tema 1- entornos y funciones

FCE -UNCuyo CLCULO CLCULO I

1

VALOR ABSOLUTO

Por ejemplo, 22 = , 22- = , 15520 = , 15205 = , 00 =

El valor absoluto de un nmero real siempre es un nmero no negativo.

El valor absoluto de un nmero real siempre es un nmero no negativo, es decir a 0, para todo a R.

Propiedades

Sean a, b, x, a1, , a n nmeros reales, n nmero N y k cualquier nmero real positivo:

1) a 0 a > 0 (Equivale a decir que a = 0 a = 0) 2) a . b = a . b 3) a + b a + b (Desigualdad triangular) 4) a1 + a2 + .....+ ai +.....+ an a1 + a2 + .......+ ai + .... + an 5) a = -a 6) - a a a 7) x k - k x k 8) x k x k x - k 9) a - b a - b 10) a - b a - b

Ejemplos

a) - 2 = 2 > 0 b) - 2 = 2 c) - 2 < 2 = 2 y - 2 = -2 < -2 d) 2 . (-3) = 2 . -3 = 6

21051

510

=

=

e) x < 5 - 5 < x < 5 -5 0 5

f) x > 3 x > 3 x < - 3

Se llama valor absoluto de un nmero real, al mismo nmero si es positivo o cero, y a su opuesto si es negativo


2

-3 0 3 g) 2 + 3 = 2 + 3 y 2 + (-3) < 2 + -3 h) 2 + 3 + 1 = 2 + 3 + 1 y 2 + (-3) +(-1) < 2 + -3 + -1 i) 5 - 2 = 5 - 2 y 5 - (-2) > 5 - - 2 j) 5 - 2 = 5 - 2 y 5 - (-2) > 5 - - 2

Ejercicio 1 Hallemos el conjunto de valores de x que cumplan las siguientes desigualdades y grafiquemos:

1.1) x - 3 5 1 - 5 x - 3 5 - 2 x 8

A = { x R / - 2 x 8 }

-2 0 8

1.2) 2 - 5 x < 1 -1 < 2 5 x < 1 - 3 < - 5 x < -1 53 > x > 51 51 < x < 53 B = {x R / 5

1 < x < 53 }

0 51

53

1.3) 1 - 2 x 2 1 - 2 x 2 1 - 2 x - 2 - 2 x 1 - 2 x - 3 x - 2

1 x 2

3

D = {x R / x - 21 x 23 }

- 21

0 23

INTERVALOS

Sean a y b dos nmeros2 reales y a menor que b, se define:

I. Intervalo abierto

( ) { }bxaRxb,a


3

III. Intervalos semiabiertos

III 1 [ ) { }bxaRxb,a


4

pues x - a < r -r < x - a < r a - r < x < a + r x (a - r, a + r) Cuando no interesa especificar el radio del entorno, se utiliza una notacin abreviada: (a) que se lee: entorno de centro a.

Entorno reducido

Se lo indica (a, r) a - r a a + r

Tambin se lo puede expresar: ( ) { }rax0RxE r,a


5

3.3) {x R / 0 < x 2 < 1} 3.4) {x R / 0 < x + 2 < 1}

Ejercicio 4 Exprese como entorno simtrico (a, r), cada uno de los siguientes intervalos y grafique.

4.1) (4, 8) 4.2) (-10, -4)

4.3) (-10, 10)

Ejercicio 5 Cambie slo un signo en el ejercicio 3, partes 3.1 y en 3.2 de modo que los conjuntos dados dejen de ser entornos.

Punto de acumulacin:

Punto interior:

Ejemplos Sea S = [1, 3) -1 0 1 2 3 4 5

1 S; 1 es punto de acumulacin de S 2 S; 2 es punto de acumulacin de S 3 S; 3 es punto de acumulacin de S 4 S; 4 no es punto de acumulacin de S

Cualquiera sea x perteneciente a [1, 3] es punto de acumulacin del conjunto S.

1 S; 1 no es punto interior de S 2 S; 2 es punto interior de S 3 S; 3 no es punto interior de S 4 S; 4 no es punto interior de S

Cualquiera sea x perteneciente a (1, 3) es punto interior del conjunto S.

Ejercicio 6 Indique todos los puntos de acumulacin y los puntos interiores de los siguientes conjuntos.

6.1) N de los nmeros naturales. 6.2) Z es el conjunto de los nmeros enteros. 6.3) R es el conjunto de los nmeros reales. 6.4) P = [1, 5] {7} 6.5) Las grficas siguientes representan las relaciones f y g respectivamente. Encuentre el

dominio y conjunto imagen de cada una de ellas. Si estos conjuntos tienen puntos de acumulacin y puntos interiores, indquelos a todos.

Sea S un conjunto de puntos de la recta real y a un punto de dicha recta, que no necesariamente pertenece a S, se dice que a es punto de acumulacin de S si a todo ( a) pertenece al menos un punto de S.

Sea S un conjunto de puntos de la recta real y b perteneciente a S (b S), se dice que b es punto interior de S, si existe al menos un entorno ( b) S.


6

f : A R g : C R

Ejercicio 7: Indique si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Todos los puntos pertenecientes a un intervalo cerrado son puntos de acumulacin de

dicho conjunto. Todos los puntos pertenecientes a [a, b] son puntos interiores de dicho conjunto. Todos los puntos de acumulacin de (2, 3) son los pertenecientes a dicho conjunto. Todos los puntos pertenecientes a (2, 3) son puntos interiores de dicho conjunto. Todos los puntos pertenecientes a {-3, -1, 5, 7} son puntos de acumulacin de dicho

conjunto.

Ejercicio 8:Grafique una relacin h de modo que: 8.1 Todos los puntos de su dominio sean de acumulacin. 8.2 Existan puntos de acumulacin del dominio que no pertenezcan a l. 8.3 Su conjunto imagen sea un intervalo semiabierto.

Conjunto acotado

La grfica del conjunto C = {x / x [1, 4)} es:

Complete colocando , " segn corresponda. Para todo x de C se verifica:

- 4 .... x - 2 .... x 0 .... x 21

.... x 1 ... x

A la mayor de las cotas inferiores de un conjunto C se le llama nfimo de dicho conjunto.

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Llamaremos cotas inferiores de un conjunto C, a todos los nmeros reales k tales que para todo x de C se verifica que k x . (1)


7

Para todo x de C se verifica

9 .... x 6 .... x 5 .... x 29

.... x 4 ... x

A la menor de las cotas superiores de un conjunto C se le llama supremo de dicho conjunto.

Nota: El nfimo y el supremo de un conjunto, pueden o no pertenecer a dicho conjunto.

