tema 09 - operadores diferenciales sobre campos vectoriales

Cálculo II – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto IX.1

TEMA IX OPERADORES DIFERENCIALES SOBRE CAMPOS VECTORIALES

Introducción

En el tema anterior vimos dos maneras de integrar campos vectoriales en tres dimensiones, a

lo largo de curvas y sobres superficies, ahora veremos dos maneras de derivarlo, esto es la

divergencia y el rotor. Ambas magnitudes, la primera de naturaleza escalar y la segunda

vectorial, hacen referencia a la variación de un campo vectorial cuando nos desplazarnos

de un punto a otro. En el tema siguiente, será posible acoplar cada una de estas formas

diferenciales con una de las modalidades de integración, para dar lugar finalmente, a los

teoremas integrales del cálculo vectorial.

IX.1 DIVERGENCIA

Consideremos un tubo como el que se muestra en la figura 1, a través del cual fluye agua.

La línea punteada dentro del tubo representa la frontera de un volumen de control

estacionario. El agua que pasa a través de la frontera, puede circular en cualquier forma

irregular, pero la cantidad de agua que entra al volumen de control debe salir, ya que no

puede acumularse por ser incompresible, ni tampoco divergir ya que dejaría un vacío

dentro del volumen de control.

Ahora analicemos qué ocurre dentro de un

tubo de aire comprimido, con cierre en los

dos extremos. Cuando se remueve uno de

los cierres tal como se muestra en la figura

2, el aire sale hacia afuera. Consideremos

igual que antes la frontera de un volumen

de control (líneas punteadas), como el aire

se expande, es mayor la cantidad de aire

que sale por el extremo derecho de la

frontera que por el izquierdo, luego

decimos que hay una divergencia de aire.

Hay divergencia en todos los puntos en

que el aire se expande.

v agua

Figura 1

v gas

Figura 2


Entonces, si v denota el campo de

velocidades en el movimiento de un fluido, la

divergencia del campo v , que indicaremos

como div v , representa la velocidad de

expansión por unidad de volumen en un

punto. Si la divergencia es positiva, mide la

tendencia de ese fluido a divergir desde el

punto hacia el exterior, si es negativa la

tendencia del fluido a acumularse en ese

punto y finalmente si es nula (sin ser el caso

trivial 0=v ) se dice que el fluido es

incompresible. En término de las líneas de flujo

esto se muestra en las figuras 3, 4 y 5,

respectivamente.

IX.1.1 La divergencia del campo v , como una densidad volumétrica de flujo

La definición que veremos se ha realizado con la intención de asociar al concepto de flujo,

que es integral o global, un concepto diferencial, puntual o local.

Consideremos un pequeño volumen de control que

contiene en su interior al punto P , y que colocamos

en el campo de velocidades de un fluido, (figura 6).

Las líneas de flujo del campo entran y salen del

cubo a través de cada una de sus caras.

Luego el flujo total del campo a través del cubo viene dado por: 6

1j

j jj

v n dS v n dS=Σ Σ

⋅ = ⋅∑∫∫ ∫∫ ,

siendo j

j jv n dSΣ

⋅∫∫ , el flujo en cada una de las caras del cubo.

Hagamos ahora el cociente entre el flujo y el volumen del cubo, para obtener la densidad

promedio de flujo, esto es:

V

dSnv∫∫Σ

⋅

=ρ

siendo V el volumen del cubo.

Figura 4

0div v <

Figura 3

0div v >

Figura 5

0div v =

P Superficie jΣ v

Figura 6


La densidad volumétrica de flujo en el punto P , la obtendremos de la expresión anterior

tomando límite para 0→V , esto es:

( )V

dSnv

PV

∫∫Σ

→

⋅

=ρ0

lím

Si este límite existe en P , es la densidad puntual de flujo o divergencia de v , evaluada en

P . Luego la divergencia es un concepto puntual, que indicaremos como div .

0límV

v n dSdiv v

VΣ

→

⋅=

∫∫

Sabemos lo trabajoso que resulta calcular un límite por la propia definición de límite, por

suerte existen expresiones por coordenadas que facilitan el cálculo de la divergencia. A

continuación obtendremos estas expresiones en coordenadas cartesianas.

IX.1.2 Cálculo de la divergencia en coordenadas cartesianas

A continuación obtendremos la densidad

volumétrica de flujo en el punto P , para lo cual

calcularemos el flujo del campo de velocidades

( ) ( ) ( )x y zˆˆ ˆv v x, y,z i v x, y,z j v x, y,z k= + + a través de

un cubo (figura 7), lo suficientemente pequeño,

de modo que la aproximación lineal por Taylor

de los valores del campo en cada una de sus

caras sea válida, lo dividiremos por su volumen y

finalmente para obtener el valor de la densidad

volumétrica de flujo en el punto P , tomaremos

límite para el volumen del cubo que tienda a

cero y al punto P .

