemplo 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Cálculo del descenso del punto B de la siguiente ménsula. La estructura ya ha sido dimensionada con una misma sección para toda la barra. Por lo tanto E , I , son valores constantes. Este es el sistema que emplearemos como Estado de Deformación. Planteamos el siguiente sistema virtual, para utilizarlo como Estado de Solicitación:

Considerando solamente las deformaciones por flexión:

Vamos a utilizar la tabla anterior para obtener el resultado de la integración. En este caso, el diagrama M del sistema real consiste en un sector parabólico cuya tangente en B no es horizontal. Esto puede deducirse observando que el esfuerzo de corte en ese punto no es igual a cero (su valor es igual a P); y siendo la función Q la derivada de M, se concluye que allí la pendiente de la tangente a la curva M no es nula. Por lo tanto, según la observación 3 que acompaña a la tabla que vamos a utilizar, es necesario separar el diagrama del sistema real en dos partes, de esta manera:

P.L

2

2

q.L

P.L

2

2

q.L= +M M1 M2

M2 representa el momento debido sólo a la carga repartida, y su diagrama es efectivamente medio sector parabólico. Por lo tanto está contemplado en uno de los casos tabulados. Tomandoambos diagramas parciales por separado, entramos dos veces a la tabla para integrar cada uno de ellos con el diagrama del sistema virtual:

M1

M

M2

M

Se trabaja con los valores absolutos de los momentos; el signo se define observando si los dos diagramas que se integran están o no del mismo lado de la línea de referencia, como ya se indicó. En este caso los dos resultados parciales son positivos. Haciendo la suma: Este resultado debe ser multiplicado por L, que es la longitud de la barra. Queda entonces, después de suprimir ( 1 kN) en ambos miembros de la igualdad : El signo positivo del resultado indica que el sentido del corrimiento es hacia abajo, como fue orientada la carga virtual utilizada.

B B

A AB

M ds 11 kN. M M.M.ds

E I E Iδ = =∫ ∫



15

B=

E I.ϕ

Diagrama M

q

A BK

u v

Diagrama M

1 kN

KA B

KM

KM

vu

1 kNm

A

Diagrama M

L

1 kNmB

- - - Ejemplo 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo del giro en el extremo libre de la ménsula del ejemplo anterior.

Debemos plantear otro sistema virtual, y obtener su correspondiente diagrama de momentos para ser integrado con el mismo diagrama M anterior. Nuevo sistema virtual:

Considerando solamente las deformaciones por flexión:

B B

A AB

M ds 11 kNm. M M.M.ds

E I E I= =ϕ ∫ ∫

Trabajando, igual que en el ejemplo anterior, con los diagramas parciales de M :

M1

M

M2

M

También en este caso los dos resultados parciales son positivos. Haciendo la suma:

Este resultado debe multiplicarse por L, que es la longitud de la barra. Queda entonces: El signo positivo del resultado indica que el sentido del giro es horario, coincidente con el de la cupla virtual utilizada. - - - Ejemplo 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo del descenso del punto K de la siguiente viga. E , I constantes Como en los ejemplos anteriores, calcularemos el desplazamiento que nos interesa considerando únicamente las deformaciones por flexión. Proponemos este sistema virtual: Dividimos la viga en dos sectores, AK y KB, y trabajamos con ellos por separado. En el primero debemos descomponer el diagrama del sistema real en dos partes:

q.u

8

2M

8

2q.u K

KM

uu u

M

=

M2M1

+

, , M Q N



16

M

M1

Diagrama M

Diagrama d

1 kN.L

L = u+v

u

1 kN

BA

A B

v

t∆

tϕ

= 0 en cara superior

0 en cara inferiort∆ >

Altura de la sección, en A : h1

Altura de la sección, en B : h2

= α t0 ∆ t

hds

α dsh2

t∆t

α t∆t h1

ds ++

1 kN.v

Esas dos partes deben integrarse con el triángulo que presenta el sistema virtual en AK. Entramos dos veces a la tabla para integrar cada una de ellas con el diagrama del sistema virtual:

