tema 0011

ESTADSTICA GRADOS EN INGENIERA MECNICA, INGENIERA QUMICA E

INGENIERA EN ORGANIZACIN INDUSTRIAL

Tema 11. Intervalos de Confianza. 183

g.l. Num, g.l. Denom5,55,2525,525,25

Distribucn F de Fisher-Snedecor

0 1 2 3 4 50

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

dens

idad

TEMA 11.- INTERVALOS DE CONFIANZA

- Estimacin puntual y por intervalos de confianza. - Intervalos y cotas de confianza. - Interpretacin frecuentista de los I.C. - Mtodo general. - Aplicaciones a modelos normales. - Aplicaciones a modelos de proporciones. - Eleccin del tamao muestral.

Ronald A. Fisher




ESTIMACIN PUNTUAL Y POR INTERVALOS DE CONFIANZA

Obtener una estimacin (puntual) de un parmetro es insuficiente:

No calibramos el error que podemos estar cometiendo. Si obtenemos otra estimacin basada en otra muestra, el valor ser diferente: Cul es mejor? La probabilidad de acertar en una estimacin puntual con un estimador es frecuentemente 0.

Siempre que la distribucin del estimador sea continua se tiene 0)()( PpuntualestimacinlaconAcertarP

Es mucho ms informativo un intervalo de valores que cubra el verdadero valor del parmetro con una cierta garanta.

Unas veces tendremos xito (el intervalo contendr al verdadero valor del parmetro a estimar, que es un valor fijo pero desconocido) y otras no.

Construiremos este intervalo a partir de la muestra, y sus extremos sern por tanto aleatorios.

Utilizamos un procedimiento de construccin que asegure una alta probabilidad de xito; es decir, de que el intervalo construido cubra realmente al valor del parmetro desconocido.

Llamamos confianza o garanta a esa probabilidad de xito y suele expresarse en %.

Puede lograrse tan cercana al 100% como requiera cada situacin, pero a costa de aumentar la amplitud del intervalo y perdiendo por lo tanto precisin.




La confianza o garanta de xito la fija el investigador: 1- bien 100(1-a)%

Habitualmente se usan valores altos, del 95% 99%.

El riesgo de error es el valor complementario (100%); queda tambin fijado Ser pequeo. Habitualmente del 5% 1%.

Ejemplo: Para estimar un parmetro de una variable crtica para el funcionamiento de una central nuclear nos interesar que sea muy pequeo, =0.001 por ejemplo. En otras ocasiones, como por ejemplo la estimacin de un parmetro que afecte a la longitud de las piezas producidas por una mquina, donde las consecuencias de un posible error no seran tan graves, se podr admitir un mayor riesgo de error, por ejemplo =0.05. Estos intervalos de valores se obtienen a partir de la distribucin muestral del estimador usado y se llamarn Intervalos de Confianza. De forma anloga se construyen cotas de confianza (inferiores o superiores)




INTERVALOS Y COTAS DE CONFIANZA:

X variable aleatoria de inters definida sobre la poblacin. parmetro de inters desconocido de la poblacin (de la distribucin de la variable X). X1, , Xn muestra aleatoria simple representativa de la poblacin. (0,1) fijado de antemano. Intervalo de confianza del 100(1 para Es un intervalo formado por dos estadsticos L y U, ),...,(),,...,( 11 nn XXUUXXLL , tal que

1),...,(),...,( 11 nn XXUXXLP . Cota superior de confianza del 100(1 para Viene definida por un estadstico ),...,( 1 nXXUU , tal que 1),...,( 1 nXXUP . Ejemplo: Inspeccin de calidad, X=1 (D) 0 ( D ). Queremos obtener una cota superior para p=P(D) Cota inferior de confianza del 100(1 para Viene definida por un estadstico ),...,( 1 nXXLL , tal que 1),...,( 1 nXXLP . Ejemplo: X= Rendimiento de un proceso qumico. Queremos obtener una cota inferior para Los intervalos y cotas de confianza, adems de depender de la muestra, tambin dependen de la confianza 1- con la que queremos trabajar.




INTERPRETACIN FRECUENTISTA DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA Los extremos de los intervalos y cotas de confianza son aleatorios por ser funcin de la muestra. Dada una muestra concreta ),...,(),...,( 11 nn xxXX (datos), calcularemos los valores de L y U

uxxUlxxL nn ),...,(,),...,( 11 y concluiremos que

1),( confianzaconulul .