El flujo total a través del cubo, vendrá dado por: Flujos a través de las caras del cubo∑

Para evaluar los flujos a través de las caras del cubo, efectuaremos un desarrollo en serie de

Taylor del campo de velocidades x y zˆˆ ˆv v i v j v k= + + , por componentes alrededor del punto

( )0 0 0,P x , y z y tendremos en cuenta que solamente la componente del campo de

x

y

z

0 2x x+ Δ

0 2y y+ Δ

0 2z z− Δ 0x

0 2y y− Δ

0z

P xxxiv

Δ+0

ˆ 0

x x xˆv i

−Δ

Figura 7

0 2z z+ Δ

0y

0 2x x− Δ


velocidades perpendicular a cada una de las caras contribuye al flujo a través de cada una

de ellas y consideremos además que el cubo es lo suficientemente pequeño para que el

valor del campo en cada una de las caras sea constante y aproximadamente igual al valor

que toma en el centro de la misma, luego:

Flujo entrante en 0 2x x x= − Δ :

( )0 0 02xv x x , y ,z y z− − Δ Δ Δ

y en la cara derecha, la componente i del campo la aproximamos linealmente utilizando el

polinomio de Taylor, luego el flujo estará dado por:

Flujo saliente en 0 2x x x= + Δ :

( ) ( )( )0 0 0

0 0 0 0 0 02

2 2 xx x

x x ,y ,z

vv x x , y ,z y z v x x , y ,z x y zx −Δ

⎛ ⎞∂+ Δ Δ Δ ≈ − Δ + Δ Δ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Utilizando el mismo tratamiento para las caras restantes:

Flujo entrante en 0 2y y y= − Δ :

( )0 0 02yv x , y y ,z x z− − Δ Δ Δ

Flujo saliente en 0 2y y y= + Δ :

( ) ( )( )0 0 0

0 0 0 0 0 02

2 2 yy y

x ,y y ,z

vv x , y y ,z z x v x , y y ,z y z x

y−Δ

⎛ ⎞∂⎜ ⎟+ Δ Δ Δ ≈ − Δ + Δ Δ Δ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Flujo entrante en 0 2z z z= − Δ :

( )0 0 0 2zv x , y ,z z x y− − Δ Δ Δ

Flujo saliente en 0 2z z z= + Δ :

( ) ( )( )0 0 0

0 0 0 0 0 02

2 2 zz z

x ,y ,z z

vv x , y ,z z x y v x , y ,z z z x yz −Δ

⎛ ⎞∂+ Δ Δ Δ ≈ − Δ + Δ Δ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Luego, sumando los flujos sobre las seis caras, tendremos:

Flujo total a través del cubo ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0

0 0 02 2 2

yx z

x x ,y ,z x ,y y ,z x ,y ,z z

vv v x y zx y z−Δ −Δ −Δ

⎡ ⎤∂∂ ∂⎢ ⎥= + + Δ Δ Δ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦


Si dividimos por el volumen del cubo y tomamos límite para ,,, 000 →Δ→Δ→Δ zyx nos

queda:

( )000

Flujo neto saliente a través del cubolímvolumen del cuboV x

yz

PΔ →Δ →Δ →

δ =( )

( )0 0 00 0 0

yx zx ,y ,z

x ,y ,z

vv v vx y z

∂⎛ ⎞∂ ∂= + + = ∇ ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

div v v= ∇ ⋅

¿Cómo es la expresión de la divergencia en otros sistemas de coordenadas? Estas

expresiones se presentan en el punto IX.4.

IX.2 ROTOR

Otra forma de describir la variación de un campo

vectorial recibe el nombre de rotor. Consideremos un

tanque cilíndrico que contiene agua la cual ha sido

movida con un agitador con palas. En la figura 8 se

muestra el tanque visto desde arriba, los vectores

representan la velocidad v . En la figura 9 se muestra una

pequeña rueda con paletas. Si esta rueda montada

sobre un mecanismo libre de fricción, se sumerge en el

centro del tanque girará contrario a las agujas del reloj.

En cualquier punto que se la coloque, la ruedita girará,

porque aunque no esté en el centro, el agua se mueve

más ligero por un lado de la ruedita que por el otro. El

movimiento de la rueda está indicando que el campo de

velocidades tiene un rotor que no es nulo.