Ejercicio 9 a) Indique si los siguientes intervalos son acotados o no:

(-4, 5) [-4, 5] [-4, 5) (- , 3 ) (- , 3] (- , + ) (- 7, + ) [- 7, + )

b) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. - 2 es el nfimo del conjunto (-2, 5). - 2 es el nfimo del conjunto [-2, + ). 7 es el supremo del conjunto (- , 7). Sea A = {x R / x + 1 > 5}. A es un conjunto acotado. Sea B = (1, 3] {5}.

1 y 5 son nfimo y supremo respectivos del conjunto B, luego B es acotado.

Analicemos los conjuntos que intervienen en una funcin: Dominio e Imagen

Ejemplo Sea f : [a,b] R. Examine la grfica de la funcin f, e indique si su dominio Df y conjunto imagen Cf son o no acotados.

Llamaremos cotas superiores de un conjunto C, a todos los nmeros reales k tales que para todo x de C se verifica que k x . (2)

Un conjunto es acotado si est acotado superior e inferiormente.


8

Nota: Las llaves que aparecen en el grfico anterior son ilustrativas, dado que los conjuntos de cotas sealados en la figura no son acotados, como parece.

Ejercicio 10 Dadas las funciones

f : [2,5] R con f(x) = x g: R R con g(x) = 3

h : R R con g(x) = sen x l : R R con l(x) = x

Indique si los respectivos dominio y conjunto imagen son acotados o no.

RESPUESTAS

(-2,1) (2,1)

2.1) (2,1) = {x R / x - 2 < 1} 2.2) (- 2, 1) = {x R / x + 2 < 1} - 4 - 3 - 2 -1 0 1 2 3 4 2.3) (-1, 5) = {x R / 0 < x + 1 < 5}

- 6 -1 4 3.1) {x R / x - 1 < 4} = (1, 4) 3.2) {x R / x + 1 < 4} = (-1, 4) 3.3) {x R / 0 < x 2 < 1}= (2, 1) 3.4) {x R / 0 < x + 2 < 1}= (-2, 1)

4.1) (4, 8) = (6, 2) (-7,3) (0,2) (6, 2) 4.2) (-10, -4) = (-7,3) 4.3) (-2, 2) = (0,2) -10 - 7 4 2 0 2 4 6 8

5- 3.1) {x R / x - 1 > 4} o tambin {x R / x - 1 4}

d f

Cf

a Df b

c

cotas superiores de Df cotas inferiores de Df

cotas inferiores de Cf

cotas superiores de Cf


9

q

p a b c d e

3.2) {x R / x + 1 > 4} o tambin {x R / x + 1 4}

6.1) El conjunto de nmeros naturales (N), no tiene puntos de acumulacin ni interiores. 1 2 3 4 5

6.2) El conjunto de nmeros enteros (Z), no tiene puntos de acumulacin ni interiores.

- 3 - 2 - 1 0 1 2

6.3) Todos los nmeros reales son puntos de acumulacin y tambin interiores del conjunto R. 6.4) Todos los puntos de acumulacin del conjunto P son los pertenecientes al intervalo [1, 5] y

todos los interiores los pertenecientes al (1, 5).

1 2 3 4 5 6 7

6.5) Df = [-1, 2] Cf = [0, 2] Todos los puntos pertenecientes a Df son de puntos de acumulacin de dicho conjunto; mientras que slo son puntos interiores los pertenecientes a (-1, 2). Todos los puntos pertenecientes a Cf son puntos de acumulacin de dicho conjunto; mientras que slo son puntos interiores los pertenecientes a (0, 2).

Dg = [- 54 , 2] Cg= {-1,0,1} Todos los puntos pertenecientes a Dg son de acumulacin de dicho conjunto; mientras que slo son puntos interiores los pertenecientes a (- 54 , 2). . g no tiene puntos interiores y tampoco puntos de acumulacin.

7- V, F, F, V

8- Un ejemplo es: h : [a, e] {c, d} R

A continuacin se muestran las representaciones grficas de Dh y Ch respectivamente:


10

9- a)

(-4, 5) [-4, 5] [-4, 5) (- , 3 ) (- , 3] (- , + ) (- 7, + ) [- 7, + )

acotado acotado acotado No acot No acot No acot No acot No acot

b) V, V, V, F, V

10- funcin Conjunto Dominio Conjunto Imagen

f Df es acotado. Cf es acotado.

g Dg no es acotado. Cg es acotado.

h Dh no es acotado. Ch es acotado.

l Dl no es acotado. Cl no es acotado.

Conjunto cerrado

Conjunto compacto

Ejemplos El intervalo [-2, 4] es un conjunto compacto (es un conjunto cerrado y acotado). El intervalo (-2, 4] no es un conjunto compacto (porque a pesar de ser acotado, no es cerrado). El conjunto R (de todos los nmeros reales), es decir, el intervalo ( )+ , , no es compacto (porque no est acotado). El intervalo ( )+,1 no es un conjunto compacto (ya que no es cerrado ni acotado).

Sea S un conjunto de puntos de la recta real. S es un conjunto cerrado, si y slo si, le pertenecen todos sus puntos de acumulacin.

Un conjunto es compacto, si y slo si, es un conjunto cerrado y acotado.


11

FUNCIONES

A menudo se escucha: "La rapidez en llegar estar en funcin del medio de locomocin que tome". "El permetro de un cuadrado depende del lado del mismo". "El costo de producir bicicletas estar en funcin del nmero de bicicletas producidas". En cada caso, la palabra funcin expresa la idea de relacin entre dos conjuntos de datos que representan dos realidades. La grfica de una relacin brinda informacin sobre su comportamiento. En principio debe fijarse cules son las variables en juego y en qu unidades estn expresadas.

Ejemplo El dinero "p" (en $) que gana el representante de un determinado insecticida, es proporcional a la cantidad "i" (en kg) que vende. La siguiente figura representa grficamente esta situacin. Examnela y conteste las siguientes preguntas:

Cules son las variables?

De qu depende la ganancia?

Para una misma cantidad de insecticida vendida, hay distintas ganancias?

Estaremos en presencia de la grfica de una funcin?

En general, trabajaremos con funciones reales: RD:f

El dominio "D" de la funcin, es un subconjunto de los nmeros reales: D R . El conjunto de imgenes as obtenidas, se llama rango de la funcin o imagen (es un subconjunto del conjunto de los reales). Llamaremos variable independiente a cada uno de los elementos del dominio, y variable dependiente a cada uno de los elementos del rango o conjunto imagen.

Ejercicio 1 Examine los siguientes grficos.y tenga en cuenta que:

[ ) { }( ] R,:rRR:qRR:p

RR:mRR:fR,a:fRR:f

+

12

Indique qu relaciones son funciones

Una funcin f es una relacin entre dos conjuntos, que asigna a cada elemento x del primer conjunto un nico elemento y del segundo conjunto y lo anotaremos y = f (x)


12

y

x

f

Crecimiento y decrecimiento de una funcin

Ejemplo A continuacin se representa tabular y grficamente la funcin ( ) 1= xxf/RR:f

a x

y g

Una funcin f es estrictamente creciente en su dominio D, si para cualesquiera dos valores a y b, en D, es f (a) < f (b) siempre que a < b.

y

2

h

x

y

2

y

m

x

y

p

x

y q

x

r

y

x -1


13

Se aprecia que f es estrictamente creciente en su dominio R.

