tema 04 introducciÓn a la cinemÁtica · la física moderna ha trasformado nuestra realidad de tal...

TEMA 04INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA

1

Prof. Ricardo Nitsche Corvalán

4.1.- CINEMÁTICA Y MATEMÁTICA

4.1.1.- ¿Qué es cinemática?.

La cinemáticacinemáticacinemáticacinemática es la rama de la mecánica clásicamecánica clásicamecánica clásicamecánica clásica que estudia las leyes del

movimiento de los cuerpos sin tener en cuenta las causas que lo producen,

limitándose, esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo.

En la cinemáticacinemáticacinemáticacinemática se utiliza un sistema de coordenadassistema de coordenadassistema de coordenadassistema de coordenadas para describir las

trayectorias, denominado sistema de referencia. La velocidadLa velocidadLa velocidadLa velocidad es el ritmo con que

cambia la posición un cuerpo. La aceleraciónLa aceleraciónLa aceleraciónLa aceleración es el ritmo con que cambia su

velocidad. La velocidad y la aceleración son las dos principales cantidades que

describen cómo cambia la posición de un cuerpo en función del tiempo.

En la Mecánica ClásicaMecánica ClásicaMecánica ClásicaMecánica Clásica se admite la existencia de un espacio absolutoespacio absolutoespacio absolutoespacio absoluto y

de un tiempo absolutotiempo absolutotiempo absolutotiempo absoluto; es decir, el espacio es el escenario donde ocurren todos

los fenómenos físicos y el espacio es anterior a todos los objetos materiales e

independiente de la existencia de estos. En todo ese espacio se supone que todas

las leyes de la física se cumplen igual y todos esos eventos duran lo mismo para

cualquiera que los observe.

Con la Teoría de la Relatividad Especial de Albert Einstein en 1905 se

inició una nueva etapa, la Cinemática relativista, donde el tiempo y el espacio no

son absolutos, lo único absoluto es la magnitud de la velocidad de la luz. Todo

observador en un sistema de referencia inercial, no importa su velocidad relativa,

va a medir la misma magnitud de velocidad de la luz que otro observador en otro

sistema de referencia inercial distinto. En esta nueva forma de ver al mundo se

tiene que espacio y tiempo no son absolutos, varían según quien haga la

medición; y no son aspectos independientes entre si; espacio y tiempo forman un

continuo de cuatro dimensiones.

2


La física moderna ha trasformado nuestra realidad de tal manera que a

semejanza de las imágenes inferiores, muchas del artista holandés MauritsMauritsMauritsMaurits

CornelisCornelisCornelisCornelis EscherEscherEscherEscher (1898-1972), donde la realidad depende del punto de vista del

observador.

3


4.1.2.- Los sistemas de Coordenadas.

El primer aspecto a entender para comprender la cinemática es definir lo

que son sistemas de coordenadassistemas de coordenadassistemas de coordenadassistemas de coordenadas. Nuestro espacio físico tiene tres dimensiones;

nos podemos mover a la derecha o la izquierda, hacia adelante o hacia atrás,

hacia arriba o hacia abajo. Cada uno de esos ejes de movimiento define una

dirección y sentido; cuánto nos desplazamos en cada eje para alcanzar un punto

en el espacio nos indica las coordenadas que a lo largo de cada eje (distancias)

son necesarias para llegar a ese punto, distancias las cuales por costumbre

indicamos de la forma (x,y,z).

Cuando indicamos un punto en el espacio por medio de tres distancias

(“+” o “–” según el sentido) recorridas a lo largo de tres ejes o direcciones

perpendiculares entre, que se cortan o cruzan en un punto común llamado origenorigenorigenorigen

de coordenadas del sistemade coordenadas del sistemade coordenadas del sistemade coordenadas del sistema, decimos que estamos ante un sistema desistema desistema desistema de

coordenadas rectangulares en el espaciocoordenadas rectangulares en el espaciocoordenadas rectangulares en el espaciocoordenadas rectangulares en el espacio (x,y,z); si eliminamos una de las

dimensiones el sistema se conoce como sistema de coordenadas rectangularessistema de coordenadas rectangularessistema de coordenadas rectangularessistema de coordenadas rectangulares

en el planoen el planoen el planoen el plano (x,y); y si sólo medimos distancias en un solo eje, tenemos el sistemasistemasistemasistema

de coordenadas rectangulares de coordenadas rectangulares de coordenadas rectangulares de coordenadas rectangulares unidimencionalesunidimencionalesunidimencionalesunidimencionales (x).