Consideremos otra situación en la cual el fluido tiene un movimiento rectilíneo. El agua fluye

por un canal, como se muestra en la figura 10 en tal forma que su velocidad es mayor cerca

de la superficie que en el fondo, toda partícula de líquido se mueve sobre una línea recta.

Sin embargo el rotor no es nulo, lo que se reconoce usando la ruedita exploradora. Mirando

la figura se observa que la ruedita girará en el sentido de las agujas del reloj, ya que la

velocidad es mayor en las capas de fluido superiores que en las inferiores.

Figura 10

Figura 9

Figura 8

v


En la figura 11 se muestra un canal donde circula agua con rotor nulo. En la parte recta el

agua circula con velocidad uniforme. Es evidente que la rueda no girará si la colocamos en

la posición a . Es posible que en la curva del canal el agua se mueva con rotor nulo. Para

que esto ocurra es necesario que el agua circule con mayor velocidad en la margen interna

del canal en una justa proporción.

En la misma figura se muestra con más

detalle lo que sucede en el punto b . A

causa de la curvatura de las líneas de

corriente más de la mitad de las paletas son

dirigidas en el sentido de las agujas del reloj.

La velocidad sin embargo es mayor, según

supusimos en la orilla izquierda, y aunque el

empuje sea menor en el sentido opuesto,

reciben un impulso mayor. Se puede

entonces pensar que la curvatura y la

variación de velocidad pueden relacionarse

de tal manera que la ruedita quede sin girar.

Es por lo tanto posible la existencia de movimientos curvos que tengan rotor nulo. Este tipo

de movimientos es característico de los fluidos sin rozamiento, por ello el propósito de las

líneas aerodinámicas es construir superficies por las cuales el agua o el aire fluyan con un

mínimo de rotor. Los movimientos con rotor no nulo desarrollan remolinos que disipan

energía.

La divergencia de un vector es un valor escalar. Hay divergencia de un punto o hacia un

punto, pero no hay asociada a este concepto idea alguna de dirección. El rotor de un

campo vectorial, por el contrario es un vector, que indicaremos como rot . Si imaginamos al

rotor como un remolino es evidente que este gira alrededor de un eje que puede ser

vertical, horizontal o con cualquier inclinación. La dirección de tal eje es por definición la

dirección del vector que representa al rotor. Refiriéndonos a la ruedita hipotética, decimos

que cuando está en la posición en la que gira más rápidamente, su eje está en la dirección

del rotor. Cada componente del rotor se encuentra colocando el eje de la ruedita paralelo

a cada uno de los ejes coordenados y el sentido del rotor está determinado por el sentido

de giro de la ruedita, de acuerdo a la regla de la mano derecha.

a b

Figura 11

b


IX.2.1 Densidad superficial de circulación alrededor de una dirección n (normal al plano

de circulación). La componente del rotor de v en esa dirección.

El concepto de rotor se formula mucho mejor en términos de la circulación del campo en

una trayectoria cerrada. La expresión matemática de la circulación del campo v ya la

hemos visto y está dada por:

circulación de vC

v dr= ⋅∫

Si colocamos la ruedita exploradora en un campo de velocidades v , es claro que es la

circulación del fluido a lo largo de su periferia lo que la hace girar.

Ubiquemos la ruedita en un punto P de un campo de

velocidades v , orientada en una posición cualquiera, de

tal modo que gire. Ahora retiremos la ruedita pero

retengamos la circunferencia de giro a manera de una

trayectoria en el espacio, como se muestra en la figura

12. Sea n el versor normal en P al plano del circuito C y

A es el área limitada por el circuito.

Como la circulación depende de la orientación de la curva, esta se recorrerá de modo tal

que si nos imaginamos caminando sobre ella, el sentido de recorrido es tal que el interior

queda a nuestra izquierda, de este modo el sentido del rotor es positivo si la ruedita gira en

sentido antihorario y negativo si lo hace de acuerdo al sentido de giro de las agujas del reloj.

La circulación del campo vectorial en esa trayectoria depende también del área encerrada

por la curva. Dividiendo la circulación por esta área, obtenemos un valor que es

independiente de la forma de la trayectoria y del tamaño (siempre que sea lo

suficientemente pequeño que se lo pueda considerar plano). El límite de esa relación

cuando el área tiende a cero da la componente del rotor en la dirección del versor n .