Ejemplo Las grficas siguientes nos dan una idea del decrecimiento de una funcin.

La funcin es estrictamente decreciente en el intervalo (- , + ).

La funcin es estrictamente decreciente en el intervalo (1, + ).

La funcin es estrictamente decreciente en el intervalo (-,1) y tambin en (1, + ).

As como hemos hablado de crecimiento y decrecimiento de una funcin en su dominio D, podemos centrar este concepto en un cierto valor "a" interior a D.

Se dice que una funcin es estrictamente creciente en a, cuando el valor que toma en l, ( )af , es mayor que los que toma a su izquierda y menor que los que toma a su derecha, en un entorno reducido de a.

Debe completar usted la siguiente definicin:

Una funcin f es estrictamente decreciente en a ............................................................... .........................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................

Se hablar de crecimiento o decrecimiento (en sentido amplio), en las respectivas definiciones anteriores, cuando en lugar de mayor se tenga mayor o igual y en lugar de menor se tenga menor o igual.

Una funcin f es estrictamente decreciente en su dominio D, si para cualesquiera dos valores a y b, en D, es f (a) > f (b) siempre que a < b.

x f(x) -3 -4 -2 -3 -1 -2 0 -1 1 0 2 1


14

Es decir:

Adems, se dice que: si una funcin es creciente en un intervalo, entonces es montona en dicho intervalo. si una funcin es decreciente en un intervalo, entonces es montona en dicho intervalo.

Ejercicio 2 Examine las funciones del ejercicio 1 e indique en qu intervalos crecen o decrecen estrictamente.

Ejercicio 3 Grafique una funcin RR:f que sea: 3.1 creciente (no estrictamente) en su dominio. 3.2 estrictamente creciente en "a" (indique este valor en el grfico).

Ejercicio 4 Grafique una funcin RR:g que no sea estrictamente creciente ni estrictamente decreciente en su dominio.

Funcin acotada

A continuacin se grafica [ ] ( ) 130 = xxf/R,:f Indique: a) Dominio "D" y conjunto imagen "C" de la funcin. b) El conjunto de cotas superiores del dominio de la

funcin f. c) El conjunto de cotas inferiores del dominio de f.

d) El conjunto de cotas superiores del conjunto imagen de la funcin f. e) El conjunto de cotas inferiores del conjunto imagen de f.

RESPUESTAS

a) D = [0, 3] y C = [-1, 2] b) [3, +) c) (-, 0] d) [2, +) e) (-, -1]

Cada elemento del intervalo [2, +) recibe el nombre de cota superior de la funcin; mientras que cada elemento del conjunto (-, -1] es una cota inferior de la funcin.

x

y

x

f es creciente en a si se verifica: f (a - d) f (a) f (a + d) f es decreciente en a si se verifica: f (a - d) f (a) f (a + d),

siendo d un nmero real positivo y suficientemente pequeo.


15

Despus de este estudio usted habr percibido que los conjuntos dominio e imagen de la funcin son respectivamente acotados.

Ahora considere g: RR / g (x) = x-1, existen cotas para el dominio y/o rango de g?

Por lo tanto:

Decimos que una funcin tiene dominio acotado si ste es un conjunto acotado.

Una funcin es acotada en su dominio, si el conjunto imagen de la funcin es un conjunto acotado.

Tambin podemos decir que:

Una funcin es acotada en un intervalo de su dominio, si el conjunto imagen de la funcin, correspondiente a ese intervalo, es un conjunto acotado.

Ejemplo La representacin grfica de una funcin RR:f es: f es funcin acotada en su dominio no acotado. Si se considera

[ ) R,0:f + es tambin una funcin acotada en un dominio no acotado. Pues el dominio [0, +), a pesar de tener cota inferior, es un conjunto no acotado. Si se tiene ( ] R2,0:f la funcin es acotada en un dominio acotado.

Ejemplo

Funcin acotada Funcin no acotada

dominio

acotado

dominio

no acotado

3 0

1 2

1

2


16

Ejercicio 5 5.1 Analice si son o no acotados los dominios y rangos de las siguientes funciones: g : (0, 2] R / g(x) = 4 h : R R / h(x) = - 3

5.2 Dibuje una funcin estrictamente decreciente. Defina su dominio de modo que la funcin resulte acotada.

5.3 Dibuje una funcin f no acotada en un conjunto no acotado. 5.4 Dibuje una funcin f acotada en un conjunto acotado.

Funcin par e impar

Se dice que la funcin f es: par en su dominio, si para todo x perteneciente a l se verifica que x tambin pertenece a l y ( ) ( )xfxf = . impar en su dominio, si para todo x perteneciente a l se verifica que x tambin pertenece a l y ( ) ( ).xfxf =

Funcin lineal

Nota: En una terminologa ms estricta, este tipo de funcin se llama afn y se reserva el nombre de lineal slo para la funcin ( ) mxxfRRf = /: , que se representa mediante una recta que pasa por el origen de coordenadas. En adelante utilizaremos la primera terminologa, llamando lineales a las funciones:

( ) bmxxfRRf += /: , cuya grfica es una recta, siendo: m la pendiente y b la ordenada al origen.

Ejemplo Examine la tabla y la representacin grfica que se presentan a continuacin y complete simblicamente:

( ) KKKK= xf/RR:f . La pendiente de f es mf = ...... y la ordenada al origen bf = .... ( ) KKKK= xg/RR:g La pendiente de g es mg = ...... y la ordenada al origen bg = .....

Una funcin lineal f es una funcin ( ) bxmxfRR:f += quetal , siendo m y b constantes reales.

-3 h

y

x 2

g 4


17

Ejercicio 6 Sea RRf : tal que ( ) bmxxf += . Represente f con los siguientes valores de m y b: a) m = 1/2 y b = -1 b) m = 1 y b = -1 c) m = 2 y b = -1

Ejercicio 7: Complete teniendo en cuenta el grfico anterior. Todas las rectas cortan al eje de ordenadas en el punto ( 0, - 1 ), es decir, las ordenadas al origen de las respectivas rectas son: b = ....... Las pendientes de las rectas son positivas o negativas? ....... La pendiente de la recta ....... es mayor que la de la recta ......., y sta a su vez mayor que la de .......................