Por qu hablamos de confianza y no de probabilidad?

Una vez calculados los extremos L=l y U=u a partir de los datos, no hablaremos de probabilidad. Decir 1),( ulP no tiene sentido ya que el parmetro no es una v. a. sino una cantidad desconocida pero fija. Entonces, calculado el intervalo (l,u), puede ocurrir: Exito: Hemos acertado y el intervalo contiene al parmetro, o bien Fracaso: Hemos fallado y no lo contiene.

Confiamos en haber acertado ya que (L,U) satisface 1),...,(),...,( 11 nn XXUXXLP (alto). Si se repitiera muchas veces el muestreo y el clculo del intervalo (l,u), en promedio una proporcin 1 (100(1)%) de las veces el I.C. contendra al parmetro La proporcin restante fallara.

Esto lo indicamos diciendo que el I.C. tiene una confianza (o garanta) 1. Esta interpretacin frecuentista de los IC sirve tambin para las cotas de confianza.




Distribucin de la Poblacin

0 1 2 30

0,2

0,4

0,6

0,8

............),(,...,:

.........),(,...,:2),(,...,:1

,1,

222,21,2

111,11,1

mmmnmm

n

n

ulIxxmMuestra

ulIxxMuestraulIxxMuestra

0 20 40 60 80 100

Ilustracin de la interpretacin frecuentista de los Intervalos de Confianza para un parmetro

Nota: Las muestras provienen de un experimento de simulacin en el que se han construido I.C. al 95%. Podemos ver que en los 100 primeros tenemos 7 fallos y 93 aciertos. Si seguimos tomando muestras, los porcentajes de aciertos y fallos se estabilizarn en torno a 95% y 5% respectivamente.

parmetro de inters de la poblacin




CONFIANZA Y AMPLITUD (PRECISIN) DE UN I.C.

La utilidad prctica de un intervalo viene dada por dos medidas: 1. CONFIANZA: Mide la seguridad o garanta del procedimiento de construccin del intervalo. 2. AMPLITUD: Mide (inversamente) la precisin de la estimacin realizada.

A la hora de valorar un I.C. hay que tener en cuenta que nos interesa: Que la confianza sea lo ms alta posible. (Por ejemplo, preferiramos 95% a 90%) Que la amplitud sea lo menor posible. (P. ej., preferiramos 005,3995,2 a 05,395,2 )

Ambos criterios entran en conflicto: Confianza y amplitud no se pueden controlar a la vez para un tamao de muestra dado. Una

caracterstica de los I.C. es que si aumenta la confianza aumenta la amplitud (disminuye la precisin).

Se consigue una confianza y amplitud prefijadas eligiendo el tamao muestral adecuado.

A la amplitud se le suele llamar tambin error mximo de estimacin

MTODO PARA CONSTRUIR INTERVALOS Y COTAS DE CONFIANZA El mtodo general sigue los siguientes pasos:

1. Elegir un buen estimador del parmetro . 2. Obtener la distribucin del estimador . 3. Delimitar una regin de probabilidad bajo esta distribucin, 4. Despejar .




Aplicacin a la obtencin de un I.C. para en el modelo N() con conocida:

1. Estimador: X .

2. Distribucin del estimador:

).1,0(),( Nn

XnNX

3. Regin de probabilidad bajo la distribucin muestral:

4. Despejar el parmetro :

nzX

nzX 2/2/ o bien / 2X z n

con confianza 1-.

.12/2/

z

nXzP

0

0,1

0,2

0,3

0,4

dens

idad

zz




Para obtener cotas de confianza dejamos todo el riesgo de error en una cola:

Cota inferior de confianza : nzXz

nXP

1

Cota superior de confianza : nzXz

nXP

1

Conflicto Confianza-Amplitud: Si aumentamos la confianza 1-, aumenta z/2 y aumenta la amplitud o error mximo E

nzE /2/ .

Se puede disear el tamao muestral para conseguir la confianza y el error deseados:

22/ )/( Ezn .

