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Electricidad y Magnetismo Curso 2010/11

Laplaciana - Expresiones VectorialesLaplaciana - Expresiones

J.L. Fernández JambrinaEyM 1a-1

Tema 1: Introducción

� Concepto de campo

� Repaso de álgebra vectorial

� Sistemas de coordenadas

�Cartesiano

�Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.

� Operadores vectoriales.

�Gradiente

�Divergencia

�Rotacional

�Derivada temporal

�Combinación de operadores: Laplaciana

�Expresiones con operadores

�Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos

J.L. Fernández JambrinaEyM 1b-2

• Es frecuente que se apliquen de forma sucesiva dos operadores.

– Los operadores vistos hasta ahora sólo tienen derivadas de primer orden.

– La combinación de dos operadores de primer orden da lugar a operadores con derivadas de segundo orden.

Combinación de operadores.

grad rot div

gradrotdiv

PV => Incluye un producto vectorial en su definción …




Combinaciones que se anulan

grad rot div

gradrotdiv

0 :gradiente del Rotacional =∇×∇ U

0=⋅∇=⋅∇×∇ ∫∫∫CS

ldUSdUrr

( ) 0 :rotacional del aDivergenci =×∇⋅∇ Ar

( ) 0·0

==⋅×∇=×∇⋅∇∫∫∫ ∫∫∫V S

ldASdAdVArrrrr


Rotacional del gradiente de un escalar:

• Rotacional del gradiente:

– Es nulo siempre:

– Demostración: Para cualquier contorno C y una de sus superficies S:

Luego el rotacional de un gradiente siempre debe ser nulo.

– Consecuencia:Si el rotacional de un vector es nulo, entonces ese vector es elgradiente de un escalar.

» Demostración:

• Si el rotacional del vector es nulo, la circulación del vector entre dos puntos es independiente del camino seguido.

• Se puede construir el escalar a partir su valor en un punto:

• El escalar queda determinado a falta de una constante aditiva.

0=∇×∇ U

( ) 0=⋅∇=⋅∇×∇ ∫∫∫ CS ldUStokesSdUrr

UAUldACAC

∇=∃⇒=⋅∀⇒=×∇ ∫rrrr/0:0

( ) ( ) cte0

0 +⋅=⇔⋅+= ∫∫ ldAUldArUrUr

r

rrrrrrr

r

S$n

C




Divergencia del rotacional de un vector.

• Divergencia del rotacional:

– Basta con tomar volumen arbitrario:

» Como C1y C

2son el mismo contorno recorrido en sentidos

contrarios, el resultado es nulo:

( ) 0=×∇⋅∇ Ar

( )∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫=⋅+⋅=⋅×∇+⋅×∇=

=⋅×∇=×∇⋅∇

2121

0CCSS

SV

ldAldASdASdA

SdAdVA

rrrrrrrr

rrr

+

S1

$n

C1

S2

$n

C2V

S


Divergencia del rotacional de un vector:Consecuencia

• Consecuencia 1:

– El flujo de un vector de divergencia nula a través de una superficie abierta sólo depende de su contorno.

» Basta con considerar varias superficies con elmismo contorno, S1 , S2... y cerrarlas con otra S0:

• Consecuencia 2:

– Si la divergencia de un vector es nula, entonces el vector es el rotacional de otro.

» Si , siempre se cumplirá la consecuencia 1.

» Si , no se cumple la consecuencia 1, porque …

• Nota: El conocimiento de no basta para determinar

S1

S0

S2

∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫⋅=⋅⇒

⋅+⋅=⋅=

⋅+⋅=⋅=

⇒=⋅∇

+

+

21

2020

1010

0

0

0SS

SSSS

SSSSSdBSdB

SdBSdBSdB

SdBSdBSdB

Brrrr

rrrrrr

rrrrrr

r

ABrr

×∇=

ABrr

×∇≠

contorno delfuncion =⋅=⋅×∇=⋅ ∫∫∫∫∫CSS

ldASdASdBrrrrrr

Ar

×∇ Ar




Combinación de operadores: Laplaciana de un escalar:

grad rot div

gradrotdiv

Es la divergencia de su gradiente:

( ) UUU ∆=∇=∇⋅∇ 2


Laplaciana de un escalar:Definición y expresiones

• Es la divergencia de su gradiente:

• Curvilíneas:

• Cartesianas:

• Cilíndricas:

• Esféricas:

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∆⇒

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

33

21

322

13

211

32

1321

3

213

2

132

1

321

321

3

33

2

22

1

11 1

1

ˆ1

ˆ1

ˆ1

u

U

h

hh

uu

U

h

hh

uu

U

h

hh

uhhhU

u

hhA

u

hhA

u

hhA

hhhA

uu

U

hu

u

U

hu

u

U

hU

r

2

2

2

2

2

2

z

U

y

U

x

UU

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆

2

2

2

2

22

2

2

2 1111

z

UUU

z

UUUU

∂∂

+∂ϕ∂

ρ+

∂ρ∂

ρ∂ρ∂

ρ=

∂∂

ρ+∂ϕ∂

ρ+

∂ρ∂

ρ∂ρ∂

ρ=∆

2

2

222

2

2

2

22

2

sen

1sen

sen

11

sen

1sensen

sen

1

∂ϕ∂

θ+

∂θ∂

θ∂θ∂

θ+

∂∂

∂∂

=

=

∂ϕ∂

θ+

∂θ∂

θ∂θ∂

+

∂∂

θ∂∂

θ=∆

U

r

U

rr

Ur

rr

UU

r

Ur

rrU

( ) UUU ∆=∇=∇⋅∇ 2




Laplaciana de un escalar: Interpretación

• Al tratarse de la divergencia del gradiente:

– Será positiva en los puntos en que se generen líneas de campo del gradiente: por ejemplo, en los puntos en que el escalar sea mínimo.

– Será negativa en los puntos en que terminen líneas de campo del gradiente: por ejemplo, en los máximos del escalar.

• De alguna forma mide la concavidad del escalar.

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

XY

U(x,y)=sin(pi*x/2).*cos(pi*y/2)

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

Y

grad(U)


Combinación de operadores:Laplaciana de un Vector

• Es, es, … es

grad rot div

gradrotdiv

( ) AAA rrr ×∇×∇−⋅∇∇=∆




Laplaciana de un vector.

• Definición:

• Su expresión es complicada, salvo en cartesianas:

– Limitando el cálculo a su componente x:

( ) AAA rrr ×∇×∇−⋅∇∇=∆

( )[ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] ( )[ ] [ ] xxxx

xxzy

zxxy

yz

zyxzyx

Az

A

y

A

x

AxAxAxA

z

A

y

A

zx

A

yx

A

x

A

z

A

zy

A

x

A

yA

zA

yxA

zx

A

yx

A

x

A

xz

A

y

A

x

AxA

∆=∂∂

+∂∂

+∂∂

=×∇×∇−⋅∇∇=∆

∂∂

−∂∂

−∂∂

∂+

∂∂

∂=

=

∂∂

−∂∂

∂∂

−

∂∂

−∂

∂

∂∂

=×∇∂∂

−×∇∂∂

=×∇×∇

∂∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

∇=⋅∇∇

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

22

2

2

rrr

rrr

r


Laplaciana de un vector. (2)

• Repitiendo el cálculo para las componentes y y z:

– La laplaciana de un campo vectorial es otro campo vectorial cuyas componentes en coordenadas cartesianas (y sólo en cartesianas) son las laplacianas (escalares) de las componentes del campo original.

• Interpretación: complicada.

zAyAxAA zyx ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r




Teorema de Helmholtz

• Enunciado:

• Demostración:

– La divergencia no basta:

– El rotacional no basta:

Para definir un campo vectorial es necesario

especificar tanto su rotacional como su divergencia.

( ) ABAABAA r43421

rrrrrr⋅∇=×∇⋅∇+⋅∇=′⋅∇⇒×∇+=′

0

( ) AUAAUAAr

43421

rrrr×∇=∇×∇+×∇=′×∇⇒∇+=′

0


Fuentes de los campos

• Puesto que un campo vectorial se determina a partir de su rotacional y de su divergencia, se definen ambas expresiones como sus fuentes.

• Las fuentes escalares son las que definen la divergencia del campo.

– Ejemplo: la densidad de carga volumétrica es la fuente escalar de la densidad de flujo eléctrico:

• Las fuentes vectoriales son las que definen el rotacional del campo.

– Ejemplo: la densidad de corriente volumétrica es la fuente vectorial de la intensidad de campo magnético en variación lenta:

ρ=⋅∇ Dr

JHrr

=×∇




( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )z

BA

y

BA

x

BABA

BAABABBABA

BAABBA

ABABBABABA

AUAUAUAUAUAU

BABABABA

VUUVUVVUVU

AAAA

UUU

CBDADBCADCBABACCABCBA

BACACBCBAABBA

zyx ∂∂

∂∂

∂∂

rrrrr

rrrrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrrrr

rrrrrr

rrrrrrrr

rrrr

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

rvrvrrrrvrrrr

++=∇⋅

∇⋅−∇⋅+⋅∇−⋅∇=××∇

×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇

×∇×+∇⋅+×∇×+∇⋅=⋅∇

×∇+×∇=×∇⋅∇+⋅∇=⋅∇

×∇+×∇=+×∇⋅∇+⋅∇=+⋅∇

∇+∇=∇∇+∇=+∇

∆−⋅∇∇=×∇×∇=×∇⋅∇

=∇×∇∆=∇⋅∇

⋅⋅−⋅⋅=×⋅×⋅−⋅=××

×⋅=×⋅=×⋅×−=×

0

0

Expresiones varias

tema 1: introducción - upm · 2010. 9. 22. · gradiente divergencia rotacional derivada temporal...

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