Ejercicio 8: Dadas las funciones: f: R R / f(x) = 2 x - 2 g: R R / g(x) = 2 x + 2 h: R R / h(x) = - 2 x - 2 l: R R / l(x) = - 2 x + 2 s: R R / s(x) = - x t: R R / t(x) = x - 2 u: R R / u(x) = x v: R R / v(x) = 2x

21

+

w: R R / w(x) = 2x21

z: R R / z(x) = 2x21

8.1 Examine el grfico e indique en l aquellas que estn representadas (con f, g, etc., segn corresponda).

8.2 Usted ver que hay dos grficas que se intersecan en el punto de coordenadas (2, 2). Encuentre analticamente esas coordenadas.

x f(x) g(x) -2 -3 6

-1 -1 3 0 1 0 1 3 -3 2 5 -6 3 7 -9 4 9 -12


18

Se llama funcin identidad a la funcin lineal definida de la siguiente manera: ( ) xxfRR:f = con

Funcin identidad

Es el caso particular de una funcin lineal en que: "m = 1" y "b = 0" en f(x) = m x + b.

Complete:

Su ngulo de inclinacin es de ........... La funcin se anula en.......

Funcin constante

f: R R con f (x) = k siendo k una constante real.

Es el caso particular en que kbm == y0 en ( ) bmxxf += .

Ejemplo Sea la funcin: ( ) 2xf/RR:f =

Complete:

Dominio y rango de la funcin son ........ La ordenada al origen es ....... La pendiente de la recta es...... , por lo tanto su ngulo de inclinacin es ....... El eje de abscisas es la grfica de la funcin.......... El eje de ordenadas tiene por ecuacin: ........

Ecuacin de la recta que pasa por un punto de coordenadas conocidas y tiene pendiente conocida

Recordemos que la ecuacin de una recta que pasa por el punto (x1, y1) y tiene pendiente m es: ( )11 xxmyy =

Ejercicio 9 Halle la ecuacin de la recta que contiene al el punto de coordenadas (-1, 2) y tiene pendiente

2m = . Grafique.


19

Ecuacin de la recta que pasa por dos puntos de coordenadas conocidas

Recordemos que la ecuacin de una recta pasa por los puntos ( )11 y,x y ( )22 y,x es: ( )1

12

121 xx

xx

yyyy

= con 21 xx

Ejemplo Halle la ecuacin de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2, 1) y (4, 3). Grafique. Resolucin: ( )2

24131

= xy 1= xy

Ejercicio 10 10.1 a) Grafique [ ] ( ) 1

2133 += xxf/R,:f

b) Calcule f (-1), f (0), f (1), f (2) y f (3). c) Indique si f crece o decrece.

10.2 En una funcin lineal, qu relacin existe entre el signo de la pendiente y su crecimiento? Interprete el significado del valor de la pendiente.

10.3 Una empresa de remises de nuestro medio, adquiri uno de los modelos de Ford nuevo a $25000. Se piensa que despus de seis aos de uso intensivo valdr $10000 y se supone que la tasa de depreciacin es constante. D una estimacin razonable de su valor dentro de tres aos. Interprete grficamente la situacin.

10.4 Una empresa constructora necesita alquilar una retroexcavadora y por tal motivo recibe dos presupuestos:

I) Una retroexcavadora "A" : $120 en concepto de traslado hasta la obra, ms $350 por da. II) Una retroexcavadora "B" : $ 70 en concepto de traslado hasta la obra, ms $400 por da.

10.4.1 En qu caso sera indistinto contratar una u otra? 10.4.3 Si la necesita por 2 das, cul le conviene contratar? 10.4.3 Si la necesita por 1/2 da, cul le conviene contratar?

RESPUESTAS (de los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5)

1. Son funciones: f : R R h : R {2} R p : R R q : R R No lo son g: [a, +) R m : R R ( ] Rr 1,: 2. f decrece estrictamente en el intervalo ( )1, y crece estrictamente en el ( )+,1 .

En x1 = 1 no crece ni decrece. h decrece estrictamente en el intervalo

21

, y decrece estrictamente en el

+,

21

.

i crece estrictamente en el intervalo ( )+ , . l decrece estrictamente en el intervalo ( )0, y crece estrictamente en el ( )+,1


20

a x

y

f

3.

4. g y 1g verifican lo solicitado. Note que g es una funcin constante.

5.1 El gD = (0, 2] y el gC = {4} son acotados. El hD = (- , + ) no es acotado, mientras que el hC = {- 3} s es acotado. 5.2 g : (a, b] [d, c)

5.3 Una funcin f no acotada en un conjunto no acotado. Note, que an siendo el conjunto imagen acotado inferiormente, dicho conjunto no es acotado, por lo tanto no es acotada la funcin. 5.4 La funcin g : (a, b] [d, c) del 5.2

Funcin de potencia

Sin embargo f es funcin para ciertos valores de m, no para todos. f (x) = xm, con m es nmero natural, se tiene:

m nmero natural par ( ) 211 xxf/RR:f = ( ) 412 xxf/RR:f =

m nmero natural impar

( ) 313 xxf/RR:f = ( ) 514 xxf/RR:f =

g

y

x

c

a b

d

y

x

Una funcin de potencia es una funcin ( ) mxxfRD:f = por dada (D R y m es constante)

y

x

g1


21

Observando las representaciones grficas anteriores, podemos elaborar las siguientes conclusiones:

Dada la funcin ( ) mxxfRRf = siendo,: con m natural a) El dominio es ( )+ , . El rango es [ )+;0 para m par y ( )+ , para m impar. b) La funcin se anula en x = 0, es decir, f ( 0 ) = 0 y adems la curva es tangente al eje de

abscisas en el punto ( 0, 0 ). f pasa por el punto (1, 1). c) La curva correspondiente a m par es simtrica5 respecto al eje y (de ordenadas) y se la

llama parbola. Decrece en el ( )0, y crece en el ( )+,0 . La grfica correspondiente a m impar es simtrica con respecto al origen de coordenadas6. Es creciente en el ( )+ , .

d) Para valores de x muy grandes en valor absoluto, los valores de xm tienden a infinito positivo si m es par. Se repite esta situacin si m es impar?

f (x) = xm con m nmero entero negativo m nmero entero negativo par

( )( ) 4412

22

11

x1xxf/RR:f

x1xxf/RR:f

==

==

m nmero entero negativo impar ( )( ) 3314

11

13

x1xxf/RR:f

x1xxf/RR:f

==

==

5 Una grfica es simtrica con respecto al eje y si para cada punto (x, y) que pertenece a la grfica, el punto (-x, y)

tambin pertenece a la grfica.

6 Una grfica es simtrica con respecto al origen si para cada punto (x, y) que pertenece a la grfica, el punto (-x, -y) tambin pertenece

a la grfica.