M

M1

M

M2

Como la tabla no incluye una columna para diagramas triangulares con el vértice a la izquierda, empleamos la que presenta el vértice a la derecha, como si miráramos el sector AK desde atrás. Sumando los dos aportes, se tiene:

KK

A este resultado lo multiplicamos por la longitud del segmento, u . Ahora debemos considerar el aporte del sector KB : A este resultado lo multiplicamos por la longitud del segmento, v . Todos los valores son positivos, ya que siempre los diagramas integrados tenían sus ordenadas del mismo lado de la línea de referencia. El valor final del corrimiento buscado es

E I.Kδ = K K

K

Como el resultado es positivo, el sentido del corrimiento es hacia abajo, ya que así fue orientada la carga virtual utilizada. - - - Ejemplo 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Cálculo del descenso del punto B de la siguiente ménsula, sometida a un aumento de temperatura en su cara inferior. La sección es de altura variable en un sector, y constante en el resto: El diagrama de giros debidos a la temperatura se representa del lado de las fibras que se dilatan más: en este caso, desde la línea de referencia hacia abajo.

Se tiene también un diagrama de deformaciones axiales δs t , que no ha sido representado porque no va a ser

necesario para obtener el corrimiento buscado. Planteamos el sistema virtual correspondiente al movimiento que interesa:



17

M M

tϕd dϕ t

dsh1t∆ tα dst

α t∆h2

δ =B

dsh1t∆ tα dstα t∆

h2

h2

∆ tαt dsα t∆

t h1ds

J

d

∆ t

J

d

Empleando la tabla de integración:

(Observar que, en el caso de los diagramas trapeciales, no interesa cuál de los dos extremos presenta la ordenada máxima). Los dos resultados obtenidos son negativos, ya que los diagramas que participan tienen sus ordenadas de distinto lado de la línea de referencia. Multiplicando cada uno de ellos por la longitud del segmento respectivo, y adicionándolos, queda: Por último resulta, luego de eliminar (1 kN) en ambos miembros de la igualdad: El signo del resultado indica que el desplazamiento calculado es hacia arriba, es decir tiene sentido contrario al de la carga unitaria propuesta en el sistema virtual. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Veamos ahora cómo se aplica el método de la Carga Virtual Unitaria en el caso particular de las estructuras reticuladas o mixtas. Como sabemos, en los reticulados ideales se desarrollan solamente esfuerzos axiales; no hay momentos flectores o torsores, ni esfuerzos de corte. De manera que la expresión del trabajo interno se simplifica apreciablemente, ya que se eliminan las integrales en que figuran M y Q, quedando solamente las correspondientes a las deformaciones axiales:

dJ

e e

N dsN1 kN. . t .dsN. tEA

δ = + α ∆∫ ∫

Y además, como veremos, estas integrales pueden ser sustituidas por simples sumatorias. En la figura 6 se muestra una estructura reticulada, sometida a un conjunto de cargas P y a una

variación térmica ∆t . Esta estructura ya ha sido calculada y dimensionada, y por lo tanto se conocen los esfuerzos axiales S de todas las barras, y también la sección y el material de cada una de ellas. Interesa determinar el movimiento del nudo J en la dirección d . Planteamos entonces un sistema virtual, tomando al reticulado y cargándolo con una única fuerza de 1 kN en el nudo J, según esa dirección, como se puede ver en la figura 7. Resolviendo el reticulado, hallamos los esfuerzos axiales en cada barra, a los que llamaremos , para no confundirlos con los del sistema real. En la expresión del trabajo interno, el dominio es toda la estructura, como siempre. Podemos particionarlo en tantos subdominios como barras haya en el reticulado.

