semejanza de triagulos
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CONGRUENCIAS Y SEMEJANZAS DE FIGURAS
PLANASProf Francis Martiacutenez AbreuMA
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
9G51
Compara y contrasta la igualdad la congruencia y la semejanza
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
3
Son ideacutenticas
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentesDos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes
correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son congruentes
Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
En la figura
A
EFACy DFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
9G51
Compara y contrasta la igualdad la congruencia y la semejanza
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
3
Son ideacutenticas
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentesDos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes
correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son congruentes
Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
En la figura
A
EFACy DFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
3
Son ideacutenticas
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentesDos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes
correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son congruentes
Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
En la figura
A
EFACy DFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Ejemplos de Congruencia
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES
ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES
Congruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentesDos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes
correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son congruentes
Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
En la figura
A
EFACy DFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Congruencia
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamantildeo es decir si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensioacuten
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentesDos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes
correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son congruentes
Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
En la figura
A
EFACy DFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Criterios de congruencia
Triaacutengulos congruentesDos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes
correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son congruentes
Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
En la figura
A
EFACy DFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Triaacutengulos congruentesDos triaacutengulos son congruentes si y soacutelo si sus partes
correspondientes son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son congruentes
Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
En la figura
A
EFACy DFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
Sus lados correspondientes son congruentes
Sus aacutengulos correspondiente son congruentes
En la figura
A
EFACy DFBC EDAB
B
C
E
F D
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
POSTULADOS DE CONGRUENCIA
Criterio LLL Si en dos triaacutengulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LAL Si los lados que forman a un aacutengulo y eacuteste son congruentes con dos lados y el aacutengulo comprendido por estos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio ALA Si dos aacutengulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos aacutengulos y el lado entre ellos de otro triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Criterio LLA Si el lado maacutes largo del triangulo junto con otro lado de eacuteste y el aacutengulo superior del lado maacutes largo del triaacutengulo son congruentes con los del otro triangulo entonces los triaacutengulos son congruentes
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Postulado LLL
Si los lados de un triaacutengulo son congruentes con los lados de un segundo triaacutengulo entonces los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E F
ABC DEF
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Postulado ALA
Si dos aacutengulos y el lado incluido de un triaacutengulo son congruentes con dos aacutengulos y el lado incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A B
C
DE
ABC CDE
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Postulado AALSi dos aacutengulos y el lado no incluido de un triaacutengulo
son congruentes con dos aacutengulos y el lado no incluido de otro triaacutengulo los triaacutengulos son congruentes
A
B C
D
E
ABC EFD
F
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Postulado LALSi dos lados y el aacutengulo incluido de un triaacutengulo son congruentes a dos lados y el aacutengulo incluido de otro triaacutengulo entonces los dos triaacutengulos son congruentes
A
B
C D
E
ABC DEF
F
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Ejercicios de Praacutectica
Ejemplos
1) En la figura se tiene un triaacutengulo ABC isoacutesceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales Cuaacuteles triaacutengulos son congruentes
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
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- Ejercicios de Praacutectica (2)
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- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
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- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
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- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Ejercicios de Praacutectica
2) Dado el triaacutengulo rectaacutengulo de lados ab y c se han construido las figuras que estaacuten a sus lados copiaacutendolo varias veces y colocaacutendolo en diferentes posiciones
Analiza los aacutengulos que son congruentes en las distintas posiciones iquestPodriacuteas deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
20
A
B
C
BASE MEDIAPROPIEDAD
M N
2AC
MN 2AC
MN
ACMN
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
FIGURAS SEMEJANTES
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
GEOMETRIA
El estudiante es capaz de identificar formas y dimensiones geomeacutetricas y utilizar el conocimiento espacial para analizar sus estructuras caracteriacutesticas propiedades y relaciones para entender y descubrir el entorno fiacutesico
7G101 Define e identifica semejanzas en figuras bidimensionales incluidas las partes correspondientes la razoacuten de semejanza y las medidas de las partes correspondientes Determina la relacioacuten proporcional entre las medidas de los lados correspondientes de figuras semejantes
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