( )0

lím C

A

vdrrot v n

A→⋅ =

∫

Por ser el rotor una magnitud vectorial, la dirección del

mismo se define como normal al plano en el cual la

circulación es máxima. En la figura 13, se muestra la

componente ( )rot v n⋅ , para un posible campo v , es el

n A

Figura 12

P

C

R

n

B

P

C

rot v

Figura 13


segmento PB . Si el vector n corresponde a la dirección de máxima circulación, entonces

nos da el módulo del rotor en ese punto:

( ) ( )rot vrot v rot v

rot v= ⋅ .

Nuevamente hemos asociado un concepto integral como es la circulación de un campo

con un concepto diferencial, local o puntual como es el rotor.

IX.2.2 Cálculo del rotor en coordenadas cartesianas

Sería de interés encontrar una expresión del rotor en función del propio campo vectorial en

coordenadas cartesianas, tal como ocurrió con la divergencia.

Como el rotor es una magnitud vectorial, efectuaremos el cálculo por componentes.

Cálculo de la componente k del rotor.

Para calcular la componente k del rot v , determinamos la circulación en una pequeña

curva cerrada (no hace falta que sea circular).

Sea ( ) ( ) ( ) ( )x y zˆˆ ˆv x, y,z v x, y,z i v x, y,z j v x, y,z k= + +

un campo vectorial y consideremos en el plano

xy el cuadrado limitado por las rectas x h= ± ,

0z = y y h= ± , 0z = , al que llamaremos la

curva C (figura 14).

Por estar la curva en el plano xy , la componente zv del campo no interviene en la

circulación, luego:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0h h h h

y x y xC h h h h

v dr v h, y, dy v x,h, dx v h, y, dy v x, h, dx− −

− −

= + + − + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0h h

y y x xC h h

v dr v h, y, v h, y, dy v x,h, v x, h, dx− −

⎡ ⎤= − − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ ∫

x

y

eje z hacia el lector

( )0yv h, y,

( )0yv h, y,−

( )0xv x,h,

( )0xv x, h,−

C

Figura 14

h

h -h

-h


Aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral*:

( ) ( ) ( ) ( )0 0 2 0 0 2y y x xC

v dr v h, , v h, , h v ,h, v , h, h⎡ ⎤= β − − β − α − α −⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦∫

Dividiendo y multiplicando por 2h , nos queda:

( ) ( ) ( ) ( )2 20 0 0 0

4 42 2

y y x x

C

v h, , v h, , v ,h, v , h,v dr h h

h h

⎡ ⎤β − − β α − α −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= −∫

Aplicando ahora el teorema del valor medio del cálculo diferencial†:

( ) ( )2 20 4 0 4y y

C

v vv dr , , h , , h

x y∂ ∂

′ ′= α β − α β∂ ∂∫

Dividiendo por el área 24A h= y tomando límite para 0A → , obtenemos:

( ) 20lím

4yC x

h

v drv vˆrot v kx yh→

∂⎡ ⎤∂⋅ = = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

∫

Análogamente podríamos hallar las componentes i y j , resultando:

y yx xz zv vv vv v ˆˆ ˆrot v i j k

y z z x x y∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞= − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

que también se puede expresar como:

x y z

ˆˆ ˆi j k

rot v Fx y z

v v v

∂ ∂ ∂= = ∇×

∂ ∂ ∂

Nos preguntamos también para el caso del rotor, ¿cómo es su expresión en otros sistemas de

coordenadas?

En el punto IX.5 queda expresado el rotor en los sistemas de coordenadas cilíndricas y

esféricas.

* Si f es continua en el intervalo [ ]a,b , existe un número c entre a y b , tal que ( ) ( ) ( )b

a

f t dt f c b a= −∫

† Si f es contínua en un intervalo [ ]a,b y diferenciable en su interior, entonces existe un número c entre a y b ,

tal que ( ) ( ) ( ) ( )f b f a b a f c′− − =⎡ ⎤⎣ ⎦


IX.3 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES DIVERGENCIA Y ROTOR.

Es fácil verificar que tanto la divergencia como el rotor son operadores diferenciales lineales.

Sean F y G dos campos vectoriales definidos en 3 3R ⊂ ℜ → ℜ , sean a y b dos constantes,

entonces:

( )div a F bG a divF b divG+ = +

( )rot a F bG a rot F b rot G+ = +

Si φ es un campo escalar, tenemos que:

( )div F divF grad Fφ = φ + φ⋅

( )rot F rot F grad Fφ = φ + φ×

Teorema

Sea F un campo vectorial de clase 2C definido en una región D del plano o espacio,

entonces

( ) 0div rot F =

IX.4 APLICACIONES

La manera más satisfactoria de familiarizarnos con los conceptos de rotor y divergencia es

estudiando algunos ejemplos de aplicación.