4


Existen otros sistemas de coordenadas para ubicar un punto, y no

necesariamente se requieren distancias, así por ejemplo en el plano el sistema deel sistema deel sistema deel sistema de

coordenadas polares en el planocoordenadas polares en el planocoordenadas polares en el planocoordenadas polares en el plano (r,θ) requiere una distancia (las distancias son

en este caso siempre positivas) y un ángulo. Lo cual es equivalente a lo que vimos

en el capitulo anterior a magnitud y dirección de un vector.

Para transformar de un sistema a otro tenemos:

x = r $ cos �

y = r $ sen�

r2 = x2 + y2

tan� =yx

_______Nota: todas las formulas anteriores son validas siempre, salvo el caso de la tangente, ya que elvalor real del ángulo depende de los signos de “x” y de “y” . Por ejemplo si x= -3 y y = -4; losresultados de la calculadora son: ; pero el valor correcto es 233O o –127O,� = atan(−4/ − 3) = 53osi giramos en sentido horario.

En el espacio existen varios sistemas de coordenadas, el uso de uno u otro

depende de la necesidad geométrica del problema. Entre los más conocidos

tenemos el ya mencionado coordenadas rectangulares en el espacio (x,y,z); el

sistema de coordenadas cilíndricascoordenadas cilíndricascoordenadas cilíndricascoordenadas cilíndricas (r,θ,z), que es equivalente al polares en el

plano, pero se agrega la componente “z”. Otro más usado en geografía es el

5


sistema de coordenadas esféricascoordenadas esféricascoordenadas esféricascoordenadas esféricas (r,θ,φ), que trabaja con dos ángulos y una

distancia, y que en geografía se equiparan a la longitud, la latitud y la altitud.

_______Notas:

Graficámente se puede observar que el “r” y el “θ” de las coordenadas cilíndricas y esféricas serefieren a distancias y ángulos distintos.

El ángulo a lo largo del piso en ambos sistemas se conoce como ángulo ángulo ángulo ángulo azimuthazimuthazimuthazimuth y equivale a lalongitud, su valor va de 0° a 360°; aunque la longitud se mide de 180° este a 180° oeste .

El ángulo “θ” que va desde el eje “z” al radio “r” en las coordenadas esféricas se conoce comoángulo polar o colatitudángulo polar o colatitudángulo polar o colatitudángulo polar o colatitud; su valor va desde 0° a 180°. La latitud sería el ángulo que va desde elpiso al radio “r” y su valor es desde 90° norte a 90° sur.

_______Importante:

Se puede indicar que para sistemas en el plano se requieren dos coordenadas (pueden ser dosdistancias o una distancia y un ángulo) y en espacio se requieren tres coordenadas (pueden sertres distancias, dos distancias y un ángulo o una distancia y dos ángulos)

No es contenido de este curso transformar de un sistema a otro en el espacio, ello corresponderáa cursos avanzados de matemática y mecánica racional.

Algunos autores para no confundir la “r” de coordenadas cilíndricas con la “r” de coordenadasesféricas, suelen indicar esta última con la letra erre griega (ρ) de nombre rho. Y escriben elángulo azimutal de ambos sistemas usando la letra efe griega (φ), llamada phi o fi.

6


4.1.3.- Los vectores matemáticos y la posición.