22

Ejercicio 1 Sea f : R - {0} R / f

( x ) = x m siendo m nmero entero negativo par conteste: a) Cul es el rango de f ? b) Se anula la funcin para algn valor de su dominio? c) Para valores de x muy grandes en valor absoluto, qu ocurre con la grfica? d) A qu valor tiende x m para valores de x muy grandes en valor absoluto? e) Indique los intervalos en donde la funcin es positiva. f) A qu tiende f(x) para valores de x muy pequeos en valor absoluto? g) Indique intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin. h) Complete con = o segn corresponda: f (x) ...........f (-x)

Ejercicio 2 Observando la grfica, para m nmero entero negativo impar conteste: a) Cul es el mayor dominio posible de f y su correspondiente rango? b) Se anula la funcin para algn valor de su dominio? c) Para valores de x muy grandes en valor absoluto, qu ocurre con la grfica? d) A qu valor tiende f(x) para valores de x muy grandes en valor absoluto? e) Indique los intervalos en donde la funcin es positiva. f) A qu valor tiende f(x) para valores de x muy pequeos en valor absoluto? g) Indique intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcin h) Complete con = o segn corresponda: f (x) ...........f (-x)


23

f (x) = xm con m = qp

siendo p y q nmeros naturales primos entre s

Sea f : R R / f (x) = x3 (donde p = 3 y q = 1)y g su relacin inversa, observando el grfico trate de responder: Qu funcin es i?

( ) xxiRRi = /: , es la funcin identidad.

Es funcin la relacin inversa g? La relacin ( ) 31/: xxgRRg = es funcin.

Cmo son las curvas f y g respecto de i? Son curvas simtricas. Siempre una funcin y su inversa guardan simetra respecto de la funcin identidad.

Es g una funcin de potencia? Si, pero de exponente fraccionario.

Sea ( ) gxxgRRf y/: 2= su relacin inversa, observando el grfico responda las prximas preguntas.

Es funcin la relacin inversa g? En caso de no serlo, podra descomponerla en dos funciones?

[ ) [ ) ( ) xxhh += /,0,0: ) y [ ) ( ] ( ) xxhh = /0,,0:

Todas las relaciones inversas de funciones de potencias de exponente entero positivo; sern funciones de potencias de exponente fraccionario? Las relaciones inversas de funciones de potencias de exponente entero positivo, no siempre son funciones. Hay que analizar cada caso, y tener presente cul es el dominio.

Ejercicio 3 Se desea conocer cmo vara la arista de un cubo en funcin de su volumen. Represente grficamente la situacin.

Ejercicio 4 Analice el comportamiento de:

( ) mxxf = con qp

m = siendo p y q nmeros naturales primos entre s.

(hay que definir bien los dominios para que sean funciones) Considere como ejemplo: ( ) ( )

xxfRf 1/,0: =+ .


24

Ejercicio 5 Sea RDf : , siendo ( ) ( )Rkxkxf m = para a) Qu efecto produce k? b) Qu ocurre si 0


25

Los ceros de la funcin, es decir, los valores de x en donde la funcin se anula son: x

= - 1, x = 3, x = - 3 y x = 2.

Estos valores de x son todos reales y distintos. La funcin corta al eje x en los puntos: ( -1, 0 ), ( 3, 0 ), ( - 3, 0 ) y ( 2, 0 ).

Cuando el intervalo es muy grande, no se alcanza a visualizar la variacin de la curva en las proximidades de los ceros de la funcin, hay predominio de la funcin de la forma: ( ) 4xkxh = (en este caso con k > 0).

En otras palabras, el trmino de mayor grado de una funcin polinmica, k x4, indicar cul es el tipo de curva que predominar en intervalos muy grandes (escala global).

Ejercicio 9 Sea ( ) ( )( )( )( )2331/: ++= xxxxxfRRf Bosqueje f. Haga un estudio similar al del ejemplo anterior. Note ahora que k < 0. Qu cambio apreci en la grfica?

Ejemplo Sea ( ) xxxxfRRf 45/: 35 += .

Es una funcin polinmica de 5 grado. Los ceros de la funcin, es decir, los valores de x en donde la funcin se anula son: x = - 2, x = -1, x = 0 x = 1 y x = 2.

En estos valores de x, la funcin debe cortar al eje de abscisas. Se puede concluir que cuando el intervalo es muy grande, no se alcanza a visualizar la variacin de la curva en las proximidades de los ceros de la funcin, predomina la forma de "f ( x ) = - x5 ". En otras palabras, el trmino de mayor grado de una funcin polinmica, " kxn ", indicar cul es el tipo de curva que predominar en intervalos muy grandes, es decir, en la escala global. Ntese que " f " tiene las ramas opuestas a la funcin de potencia de grado 5 (con k = 1).


26

b. Los ceros de la funcin son todos reales y algunos (o todos) se repiten

Ejemplo

Sea ( ) ( ) ( )16x24x8x9x6x

2x1xxf/RR:f23456

42

+++=

=+=

Observe la grfica y conteste:

Esta funcin polinmica es de 6 grado. La funcin corta al eje de abscisas en los puntos: ( -1, 0 ) y ( 2, 0 ). Los ceros de la funcin, es decir, los valores de x en donde la funcin se anula son: x1 = x2 = - 1, x3 = x4 = x5 = x6 = 2 Cuando los ceros se repiten, qu sucede con la grfica de la funcin? Podra estimar la grfica de la funcin dada en una escala global (por ejemplo en el intervalo (-100, 100)?

Ejercicio 10 Sean f1 : R R / f1 ( x ) = ( x + 1)2 ( x 2 )3

f2 : R R / f2 ( x ) = (x - 2) ( x + 3) ( x + 21 )4 ( x 41 )3 f3 : R R / f3 ( x ) = ( x 2 -1) (x 2 )3

Bosqueje cada una de las funciones y efecte un estudio similar al del ejemplo anterior.

Funciones expresadas por cocientes entre polinomios

Sea ( ) ( )( )xqxp

xfBAf = /: en donde p y q son polinomios en x, es decir, f es una funcin

racional.

a. El polinomio numerador y el polinomio denominador tienen races reales distintas. Adems las respectivas races son tambin distintas.

Ejemplo { } )2(

)1()3(/2:

+

x

xxRRf

y

x


27

Los ceros de esta funcin son aquellos valores de x para los cuales el cociente se anula. El cociente ser nulo en aquellos valores de x que anulan al numerador, y no al denominador. Los ceros de esta funcin son: x1 = -3 , x2 = 1. Ntese que en aquellos valores reales de x en donde se anula el denominador (y no el numerador), x3 = 2, la funcin no est definida. La curva tiene por asntota vertical, la recta de ecuacin x = 2. Se percibe que tendr asntota oblicua y no horizontal.

b. El polinomio numerador tiene races reales distintas, mientras que el polinomio denominador tiene races mltiples . Las races del numerador son distintas a las del denominador.

Ejemplo { } ( )( )( )( )221

12/2,1:+

+

xx

xxxRRf .

