SEMEJANZA DE TRIANGULOS

TEOREMA DE THALES

DEFINICION CASOS DE SEMEJANZA

PROPORCIONALIDAD

AUTOEVALUACIÓN

Razón de segmentos: Es el cociente entre las longitudes de dos segmentos.Proporción de segmentos: Es la igualdad entre dos razones.

Propiedades: gozan de las mismas que las de las proporciones aritméticas:

Son adimensionalesSe puede intercambiar medios o extremos

PROPORCIONALIDAD

SABER PREVIO

Teorema de Thales: Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra recta.

Applet

SABER PREVIO

Teorema de Thales (Segundo enunciado): Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de paralelas, la razón entre dos segmentos de una de las rectas es igual a la razón entre los segmentos correspondientes de la otra recta.

Applet

SABER PREVIO

SABER PREVIO

Ejemplo 1.En la siguiente escena tenemos un triángulo ABC. Por un punto B', situado sobre uno de los lados del triángulo, hemos trazado una paralela al lado BC, la cual corta al otro lado en C'. Observemos que ahora tenemos un segundo triángulo, el AB'C'. Nos preguntamos si hay alguna relación entre los dos

triángulos.

Applet

Para dividir un segmento OP en partes iguales, se realiza la siguiente construcción:Sobre una recta auxiliar OR se ubican los puntos equidistantes: 1', 2', 3', 4', 5', 6' y 7'. Por cada uno de estos puntos se trazan paralelas al segmento 7'P, las cuales determinan sobre OP los puntos requeridos 1,2,3,…. La justificación es:

TEOREMA DE THALES

CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Toda paralela a un lado de un triángulo ABC determina con los otros dos lados un nuevo triángulo AB'C' y se cumplen las dos condiciones siguientes:

Sus lados respectivos son proporcionales. Sus ángulos respectivos son iguales.

Estas son las condiciones que han de cumplir dos polígonos para

ser semejantes.

FIGURAS SEMEJANTES

También se puede comprobar que en general si solo se cumple una de las dos condiciones, las figuras resultantes no son semejantes.

TRIANGULOS SEMEJANTES

No obstante, en el caso del polígono más sencillo, el triángulo, sí basta con una de las dos condiciones puesto que la otra se cumplirá automáticamente.

DEFINICIÓN

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales, en consecuencia sus lados homólogos serán proporcionales; es decir, si los triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes, se escribe

y se verifica:

A = A´ B = B´ C = C´

AB/A´B´ = BC/ B´C´ = CA/C´A´= razón de semejanza

ABC ~ A´B´C´

CORRESPONDENCIA BIUNIVOCA

ABC ~ A´B´C´

A

B C B' C'

A'

ELEMENTOS HOMOLOGOS

AB/A’B’ = AC/A’C’ = BC/B’C’ = h AC / h A’C’ = … = CTE

A PARTIR DE ESTA SEMEJANZA SE PUEDE PLANTEAR ALGUNAS

RAZONES ENTRE ELEMENTOS HOMOLOGOS

ABC ~ A´B´C´

En los elementos homólogos también se incluyen: alturas, medianas, perímetros,etc.

A

B C D F

E

<ABC = 45.08

<EDF = 45.08

AB / ED = 1.46

BC / DF = 1.46

¿Es verdadera la siguiente afirmación?

~ ABC DEF

Ejemplo 2

SI NO

CONCEPTO

Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también, criterios de semejanza de triángulos.

Casos de semejanza de triángulos

Dos triángulos con sus ángulos mutuamente iguales son semejantes

~ ABC NLM

Applet

Sabemos que los ángulos de un triángulo SUMAN necesariamente 180º. Si tenemos dos triángulos que tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales, el tercer ángulo también será igual, entonces, son semejantes estos triángulos

Primer caso A A

~ ABC DEFPlantea, en tu cuaderno, la proporcionalidad entre elementos homólogos en la semejanza mostrada.

EJEMPLO 2. Compara los ángulos de los triángulos ABC y MNL. ¿Podemos decir que son iguales dos a dos?. Indica, en tu cuaderno de trabajo la correspondencia biunívoca entre cada uno de los ángulos. Plantea las razones entre sus elementos homólogos

Applet

Ejemplo 3 Si tenemos dos triángulos rectángulos de diferente tamaño, ¿Son semejantes estos triángulos?

¿Por qué?

Respuesta: NO, por que solo tienen un ángulo

mutuamente congruentes

Segundo caso LLLDos triángulos con los lados mutuamente proporcionales

son semejantes.

Applet

~ ABC KLJ

Los lados de dos triángulos miden, respectivamente, 8 cm, 10 cm y 12 cm (los del primero) y 52 cm, 65 cm y 78 cm (los del segundo). Comprueba que son semejantes y calcula la razón de semejanza.

DE/AB = EF/BC = DF/AC

~ ABC DEFSea la semejanza:

Como se verifica que

52 / 8 = 65 / 10 = 78 / 12 = 6,5

Entonces la razón de semejanza es 6,5

Ejemplo 4

Ejemplo 6Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros respectivamente. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?

Como se verifica que

12 / 30 = 16 / 40 = 20 / 50 = 0,4

Los triángulos son semejantes y la razón de semejanza es 0,4

Tercer caso LAL

Dos triángulos con dos lados mutuamente proporcionales y el

ángulo comprendido entre ellos igual, son semejantes.

A

B C D F

E

~ ABC DEF

Ejemplo 8Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros? (Haz un dibujo del problema).

~ ABC DEF

AB / DE = AC / DF

3 / h = 2 / 4,5

h = 6La altura del árbol es 6 metros

Ejemplo 9Un cilindro circular recto se inscribe en un cono de revolución de 12 cm de altura y 4 cm de radio en la base tal como se muestra en la figuraSi el radio de la base del cilindro es 2 cm, halle su altura.

A

B

C

DF

G

~ ABC DEF

AB / DB = AC / DF 12 /(12 - h) = 4 / 2 h = 6