Un vectorvectorvectorvector es un término que tiene distintos significados de acuerdo al

contexto; en biología y medicina un vector se trata de un animal que trasmite un

parasito; en el mundo militar es un vehículo capaz de transportar una carga

nuclear. La palabra vector proviene del latín y significa “conductor de un

vehículo”. En física y geometría la palabra se aleja de su definición original y se

refiere a aquellas cantidades que tienen magnitud, dirección y sentido y que son

representadas como un segmento de recta orientado. En el siglo XIX la

matemática generalizó y modificó la noción de vector aun más; un vector en

matemática es todo cuerpo u objeto que formado por varios elementos simples,

llamados escalares, cumple con dos operaciones básicas (suma de vectores y

multiplicación de escalar por vector).

Dentro de los distintos espacios vectoriales de la matemática, citaremos

uno en particular, por su relación con los vectores en física. El espacio en

cuestión se define como: espacio espacio espacio espacio euclídeoeuclídeoeuclídeoeuclídeo; y empecemos de forma simple:

Una línea recta esta constituida por puntos, sea “x” un punto de esa línea,

entonces “ ”; siendo “ ” el conjunto de los números reales. Cada valor “x”x c ‘ ‘

es lo que constituye una cantidad escalar.

Un plano está formado por todos los pares asociados de dos valores: “x1”

y “x2”, ambos reales y lo denotamos “ ”; si nos vamos al espacio(x1, x2 ) c ‘2

tridimensional tendremos tres valores: “x1”, “x2” y “x3”, los tres reales y lo

denotamos “ ”; la idea es extensible no sólo al espacio de tres(x1, x2, x3 ) c ‘3

dimensiones, sino también a espacios de dimensiones mayores, e incluso

formados por infinitos elementos, cuyos ejes son todos perpendiculares entre si.

Podemos generalizar y señalar que un vector en un espacio un vector en un espacio un vector en un espacio un vector en un espacio euclideanoeuclideanoeuclideanoeuclideano

de “n” dimensionesde “n” dimensionesde “n” dimensionesde “n” dimensiones en matemáticas es la cantidad: . (x1, x2, x3, ..., xn ) c ‘n

7


En este punto señalamos que “vector en un espacio vector en un espacio vector en un espacio vector en un espacio euclideanoeuclideanoeuclideanoeuclideano de ‘n’ de ‘n’ de ‘n’ de ‘n’

dimensionesdimensionesdimensionesdimensiones” en matemática es lo que en física y geometría se corresponde con

“coordenadas rectangulares o cartesianas de un puntocoordenadas rectangulares o cartesianas de un puntocoordenadas rectangulares o cartesianas de un puntocoordenadas rectangulares o cartesianas de un punto” y en física clásica sólo

trabajamos con una, dos y máximo tres dimensiones.

Para poder hacer corresponder ambos modelos, los físicos definieron al

vector posiciónvector posiciónvector posiciónvector posición como aquel vector que va desde el origen de coordenadas

—punto (0,0,0)— hasta un punto en el espacio de coordenadas (x,y,z);;;; el v el v el v el vectorectorectorector

posición posición posición posición es entonces un vector de la forma:

→ r = x $ i + y $ j + z $ k

_______Notas:

Es un error muy común mezclar nomenclaturas, en matemática un vector es una cantidad de laforma ; en física esa cantidad no es un vector sino las coordenadas de un punto (x, y, z)

en el espacio.

Es muy común el error de combinar ambos conceptos y surgen cosas como: ; perox $ i ; y $ j ; z $ k

eso no existe ni en la matemática, ni en la física;eso no existe ni en la matemática, ni en la física;eso no existe ni en la matemática, ni en la física;eso no existe ni en la matemática, ni en la física; respete la nomenclatura de cada ciencia y no mezcle ideas.

8


A diferencias de otros los espacios vectoriales matemáticos, en los

espacios euclideos funciona la definición de producto escalar de vectores,

independiente de número de dimensiones del espacio y por propiedades de dicho

producto podemos al ser un vector en el espacio tridimensional observar lo→ r

siguiente:

→ r = r = →

r $→ r = (x)2 + (y)2 + (z)2

x = → r $ i = r $ cos(�) d cos(�) = x

r

y = → r $ j = r $ cos(�) d cos(�) =

yr

z = → r $ k = r $ cos(�) d cos(�) = z

r

donde

→ r = x $ i + y $ j + z $ k d

→ ur = x

r $ i +yr $ j + z

r $ k d

→ ur = cos(�) $ i + cos(�) $ j + cos(�) $ k

Los ángulos “α”, “β” y “θ” se conocen con el nombre de “ángulos de losángulos de losángulos de losángulos de los

cosenos directorescosenos directorescosenos directorescosenos directores”; y cualquier punto en el espacio puede ser ahora descrito

con no tres, sino cuatro coordenadas, conocidas como coordenadas polares encoordenadas polares encoordenadas polares encoordenadas polares en

el espacio el espacio el espacio el espacio (r,(r,(r,(r,αααα,,,,ββββ,,,,θθθθ);););); y lo que pudiera ser un problema de definición, ¿por que

cuatro, si antes se señaló que sólo se requerían para el espacio tres

coordenadas?, tiene una explicación simple; como todo vector unitario tiene por

magnitud la unidad; si se conocen dos de los ángulos se puede determinar el

tercero, ya que aplicando la definición de producto escalar podemos obtener la

fórmula:

1 = cos2(�) + cos2(�) + cos2(�)

9


sea :→ r = 2 $ i + 3 $ j + 4 $ k

entonces : r = (2)2 + (3)2 + (4)2 = 4 + 9 + 16 = 29 = 5, 385

donde : cos(�) = 25, 385

d � = arco cos(0, 371) = 68o

: cos(�) = 35, 385

d � = arco cos(0, 557) = 56o

: cos(�) = 45, 385

d � = arco cos(0, 742) = 42o

Ejemplo 4.1:Sean las coordenadas de un punto en el espacio (2,3,4) determinar las coordenadas polares del vector posición.

Tenemos : x = 5, 00 $ cos(45o ) = 3, 54

: y = 5, 00 $ cos(60o ) = 2, 50

: z = 5, 00 $ cos(120o ) = −2, 50

por tanto :→ r = 3, 54 $ i + 2, 50 $ j − 2, 50 $ k

Ejemplo 4.2:Sean las coordenadas polares de un punto en el espacio (5,00;45°;60°;120°)determinar las coordenadas rectangulares del vector posición.

(4; 0; −3) d (5, 0; 37o; 90o; 127o )

(−5; −2; 3) d (6, 2; 144o; 109o; 61o )

(0; 5; 1) d (5, 1; 90o; 11o; 79o )

(7, 0; 60o; 75o; 34o ) d (3, 5; 1, 8; 5, 8)

(3, 0; 30o; 110o; 58o ) d (2, 6; −1, 0; 1, 1)

(5, 0; 120o; 120o; 135o ) d (−2, 5; −2, 5; −3, 5)

Ejercicios propuestos 4.1 Confirme las siguientes transformaciones

10


4.2.- CAMBIOS Y RAZONES

4.2.1.- Cambios, diferencias y diferenciales.

En muchas circunstancias no interesa conocer una cantidad particular,

sino como cambia; así, por ejemplo, la duración de un viaje la medimos

tomando la hora de inicio o salida del viaje (ti) y la hora final o llegada del mismo

(tf), el tiempo transcurridotiempo transcurridotiempo transcurridotiempo transcurrido es la diferencia o resta de la hora final menos la inicial.

Para efectos de indicar ese intervalo de tiempo se hace uso de la letra mayúscula

griega delta (∆∆∆∆) que significa “cambio”; y tenemos entonces que “Tiempo“Tiempo“Tiempo“Tiempo

Transcurrido” Transcurrido” Transcurrido” Transcurrido” es igual al cambio o diferencia de tiempo:

�t = t f − t i

En el tema anterior se definió al “Desplazamiento”“Desplazamiento”“Desplazamiento”“Desplazamiento” como “el cambio de

posición de un cuerpo”. Si la posición es una cantidad vectorial, el

desplazamiento también y quedaría aplicando la notación anterior como:

→ �r = →

rf − → r i = x f $ i + y f $ j + z f $ k − x i $ i + y i $ j + z i $ k

→ �r = (x f − x i ) $ i + (y f − y i ) $ j + (z f − z i ) $ k

→ �r = �x $ i + �y $ j + �z $ k

11


La distanciadistanciadistanciadistancia (denotada “s”, no usaremos “d” para no confundir con la

notación de un diferencial —definición abajo—) entre dos puntos de un espacio

euclideano viene dada por la magnitud del desplazamiento total; así la

“Distancia entre dos puntos en el espacio” “Distancia entre dos puntos en el espacio” “Distancia entre dos puntos en el espacio” “Distancia entre dos puntos en el espacio” es la cantidad:

s = (x f − x i )2 + (y f − y i )

2 + (zf − z i )2 = (�x)2 + (�y)2 + (�z)2

Pero si uno observa la figura anterior, el ratón no camino en línea recta,

sino, por el contrario, trazo una curva en el espacio. Para determinar realmente la

distancia recorridadistancia recorridadistancia recorridadistancia recorrida por el ratón, lo que determinamos es la suma de las

magnitudes de pequeños desplazamientos, desplazamientos cuya suma nos da el

desplazamiento total ( ). Cuando los desplazamientos son muy pequeños los→ �r

indicamos en minúscula ( ) y estas pequeñas cantidades cercanas a cero se→ dr

conocen como diferencialesdiferencialesdiferencialesdiferenciales y no las indicamos con la letra griega mayúscula

delta (∆∆∆∆), sino con la letra minúscula latina “dddd ”.

Un desplazamiento diferencialdesplazamiento diferencialdesplazamiento diferencialdesplazamiento diferencial ( ) es una cantidad de la forma:→

dr

→ dr = dx $ i + dy $ j + dz $ k

Siendo “dx”, “dy” y “dz” las pequeñas diferencias (diferenciales) que el

cuerpo realiza en cada eje. La magnitud de un desplazamiento diferencial

equivale a una “distancia diferencial distancia diferencial distancia diferencial distancia diferencial (ds)(ds)(ds)(ds)”, esto es:

ds =→

dr = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2

12


Entonces el desplazamiento totalel desplazamiento totalel desplazamiento totalel desplazamiento total de un cuerpo es la suma de sus muchos

desplazamientos:

→ �r =

→ �r 1 +

→ �r 2 +

→ �r 3 + ... +

→ �r n

→ �r = →

r1 − → r0 + →

r2 − → r1 + →

r3 − → r2 + ... + →

rn − → rn−1 = →

rn − → r0 h

→ r f − →

r i

Y la distancia recorrida por un cuerpo es la suma de las magnitudes de

todos esos desplazamientos:

s = �i =1

n → �r i =

→ �r 1 +

→ �r 2 +

→ �r 3 + ... +

→ �r n ú

→ �r

Si se trabaja con cantidades diferenciales las expresiones quedan:

La distancia recorrida:La distancia recorrida:La distancia recorrida:La distancia recorrida:

s = ¶x i

x f

¶yi

yf

¶z i

zf

ds = ¶x i

x f

¶yi

yf

¶z i

zf

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2

El desplazamiento total:El desplazamiento total:El desplazamiento total:El desplazamiento total:

→ �r = ¶

→ ri

→ rf →

dr = ¶x i

x f

dx $ i + ¶y i

y f

dy $ j + ¶z i

zf

dz $ k

_______Nota: El símbolo “∫ “ se llama “integralintegralintegralintegral” y significa “suma de cantidades diferencialessuma de cantidades diferencialessuma de cantidades diferencialessuma de cantidades diferenciales ”; esta esuna operación matemática del calculo diferencial conocida como integración. No forma parte deeste curso explicar cómo se calcula, más si entender el concepto, cuando hablamos de

integración, hablamos de suma de muchos pedazos muy, pero muy, muy, muy pequeños.