Ecuación de continuidad para fluidos

Esta ecuación se deduce aplicando un

balance de materia o masa a un

elemento estacionario de volumen

x y zΔ Δ Δ a través del cual está

circulando un fluido, como se muestra

en la figura 15.

y

z

x

zΔ

( )x x xv

+Δρ ( )x x

vρ

xΔ

yΔ

Figura 15

VELOCIDAD DE ACUMULACIÓN DE

MATERIA

FLUJO DE ENTRADA DE MATERIA

FLUJO DE SALIDA DE MATERIA = +


siendo:

xv : componente de la velocidad en la dirección x

yv : componente de la velocidad en la dirección y

zv : componente de la velocidad en la dirección z

Flujo de entrada de materia

En la dirección x : ( )x xv y zρ Δ Δ

En la dirección y : ( )y yv x zρ Δ Δ

En la dirección z : ( )z zv y xρ Δ Δ

Flujo de salida de materia

En la dirección x : ( )x x xv y z

+Δρ Δ Δ

En la dirección y : ( )y y yv x z

+Δρ Δ Δ

En la dirección z : ( )z z zv y x

+Δρ Δ Δ

Si la masa del elemento es x y zρ Δ Δ Δ , luego:

Velocidad de acumulación de materia: x y zt

∂ρΔ Δ Δ

∂

reemplazando los términos obtenidos en el balance

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }x x y y z zx x x z y yy y yx y z v y z v y z v x z v x z v y x v y x

t +Δ +Δ+Δ

∂ρΔ Δ Δ = ρ Δ Δ − ρ Δ Δ + ρ Δ Δ − ρ Δ Δ + ρ Δ Δ − ρ Δ Δ

∂

y dividiendo por x y zΔ Δ Δ

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }x x y y z zx x x z y yy y yv y z v y z v x z v x z v y x v y x

t x y z+Δ +Δ+Δ

ρ Δ Δ − ρ Δ Δ + ρ Δ Δ − ρ Δ Δ + ρ Δ Δ − ρ Δ Δ∂ρ=

∂ Δ Δ Δ

y tomando límite para x,Δ yΔ y zΔ que tienden a cero, obtenemos la ecuación de

continuidad en la forma euleriana:

( ) ( ) ( ) ( )yx zvv vdiv v

t x y z

∂ ρ∂ ρ ∂ ρ∂ ρ= − − − = − ρ

∂ ∂ ∂ ∂


Usando las propiedades del operador divergencia, obtenemos la ecuación de continuidad

en la forma lagrangiana.

d div vd t

ρ= −ρ

Si el fluido es incompresible cteρ = , nos queda: 0yx zvv v div v vx y z

∂∂ ∂+ + = = ∇ ⋅ =

∂ ∂ ∂.

Ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo

Uno de los logros científicos más importantes del siglo XIX fue el descubrimiento de las leyes

del electromagnetismo por el científico inglés James Clerk Maxwell. Estas leyes tienen una

expresión elegante usando la divergencia y el rotor.

Las ecuaciones de Maxwell gobiernan los campos electromagnéticos. La forma de estas

ecuaciones depende de las unidades físicas que se empleen, y al cambiar unidades se

introducen factores como 4π , la velocidad de la luz c , entre otros más. Consideremos

entonces un sistema tal en que las ecuaciones de Maxwell, vengan dadas de una manera

sencilla.

Sean E y B funciones de ( )t ,x, y,z que son campos vectoriales para cada t . Van a

satisfacer las ecuaciones de Maxwell con densidad de carga ( )t ,x, y,zρ y densidad de

corriente ( )J t ,x, y,z cuando se cumpla lo siguiente:

E∇ ⋅ = ρ (Ley de Gauss)

0B∇ ⋅ = (No hay fuentes magnéticas)

0BEt

∂∇× + =

∂ (Ley de Faraday)

EB Jt

∂∇× − =

∂ (Ley de Ampère)

Físicamente se interpreta E como el campo eléctrico y B como el campo magnético.

Conforme avanza el tiempo t , estos campos interactúan de acuerdo con las ecuaciones

anteriores, entre sí y con cualesquiera cargas que estén presentes. Por ejemplo la

propagación de ondas electromagnéticas en el vacío está gobernada por estas

ecuaciones con 0J = y 0ρ = .

Ejemplo de la mecánica

Este ejemplo muestra una conexión entre el vector rotor y las rotaciones.


Un volante gira en el plano xy con una velocidad

angular kω = ω , en el eje z , como se muestra en la

figura. La velocidad lineal de un punto P , que tiene

un vector posición r , está dada por: v r= ω× . Como

vemos es función de la posición r , de modo que es

un campo plano.