23
iquestCoacutemo son las figuras mostradas
Son proporcionales
Son semejantes
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Semejanzabull Dos figuras que tienen la misma
forma aun con diferentes dimensiones se llaman semejantes
bull Dos figuras son semejantes si sus aacutengulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales
bull Los elementos que se corresponden (puntos segmentos aacutengulos hellip) se llaman homoacutelogos
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Dos figuras del plano son
semejantes si los cocientes de de los segmentos
determinados por pares
cualesquiera de puntos
correspondientes son iguales
ML
MLes la razoacuten de semejanza
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Dos triaacutengulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los aacutengulos iguales
El cocientea b c
ka b c
se llama razoacuten de semejanza
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
27
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
30
Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
Multiplica cada uno de los lados por 3
x 3
Los lados del triaacutengulo se han triplicado
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
31
Identificamos algunos elementos
RAZOacuteN DE SEMEJANZA 3
LADOS HOMOacuteLOGOS
AB BC AC
PQ QR
PR
Si la altura relativa al lado AC mide a podemos afirmar que la altura relativa a su lado homoacutelogo PR mide 3a
Ademaacutes
Cualquier longitud (lados y liacuteneas notables) en el triaacutengulo ABC se triplica en el triaacutengulo PQR
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
iquestCuaacutel es el siacutembolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triaacutengulos
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del aacuterbol y el de la vara de longitud conocida
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Distancias o alturas aplicando semejanza
Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras utilizadas habitualmente por las guiacuteas y scouts para estimar alturas y distancias recurriendo a la semejanza de triaacutengulos
En este caso es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del aacuterbol reflejado en el espejo
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
35
CASOS DE SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOS
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Criterios de semejanza de triaacutengulos
existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triaacutengulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus aacutengulos Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triaacutengulos
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos1 AA ( aacutengulo-aacutengulo)
2 LLL (lado-lado-lado)
3 LAL (lado-aacutengulo-lado)
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
SEMEJANZA DE TRIAacuteNGULOSPOSTULADOS DE SEMEJANZA
Criterio AA de semejanza Teorema ldquo Si dos triaacutengulos tienen sus dos aacutengulos correspondientes congruentes entonces el tercero tambieacuten seraacute congruente y los triaacutengulos son semejantesrdquo Criterio LAL de semejanza Teorema ldquo Dos triaacutengulos son semejantes si tienen un aacutengulo congruente comprendido entre lados proporcionalesrdquo
Criterio LLL de semejanza Teorema Si los lados correspondientes de dos triaacutengulos son proporcionales entonces los triaacutengulos son semejantes
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
I Primer criterio AA
Dos triaacutengulos que tienen los dos aacutengulos congruentes son semejantes entre siacute
aacutea
bacute
bgacute
g
Es decir Si = a aacute
= bbacute
de lo anterior se deduce que = g gacuteEntonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Ejemplo
iquestSon los siguientes triaacutengulos semejantes
25
65 25
65
iexclSIPor que al tener dos
de sus aacutengulos congruentes cumplen
con el criterio AA
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
II Segundo criterio LLLDos triaacutengulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BCa
aacute
El cociente obtenido de comparar los lados homoacutelogos entre siacute recibe el
nombre de razoacuten de semejanza
Es decir
aaacute = b
bacute = ccacute =K
b bacute
c
cacute
Entonces D ABC semejante con DAacuteBacuteCacute
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
EjemploDetermine si los triaacutengulos ABC y PQR son semejantes
A
BC
P
Q
R
15
35
5
3
7
10
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
15 3 = =
35 7
510
Efectivamente asiacute es ya que los productos
ldquocruzadosrdquo son iguales15 bull 7 = 3 bull 35 = 10535 bull 10 = 7 bull 5 = 35
Por lo tanto Triaacutengulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
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- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
III Tercer criterio LAL
Dos triaacutengulos que tienen dos lados proporcionales y el aacutengulo comprendido entre ellos es igual son semejantes entre siacute
Aacute
BacuteCrsquo
A
BC
Es decir
aaacute
aaacute = c
cacute
c
cacute
y a = aacute
a
aacute
Entonces D ABC semejante a D AacuteBacuteCacute
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
EjemploiquestSon los triaacutengulos ABC y DEF semejantes
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente asiacute es ya que los
productos ldquocruzadosrdquo son
iguales3 bull 12 = 4 bull 9
iquestLos aacutengulos formados por estos dos lados son congruentes
Por criterio LAL Triaacutengulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente porque tal como se sentildeala en el dibujo ambos son rectos
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
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- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
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- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
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- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
ALGUNAS APLICACIONES
DE ESTOS CONCEPTOS
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
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- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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- Postulado LLL
- Postulado ALA
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- Postulado LAL
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- Ejercicios de Praacutectica (2)
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- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
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- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
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- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