V � F �6.- Siempre debe ocurrir que la distancia recorrida es una cantidad mayor que la magnitud del desplazamiento

V � F �5.- Es imposible que la distancia recorrida sea menor que la magnitud del desplazamiento total

V � F �4.- Es imposible que la distancia recorrida sea igual a la magnitud de un desplazamiento total

V � F �3.- Un diferencial de distancia es igual a la magnitud de un diferencial de desplazamiento

V � F �2.- Un corredor recorre una pista circular, la distancia recorrida es nula, si vuelve al punto de partida

V � F �1.- Un corredor recorre una pista circular, el desplazamiento final es nulo si vuelve al punto de partida

Preguntas 4.1 A las siguientes frases indique si son falsas o verdaderas

13


sea :→ r0 = 2m $ i + 3m $ j + 4m $ k

:→ r1 = 3m $ i + 4m $ j + 5m $ k

:→ r2 = 4m $ i + 5m $ j + 7m $ k

entonces :→ �r1 = →

r1 − → r0 = (3m − 2m) $ i + (4m − 3m) $ j + (5m − 4m) $ k = 1m $ i + 1m $ j + 1m $ k

:→ �r2 = →

r2 − → r1 = (4m − 3m) $ i + (5m − 4m) $ j + (7m − 5m) $ k = 1m $ i + 1m $ j + 2m $ k

donde :→ �r =

→ �r1 +

→ �r2 = (1m + 1m) $ i + (1m + 1m) $ j + (1m + 2m) $ k = 2m $ i + 2m $ j + 3m $ k

:→ �r1 = + (1m)2 + (1m)2 + (1m)2 = 3m2 = 1, 73m

:→ �r2 = + (1m)2 + (1m)2 + (2m)2 = 6m2 = 2, 45m

Siendo : s =→ �r1 +

→ �r2 = 1, 73m + 2, 45m = 4, 18m

Nota(1) :→ �r = + (2m)2 + (2m)2 + (3m)2 = 17m2 = 4, 12m ñ s

Nota(2) :→ �r = →

r f − → r i = →

r2 − → r0 = (4m − 2m) $ i + (5m − 3m) $ j + (7m − 4m) $ k

:→ �r = 2m $ i + 2m $ j + 3m $ k

Ejemplo 4.3:Un cuerpo se mueve en el espacio, inicialmente se ubica en la posición origen (2m;3m;4m); se traslada a una primera posición ubicada en (3m;4m;5m) yluego a una segunda posición ubicada en coordenadas (4m,5m, 7m).Determinar el desplazamiento final y la distancia recorrida por el cuerpo.

Confirmar:

→ �r = −6m $ i + 1m $ j + 14m $ k

s = 15, 86m

(15, 26m; 113o; 86o; 23o )

→ r0 = 2m $ i + 4m $ j + 6m $ k

→ r1 = 1m $ i + 5m $ j + 8m $ k

→ r2 = −2m $ i + 6m $ j + 12m $ k

→ r3 = −4m $ i + 5m $ j + 20m $ k

Ejercicios propuestos 4.2 La posición de un cuerpo varia como se indicaabajo; determinar desplazamiento total y distancia recorrida por el cuerpo.

Determinar también magnitud y ángulos de los cosenos directores deldesplazamiento total.

14


4.2.2.- Razones de Cambio.

La ocurrencia de cambios implica la existencia de interacciones entre

objetos; la física es la ciencia de las interacciones; la mecánica la rama que

estudia al movimiento y sus causas; y la cinemática estudia la trayectoria en

función del tiempo del movimiento de los cuerpos. Ya se señaló que se requiere

definir coordenadas para ubicar un cuerpo en el espacio; los cambios de esas

coordenadas nos dan dos cantidades, distancia recorrida y desplazamiento; la

primera de naturaleza escalar, la segunda de naturaleza vectorial.

El cuán rápido ocurre ese cambio de posición, define dos nuevas

cantidades, la rapidezrapidezrapidezrapidez y la velocidadvelocidadvelocidadvelocidad. Se define como rapidezrapidezrapidezrapidez ( ) la razón entre lav

distancia recorridadistancia recorridadistancia recorridadistancia recorrida y el tiempo transcurridotiempo transcurridotiempo transcurridotiempo transcurrido; se define como velocidadvelocidadvelocidadvelocidad ( ) la→ v

razón entre desplazamientodesplazamientodesplazamientodesplazamiento y tiempo transcurridotiempo transcurridotiempo transcurridotiempo transcurrido. Si las razones son el resultado

de dividir diferencias se suele hablar de cantidades promediocantidades promediocantidades promediocantidades promedio; si por el contrario

dividimos diferenciales (cantidades muy pequeñas) se habla de cantidadescantidadescantidadescantidades

instantáneasinstantáneasinstantáneasinstantáneas .

