tema 1 funciones sec 5 7

Tema 1- Relaciones y funciones ndice

1. Conjuntos (repaso). 2. Producto cartesiano. 3. Plano cartesiano. 4. Relaciones. Definicin y ejemplos 5. Funciones. Definicin. 6. Forma explcita e implcita 7. Algunas propiedades de las funciones 8. Operaciones con funciones 9. Tipos de funciones 10. Funciones elementales algebraicas 11. Funciones elementales trascendentes 12. Funciones no elementales.

2 Introduccin al Clculo Superior

5. Funciones. Definicin

Definicin de funcin:

Dados dos conjuntos e , una funcin (o aplicacin, o mapeo) es una asociacin f que a cada elemento del conjunto X le asigna un nico elemento del conjunto Y. Se denota por : o =

= () es lo que ya conocemos como regla de correspondencia. Una funcin es un caso particular de relacin, en la que los primeros elementos de los pares ordenados (,) estn formados por todos los elementos de , y donde a cada primer elemento slo se le asigna un elemento del conjunto .

X Y

1 2 3 4

2

7

8

Esta relacin no es una funcin, pues hay elementos de X sin imagen

X Y

1 2 3 4

2

7

8

Esta relacin s es un funcin. Todos los elementos de X tienen una, y slo una, imagen.


De forma algo ms formal, una funcin es: = {(,)| , , ! } Verdadero o falso? f es un conjunto (x,f(x)) es un par ordenado de Y La regla de correspondencia se denota por f(x) 1 = 2 1 = 2

En este curso nos interesan principalmente las funciones sobre valores reales, donde 2. Se denomina funcin real en variable real. Se pueden as representar grficamente en el plano cartesiano.

X

Y=f(x) P(x,f(x)) El lugar geomtrico* de los puntos P(x,f(x)) recibe el nombre de Grfico de f , Gr(f). Gr() = {(, )| = } Gr = , = ? ?

*Lugar geomtrico=figura geomtrica=representacin de un conjunto de puntos que cumplen cierta propiedad



A B 1 2 3 4

2 7 8

Decir si corresponden o no a funciones las siguientes representaciones

A B

1 2 3 4

2

7

8

A B

1 2 3 4

2

7

8

1 2 3

4 5 6

test de la vertical



X Y 1 2 3 4

2

7

8

Una funcin es un caso particular de relacin. Tiene los mismos componentes. Se suele emplear la letra X para el conjunto origen (o conjunto de partida) y la letra Y para el imagen (o de llegada)

El Dominio de f es el conjunto X. A X tambin se le suele denotar como variable independiente, o argumento de la funcin f(x)

Dom f= { } Ran f= () } Gr(f)={(, )| Dom f}

El Rango, o recorrido, o codominio, de f son slo los elementos de Y que son imgenes de algn elemento de X. A Y tambin se le suele denotar como variable dependiente.

Nota: cuando no se especifica el dominio, se asume que es el conjunto de nmeros reales para los que est definida f(x).



X Y 1 2 3 4

2 7 8

Si a cada valor del rango de le corresponde slo un elemento de su dominio, la funcin se llama inyectiva, univalente o monovalente.

NO es inyectiva, por que los elementos 1,2 y 4 en X tienen la misma imagen (sera una funcin polivalente o multivalente)

X Y 1 2 3 4

1 2 4 6 8 9 10

S es inyectiva. Los elementos de X tiene una y slo una imagen.

S es inyectiva No es inyectiva test de la horizontal



X Y 1 2 3 4

2 7 8

Una funcin es sobreyectiva, o suprayectiva, o exhaustiva cuando cada elemento de Y es la imagen de como mnimo un elemento de X.

NO es suprayectiva, pues el elemento 2 en Y no es imagen de ningn elemento en X.(tampoco e inyectiva)

S es suprayectiva con No es suprayectiva para , pues y


Una funcin es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y suprayectiva (univalente y exhaustiva). Todos los elementos de Y son imagen de un solo elemento de X. A cada elemento del conjunto de llegada le corresponde slo un elemento del conjunto de salida.