Para un punto P , de posición ˆ ˆr xi yj= + se tiene: ( )0 00

ˆˆ ˆi j kˆ ˆv r yi xj

x y= ω× = ω = ω − + , calculemos

ahora el 2 2

0

ˆˆ ˆi j k

ˆrot v v kx y zy x

∂ ∂ ∂= ∇× = = ω = ω

∂ ∂ ∂−

, es decir, el rot v resultó proporcional a ω .

Observación: Las líneas de campo de v son circunferencias concéntricas, pero como

v r= ω , la intensidad del campo v crece con la distancia al origen, luego las líneas de

campo deben dibujarse menos distanciadas.

Campo magnético

Un caso más interesante que no implica rotaciones mecánicas, es el de campo magnético

(interior y exterior) producido por un conductor cilíndrico, de radio R , recto muy largo con

corriente contínua I .

En la figura 17 se observa una sección transversal de frente, con la corriente hacia el lector.

Desde el centro hasta la superficie, el campo crece

desde cero hasta un máximo en la frontera del

conductor, pero luego decae con la inversa de la

distancia al centro, es decir dentro del conductor el

campo magnético B tiene un comportamiento similar

al mostrado por el campo v en la sección anterior,

pero en el exterior del conductor no, pues el campo

B se debilita con la distancia.

Utilizando la Ley de Ampère es posible demostrar que el campo B dentro del conductor

( )0 r R≤ ≤ está dado en módulo por: 022

IB r

Rμ

=π

o vectorialmente por: ( )022

I ˆ ˆB yi xjR

μ= − +

π,

x

y

R

B

x

y

P

eje z hacia el lector

v

r

Figura 16

Figura 17


similarmente al campo v del volante. Para los puntos exteriores

al conductor ( )R r≤ el campo está dado por:

02 22ˆ ˆI yi xjB

x y⎛ ⎞μ − +

= ⎜ ⎟π +⎝ ⎠ y su módulo es: 0

2I

Br

μ=

π. Si analizamos la

circulación a lo largo de dos trayectorias distintas como las que

se muestran en la figura obtendremos: 1

0C

B dr⋅ ≠∫ y 2

0C

B dr⋅ =∫ .

IX.5 DIVERGENCIA Y ROTOR EN OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS

Sistema de coordenadas cilíndricas

En este sistema de coordenadas, x r cos= θ , y rsen= θ ,

z z= el campo vendrá dado por:

( ) ( ) ( ) ( )( )zzrr ezrFezrFezrFzrF ˆ,,ˆ,,ˆ,,,, θ+θ+θ=θ θθ

donde jsenicoser θ+θ= , jcosisene θ+θ−=θ , ke z = ,

son los vectores ortonormales unitarios mostrados en la

figura 19.

La divergencia vendrá dada por: ( ) ( )1r z

Fdiv F rF rFr r z

θ∂∂ ∂⎡ ⎤= + +⎢ ⎥∂ ∂θ ∂⎣ ⎦y la expresión para el

rotor, es:

( ) ( ) ( )1 1 1r z

z r z rr z

r z

ˆ ˆ ˆe r e eF F F Fˆ ˆ ˆrot F r, ,z rF e e rF e

r r z r z z r r rF r F F

θ

θ θ θ

θ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ = = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂θ ∂ ∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sistema de coordenadas esféricas:

En este sistema de coordenadas (figura 20),

x cos sen= ρ θ ϕ , y sen sen= ρ θ ϕ , z cos= ρ ϕ el campo

vendrá dado por:

( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ˆ ˆF , , F , , e F , , e F , , eρ ρ ϕ ϕ θ θρ ϕ θ = ρ ϕ θ + ρ ϕ θ + ρ ϕ θ

Figura 19

x

O

z

θ

r y

z ze eθ

re

eρ eθ

eϕ

O

ϕ

θ

ρ

y

z

x

Figura 20

x

y

1C

2C

Figura 18


donde: ˆˆ ê sen cos i sen sen j cos kρ = ϕ θ + ϕ θ + ϕ , ˆˆ ê cos cos i cos sen j sen kϕ = ϕ θ + ϕ θ − ϕ , ˆ ê sen i cos jθ = − θ + θ ,

son los vectores ortonormales unitarios mostrados en la figura 20.