Expliquemos esto; cuando usted hace un viaje, por ejemplo de Ciudad

Bolívar a Puerto Ordaz, la distancia recorrida es unos 120 km; y tardo una hora;

la rapidez promedio fue 120 km/h; y la velocidad promedio fue 120 km/h hacia

el este; pero no siempre en todo el trayecto el velocímetro del carro marcaba una

rapidez de 120 km/h, ni el carro iba hacia el este siempre; así, lo que marca el

velocímetro en cada momento que se lo mire es la rapidez instantánea y hacia

adonde apunte el carro indica la dirección de la velocidad en ese instante.

Velocidad PromedioVelocidad PromedioVelocidad PromedioVelocidad Promedio

→ vp =

→ �r�t

Velocidad InstantáneaVelocidad InstantáneaVelocidad InstantáneaVelocidad Instantánea

→ v =

→ drdt

Rapidez PromedioRapidez PromedioRapidez PromedioRapidez Promediovp = s

�tRapidez instantáneaRapidez instantáneaRapidez instantáneaRapidez instantánea

v = dsdt

15


La figura superior muestra que las velocidades (instantáneas)velocidades (instantáneas)velocidades (instantáneas)velocidades (instantáneas) son vectores

que apuntan en la dirección del movimiento. Las razones de cambio respecto al

tiempo de la rapidez y la velocidad definen dos nuevas cantidades, la celeridadceleridadceleridadceleridad y

la aceleraciónaceleraciónaceleraciónaceleración .

Aceleración PromedioAceleración PromedioAceleración PromedioAceleración Promedio

→ ap =

→ �v�t

Aceleración InstantáneaAceleración InstantáneaAceleración InstantáneaAceleración Instantánea

→ a =

→ dvdt

Celeridad PromedioCeleridad PromedioCeleridad PromedioCeleridad Promedio

ap = �v�t

Celeridad instantáneaCeleridad instantáneaCeleridad instantáneaCeleridad instantánea

a = dvdt

La aceleraciónaceleraciónaceleraciónaceleración es por norma (como muestra la figura superior) un vector

que apunta hacia la concavidad de la curva, salvo que se trate de movimientos

rectilíneos o en puntos donde cambie la concavidad.

_______Nota: La división (razón de cambio) entre dos cantidades diferenciales es otra operaciónmatemática del calculo diferencial conocida como derivaciónderivaciónderivaciónderivación. Igualmente no forma parte de estecurso explicar cómo se calcula, más si entender el concepto, cuando hablamos de derivada,hablamos de división entre dos cantidades muy, pero muy, muy, muy pequeñas.

16


__________Importante:

Al igual que con la distancia y la magnitud del desplazamiento , rapidez promedio y las ú→ �r

magnitud de la velocidad promedio, así como la celeridad y la magnitud de la aceleración no sonnecesariamente iguales. Por lo general y ; pero en cantidades instantáneasvp ú

→ vp ap ú

→ ap

ocurre que y .v = → v a = →

a

________Nota: para calcular el promedio sume las tres cantidades y divida entre tres. No olvidar queunas cantidades son escalares y otras vectoriales

Ejercicios propuestos 4.3 Con los datos y resultados del problema 4.2;

Determinar:

a. la rapidez promedio y la velocidad promedio de cada cambio (0a1), (1a2)y (2a3); sabiendo que el tiempo de cada intervalo fue: 0,75 s; 0,50 s y0,25 s.

b. Promedie las tres rapidez y las velocidades anteriores.

c. La rapidez promedio y velocidad promedio total (0 a3); y compareresultados.

¿Qué concluye? ¿Qué concluye? ¿Qué concluye? ¿Qué concluye?

17


tema 04 introducciÓn a la cinemÁtica · la física moderna ha trasformado nuestra realidad de tal...

Documents