Los ceros de esta funcin son: x1 = -2 x2 = 0 x3 = 1 Los ceros del denominador son: x4 = -1 x5 = 2 Las ecuaciones de las asntotas verticales son: x = 2 y x = -1. Cmo se comporta la curva en las proximidades de x5 = 2 (raz mltiple del polinomio). y en las proximidades de x4 = - 1 (raz real simple)? Se percibe que tendr adems una asntota horizontal, pero no habr asntota oblicua.

c. El polinomio numerador, o el polinomio denominador, o ambos tienen races reales que se repiten. Las races del numerador son distintas a las del denominador.

Ejemplo { } ( ) 2

2

)2()1()1()2(/2,1:

+

+=

xx

xxxxfRRf

Realice un anlisis similar al de los ejemplos anteriores.

x

y

x

y

x

y

x

y


28

d. Si numerador y denominador tuviesen una o ms races iguales, habra que investigar qu ocurre. Pueden presentarse distintas situaciones, que ms adelante ampliaremos.

Funcin exponencial

La funcin exponencial es una funcin muy importante no slo en Matemtica, sino tambin en Administracin, Economa y otras reas.

La base a es constante real positiva y el exponente x es variable. Suele presentarse en problemas que implican crecimiento y decrecimiento, como por ejemplo en estudios de poblacin, desintegracin radioactiva, etc.

Ejemplo ( ) ( )x

xfRf

=+

21/,0:

En cunto varan los valores que se han ido dando sucesivamente al exponente x? En cunto han ido variando respectivamente los resultados obtenidos (es decir de f(x))? Fue uniforme esta ltima variacin? A medida que aumentan los valores del exponente cmo son los resultados? Existir algn valor real del exponente, para que el resultado sea negativo o nulo? Luego de este examen seguramente aprecia que la funcin siempre toma valores positivos y adems decrece rpidamente en el intervalo ( )0, y muy lentamente en el ( )+,0 .

Complete de modo que la siguiente proposicin sea verdadera: Para valores muy grandes de x, los de la funcin sern ....................................... y la distancia entre la curva y el eje de abscisa tender a valer ...................................

A continuacin se grafican funciones exponenciales de bases recprocas.

( ) ( )x

xfRf

=+

21/,0: 11

( ) ( )x

xfRf

=+

31/,0: 22

( ) ( )x

xfRf

=+

41/,0: 33

( ) ( ) xxfRf 2/,0: 44 =+

( ) ( ) xxfRf 3/,0: 55 =+

( ) ( ) xxfRf 4/,0: 66 =+

( ) ( ) xaxfRf =+ /,0: , siendo a un nmero real 0 < a < 1 a >1


29

Las de base 0 < a < 1 son estrictamente decrecientes, mientras que las de base a > 1 son estrictamente crecientes en su dominio.

Estas funciones no tienen ceros. Las funciones exponenciales vistas son continuas (se las puede recorrer sin levantar el lpiz) y

cortan al eje de ordenadas en el punto (0, 1). Todas las curvas son asintticas al eje de abscisas.

Ejercicio 1 Sea ( ) ( ) xexfRf =+ /,0: . Represente grficamente y complete: * El dominio de f es (.....,... ..) y el rango es C = (...., ....). * La funcin ....... se anula en su dominio. * f(x) ..... 0 en ( )+ , , es decir, en su dominio.

Funcin logartmica

Recuerde que yxa =log significa, por definicin de logaritmo, xa y = .

Observe que las funciones:

( ) ( )( ) ( ) inversas funciones son

siendo,0:log siendo,0:

11

=+

=+ x

a

axfRfxxfRf

A continuacin se grafican funciones logartmicas de bases recprocas

( ) ( ) xxfRf alog/,0: =+ , siendo la base a del logaritmo, un nmero real, que cumple 0 < a < 1 a >1.


30

( ) ( ) xxfRf 211 log/ ,0: =+ ( ) ( ) xxfRf 322 log/ ,0: =+ ( ) ( ) xxfRf 433 log/ ,0: =+

( ) ( ) xxfRf2

144 log/ ,0: =+

( ) ( ) xxfRf3

155 log/ ,0: =+

( ) ( ) xxfRf4

166 log/ ,0: =+

Son funciones continuas en sus respectivos dominios: ( )+,0 . Las curvas correspondientes a las funciones logartmicas, cuyas bases son recprocas entre s, son simtricas respecto del eje de abscisas y todas se intersecan en el punto (1, 0) Las de base 0 < a < 1 son estrictamente decrecientes y las de base a > 1 son estrictamente crecientes.

Ejercicio 2 Sea ( ) ( ) xxfRf ln/ ,0: 44 =+ (funcin logaritmo natural). Grafique f y f 1.

Ejercicio 3 Represente en un mismo grfico seis funciones exponenciales, de modo que las bases de tres de ellas sean las recprocas de las otras tres. Anexe un grfico paralelo en donde estn representadas las funciones inversas de las anteriores.

Ejercicio 4 Para valores suficientemente grandes de x, qu funcin crece ms rpido, la exponencial o la de potencia?

RESPUESTAS (funcin exponencial y logartmica ) 1- El dominio de f es ( )+ , y el rango es ( )+= ,0C

* La funcin no se anula en su dominio.


31

* f (x) > 0 en el ( )+ , , es decir en su dominio.

3- Funcin exponencial Funcin logartmica ( ) ( ) xaxfRf =+ /,0: ( ) ( ) xxfRf alog/,0: =+

4- ( ) ( ) xxfRf 4/,0: =+

( ) 4/: xxgRRg =

f

g


32

Funciones trigonomtricas

Las funciones que abordaremos son las trigonomtricas directas, mientras que las inversas las mencionaremos someramente.

Funcin seno

f : R R / f (x) = sen x Funcin coseno

f : R R / f (x) = cos x

Funcin tangente

f : R-A R / f (x) = tg x A = {x/ x = pi+pi k

2, con kZ }

Funcin cotangente

f : R - B R / f (x) = ctg x B = {x/ x = pi+pi k , con kZ }

Funcin secante

f : R - C R / f (x) = sec x C = {x/ x = pi+pi k

2, con kZ }

Funcin cosecante

f : R - E R / f (x) = cosec x

E = {x/ x = pi+pi k , con kZ }

Las funciones trigonomtricas directas son aquellas cuya variable independiente es la medida de un ngulo

. Se las llaman: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de dicho ngulo.


33

Observe que en intervalos de igual longitud, se repite el grfico. Las funciones que presentan esta caracterstica se llaman funciones peridicas. Las funciones seno, coseno, secante y cosecante son peridicas de perodo pi2 , mientras que la tangente y cotangente tienen perodo pi .