La divergencia vendrá dada por:

( ) ( ) ( ) ( )22

1div F , , sen F sen F Fsen ρ ϕ θ

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ρ ϕ θ = ρ ϕ + ρ ϕ + ρ⎢ ⎥∂ρ ∂ϕ ∂θρ ϕ ⎣ ⎦

y la expresión para el rotor, es:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1sen F FF FFF ˆ ˆ ˆrot F , , e e esen rsen sen

ϕ ϕρ ρθθρ ϕ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ θ ∂ ρ∂ ∂∂ ρ⎡ ⎤∂ρ ϕ θ = − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ρ θ ∂θ θ ∂ϕ ρ ∂ρ ρ ∂θ ρ θ ∂ϕ ρ ∂ρ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

IX.6 INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE LA DIVERGENCIA Y ROTOR DE UN CAMPO VECTORIAL

Consideremos los siguientes campos vectoriales que se muestran en las figuras, los mismos

representan dos campos de velocidades de un fluido en movimiento.

Divergencia: Utilizando las cajas superpuestas en las figuras dadas, es posible estimar el flujo

neto del fluido saliente o entrante en cada caja.

Para el campo vectorial

( ) ˆ ˆF x, y,z xi yj= + , las flechas que llegan a

la caja son en general más cortas que las

que salen de la caja. Esto indica que el

flujo neto saliente es positivo, luego la

divergencia es positiva.

En el otro campo vectorial ( ) ˆ ˆF x, y,z yi xj= + − ,

el fluido está rotando en trayectorias circulares,

de modo que la velocidad de cualquier

partícula en una trayectoria circular centrada en

el origen es constante. Esto indica que el flujo

entrante a la debe ser igual al flujo saliente,

luego el flujo neto es cero y la divergencia nula.

x

y ( ) ˆ ˆF x, y,z xi yj= +

Figura 21 ( ) ˆ ˆF x, y,z yi xj= + −

x

y

Figura 22


Rotor: A los fines de analizar el rotor, consideremos la rueda de paletas que se muestra en

las figuras anteriores.

Es posible observar que la ruedita colocada en el campo vectorial ( ) ˆ ˆF x, y,z xi yj= + , será

arrastrada en una trayectoria radial sin girar. A causa de la forma de las líneas de flujo la

mitad de las paletas son dirigidas en un sentido y la otra mitad en sentido contrario, luego la

ruedita no gira y el campo tiene rotor nulo.

En el otro campo la situación es diferente, debido a la curvatura del campo y a que el

mismo crece cuando nos alejamos del origen, habrá más paletas de las rueditas empujadas

a girar en sentido horario y además con un impulso mayor, luego el rotor del campo no es

nulo.

IX.7 CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS.

Como hemos visto anteriormente el gradiente de una función de dos o tres variables reales

es un campo vectorial. Podríamos preguntarnos entonces si un campo vectorial dado por

( )F x es el gradiente de alguna función diferenciable ϕ . No todo campo vectorial es

gradiente de una función diferenciable, pero aquellos que lo sean reciben el nombre de

campos vectoriales conservativos.

Un campo vectorial : n nF U ⊆ ℜ → ℜ (siendo U un conjunto abierto de nℜ ) se dice que

es conservativo si existe alguna función diferenciable : nUϕ ⊆ ℜ → ℜ tal que

( )F x = ∇ϕ con x U∈

La función ϕ se llama una función potencial de F .

Muchos campos vectoriales importantes, como los campos gravitacionales, los campos

magnéticos y los campos de fuerzas eléctricas son conservativos. El término “conservativo”

se deriva de la ley física clásica sobre la conservación de la energía. Esta ley establece que

la suma de la energía cinética y de la energía potencial de una partícula que se mueve en

un campo de fuerzas conservativo es constante. Esto es equivalente a decir que en un

campo conservativo, la suma de las energías cinéticas y potencial de un objeto se mantiene

constante de punto a punto.

Una de las principales aplicaciones del rotor surge del siguiente teorema


Teorema 1

Sea F un campo vectorial de clase 1C definido en una región D del plano o espacio.

El campo vectorial es conservativo si y solo si 0rot F =

Independencia del camino. Definición

Sea D un dominio en V ( )2 3o ℜ ℜ y sea F un campo vectorial definido sobre D . Se dice

que F drΓ

⋅∫ es independiente del camino en D si para todo par de puntos A,B D∈ , el valor

de la integral B

A

F dr⋅∫ es el mismo para todos los arcos, regulares a trozos y que unen A y B .

Por lo tanto, el valor de la integral dependerá de los puntos A y B , pero no del camino que

los une.

Teorema 2

Sea F un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región D del

plano o espacio. F es conservativo en D , si y solo si F drΓ

⋅∫ es independiente del

camino Γ en D . Además, si A y B son el origen y extremo de Γ , entonces:

( ) ( )F dr B AΓ

⋅ =ϕ −ϕ∫ .