S

Figura 6

Figura 7



18

A B

y

xM

y ' dx C1 , giro de la tangenteE.I

= − + = ϕ∫

y y' d x C2 , ecuación de la elástica= + = δ∫

Llamando b a la cantidad total de barras existentes:

En cada término de la sumatoria, L es la longitud de la barra respectiva. Cada término de la sumatoria representa el aporte de una barra del conjunto al trabajo interno total. Los extremos de integración son el inicio y el final de la barra. Teniendo en cuenta que en cada barra el esfuerzo axial es constante en toda su longitud, tanto en el sistema real como en el virtual, y que además la sección y el material no varían a lo largo de esa longitud, podemos escribir la expresión anterior de esta manera:

L Lb

i 1 0 0

N.NTi ds . t . d sN. t

EA i=

= + α ∆

∫ ∫∑

Las integrales que han quedado representan la longitud L de la barra. Por lo tanto: b

i 1

N.N .Ti L . t . LN. tEA i

=

= + α ∆

∑

Los valores N que figuran dentro del corchete son los esfuerzos axiales S que se obtienen al resolver el reticulado. Haciendo el reemplazo, al igualar el trabajo externo con el interno se llega a :

Esta es la expresión genérica del método de la Carga virtual unitaria cuando se aplica a sistemas reticulados ideales. Para el caso, muy común, de estructuras reticuladas con una misma sección en todas sus barras, y que solamente reciben la acción de cargas, sin variaciones de temperatura:

b

dJ

i 1

11 kN. S.S..L

EA i=

δ = ∑

Cuando la estructura que se analiza es mixta, con algunos sectores de alma llena y otros que actúan solamente

con esfuerzo axial, el trabajo interno se obtiene sumando algebraicamente las integrales de M, Q, N de los tramos

de alma llena y las sumatorias de los sectores reticulados.

7 . ELASTICAS

Si se necesita determinar numéricamente los corrimientos de los puntos de una viga simple, o de un voladizo, se puede recurrir a la ecuación de la elástica y = f (x) , donde x indica la abscisa de un punto genérico (figura 1).

Partiendo de la ecuación diferencial M

y"E.I

= − (válida cuando se consideran sólo las deformaciones por

flexión), al integrar se obtiene: Integrando nuevamente: Las constantes de integración C1 , C2 , se hallan en base a las condiciones de borde existentes. En la tabla siguiente se tiene la ecuación de la elástica para los casos más comunes de cargas en vigas simples de sección constante, determinada en base a las deformaciones por flexión, despreciando las de corte. El coeficiente

ω permite obtener rápidamente los valores en puntos situados en los décimos de la luz.

Figura 1

b

dJ

i 1

S.S .1 kN. L . t .LS. tEA i

=

δ = + α ∆

∑

b L L

i 1 0 0

N ds N dsTi N N. . t . d s N . t .d sN.t t

EA EA ie e =

= + α ∆ = + α ∆

∫ ∫ ∫ ∫∑



19

ELASTICAS DE VIGAS SIMPLES DE SECCION CONSTANTE



20

A B

C D E

A B

C D

Diagrama M

Elástica

δ δ δ δ

El empleo de la ecuación de la elástica sólo resulta práctico en el caso de vigas simples con estados de carga muy sencillos, como los que presenta la tabla anterior. De lo contrario resulta excesivamente laborioso. Pensemos por ejemplo en una viga con varias cargas concentradas, como la que muestra la figura 2. Acá habrá cuatro expresiones distintas de la ecuación de la elástica: cada uno de los sectores AC , CD , DE , EB , tendrá su propia ecuación. Será necesario determinar ocho constantes de integración, a partir de otras tantas condiciones de borde. Es posible descomponer el estado de cargas en tres casos con una sola fuerza cada uno, y emplear la tabla anterior tres veces, para después combinar los resultados aplicando Superposición de Efectos. Cuando la estructura no es una viga, sino un arco o un pórtico, los corrimientos pueden producirse en cualquier dirección, no necesariamente vertical, y las funciones matemáticas se complican cada vez más. En tales casos la ecuación de la elástica no resulta un camino adecuado. Por ello es necesario recurrir a otros procedimientos más convenientes para obtener la deformada en una estructura cualquiera. Podría construirse la elástica por puntos, recurriendo al método de la carga virtual unitaria, representando los valores obtenidos en un diagrama y uniendo después las ordenadas con una curva; pero como este método permite calcular un solo desplazamiento por vez, no resulta práctico para analizar muchos puntos. Una buena solución consiste en emplearlo en forma combinada con la ecuación de la elástica de vigas simples, de esta manera: 1. Se subdivide la estructura en barras rectas continuas (sin articulaciones en su interior; cualquier rótula se