0

0,1

0,2

0,3

0,4

dens

idad

z

0

0,1

0,2

0,3

0,4

dens

idad

z




Ejemplo: El editor de una revista profesional de ingeniera desea estimar el salario medio de los graduados en Ingeniera Industrial en su primer empleo. Se conoce que el Salario es una variable con ley normal y =250 . Se toma una muestra de n=25 titulados de los que obtiene la informacin sobre su salario, resultando 57.1501X .

a) Obtener un I.C. al 95% para . b) Obtener una cota inferior de confianza al 99% para . c) Qu tamao muestra se necesita en a) para que el error mximo sea de 50.

Solucin:

a) nzX

nzX 2/2/

2525096.157.1501

2525096.157.1501 , o bien

2525096.157.1501 ,

57.159957.1403 o bien 9857.1501 con una confianza del 95%.

b) nzX

77,138425

25033.257.1501 con una confianza del 99%.

c) .97.04.96)50/25096.1()/( 222/ nEzn




Aplicacin a la obtencin de un I.C. para en el modelo N():

1. Estimador: 22 S .

2. Distribucin muestral del estimador: ( )n

S n

1

22

12

3. Regin de probabilidad bajo la distribucin muestral:

4. Despejar el parmetro 2 :

22

21,1

222

2,1

)1()1( SnSn

nn

con confianza 1-.

.1)1( 2 ,122

21,1 22

nn

SnP

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

dens

idad

Distribucin2

1n

22/1,1 n 2 2/,1 n





Cota inferior de confianza : 22,1

22,12

2 )1(1)1( SnSnPn

n

Cota superior de confianza : 221,1

221,12

2 )1(1)1( SnSnPn

n

Conflicto Confianza-Amplitud: Si aumentamos la confianza 1-, aumenta 2n-1,/2 y disminuye 2n-1,/2 y por tanto aumenta la amplitud. En este caso no existe una frmula explcita para el tamao muestral.

Distribucin Chi-Cuadrado

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

dens

idad

21n

2,1 n

Distribucin Chi-Cuadrado

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

dens

idad

21n

21,1 n




Ejemplo: Se investiga el dimetro de barras de acero fabricadas por mquinas de extrudado, que sigue una distribucin normal. Aunque el proceso funciona bien en cuanto al valor medio, se han observado ciertas anomalas que llevan a pensar que tal vez hay algn desajuste que est haciendo que la fabricacin tenga mayor variabilidad de la debida con lo que un alto porcentaje del producto puede resultar inservible. El parmetro de inters a controlar en este caso es la varianza. En concreto se quiere que la varianza del proceso sea menor que 0 5. cm2 . Se dispone de una muestra de tamao n = 18 tal que 22 cm 34.0y cm 63.8 SX . Con estos datos construimos una cota superior de confianza del 95% obteniendo para 2:

Solucin: .66.0

67.834.017;95.017;11 22

95.0,17

22

21,1

22

SCSnCn

Conclusin: los datos no soportan que la varianza cumpla las especificaciones que nosotros habamos establecido para ese proceso.

0 10 20 30 40 500

0,02

0,04

0,06

0,08

95%5%

67.82 95.0,17

distribucin 217




INTERVALOS DE CONFIANZA PARA POBLACIONES NORMALES

1.- I.C. para los parmetros de una poblacin normal

PROBLEMA ESTIMADOR DISTRIBUCION INTERVALO DE CONFIANZA 100(1-)% Estimacin de conocida X

Xn

N

/( , )0 1 n

zX 2

Estimacin de desconocida X

XS n

tn

/ 1 nStX n 1,2

Estimacin de

S ( )n

S n

1

22

12

22

1,21

222

1,2

)1()1( SnSn

nn

2.- Comparacin de dos poblaciones normales

PROBLEMA ESTIMADOR DISTR. MUESTRAL INTERVALO DE CONFIANZA 100(1-)%

Comparacin de medias y conocidas

21 XX X X

n n

N1 2 1 2

12

1

22

2

0 1

( )

( , )

2

22

1

21

22121 nnzXX

Comparacin de medias =desconocidas

21 XX X X

n n

tsP

n n1 2 1 2

1 2

21 1 1 2

( ) 21

2,2212111

21 nnStXX pnn

Comparacin de medias desconocidas

21 XX X X

Sn

Sn

t1 2 1 2

12

1

22

2

( )