Siendo ϕ una función potencial de F .

Este teorema de las integrales de línea establece que si el campo vectorial F es

conservativo, entonces su integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente la

diferencia en los valores de la función potencial ϕ en dichos puntos, es decir, la integral de

línea sólo depende de los puntos inicial y final, pero no del camino que los une dicho recinto.

Y recíprocamente, si la integral de línea no depende del camino seguido, el campo

vectorial es conservativo.

Ejemplo

Sea F = ∇ϕ un campo conservativo y Γ una curva regular, verifique que ( ) ( )F dr B AΓ

⋅ =ϕ −ϕ∫


Solución

Sea ( ) [ ]( )r t ,t I a,b∈ una representación paramétrica de Γ con ( ) ( )1r t C I ,V∈ y ( )r a A,=

( )r b B= . Entonces:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }b

x y z x y za

F dr dx dy dz r t x t r t y t r t z t dtΓ Γ

′ ′ ′⋅ = ϕ + ϕ + ϕ = ϕ + ϕ + ϕ =⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( )( ) ( ) ( )

bb

aa

d r tdt r t B A

dtϕ ⎡ ⎤⎣ ⎦= =ϕ =ϕ −ϕ⎡ ⎤⎣ ⎦∫

Nota 1: Observar la semejanza con la regla de Barrow:

Regla de Barrow: ( )f x′ continua en [ ] ( ) ( ) ( )b

a

a,b f x dx f b f a′⇒ = −∫

Teorema fundamental del cálculo: ( )F x continua en D ( ) ( )B

A

dr B A⇒ ∇ϕ⋅ =ϕ −ϕ∫

Teorema 3

Se trata de un teorema que da condiciones equivalentes.

Sea F un campo vectorial con derivadas parciales continuas en una región D del

espacio. Entonces, si una de las siguientes afirmaciones es cierta, lo son las demás.

a) Para cualquier curva cerrada simple orientada 1C , 1

0C

F ds⋅ =∫

b) Para cualesquiera dos curvas simples orientadas 1C y 2C que tengan los mismos

puntos iniciales y finales, 1 2C C

F ds F ds⋅ = ⋅∫ ∫

c) F es gradiente de un campo escalar ϕ en D , esto es, F = ∇ϕ .

d) 0F∇× = en D .

e) La forma diferencial F dr⋅ es exacta ( )dU= en D .

Nota 3: El teorema 3 no dice que las cinco afirmaciones sean ciertas, en general son falsas,

sólo afirma que si una es cierta, lo son las demás.

Ejemplos de campos conservativos

Gradiente

Sabiendo que podemos expresar un incremento infinitesimal de energía potencial como:


( ) ( ) ( )p p p x y zdE E r dr E r F dr F dx F dy F dz= + − = − ⋅ = − + +

y que la regla de derivación de la cadena para varias dimensiones nos dice que

p p pp

E E EdE dx dy dz

x y z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

tenemos entonces una interesante relación que nos dice que

x y zE E EF , F , Fx y z

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂

Con esto podemos definir el vector fuerza como pF E= −∇

Potencial y energía eléctrica

Potencial es la circulación del campo eléctrico entre dos puntos A y B , es decir:

( ) ( ) ( )B

a b AV r V r E r dr− = ⋅∫

Si en esta fórmula multiplicamos ambos miembros por q , como F q E= tendremos que el

trabajo eléctrico realizado para desplazar una carga q desde una posición A hasta otra B

será simplemente ( ) ( )( )A BW q V A V B→ = − .

Análogamente la energía eléctrica, es decir, la energía potencial eléctrica que tendrá una

carga por encontrarse inmersa en un campo eléctrico, será tal que

( ) ( ) ( ) ( )( )A B p A p BW E r E r q V A V B→ = − = − . Esto supone que ( ) ( )epE r qV r= .

Algunos casos particulares de potencial eléctrico

Carga puntual

Siendo el valor de E para una carga puntual, 20

14

qE rr

=πε

e integrando, se llega

fácilmente a la conclusión que ( )0

14

qV rr

=πε

.

Campo eléctrico constante

Un sencillo uso de E nos lleva directamente a la expresión ( )V x E x= − , donde

suponemos que el campo E es constante, y así el potencial depende de una

cierta cantidad unidimensional x . Un buen ejemplo sería el campo creado por un

plano cargado infinito. En este caso x sería la distancia al plano.

tema 09 - operadores diferenciales sobre campos vectoriales

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