tomará como frontera entre dos sectores). 2. Se calculan los desplazamientos de los extremos de las barras por el método de la Carga Virtual Unitaria.

Queda así definido el movimiento de cada sector como pieza rígida. 3. Se obtienen, mediante la ecuación de la elástica, los movimientos de los puntos de cada barra, originados en

la curvatura de la pieza. 4. Se suman algebraicamente los desplazamientos homólogos obtenidos en los dos pasos anteriores, y así se

determinan los corrimientos totales. Por ejemplo, en el caso del pórtico representado en la figura 3, las barras que se consideran son AC, CD y DB. Ya se ha trazado el diagrama de momentos flectores, y se han dimensionado las secciones. Queremos ahora trazar correctamente la elástica correspondiente, que se muestra representada en forma aproximada en la misma figura 3. Por tratarse de una estructura aporticada, únicamente vamos a tener en cuenta las deformaciones por flexión. Empleando el método de la carga virtual unitaria determinamos los desplazamientos lineales de los puntos C , D y B. Planteamos, separadamente, los respectivos sistemas virtuales que necesitamos para hallar esos corrimientos:

Figura 2

Figura 3

Figura 4



21

Escala para los :

Escala para la barra:

δ ... mm

1 cm

... m

1 cm

C

A

movimiento como rígido

curvatura

Elástica trasversal

δ

δ δ δy

δ

El diagrama de momentos de cada uno de ellos se integra con el correspondiente a la carga exterior (figura 3). Como estamos despreciando las deformaciones axiales, no es necesario calcular el corrimiento horizontal del punto D, porque resulta igual al de C. Representaremos la elástica de cada barra por separado, indicando mediante ordenadas los movimientos perpendiculares al eje de la pieza, empleando una escala diferente de la usada para dibujar la barra. Los corrimientos paralelos al eje son todos iguales, porque estamos considerando que las barras son inextensibles, sin deformación axial. En cada barra representamos por separado los movimientos de sus puntos como rígido, resultantes de los desplazamientos de sus extremos, y los relacionados con la curvatura. Para el travesaño CD :

C D

δδ debidos al movimiento de la barra

calculables con los momentos

δ

debidos a la curvatura de la barra,δ

Diagrama suma:

Escala para la barra:... m

1 cm

Escala para los :... mm

1 cmδ

como pieza rígida

elástica vertical del travesaño

El empleo de dos escalas diferentes hace que los ángulos ϕ no puedan ser medidos en el diagrama. Para las barras inclinadas se trabaja en la misma forma:

El corrimiento se obtiene sumando vectorialmente . (En este caso el movimiento total del punto C es perpendicular al eje de la pieza, porque el extremo A es fijo, y la barra se supone inextensible. De no ser así, habría que calcular la componente de según la normal a la recta AC).

8 . TRAZADO DE ELASTICAS APROXIMADAS

Por lo general, el análisis de una estructura no requiere la determinación exacta de la elástica: suele ser suficiente el cálculo de algún desplazamiento que permita evaluar el orden de magnitud de las deformaciones del conjunto. Así, por ejemplo, en una viga interesará conocer la flecha máxima que se produce, para establecer si se encuentra o no por debajo del valor admisible; no será necesario calcular el resto de los desplazamientos. Pero, si bien la evaluación cuantitativa de la elástica suele ser prescindible en el análisis, la determinación cualitativa es siempre importante, ya que ayuda a comprender el comportamiento de la estructura, o sea a visualizar cuáles son los mecanismos resistivos que pone en juego para cumplir su cometido. Por esa razón un buen proyectista de estructuras debe poseer habilidad para determinar la forma de la elástica, a partir de los diagramas de esfuerzos internos, sin efectuar ningún cálculo específico.