Las funciones anteriores no son biyectivas. Para que lo sean, se las debe redefinir, restringiendo el dominio. Por ejemplo las tres primeras funciones: f1 : [ ]22 , pipi [-1, 1] / f1(x) = sen x , f2 : [ ]pi,0 [ -1, 1] / f2 (x) = cos x, f 3: ( )22 , pipi R / f3 (x) = tg x Las funciones trigonomtricas inversas correspondientes, son arco seno, arco coseno, arco tangente, arco cotangente, arco secante y arco cosecante. Las representaciones de las tres primeras son respectivamente:

f 1-1 : [-1, 1] [ ]22 , pipi / f 1-1(x) = arc sen x f 2-1 : [ -1, 1] [ ]pi,0 / f2-1(x) = arc cos x f 3-1 : R ( )22 , pipi / f3 -1(x) = arc tg x

Ejercicio 1 Grafique f : R R / f (x) = sen x g : R R / g (x) = 2 sen x h : R R / h (x) = 3 sen x i : R R / i (x) =

21

sen x

examine las curvas y elabore una conjetura.

Ejercicio 2 Grafique f : R R / f (x) = sen x g : R R / g (x) = sen ( 2 x ) h : R R / h (x) = sen ( )3x examine las curvas y elabore una conjetura.

Ejercicio 3 Indique el crecimiento de cada una de las siguientes funciones:

f : [-1, 1] R / f (x) = arc sen x f : [ -1, 1] R / f (x) = arc cos x f : R R / f (x) = arc tg x


34

Funciones especiales

Valor absoluto

f : RR, siendo f (x) = | x |

Signo

f : R - {0}R, siendo f(x) = sign x = x

x

Parte entera f :RR, siendo f (x) = [x]

[x] = n si [ )1+ n,nx siendo n un nmero entero.

Mantisa f : RR / f (x) = mant x siendo mant x = x - [x]

Ejercicio 4 Indique si cada una de las cuatro ltimas funciones anteriores son estrictamente crecientes o decrecientes en su dominio. Escriba el conjunto imagen de cada una de ellas. Diga si son funciones acotadas o no en su dominio.

Funciones definidas por tramos

Ejemplo sen x si x [- 2 pi , 0) f : [-2 pi , + ) R, con f(x) = -x+2 si x [0, 3)

-2 si x [3, 5]

25)-(x 8 si x (5, + )

Una funcin definida por tramos es aquella que no satisface una nica expresin simblica en todo su dominio.


35

Ejercicio 5 Funcin indicadora

La funcin indicadora7 de un conjunto A se define como:

AxAx

RR:IA si0 si1

por dada

Represente grficamente la funcin indicadora en los siguientes casos:

5.1 { }321 ,,A = 5.2 ( ]351 ;,A =

Resolucin:

5.1 { }321 ,,A = 5.2 ( ]351 ;,A =

Ejercicio 6

7 Funcin muy utilizada en Estadstica.

1 2 3

1

x

y

1

-1,5 3


36

Representemos las siguientes funciones.

6.1 6.2


37

Solucin b)

x

f (x) =

0

f (0) =

1

f(1) =

2

f(2) =

3

f(3) =

4

f(4) =

5 f(5) = 321

21

21

55 05

=

RESPUESTAS h

1-

i

f

g

Sea a un nmero real no nulo, si se tiene la funcin ( ) x aRRf senxf/ : = , las imgenes de la misma pertenecen al intervalo [-a, a]. Es una funcin acotada. Se observa que la variacin de a produce variacin en la amplitud de la curva.

2- Sea b un nmero real no nulo, si se tiene la funcin ( ) ( )bx RRf senxf/ : = se observa que la variacin de b motiva la variacin de la frecuencia de la curva. f h g

4 pi

2 pi En una onda de f entran dos de g. En una onda de h entran tres de f.

x5x

21

21

x

5

321

21

21

05 50

=

325

21

21

15 41

=

165

21

21

25 32

=

165

21

21

35 23

=

325

21

21

45 14

=


38

3- f : [-1, 1] R / f(x) = arc sen x f : [ -1, 1] R / f(x) = arc cos x f : R R / f(x) = arc tg x

f es estrictamente creciente f es estrictamente decreciente f es estrictamente creciente

4-

( ) xxfRR:f = siendo { } ( ) ( )xsign siendo 0 = xfRR:f f no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente en su dominio. f es estrictamente decreciente en (- , o) y estrictamente creciente en (0, + ). En x = 0 no crece ni decrece.

Cf = [0, + ) f no es acotada en su dominio.

f no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente en su dominio.

f es constante en (- , o) y tambin en (0, + ).

Cf = {- 1, 1} f es acotada en su dominio.

( ) [ ]xxfRR:f = siendo { } ( ) ( )xmant siendo 0 = xfRR:f ) f no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente en su dominio.

f es constante en el [0, 1), en [1, 2), etc.

f es creciente (no estrictamente) en x = 1, en x = 2, etc. Cf = Z siendo Z el conjunto de los nmeros enteros. f no es acotada en su dominio.

f no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente en su dominio. f es estrictamente creciente en el intervalo (0, 1), en (1, 2), etc. f no crece ni decrece en x = 1, en x = 2, etc.

Cf = [0, 1) f es acotada en su dominio.

7- Si llamamos c1, s1, c2 y s2 a las caras y sellos de las respectivas monedas, se pueden presentar las siguientes posibilidades:

c1 c2 S = { (c1, c2), (c1, s2), (s1, s2), (s1, c2) } s1 s2

Ntese que se puede realizar la siguiente codificacin (teniendo en cuenta el nmero de caras que aparecen en cada tirada de monedas): f

S Cf f (c1, c2) = 2 (c1, c2) 2

(1) f (c1, s2) = 1 (c1, s2) 1 f (s1, s2) = 0 (s1, s2) f (s1, c2) = 1 0 (s1, c2)


39

Note que Cf = { 0, 1, 2 } = f (S) y Cf R.

RS:f

que satisface (1) es una solucin.

Algunas aplicaciones

1. Un fabricante puede vender un cierto producto por $110 cada unidad. El costo total est formado por gastos generales de $7.500 ms los costos de produccin de $60 por unidad. a) Cuntas unidades debe vender el fabricante para llegar al punto de beneficio nulo? b) Cul es el beneficio o prdida si vende 100 unidades? c) Cuntas unidades debe vender para obtener un beneficio de $1200? d) Grafique.

2. Halle el precio de equilibrio y el correspondiente nmero de unidades ofertadas y demandadas si

la funcin de oferta para un cierto artculo es S(p) = p2 +3p 70 y la funcin de demanda es D(p) = 410 - p. Grafique S(p) y D(p).

3. Se estima que dentro de t aos la poblacin de una cierta comunidad suburbana ser de P(t) = (20 -

1t6+

) miles

a) Cul ser la poblacin de la comunidad dentro de 9 aos? b) Grafique P(t) e indique qu le suceder al tamao de la poblacin a medida que pasa el

tiempo?