2

22

1

21

,22121 nS

nStXX

Comparacin de varianzas /

22

21 SS

SS

Fn n12

12

22

22 1 11 2

, 2,1,122

21

22

21

22

21

2,1,112

21,,

1

nnnn

FSS

SS

F Sp definido en la pg. 176




Ejemplo: Una empresa est considerando la fabricacin de un nuevo material sobre la base de ciertos clculos tericos de su departamento de desarrollo. La propiedad clave del material es su conductividad trmica, que interesa que sea lo menor posible y que el departamento de desarrollo juzga como muy inferior a la del material actualmente utilizado. Para asegurarse, la empresa decide fabricar un total de n=10 unidades del nuevo material. Se quiere obtener una cota superior de confianza para el valor medio de la conductividad trmica de ese material y la empresa adems juzga asumible un riesgo =0.05. Supngase normalidad. Los resultados muestrales obtenidos son

X 44 21. Btu / hr - ft- F0 y Fft--Btu/hr 1.0 0S .

Solucin:

La cota superior de confianza del 100(1-)% para se deduce de 1, 1nSP X tn

,

y en nuestro caso particular se tiene 268.44101.0833.121.4405.0,9 n

StX

-5 00

0.1

0.2

0.3

0.4

t9,0.05=1.833

P(t > t9,0.05) = 0.05

Distribucin tcon 9 g.l.




Ejemplo: A la hora de instalar una nueva factora de envases se presenta la eleccin entre dos sistemas de cerrado de envases que se estn empleando en fbricas ya instaladas. Se est interesado en la resistencia de esos envases en funcin del tipo de cerrado de los mismos. Se decide estimar la diferencia entre las resistencias medias mediante un intervalo de confianza del 95%. Para ello se solicitan datos a las factoras que tienen instalados esos sistemas y de la primera responden enviando datos relativos a una muestra de tamao n1 8 con X1 25 38 . . De la segunda nos llegan datos de una muestra con n2 12 29 y X2 .46 . Adems de pruebas anteriores con esos tipos de cerrado se sabe que los modelos son normales y que 12 1 21 1 98 . . y 22 .

2

22

1

21

22121 nnzXX

Teniendo en cuenta que X X1 2 = 25.38-29.46 = -4.08 y z z 2 0 025 1 96 . . , obtenemos:

978.2182.512

98.18

21.196.108.41298.1

821.196.108.4

21

21

En conclusin, como 0 IC las medias se pueden considerar diferentes con confianza 0.95.

El Error mximo de la estimacin es de Emx=1.102. Si quisiramos que fuera como mximo de 0.2 unidades entonces deberamos pedir a cada factora un tamao muestral igual a

n z

Emax

2

212

22

2

2

2

1 960 2

1 21 1 98 306 36..

. . .

es decir 307 elementos por poblacin.




Ejemplo: Se tienen dos tipos de lmparas A y B y se desea estudiar cul de los dos tipos tarda ms tiempo en fundirse. Las duraciones se ajustan al modelo normal. Se toma una muestra de 8 lmparas de cada tipo y se obtienen los siguientes datos medidos en das:

86.5,4.35 :B Tipo65.6,7.37 :A Tipo 2211 SXSX .

Se pide valorar la existencia de diferencias en las duraciones medias a partir de un intervalo de confianza del 90% para la diferencia de medias suponiendo varianzas iguales.

Solucin:

La expresin del I.C. es: 1 21 2 1 2 2, 21 2

1 1n n pX X t S n n

X X1 2 37 7 35 2 3 . .4 . ;

28.3914

34.34722.4472

11

21

222

2112

nn

SnSnS p ; t14 0 05 1 761, . .

Sustituyendo los valores en la expresin general obtenemos:

.82.722.34127.6761.13.2

4127.6761.13.2 2121

-5 00

0.1

0.2

0.3

0.4

t14,0.05 = 1.761

0.90.05 0.05

Distribucin tcon 14 gradosde libertad

Conclusin: 0 IC, luego con un 90% de confianza no existen diferencias.