Figura 6

Figura 5



22

Elástica

Diagrama M

∆ϕ

Diagrama M

Elástica

Diagrama M

Elástica

β1 2β β1 2β

Elástica

A continuación veremos algunos criterios para trazar elásticas a mano alzada, en forma aproximada y sin emplear escalas.

1 - Prestar la debida atención a los puntos vinculados, recordando que los vínculos perfectos eliminan totalmente la posibilidad de movimiento en los puntos correspondientes. Así, si una barra tiene un extremo empotrado, por ejemplo, la elástica no puede presentar en ese lugar una rotación de la tangente. Esto resulta obvio; y sin embargo, más de una vez se pueden observar errores de este tipo. 2 – Trazar el diagrama de momentos flectores, antes de intentar representar la elástica. La curvatura de una barra está directamente relacionada con el momento flector, como sabemos (figura 1). El diagrama de momentos nos indica de qué manera se va a curvar la barra: la convexidad se encuentra del mismo lado en que se representan las ordenadas de M (figura 2). Los sectores de la barra con momentos importantes tendrán una curvatura grande, y a la inversa.

Si hay una sección con momento flector nulo, como se muestra en la figura 3, se tendrá un punto de inflexión en la elástica. La rebanada correspondiente a ese punto no tendrá giro relativo entre sus dos caras: como allí

M=0, se tiene dϕϕϕϕ=0 .

Esta situación no debe confundirse con el caso de una articulación que une dos barras, como se muestra en la figura 4. Allí el momento es nulo, también; pero no puede hablarse de un punto de inflexión porque se trata de dos piezas distintas unidas, cada una con su propia elástica. Hay dos tangentes, una a la izquierda y otra a la derecha,

con un ángulo relativo ∆ϕ finito entre ellas.

3. En las estructuras de eje poligonal, el ángulo que forman entre sí los ejes de dos barras no articuladas

permanece invariable al producirse la deformación. Es el caso, por ejemplo, de β1 y β2 en el pórtico de la figura 5.

Las barras se curvan por acción de las cargas, pero las tangentes extremas no modifican su ángulo relativo en el punto de encuentro. (Quedan excluidos, por supuesto, los casos en que hay una rótula en la unión de las barras).

4. Cuando la deformada está producida por variaciones de temperatura, no por cargas, valen las consideraciones

anteriores, excepto que en vez de servirnos del diagrama de momentos como guía para saber cómo se curvan

las distintas barras, observamos los ∆t que se producen. Y además tenemos en cuenta que no puede utilizarse la hipótesis de deformaciones axiales nulas.

Figura 1

Figura 2 Figura 3

Figura 4

Figura 5



23

q

Diagrama M

incorrectaElástica

Elásticacorrecta

ϕ

A

C

ϕA

C

C

'

"

C

A

Elástica

Diagrama M

D

B

- - - Ejemplo 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Trazar la elástica aproximada del pórtico que muestra la figura. Consideramos únicamente las deformaciones por flexión. El diagrama de momentos indica que sólo el travesaño va a curvarse, con convexidad hacia abajo; los postes quedarán rectos. Pero eso no significa que los postes van a permanecer verticales: deben girar para acompañar la rotación de los extremos del travesaño. De lo contrario, se tendría un resultado erróneo, pues los ángulos de las esquinas

no conservarían los 90o originales. Los dos postes se ven obligados a rotar, para mantener la ortogonalidad de sus ejes con las tangentes en los extremos de la curva. Debe recordarse que los movimientos son muy pequeños, comparados con la longitud de las barras, y por eso los corrimientos se representan en forma exagerada, a fin de poder distinguir claramente la deformada de la configuración original. De modo que la rotación de los postes es mucho menor que lo que muestra la figura de la elástica. Es tan pequeña, que la

trayectoria real del extremo superior del poste (un arco de circunferencia con centro en el apoyo inferior) prácticamente es una recta horizontal, coincidiendo con la tangente a la curva:

La rigidez axial de los postes hace que los extremos del travesaño no tengan descenso, ya que las barras verticales no se acortan. Y por otra parte, tampoco hay descenso como consecuencia del giro de los postes, como acabamos de ver. - - - Ejemplo 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Trazar la elástica aproximada del pórtico que muestra la figura. El diagrama de momentos indica que el poste izquierdo y el travesaño se curvarán, en tanto que el poste derecho quedará recto. Al igual que en el ejemplo anterior, la exigencia de conservar invariables los ángulos en las esquinas C y D hará que los dos postes giren. Pero, en este caso, el izquierdo también se deforma, de modo que su situación es algo distinta. El punto C pasa a la posición final C’, como resultado de dos movimientos diferentes: la rotación alrededor de A como pieza rígida (vector CC”) y la curvatura como pieza flexionada (vector C”C’): Aún suponiendo que las barras no se deforman axialmente, el punto C tiene un descenso, debido a la inclinación de AC. En cambio, el punto D no se mueve verticalmente.



24

Diagrama M

Sistema virtual

Diagrama M

Elástica 1

K

Elástica 2

A BC

D

- - - Ejemplo 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Trazar la elástica aproximada de la siguiente viga Gerber, cuyo diagrama de momentos flectores ya ha sido determinado. En esta estructura comenzamos definiendo la elástica del sector AB, por ser el que se autosustenta. En efecto, BD incide sobre AB a través de su acción mecánica; pero sus deformaciones no tienen ninguna influencia en la elástica de AB. No interesa que BC y CD sean rígidos o flexibles. Es evidente que las deformaciones de AB inciden directamente en la elástica del resto (si AB varía su rigidez, el giro en B se modifica); pero la situación inversa no se da. Siempre sucede esto con los sectores autosustentados. En correspondencia con el punto K, donde el momento flector es nulo, la elástica debe presentar un punto de inflexión: a la izquierda, convexidad hacia abajo; a la derecha, hacia arriba. Definida la rotación en B, se prosigue con la elástica de BC; y a partir de la posición que resulte para C se completa la figura con la deformada de CD. Pero al hacer esto nos encontramos con un problema: no sabemos si el punto C asciende o desciende. Por eso se han representado dos elásticas. Ambas son posibles, pero una sola de ellas será la correcta, según cuáles sean los datos del problema: cargas, rigideces, luces, etc.

Para establecer si C sube o baja podemos recurrir al método de la carga virtual unitaria, proponiendo el sistema virtual correspondiente :

En este caso no hace falta determinar el valor de la integral: la forma de los diagramas indica claramente que el sector AK, con ordenadas de distinto signo, tendrá aportes menos importantes que el sector KC, con ordenadas del mismo signo. Por lo tanto, el resultado de la integración será positivo: el punto C desciende. Puesto que no interesa aquí el valor numérico, sino solamente el sentido del movimiento, nos ahorramos el cálculo completo. De las dos elásticas representadas, entonces, la correcta es la segunda. Como sucede en este ejemplo, en muchos casos es suficiente observar los diagramas M y para deducir el signo de la integral y, por lo tanto, el sentido del movimiento. Otras veces resulta necesario hacer el cálculo completo, en la forma habitual: cuando no resulta tan obvio el signo del resultado, o cuando se tienen dudas al respecto.

9 . LEY DE BETTI, DE RECIPROCIDAD DE LOS TRABAJOS

Consideremos una estructura vinculada en forma isostática o hiperestática, en la cual tiene vigencia el Principio de Superposición de Efectos; es decir, que su material es linealmente elástico, y además sus deformaciones son pequeñas.