ECUACIONES NORMALES DE LAS CNICAS

Las curvas que representan a las cnicas, permiten interpretar variados problemas fsicos, astronmicos, econmicos, de ingeniera, etc. El matemtico y astrnomo alemn, J. Kepler ( 1571-1630), advirti que el movimiento de traslacin de los planetas alrededor del sol, describe trayectorias elpticas, siendo el sol uno de sus focos. En la actualidad hay sistemas de navegacin que utilizan hiprbolas y las antenas parablicas de televisin tienen secciones transversales que son parbolas. Las cnicas son curvas que se obtienen de la interseccin de un cono de doble hoja con planos. Se estudian en profundidad en cualquier curso de Geometra Analtica y son: circunferencia, parbola, elipse e hiprbola. En este cuaderno solamente nos ocuparemos de las ecuaciones y representaciones grficas de las cnicas, como as tambin examinaremos cules representan funciones y cules no.


40

Circunferencia

Circunferencia centrada

La representacin grfica de la circunferencia centrada, de ecuacin 422 =+ yx , es la que se muestra.

Podra definir esta relacin para que represente la funcin del grfico siguiente?

f : ... ..... con f (x) = ...........

Circunferencia descentrada

La ecuacin de la circunferencia con centro en el punto C(h, k)

y radio r es 2r2)ky(2)hx( =+

La representacin grfica de la circunferencia de ecuacin 4)3y()1x( 22 =+ es la que se muestra. Observe que su centro es C ( 1, 3 ) y su radio es r = 2.

Parbola

Parbola centrada

La variable lineal indica la direccin del eje de la parbola. Si "p > 0" , las ramas estn orientadas hacia el sentido positivo del mencionado eje, y en sentido contrario si "p < 0".

La ecuacin de la circunferencia centrada en el origen de coordenadas es 222 ryx =+ donde r es el radio.

C(1,3)

Las ecuaciones de las parbolas centradas en el origen de coordenadas tienen la ecuacin:

xp22y = yp22x = siendo p un nmero real no nulo.


41

241 )3x(1y +=

a) Parbola con p > 0 y eje focal el eje x . b) Parbola con p < 0 y eje focal el x. x92y = x252y =

y

p > 0 p < 0

x

Estas grficas, representan funciones? .........................

Teniendo en cuenta las relaciones anteriores, defina las funciones f y g representadas a continuacin. f

f : ... ..... con f (x) = ........... g : ... ..... con g(x) = ...........

g

c) Parbola con p > 0 y eje focal el y. d) Parbola con p < 0 y eje focal el y.

p > 0 y8x2 = y8x2 =

p < 0

Las dos ltimas, son funciones de reales ? .............................

Parbola descentrada

2)3x(411y +=

p > 0

Las ecuaciones de las parbolas descentradas con respecto al origen de coordenadas son: )(2)()(2)( 22 kyphxhxpky == siendo p un nmero real no nulo y h y k las coordenadas del vrtice.

p < 0


42

Elipse

Elipse centrada

Elipses centradas

Con eje mayor horizontal Con eje mayor vertical

14

2y16

2x=+ 1

25

2y4

2x=+

Ntese que "a2 = 16", luego el semieje mayor es "4" . "a2 = 25" el semieje mayor es "5" Por ser "a" denominador de "x", el eje El eje mayor est sobre el eje de mayor est sobre el eje de abscisas. ordenadas.

Observe que las siguientes relaciones representan funciones:

[ ] ( )2

16 con44

2xxfR,:f

= [ ] ( ) 2425

con22 xxhR,:h =

[ ] ( )2

16 con44

2xxgR,:g = [ ] ( ) 24

25i con22 xxR,:i =

Elipses descentradas

Examinemos las elipses de ecuacin:

x

La ecuacin de la elipse centrada en el origen de coordenadas, con eje mayor horizontal es 12b

2y2a

2x=+ siendo a y b los semiejes mayor y menor

respectivamente.

La ecuacin de la elipse con centro en el punto C(h, k) y con eje mayor horizontal es ( ) ( ) 1

2b

2ky2a

2hx=

+

siendo a y b los semiejes mayor y menor respectivamente.


43

( ) ( ) 141

161 22

=

+ yx

( ) ( ) 193

42 22

=

++ yx

a2 = 16 aparece como denominador del polinomio 2a = 9 aparece como denominador cuadrtico en x, por lo tanto, el eje mayor del polinomio cuadrtico en y, luego ser paralelo al eje de abscisas. el eje mayor es paralelo al eje de ordenadas.

Hiprbola

Hiprbola centrada

La ecuacin de la hiprbola centrada en el origen de coordenada es 1by

a

x2

2

2

2= siendo

a y b los semiejes transverso8 y conjugado respectivamente.

Hiprbolas centradas

Con eje transverso horizontal Con eje transverso vertical 1

4y

9x 22

= 125x

4y 22

=

La fraccin positiva es 9

x 2, luego el eje

transverso est sobre el eje de abscisas9 y el correspondiente semieje es "3".

2a4a2 == , luego el semieje transverso es "2" y est sobre el eje de ordenadas.

Esto significa, que las ramas de esta hiprbola abrazan al eje x.

Las ramas de la hiprbola abrazan al eje y.

8 El denominador de la fraccin positiva es el cuadrado del semieje transverso.

9 Si se tratara de una hiprbola descentrada, el eje transverso sera paralelo al eje de abscisas.


44

Estas curvas tampoco son funciones. Observ cmo las curvas se acercan a las rectas? A esas rectas se las denomina asntotas de las curvas correspondientes.

Hiprbolas con centro en el punto C(h, k)

La grfica de la hiprbola de ecuacin

( ) ( ) 12y2511x

41 22

=+ es:

Ecuacin de la hiprbola equiltera centrada

La ecuacin de la hiprbola equiltera centrada es 222 kyx = , siendo a = b = k Se representa 4yx 22 = , donde "k = 2".

La ecuacin de la hiprbola equiltera centrada, rotada 45 es: x y = k Por ejemplo se representa la hiprbola de ecuacin:

1yx = . Cules son las asntotas a la grfica de esta hiprbola?

La ecuacin de la hiprbola con centro en C(h, k) es 1b

)ky(a

)hx(2

2

2

2=

, siendo a

y b los semiejes transverso y conjugado respectivamente.


45

Ejercicio Dadas las siguientes expresiones, bosqueje su grfica respectiva.

19

)1(4

)2( 22=

++ xy

19

)1(4

)2( 22=

++

xy

14

)1(9

)2( 22=

++ xy

14

)1(9

)2( 22=

++

xy

14

)1(9

)2( 22=

+

xy 1

9)2(

4)1( 22

=

+

yx

( ) ( )122 2 =+ xpy

( ) ( )122 2 += xpy

tema 1- entornos y funciones

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