X Y 1 2 3 4

1 2 4 6




Ms formalmente:

Inyectiva: , = =

Sobreyectiva: Y | = Biyectiva: Y ! | =


Ejemplo 5.1: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguiente funcin

= + 3 + 2 ; {2}

Solucin: Para analizar la inyectividad debemos comprobar que 1 = 2 1 = 2 1 + 31 + 2 = 2 + 32 + 2 1 + 11 + 2 = 1 + 12 + 2 1 + 2 = 2 + 2 1 = 2

Es inyectiva


= + 3 + 2 2 = + 3 = 3 + 2 1

En esta expresin es fcil ver que para cada slo hay un : inyectiva

Otra forma de analizar la inyectividad es despejando la (con cuidado) y comprobando si para cada corresponde ms de una

(Esfcil ver en la funcin original que tambin verifica que 1. Por tanto, esta expresin es equivalente a la original, no hemos alterado la funcin.)


Ejemplo 5.2: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguiente funcin

= + 3 + 2 ; {2}

Solucin:

La funcin tiene una asntota en = 1, por lo que no puede tomar ese valor. No existe un tal que () = 1. No es por tanto sobreyectiva


= 3 + 2 1

Para analizar la sobreyectividad es ms cmodo usar la funcin con la x despejada. Una funcin es sobreyectiva si = . Es entonces un caso de anlisis de rango.


Ejemplo 5.2 : Analiza la inyectividad de = 3 5 + 2 ; (4; 2]


Analizamos la inyectividad: Grficamente vemos que no lo es, pues una horizontal corta en ms de un punto Analticamente, tenemos que encontrar que , = = : 3 5 + 12 = 3 5 + 22 12 = 22

1 = 2 pues en el dominio es posible encontrar valores en 2,2 con mismo valor absoluto y diferente signo, tal

que 1 = 2 y que verifican 12 = 22 , luego no es inyectiva.


Ejemplo 5.3: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguiente funcin :+ +

Solucin: Al estar definida en + va a ser inyectiva, pues al excluirse valores negativos se comprueba que 12 = 22 1 = 2 1 = 2. (Ntese que si fuese definida en 2 no sera inyectiva, pues el mismo valor de se puede conseguir con y con .

= 2

No es sobreyectiva en + pues hay valores del conjunto de llegada que no pueden obtenerse, como 3,5,7,8. Y en 2?



Problemas: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguientes funciones

(b) = 5 + 4; 4; 0 (c) = 2; (a) = 2; + (d) = 6 + 9;



Problemas: Analiza la inyectividad y sobreyectividad de las siguientes funciones

(b) = 5 + 4; 4; 0 (c) = 2; (0,1,2,3 ) (a) = 2; + (d) = 6 + 9;


iny. no sup iny, no sup

c) iny, no sup

d) biyectiva

4 0 0 + 4 4 0 + 4 2 2 + 4 0

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1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano 3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos 5. Funciones. Definicin 6. Forma explcita e implcita. 7. Algunas propiedades de las funciones 8. Operaciones con funciones 9. Tipos de funciones 10. Funciones elementales algebraicas 11. Funciones elementales trascendentes 12. Funciones no elementales


6. Forma explicita, implcita y paramtrica

Forma implcita vs explcita

Lo habitual es expresar la regla de correspondencia en la forma y=f(x). Por ejemplo = = 3 + 2 . Esta forma se denomina explcita, pues queda clara (explcita) la relacin entre x e y. La y est despejada. En este contexto, a x se le denomina variable independiente, o argumento de la funcin. A y se le denomina tambin variable dependiente.

Forma explcita

Forma implcita

De forma alternativa, y bajo ciertas condiciones (Teorema de la funcin implcita*) se podra expresar la regla de correspondencia como una ecuacin F(x,y)=0. Por ejemplo , = 3 + 2 = 0. En este caso, la relacin entre x e y est implcita, pues la y no est despejada. No toda funcin explcita se puede reescribir en forma implcita. Cuando la regla de correspondencia de una funcin no puede expresarse de forma explcita, se denomina funcin implcita (no confundir con forma implcita)

* El Teorema de la funcin implcita no forma parte del temario de este captulo. Se menciona slo como observacin.


Ejemplo 6.1: Sea la relacin = , 2 2 + 2 = 1 a) Es una funcin? b) Cuantas funciones podramos obtener basndonos en esa relacin? c) Haya la funcin explcita que, basada en dicha relacin, cumpla que

, 0 a) No es funcin. Para que lo fuese cada valor

de x debera tener slo un valor f(x). En este caso, al ser la ec. de la circunferencia, cada x tiene dos valores de y

b) Infinitas. Cualquier arco de circunferencia que para cada x tuviese slo un valor de y.

c) Operando, y puesto que necesitamos que y>0, resulta = 1 2. La funcin es

= 1 2; 0.