M



25

Sobre esta estructura actúan dos estados de carga distintos, en forma sucesiva e independiente:

ESTADO I

Acciones: P

Desplazamientos: δI

I Desplazamientos:IAcciones: P

ESTADO

δ I

II

I

I

Las acciones P pueden ser fuerzas o cuplas; los corrimientos δ, lineales o angulares. Tanto I como II constituyen sistemas en equilibrio, con sus propias deformaciones; ambos representan situaciones reales que se producen por separado, independientes entre sí.

Aplicamos ahora el Principio de los Trabajos Virtuales, tomando a I como estado de solicitación, y a II como estado de deformación. Esto es lícito, ya que el primero verifica la condición de equilibrio, y el segundo la de compatibilidad (sus desplazamientos y deformaciones se producen realmente). Por lo tanto:

II II IIIII I I I

e e e

M ds Q ds dsNP . M Q NE I GA EA

κδ = + + ∑ ∫ ∫ ∫

En esta expresión los δ del primer miembro están indicando los corrimientos que se producen en el segundo estado, coordinados con las fuerzas actuantes en el primero. Ahora consideramos a II como estado de solicitación, y a I como estado de deformación. Tal como sucedió en el caso anterior, esto resulta válido, ya que verifican las condiciones de equilibrio y compatibilidad, respectivamente. Por lo tanto:

I I IIII II II II

e e e

M ds Q ds dsNP . M Q NE I GA EA

κδ = + + ∑ ∫ ∫ ∫

En esta expresión los δ del primer miembro están indicando los corrimientos que se producen en el primer estado, coordinados con las fuerzas actuantes en el segundo. Comparando las dos expresiones anteriores, se observa que los segundos miembros de ambas son iguales. En consecuencia, los primeros también lo son, resultando así:

II II IIP . P .δ = δ∑ ∑ LEY DE BETTI, DE RECIPROCIDAD DE LOS TRABAJOS

Enunciado:

Dada una estructura linealmente elástica, sometida sucesivamente a dos estados de carga I y II en equilibrio,

el trabajo virtual de las fuerzas del primer estado a través de los desplazamientos del segundo, es igual al

trabajo virtual de las fuerzas del segundo a través de los corrimientos del primero.

La Ley de Betti es aplicable a cualquier tipo de estructura linealmente elástica sometida a cargas (sin variaciones de temperatura ni movimiento de vínculos), con pequeñas deformaciones, sustentada en forma isostática o hiperestática. No está restringida a los sistemas de barras, sino que es válida también en estructuras laminares o de volumen, con vínculos perfectos o linealmente elásticos.

10 . LEY DE MAXWELL, DE RECIPROCIDAD DE LOS DESPLAZAMIENTOS

Constituye un corolario de la Ley de Betti. Si se eligen los Estados I y II de la siguiente manera:

Estado I ...... Una sola carga, de valor unitario, aplicada en un punto J Estado II ..... Una sola carga, de valor unitario, aplicada en un punto K

al aplicar la Ley de Betti la igualdad de los trabajos queda reducida a: 1 kN.δJ = 1 kN.δK , y por lo tanto:

δJ cuando hay una carga unitaria en K = δK cuando hay una carga unitaria en J



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Estado

1 kN

J K

1 kN

KJ

I IIEstado

Elástica Elástica

Elástica

IEstado

J

1 kN

Elástica

IIEstado

1 kNm

K KJ

1 kN. δJ = 1 kNm. Kϕ

JδϕK

ϕK= 1 m.Jδ

Enunciado:

En una estructura linealmente elástica, el desplazamiento de un punto cuando se aplica una carga unitaria en

otro es igual al corrimiento de éste cuando la carga unitaria es aplicada en el primer punto.

(Se trata de desplazamientos coordinados con las cargas respectivas). - - - Ejemplo 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - Ejemplo 2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Los desplazamientos que se igualan pueden ser lineales o angulares.