Ejemplo: En el ejemplo sobre los dos tipos de lmparas para el que realizamos una comparacin de medias en poblaciones normales con varianzas desconocidas pero iguales, construir un intervalo de confianza del 95% para comparar las varianzas y avalar la suposicin realizada. (Si el valor 1 pertenece a ese intervalo entonces nuestra suposicin de varianzas iguales tendr argumentos consistentes con que sostenerse. El valor 1 corresponde precisamente a 1 2 ).

Solucin:

Tenemos dos muestras de tamao 8, de modo que 86.5y 65.6 21 SS y el I.C. ser:

.42.625.0

95.034.3422.4499.4

34.3422.44

99.4195.0

34.3422.44

34.3422.44195.0

22

21

22

21

025.0,7,722

21

025.0,7,722

21

025.0,7,722

21

22

21

975.0,7,7

CF

FC

SSF

SSFC

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

F 7,7,0.025 = 4.99

F7,7,0.975 = 0.2

C=0.95

Distribucin F7,7 Conclusin: 1 IC, luego se pueden considerar las varianzas iguales.




Aplicacin del mtodo general a la obtencin de un I.C. para una proporcin p:

1. Estimador: Xp .

2. Distribucin del estimador: ).1,0(~/)1(

1(,~ Nnpp

ppn

pppNp

3. Regin de probabilidad bajo esta distribucin:

4. Despejar p: n

ppzpp )1( 2/

. El intervalo no es operativo porque los extremos dependen de p:

Estimamos p(1-p): nppzpp )1( 2/

con confianza aprox. 1-.

Acotamos p(1-p)1/4: nzpp

41 2/ con confianza al menos 1-. (I.C. conservador)

.1~/)1(

2/2/

z

nppppzP

0

0,1

0,2

0,3

0,4

dens

idad

zz





Cota inferior de confianza : nppzXpz

nppppP )

1(1~)1(

Cota superior de confianza : nppzXpz

nppppP )

1(1~)1(

Conflicto Confianza-Amplitud: Si aumentamos la confianza 1-, aumenta z/2 y aumenta el error mximo

nppzE )1(2/

.

El tamao muestral para conseguir la confianza y el error deseados sera:

2

22/ )1(

Eppz

n

.

Si disponemos de un estimador piloto 0p , entonces 2 002

2/ )1(E

ppzn

Si no disponemos de informacin sobre p, entonces 22

2/

4Ez

n I.C. conservador, utilizando p(1-p)1/4 (caso ms desfavorable p=q=1/2). Poco aconsejable para p y q extremos. Por ejemplo, si p=0.01, pq=0.0099




INTERVALOS DE CONFIANZA BASADOS EN MUESTRAS GRANDES

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES

PROBLEMA ESTIMADOR DISTRIBUCIN MUESTRAL INTERVALO DE CONFIANZA 100(1-)%

Estimacin de una proporcin p.

p

( )~ ( , )

p pp p

n

N

1

0 1 n

ppzpp )1( 2

Comparacin de proporciones p1p2.

p p1 2 ( )( ) ( )

~ ( , )p p p p

p pn

p pn

N1 2 1 21 1

1

2 2

2

1 10 1

2

22

1

1122121

)1()1(n

ppn

ppzpppp

INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIAS DE POBLACIONES CUALESQUIERA

PROBLEMA ESTIMADOR DISTRIBUCIN MUESTRAL INTERVALO DE CONFIANZA 100(1-)% Estimacin de

n grande X )1,0(~ N

nSX

nSzX 2/

Comparacin de medias 12, n1, n2 grandes

X X1 2

)1,0(~

2

22

1

21

2121 N

nS

nS

XX

2

22

1

21

22121 nS

nSzXX




TIPOLOGA GENERAL DE LOS INTERVALOS PARA MEDIAS Y PROPORCIONES:

Parmetro = Estimador Parmetro = Estimador

El error mximo de estimacin se interpreta como la mxima posible diferencia entre el parmetro (desconocido) y la estimacin puntual (conocida y que se usa como centro del intervalo) en el caso de que el I.C. fuese correcto.

TIPOLOGA GENERAL DE LOS INTERVALOS PARA VARIANZAS:

Los factores A y B dependen de la confianza y de la distribucin del estimador, que a su vez depende del tamao muestral.

Error mximo de estimacin

Parmetro (Estimador A , Estimador B)

Factor de confianza

Desv. tpica del estimador

El Factor de confianza depende de: La confianza deseada . La distribucin del estimador.