Solucin:

6. Forma explicita, implcita y paramtrica


1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano 3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos 5. Funciones. Definicin 6. Forma explcita e implcita 7. Algunas propiedades de las funciones

7.1 Monotona 7.2 Acotacin 7.3 Periodicidad 7.4 Simetras 7.5 Funciones por tramos

8. Operaciones con funciones 9. Tipos de funciones 10. Funciones elementales algebraicas 11. Funciones elementales trascendentes 12. Funciones no elementales


7.1 Monotona.

Funcin montona creciente (estrictamente creciente)

Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 1 2 en el intervalo 1 > 2 implica que 1 > 2

Funcin montona no decreciente (creciente dbil)

Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 1 2 en el intervalo 1 > 2 implica que 1 2

Funcin montona decreciente (estrictamente decreciente) Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 1 2 en el intervalo 1 > 2 implica que 1 < 2

Funcin montona no cecreciente (decreciente dbil)

Una funcin f definida sobre un intervalo es montona creciente si para 1 2 en el intervalo 1 > 2 implica que 1 2


7.1 Monotona.

Aunque una funcin no sea montona, se suele describir su carcter creciente o decreciente por intervalos

Describe la monotona de esta funcin en cada intervalo


7.2 Acotacin

Una funcin f es acotada cuando el valor absoluto de la funcin es menor que cierto nmero real fijo. Otra definicin algo ms formal es

f acotada Dom M +| < M La funcin puede tener slo cota superior o inferior (seran, entonces, no acotados)


Una funcin es peridica si los valores de la funcin se repiten conforme se aade a la variable independiente un determinado periodo, quedando

= + Dom Donde P>0 es el periodo. Si se repite cada P periodos hay F=1/P ciclos por periodo.

Algunos grficos sacados de internet

7.3 Periodicidad


7.4 Simetras (paridad)

Algunas funciones muestran un comportamiento simtrico respecto a los ejes. Esta simetra se denomina paridad. Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad.

Funcin par Una funcin es par si = , con , Dom . De esta forma el grfico de f presenta una simetra respeto al eje Y.

Funcin impar

Una funcin es impar si = con , Dom . De esta forma el grfico de f presenta una simetra respeto al origen.

Cmo sera una funcin que fuese simtrica respecto al eje X? Puede una funcin ser par e impar al mismo tiempo?

(, )

(, )

(, )

(, )

(, )


Ejemplo 7.1: Determinar la paridad de las siguientes funciones definidas en

e) = 5 + || a) = 2 + 2 b) = 2 + 1 1 c) = 3 ) =

5 +

a) = 2 + 2 = 2|| + 2 luego es par b) = 2 + 1 1 = 2 + 1 1 luego es par

c) = 3 = 3 = () luego es impar

Solucin:



Ejemplo 7.1: Determinar la paridad de las siguientes funciones definidas en

e) = 5 + || a) = 2 + 2 b) = 2 + 1 1 c) = 3 ) =

5 +

d) = 5

y tambin , no tiene paridad

e) = 5+|| = 5+ = () , luego

es impar

Solucin:



Una funcin puede tener diferentes reglas de correspondencia en diferentes partes de su dominio. Este tipo de funciones se les denomina por tramos o a trozos (piecewise defined function). Esta funcin por tramos puede interpretarse como la unin de funciones con dominios que no se solapan.

Ejemplo7.2:

= 1 si 1 2 si > 1

Evala (0), (1) y (2) y dibuja el grfico de la siguiente funcin

Para =0, se tiene que la funcin es = 1 0 = 1 Para =1, se tiene que la funcin es = 1 1 = 0 Para =2, se tiene que la funcin es = 2 2 = 4

Solucin:

7.5 Funcin definida por tramos


Ejemplo 7.3: Encuentra la regla de correspondencia para la funcin del siguiente grfico

7.5 Funcin definida por tramos


Problema1 : Grafica la siguiente funcin = 4 15

Calcular el dominio equivale a hallar los valor de x para los que est definida la funcin en . En este caso es 5 > 0 < 5 Dom = (, 5)