En el segundo miembro se tiene la unidad de longitud dando coherencia dimensional a la igualdad.

11 . LEY DE KIRCHHOFF, DE UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES

En toda estructura elástica que verifique el Principio de Superposición de Efectos se verifica la siguiente propiedad:

A un cierto estado de cargas exteriores F actuante sobre la estructura le corresponde un

solo estado de deformación δδδδ , y recíprocamente.

Puesto que los desplazamientos son consecuencia directa de las deformaciones, la proposición anterior establece que en los cuerpos elásticos la relación entre solicitaciones y desplazamientos es biunívoca. Esta ley, formulada por Kirchhoff, puede ser enunciada en forma más concisa expresando que la solución de un problema elástico es única.

La ley puede demostrarse en forma simple por reducción al absurdo. Supongamos que a un estado de fuerzas

exteriores F le puedan corresponder indistintamente dos estados de deformación diferentes δδδδ y δδδδ1 . Operamos entonces de esta manera:

a) Aplicamos las fuerzas F, produciéndose deformaciones δδδδ.

b) Aplicamos un sistema de fuerzas opuesto - F, produciéndose deformaciones - δ δ δ δ1 .

Efectuados ambos pasos, se tendrá como situación final:

Estado de cargas nulo: F - F = 0

Estado de deformación no nulo: δδδδ - δδδδ1 ≠ 0

Se llega así a un resultado inaceptable: el sistema elástico, una vez descargado, continúa deformado. Este

absurdo proviene de suponer que son posibles dos situaciones de deformación distintas δδδδ y δδδδ1 asociadas a un

mismo sistema de fuerzas. Por lo tanto, se concluye que necesariamente debe ser δδδδ = δδδδ1 . El estado de deformación es uno solo.



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ϕαM1 = 1 kNm

Elástica

M1

Bϕ

A

A B

Elástica

α

1 kNm

En forma análoga se demuestra la proposición recíproca: una configuración deformada cualquiera puede ser provocada por un único conjunto de fuerzas exteriores. En efecto: sí existieran dos sistemas de fuerzas distintos que produjeran exactamente la misma deformación, al aplicar a la estructura el sistema diferencia de los dos, no nulo, se produciría una deformación resultante nula. Esto último es absurdo, pues implica que una estructura elástica puede recibir cargas sin deformarse. Debe tenerse presente que la Ley de Kirchhoff es válida solamente en aquellos sistemas elásticos que verifican el Principio de Superposición; de modo que no rige cuando se producen grandes deformaciones, o cuando la

relación σ-ε no es lineal. Aplicación. Hasta ahora hemos resuelto problemas de esta índole: dada una estructura bajo la acción de un cierto estado de cargas conocido, hallar los corrimientos de uno o más puntos. La Ley de Kirchhoff permite resolver el problema inverso, consistente en determinar el estado de cargas asociado a una elástica conocida. Consideremos, por ejemplo, la viga de la figura 1, con una cupla M1 en su extremo derecho como única acción exterior. La

elástica correspondiente presenta un ángulo ϕ en ese punto. En vez de formular el planteo habitual:

Dato: M1 ; Incógnita: ϕ ahora nos interesa resolver el problema opuesto:

Dato: ϕ ; Incógnita: M1 Por la Ley de Kirchhoff sabemos que la solución es única. Para hallarla, podemos seguir este camino: proponer una cupla de valor definido (por ejemplo, unitario), en el extremo B, y hallar el ángulo en ese punto recurriendo a cualquiera de los métodos conocidos.

Sea α el valor de ese ángulo (figura 2). Se tiene:

Momento = 1 kNm en B .......................... ángulo α

Momento M1 en B ................................... ángulo ϕ El valor del momento buscado será, por lo tanto:

FIN DEL TEMA 2

Figura 2

Figura 1

tema 2 - deformaciones y desplazamientos

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