La desviacin tpica del estimador depende de: El estimador usado. El modelo o poblacin en estudio. El tamao muestral. Frecuentemente se desconoce y debe estimarse




ELECCIN DEL TAMAO MUESTRAL

La tabla siguiente muestra las frmulas para calcular los tamaos muestrales necesarios para conseguir I.C. con una confianza prefijada 1- y un error mximo prefijado Emx.

PROBLEMA ERROR MXIMO TAMAO MUESTRAL NECESARIO Estimacin de conocida n

zE 2mx 2mx

222

Ez

n

Estimacin de desconocida. S2 estimador piloto. n

StE n 2,1mx Se resuelve por tanteo para n pequeo. Si n grande: 222

2

mxE

Szn

Comparacin de medias y conocidas 2

22

1

21

2mx nnzE

2

mx

22

21

22

21

)(E

znn

Comparacin de medias =desconocidas. Sp2 estimador piloto. 21

2,2mx11

21 nnStE pnn Se resuelve por tanteo. Para n1 n2 grandes: 2

222

21

2

mx

p

E

Sznn

Comparacin de medias desconocidas S12 , S22 estimadores piloto. 2

22

1

21

2,mx nS

nS

tE Se resuelve por tanteo. n1 n2 grandes: 222

21

22

21

)(

mxE

SSznn

Estimacin de una proporcin p.

0p estimador piloto nz

npp

zEmx 41)1(

22

2mx

22

2mx

002

2 41)1(

Ez

Eppz

n

Comparacin de proporciones p1p2. 01p y

02p estimadores piloto

n1=n2 222

1

112,

)1()1(n

ppn

ppzE axm

22

22

02

02

01

012

2

)4141()1()1(

mxmx Ez

Eppppzn

Nota: Caso ms desfavorable para estimar proporciones: p=q=1/2 p(1-p)=1/4

Nota: No existen expresiones explcitas para el caso de los I.C. para varianzas.




Ejemplo: Un fabricante de antenas parablicas quiere ofrecer a sus clientes un periodo de garanta de un ao y le gustara saber, antes de decidirse cul es la proporcin p de antenas que debera reparar gratuitamente en ese caso. Para ello decide hacer un intervalo de confianza de nivel 0.9 para p. Toma una muestra de 100 antenas que se prueban durante un ao. De esas 100 antenas se estropean 18.

Solucin:

El intervalo de confianza tiene la forma: nppzpp )1( 2

Sustituyendo los valores obtenemos

.243.0116.0

9.0100

18.0118.065.118.0100

18.0118.065.118.0

p

pC

El Error mximo de la estimacin es Emax=0.063. Si el fabricante quisiera una precisin mayor en el intervalo de confianza, de forma que el error mximo en la estimacin de la proporcin fuera de 0.02 podramos utilizar la muestra inicial que ya tenemos como muestra piloto y experimentar con una muestra adicional de

6.100402.0

65.118.0118.012

2

2

22

maxE

zppn

,

de modo que deberamos probar un total de 1005 antenas para conseguir la precisin requerida a la estimacin.




Ejemplo: En el ejemplo anterior, al considerar que la tasa de fallos en el primer ao de vida era excesiva, un distribuidor del producto decide comparar el funcionamiento de las antenas de ese fabricante (A) con las de otro fabricante B. Toma una muestra de 200 antenas de este ltimo y durante el primer ao de vida se observan 22 fallos. Comparar las proporciones de fallos mediante un I.C. al 95%. Hallar los tamaos muestrales necesarios para que el error mximo de la estimacin con la confianza del 95% sea 0.05

Solucin:

El intervalo de confianza tiene la forma: 2

22

1

1122121

)1()1(n

ppn

ppzpppp

Sustituyendo los valores obtenemos

.087.007.0

95.0200

11.0111.0100

18.0118.096.111.018.0

21

21

pp

ppC

Como 0 IC, con un 95% de confianza no existen diferencias. Para obtener el tamao muestral utilizamos los estimadores anteriores como pilotos:

25.37705.0

89.011.082.018.096.1)1()1(

22

222112

2/21

E

ppppznn ,

de modo que deberamos probar 378 antenas de cada tipo para conseguir la precisin requerida a la estimacin.

tema 0011

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