Solucin:

Problemas

Adems, en = 5 habr una asntota vertical, pues se anula el denominador pero no el numerador. La analizamos:

5 4 5 15 5 = 190+


Intersecciones:

= 0 = 15 ; = 0 4 1 = 0 = 14 No hay simetras

Anlisis de los extremos. Slo tiene sentido analizar

= = 4 15 + 4 = 4

Problemas


Problema 2: Halla el rango de la funcin real = 3 5 + 2 ; (4; 2]

El dominio es claramente (-4;2]. Podemos calcular el rango ignorando en un inicio que (4; 2], y luego aadir esa restriccin. Solucin: La funcin est definida en 5 + 2 0 2 5 que siempre es cierto.

Cuando = 0 se tiene la interseccin con el eje Y en 0 = 3 5 = 0.764 A partir de ese valor, la funcin va disminuyendo al aumentar x tanto positiva como negativamente. La funcin es simtrica respecto al eje Y (ms adelante se hablar ms sobre funciones simtricas)

Problemas



Solucin:

Por tanto, si no hubiese restricciones al valor de , el rango sera

< 0.764 Imponiendo la restriccin de que (4; 2], el rango es menor. Segn el grfico, necesitamos calcular 4 = 1.58; 2 = 0

Por tanto, el rango es (1.58; 0.764]

Problemas



El dominio es claramente (-4;2]. En ese intervalo, la variacin de () se puede tambin calcular fcilmente recorriendo el dominio de la siguiente manera:

4 < 2 0 2 < 16

5 5 + 2 < 21 5 5 + 2 < 21

21 < 5 + 2 5 3 21 < 3 5 + 2 3 5

1.58 < 0.76

Solucin:

Tambin se puede calcular el rango despejando x.

Otra forma de calcular el rango:

Problemas



Si calculamos el rango despejando se tiene:

3 = 5 + 2 2 + 9 6 = 5 + 2 2 = 2 6 + 4 = 2 6 + 4

que existe si 2 6 + 4 0 = 6 36 162 = {0.76,5.24}

Por otra parte: 4 = 1.58; 2 = 0 Por lo que el rango es (1.58,0.76]

Problemas

(Como hemos elevado al cuadrado podramos haber aadido soluciones. Hay que comporbarlo al final)

= 5.24 = 0.133 = 0.76 , = 0.76 = 0.133 = 0.76 ,

0.76


Problema 3: Grafica la siguiente funcin = + 1

2 + 6 Para que () sea un nmero real se debe cumplir que 2 + 6 0 . Las races de esa ecuacin son = 3 y = 2. Por tanto, el dominio es

,3 3,2 (2,) Solucin:

Problemas

En ambos valores habr, adems, asntotas verticales

= 0 = 16 = 0 = 1 = = + 1

2 + 6 2 = 1 0 = = + 1

2 6 2 = 1 0 en = 0 hay entonces una asntota horizontal


Problema 3: Grafica siguiente funcin = + 1

2 + 6 = + 1( + 3)( 2) Problemas

2+ 2+ + 1(2+ + 3)(2+ 2) = 3+0+ 2 2 + 1(2 + 3)(2 2) = 30

+ .. .

> 0 < 0 3+ 3+ + 1(3+ + 3)(3+ 2) = 2+0+ > 0 < 0 .. . 3 3 + 1(3 + 3)(3 2) = 20 5 = 20+ < 0 < 0


Ejemplo 4: Calcula el dominio de la siguiente funcin

Ahora se necesita que 4 2 0 y que 1 0 , lo que lleva a 2 y 1 . Por tanto el dominio es 2,1 (1,2]

= 4 2 1

Solucin:

Problemas


1. Conjuntos (repaso) 2. Producto cartesiano 3. Plano cartesiano 4. Relaciones. Definicin y ejemplos 5. Funciones. Definicin 6. Forma explcita, implcita y paramtrica 7. Algunas propiedades de las funciones 8. Operaciones con funciones

8.1 Funcin inversa 8.2 lgebra de funciones 8.3 Transformacin de una funcin 8.4 Composicin de funciones

9. Tipos de funciones 10. Funciones elementales algebraicas 11. Funciones elementales trascendentes 12. Funciones no elementales

Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 31Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Nmero de diapositiva 39Nmero de diapositiva 40

tema 1 funciones sec 5 7

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