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- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triaacutengulos Comprueba que son semejantes y halla la razoacuten de semejanza
a) 8 cm 10 cm 12 cmb) 52 cm 65 cm 78 cm
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Entonces los triaacutengulos son semejantes por criterio LLL
8
10
12
78
65
52
Representemos el ejercicio
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones65 10 = 65
52 8
= 6510
= 7812
= 65
Efectivamente al calcular los productos ldquocruzadosrdquo podemos
ver la proporcionalidad entre las medidas de los
lados respectivos
52 bull10 = 8 bull 65 = 52065 bull 12 = 10 bull78 = 780
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
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30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
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- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
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- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
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- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Ejercicio Tenemos un triaacutengulo cuyos lados miden 3 cm 4 cm y 5
cm respectivamente y deseamos hacer una ampliacioacuten a escala 31 iquestCuaacutento mediraacute cada ladoiquestCuaacutel es la razoacuten de semejanza
Luego debe ocurrir
3
4
5x
y
z
Entonces X= 3 3 = 9
= 9
Y = 4 3 =12
12 =
Z = 5 3 = 15
=15
La razoacuten de semejanza es 3
Representamos la situacioacuten
=X3 =
Y4
Z5 =
31 =3
Escala de ampliacioacuten
X3
= 3
Y4 =3
Z5
=3
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
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40
12
16
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30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
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- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
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- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
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- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
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- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respectivamente Los lados de un segundo triaacutengulo miden 12 16 y 20 centiacutemetros iquestSon semejantes En caso afirmativo iquestcual es la razoacuten de semejanza
50
30
40
12
16
20
30 12
= 4016
5020
=
Para calcular la razoacuten de semejanza se calcula una de las
razones50 20 = 25
Para comprobar la proporcionalidad podemos
efectuar los productos ldquocruzadosrdquo
30x16=480 y 40x12=480
ademaacutes40x20=800 y 16x50=800
Comprobemos que las medidas de los lados homoacutelogos son proporcionales
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
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- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
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- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
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- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
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- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
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- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
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- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
- Los lados de un triaacutengulo miden 30 40 y 50 centiacutemetros respect
- Slide 49
- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
- Slide 51
-
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros iquestqueacute altura tiene un aacuterbol que a la misma hora proyecta una sombra de 45 metros(Haz un dibujo del problema)
45m
x3m
2m sombra
poste
Los triaacutengulos definidos por el poste y su sombra y el aacuterbol y su sombra son semejantes por lo tanto
De donde
= 675m
Son semejantes por que cumplen
el criterio AA tienen iguales el aacutengulo recto y el
aacutengulo de elevacioacuten que
forman los rayos solares con el
suelo
=3x
245
X = 3 bull 45 2Formamos la proporcioacuten
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
- Congruencia
- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
- POSTULADOS DE CONGRUENCIA
- Postulado LLL
- Postulado ALA
- Postulado AAL
- Postulado LAL
- Ejercicios de Praacutectica
- Ejercicios de Praacutectica (2)
- Slide 16
- Slide 17
- PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
- Slide 19
- Slide 20
- FIGURAS SEMEJANTES
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime (2)
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
- Semejanza
- Slide 25
- Slide 26
- Slide 27
- Slide 28
- Slide 29
- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
- Slide 32
- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
- Slide 35
- Criterios de semejanza de triaacutengulos
- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
- Slide 38
- Primer criterio AA
- Ejemplo
- II Segundo criterio LLL
- Ejemplo (2)
- III Tercer criterio LAL
- Ejemplo (3)
- Algunas aplicaciones de estos conceptos
- Ejercicio
- Ejercicio (2)
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- Para terminar una pequentildea demostracioacuten
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-
PARA TERMINAR UNA PEQUENtildeA
DEMOSTRACIOacuteN
Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
- Congruencias y semejanzas de figuras planas
- GEOMETRIA El estudiante es capaz de identificar formas y dime
- iquestCoacutemo son las figuras mostradas
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- Criterios de congruencia
- Triaacutengulos congruentes
- Definicioacuten Dos triaacutengulos ABC y DEF son correspondientes si
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- Ejercicios de Praacutectica
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- iquestCoacutemo son las figuras mostradas (2)
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- Dado un triaacutengulo de lados 4m 5m y 6m
- Identificamos algunos elementos
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- Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un
- Distancias o alturas aplicando semejanza
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- Existen tres criterios de semejanza de triaacutengulos
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Demuestre Si L1 L2 entonces ΔABC ~ΔDEC
CA
B
D
E
Afirmaciones RazonesDemostracioacuten
Por ser aacutengulos alternos internos entre
CDEABC
CDEBAC Por ser Aacutengulos alternos internos entre
Por lo tanto al tener dos aacutengulos congruentes se cumple al criterio AA luego los triaacutengulos ABC y DEC son semejantes
Dadas las rectas AB y DE son paralelas Demuestra que el triangulo ABC y el triangulo DEC son semejantes
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